Slide - Transformações Lineares - Álgebra Linear e Geometria Analítica 2019 2

Transforma¸c˜oes Lineares ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Daniel Leite IENG - UFMT Julho 2019 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Sum´ario 1 Transforma¸c˜oes Lineares Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Uma transformacao linear de R” em R™ é uma fun¢ao T : R” +> R”™ v + T(v) que satisfaz as seguintes condicoes: @ (Preserva a soma de vetores): T(vy + v2) = T(w) + T(v2), para quaisquer vetores v1, v2 € R”. Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Defini¸c˜ao Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Defini¸c˜ao (Preserva a multiplica¸c˜ao por escalar): T(α v) = α T(v), para quaisquer vetor v ∈ Rn e escalar α ∈ R. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos 1. A fun¸c˜ao nula, O : Rn → Rm, que associa cada vetor v ∈ Rn ao vetor nulo 0 ∈ Rm ´e uma transforma¸c˜ao linear. 2. A fun¸c˜ao identidade, I : Rn → Rn, que associa cada vetor v ∈ Rn ao pr´oprio vetor v ∈ Rn ´e uma transforma¸c˜ao linear. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos 3. A reflex˜ao em rela¸c˜ao ao aixo x, Rx : R2 → R2, ´e uma transforma¸c˜ao linear, dada pela lei Rx(x, y) = (x, −y). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos 4. A reflex˜ao em rela¸c˜ao ao aixo y, Ry : R2 → R2, ´e uma transforma¸c˜ao linear, dada pela lei Ry(x, y) = (−x, y) (verifique!). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica 5. A projecao ortogonal de todo vetor do plano sobre uma reta que passa pela origem, digamos L: (x, y) = t (a,b), € uma fun¢ao P,, : R* — R? dada pela lei P,(v) = (restr) w, onde w = (a, b) é o vetor diretor da reta L. Se v = (x,y), entdo 2 2 x,y) e(a,b a°x + aby abx + bey PL(x,y) = ty Jete) (ab)=| 37> ap ds a+ +b a+b ao +b A funcgao P, é uma transformacgao linear. Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica 6. A reflexdo de todo vetor do plano em relacdo uma reta que passa pela origem, digamos L : (x,y) = t(a, b), 6 uma fun¢do R, : R? > R? tal que v + Ri(v) = 2 P(v). Entdo, Ri(v) = 2 Pi(v) — v. Se v = (x,y), temos Ri(x.y) = (= — bx + ae —(a* — b?)y + =) . a + b? a* + b? A fungao R; é uma transformacao linear. Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos 7. A rota¸c˜ao em torno da origem de um ˆangulo θ no sentido anti-hor´ario ´e uma transforma¸c˜ao linear, Rθ : R2 → R2, dada pela lei Rθ(x, y) = (x cosθ − y senθ, x senθ + y cosθ). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos 8. A reflex˜ao em rela¸c˜ao ao plano xy em R3 ´e uma transforma¸c˜ao linear, Rxy : R3 → R3, dada pela lei Rxy(x, y, z) = (x, y, −z). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos 9. Analogamente, as reflex˜oes em rela¸c˜ao ao plano xz, Rxz(x, y, z) = (x, −y, z), e em rela¸c˜ao ao plano yz, Ryz(x, y, z) = (−x, y, z), s˜ao transforma¸c˜oes lineares de R3 em R3. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos 10. A rota¸c˜ao em torno do eixo z de um ˆangulo θ, no sentido anti-hor´ario quando visto de cima, ´e uma transforma¸c˜ao linear, Rθz : R3 → R3, dada pela lei Rθz(x, y, z) = (x cosθ − y senθ, x senθ + y cosθ, z). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos 11. A proje¸c˜ao ortogonal sobre o plano xy ´e uma transforma¸c˜ao linear, Pxy : R3 → R3, dada pela lei Pxy(x, y, z) = (x, y, 0). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos 12. Da mesma forma, as proje¸c˜oes ortogonais sobre os planos xz e yz s˜ao transforma¸c˜oes lineares de R3 em R3 dadas, respectivamente, pelas leis Pxz(x, y, z) = (x, 0, z) e Pyz(x, y, z) = (0, y, z). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos 13. A rota¸c˜ao em torno do eixo z sob um ˆangulo θ no plano xy, no sentido anti-hor´ario quando visto de cima, ´e uma transforma¸c˜ao linear definida por Rθz(x, y, z) = (x cosθ − y senθ, x senθ + y cosθ, z). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Propriedades 1. Se T : Rn → Rm ´e uma transforma¸c˜ao linear, ent˜ao a imagem do vetor nulo 0 ∈ Rn ´e igual ao vetor nulo 0 ∈ Rm. Isto ´e, T(0) = 0. Em outras palavras, uma transforma¸c˜ao linear leva vetor nulo em vetor nulo. 2. Sejam T : Rn → Rm uma transforma¸c˜ao linear e β = {v1, v2, · · · , vn} uma base de Rn. Ent˜ao, para qualquer v ∈ Rn, existem escalares x1, x2, · · · , xn tais que v = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Propriedades Aplicando a transforma¸c˜ao nessa equa¸c˜ao e usando as duas condi¸c˜oes de linearidade, obtemos T(v) = x1 T(v1) + x2 T(v2) + · · · + xn T(vn). Isso significa que para definirmos T em um vetor qualquer de Rn, basta definir as imagens de T nos vetores da base β. Por outro lado, uma vez definidos T(v1), T(v2), · · · , T(vn), a transforma¸c˜ao linear T fica unicamente definida em todo o espa¸co Rn, ou seja, T(v) fica unicamente definida para todo v ∈ Rn. Isso d´a lugar ao teorema Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Teorema 1 Uma transforma¸c˜ao linear T : Rn → Rm ´e totalmente caracterizada pelos seus valores em uma base de Rn. Isto ´e, se β = {v1, v2, · · · , vn} ´e uma base de Rn e uma fun¸c˜ao T est´a definida para valores em β, T(vi) = wi, para i = 1, 2, · · · , n. Ent˜ao, existe uma ´unica transforma¸c˜ao linear definida em todo espa¸co Rn, T : Rn → Rm, tal que T(vi) = wi para i = 1, 2, · · · , n. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Propriedades 3. Sejam E1, E2, · · · , En os vetores canˆonicos de Rn escritos como matrizes coluna, E1 =   1 0 0 ... 0   , E2 =   0 1 0 ... 0   , · · · , En =   0 0 ... 0 1   . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Propriedades Seja T : Rn → Rm uma transforma¸c˜ao linear e suponha que T(E1) =   a11 a21 ... am1   , T(E2) =   a12 a22 ... am2   , · · · , T(En) =   a1n a2n ... amn   . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Propriedades Se X = (x1, x2, · · · , xn) ´e um vetor qualquer de Rn, ent˜ao X = x1 E1 + x2 E2 + · · · + xn En, ou seja, como matrizes coluna   x1 x2 x3 ... xn   = x1   1 0 0 ... 0   + x2   0 1 0 ... 0   + · · · + xn   0 0 ... 0 1   . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Propriedades Aplicando a transforma¸c˜ao na equa¸c˜ao, obtemos T(X) = x1   a11 a21 ... am1   + x2   a12 a22 ... am2   + · · · + xn   a1n a2n ... amn   . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Propriedades Isto ´e, T(X) =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... · · · ... am1 am2 ... amn     x1 x2 ... xn   = A X. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Propriedades A matriz A ´e tal que as suas colunas s˜ao, respectivamente, T(E1), T(E2), · · · , T(En), ou seja, A = [T(E1) T(E2) · · · T(En)], onde os vetores E1, E2, · · · , En formam a base canˆonica de Rn. Com isso, fica provado o seguinte teorema Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Teorema 2 Seja T : Rn → Rm uma transforma¸c˜ao linear. Ent˜ao, T ´e dada por T(X) = A X, para todo X ∈ Rn, em que A = (aij)m×n = [T(E1) T(E2) · · · T(En)], com T(Ei), para i = 1, 2, · · · , n, escritos como matrizes colunas e E1 = (1, 0, · · · , 0), E2 = (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , En = (0, · · · , 0, 1). A matriz A ´e chamada matriz da transforma¸c˜ao T (em rela¸c˜ao `a base canˆonica). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplo 14 Determine a matriz da transforma¸c˜ao linear para cada exemplo acima. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Defini¸c˜ao Seja T : Rn → Rm uma transforma¸c˜ao linear. (a) O n´ucleo de T ´e definido pelo conjunto N(T) = {X ∈ Rn; T(X) = 0}. (b) A imagem de T ´e definida pelo conjunto I(T) = {Y ∈ Rm; Y = T(X), para algum X ∈ Rn}. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Teorema 3 Seja T : Rn → Rm uma transforma¸c˜ao linear. O n´ucleo, N(T), ´e um subespa¸co de Rn, enquanto que a imagem, I(T), ´e um subespa¸co de Rm. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Defini¸c˜ao A dimens˜ao do n´ucleo de T ´e chamada de nulidade de T e a dimens˜ao da imagem de T ´e chamada posto de T. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplo 15 Determinar o n´ucleo, a imagem, a nulidade e o posto da transforma¸c˜ao linear abaixo. (a) T(x, y) = (x cosθ − y senθ, x senθ + y cosθ), a rota¸c˜ao no plano do exemplo 7 acima. (b) T(x, y, z) = (x, y, 0), a proje¸c˜ao ortogonal sobre o plano xy. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Teorema 4 Seja T : Rn → Rm uma transforma¸c˜ao linear. Se {v1, v2, · · · , vn} ´e uma base de Rn, ent˜ao a imagem de T ´e gerada por T(v1), T(v2), · · · , T(vn). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplo 16 Determinar o n´ucleo, a imagem, a nulidade e o posto de cada transforma¸c˜ao dos exemplos acima. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Defini¸c˜ao Dizemos que uma fun¸c˜ao f : A → B ´e sobrejetiva se, para todo b ∈ B existe a ∈ A tal que f (a) = b, ou seja, se a imagem de f ´e igual ao contradom´ınio B. No caso em que f ´e uma transforma¸c˜ao linear, temos o seguinte resultado. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Teorema 5 Sejam T : Rn → Rm uma transforma¸c˜ao linear e {v1, v2, · · · , vn} uma base de Rn. Ent˜ao, T ´e sobrejetiva se, e somente se, T(v1), T(v2), · · · , T(vn) geram Rm. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplo 17 Toda transforma¸c˜ao linear n˜ao nula, f : Rn → R, ´e sobrejetiva, porque {0} e R s˜ao os ´unicos subespa¸cos do espa¸co vetorial R. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplo 18 As reflex˜oes em rela¸c˜ao a uma reta que passa pela origem e a rota¸c˜ao s˜ao sobrejetivas enquanto as proje¸c˜oes ortogonais sobre uma reta que passa pela origem n˜ao s˜ao sobrejetivas. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Defini¸c˜ao Dizemos que uma fun¸c˜ao f : A → B ´e injetiva se f (x) = f (y) implica x = y, ou seja, se quaisquer dois elementos diferentes do dom´ınio possuem imagens diferentes. Dizemos tamb´em que f ´e uma fun¸c˜ao um-a-um (1 − 1). Para um transforma¸c˜ao linear vale o resultado a seguir. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Teorema 6 Seja T : Rn → Rm uma transforma¸c˜ao linear. Ent˜ao, T ´e injetiva se, e somente se, N(T) = {0}. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplo 19 A reflex˜ao em rela¸c˜ao a uma reta que passa pela origem e a rota¸c˜ao s˜ao injetivas enquanto a proje¸c˜ao ortogonal sobre uma reta que passa pela origem n˜ao ´e injetiva. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Teorema 7 (Do N´ucleo e da Imagem) Seja T : Rn → Rm uma transforma¸c˜ao linear. Ent˜ao, a soma da dimens˜ao do n´ucleo de T com a dimens˜ao da imagem de T ´e igual a dimens˜ao de Rn, ou seja, posto de T + nulidade de T = n. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Teorema 7 (Do N´ucleo e da Imagem) Seja T : Rn → Rn uma transforma¸c˜ao linear. Ent˜ao, T ´e sobrejetiva se, e somente se, T ´e injetiva. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Defini¸c˜ao Se uma transforma¸c˜ao linear T : Rn → Rm ´e injetiva e sobrejetiva, ent˜ao T ´e chamada isomorfismo. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Teorema 8 Seja T : Rn → Rn uma transforma¸c˜ao linear. Ent˜ao, T´e isomorfismo ⇐⇒ N(T) = {0} ⇐⇒ Im(T) = Rn ou, equivalentemente, T´e isomorfismo ⇐⇒ Nulidade de T = 0 ⇐⇒ posto de T = n. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio 1 Seja Pxy a transforma¸c˜ao de R3 em R3, definida por Pxy(x, y, z) = (x, y, 0). Se a imagem de uma reta r, por Pxy, ´e um ponto, ent˜ao quais s˜ao as equa¸c˜oes param´etricas da reta r? Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio 2 Considere a base {v1 = (1, 1), v2 = (1, 0)} de R2 e seja T : R2 → R2 a transforma¸c˜ao linear tal que T(v1) = (1, −2) e T(v2) = (−4, 1). Encontre uma f´ormula para T(x, y) e use-a para calcular T(5, −3). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio 3 Considere a base {v1 = (−2, 1), v2 = (1, 3)} de R2 e seja T : R2 → R3 a transforma¸c˜ao linear tal que T(v1) = (−1, 2, 0) e T(v2) = (0, −3, 5). Encontre uma f´ormula para T(x, y) e use-a para calcular T(2, −3). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio 4 Considere a base {v1 = (1, 2, 1), v2 = (2, 9, 0), v3 = (3, 3, 4)} de R3 e seja T : R3 → R2 a transforma¸c˜ao linear tal que T(v1) = (1, 0), T(v2) = (−1, 1) e T(v3) = (0, 1). Encontre uma f´ormula para T(x, y, z) e use-a para calcular T(7, 13, 7). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio 5 Sejam v1, v2 e v3 vetores de R3 e seja T : R3 → R3 a transforma¸c˜ao linear tal que T(v1) = (1, −1, 2), T(v2) = (0, 3, 2) e T(v3) = (−3, 1, 2). Encontre T(2 v1 − 3 v2 + 4 v3). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio 6 Seja T : R3 → R3 uma transforma¸c˜ao linear dada por T(x, y, z) = (z, x − y, −z). (a) Encontre uma base para o n´ucleo de T. (b) Encontre uma base para a imagem de T. (c) Descreva geometricamente o n´ucleo e a imagem de T. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio 7 Seja T : R3 → R3 uma transforma¸c˜ao linear dada por T(x, y, z) = (z, x − y, −z). (a) Encontre uma base para o n´ucleo de T. (b) Encontre uma base para a imagem de T. (c) Descreva geometricamente o n´ucleo e a imagem de T. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio 8 Seja T : Rn → R5 uma transforma¸c˜ao linear. (a) Se T ´e sobrejetiva e nulidade de T = 2, qual o valor de n? (b) Se T ´e sobrejetiva e injetiva, qual o valor de n? Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio 9 Dˆe exemplos de transforma¸c˜oes lineares T : R3 → R3 tais que (a) N(T) = {(x, y, z) ∈ R3; z = −x}, (b) Im(T) = {(x, y, z) ∈ R3; x = y}. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio 10 Dˆe um exemplo de uma transforma¸c˜ao linear T : R2 → R2 tal que N(T) = Im(T). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio 11 Seja T : R3 → R uma transforma¸c˜ao linear. (a) Mostre que existem escalares a, b, c tais que T(x, y, z) = a x + b y + c z. (b) Descreva geometricamente todas as possibilidades para o n´ucleo de T. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio 12 (a) Seja T : Rn → Rm uma transforma¸c˜ao linear. Mostre que T ´e injetiva se, e somente se, a imagem de todo conjunto de vetores linearmente independente ´e um conjunto de vetores linearmente independente. (b) Seja T : Rn → Rn uma transforma¸c˜ao linear. Mostre que T ´e injetiva se, e somente se, a imagem por T de uma base de Rn ´e uma base de Rn. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Relembre Que Se β = {v1, v2, · · · , vn} e β′ = {w1, w2, · · · , wn} s˜ao bases de Rn, e u ´e um vetor qualquer de Rn, ent˜ao existem escalares ´unicos x1, x2, · · · , xn e y1, y2, · · · , yn tais que u = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn e u = y1 w1 + y2 w2 + · · · + yn wn. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Relembre Que Nesse caso, representamos o vetor u pelas suas coordenadas em rela¸c˜ao `as bases β e β′, respectivamente, por [u]β =   x1 x2 ... xn   e [u]β′ =   y1 y2 ... yn   . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Relembre Que A rela¸c˜ao entre as coordenadas [u]β e [u]β′ ´e dada pela equa¸c˜ao [u]β = [I]β′ β [u]β′, onde [I]β′ β ´e a matriz de mudan¸ca da base β′ para a base β. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Matriz De Uma Transforma¸c˜ao Linear Seja T : Rn → Rm uma transforma¸c˜ao linear. Sejam β = {v1, v2, · · · , vn} uma base de Rn e γ = {w1, w2, · · · , wm} uma base de Rm. Suponha que para v ∈ Rn, temos [v]β =   x1 x2 ... xn   , Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Matriz De Uma Transforma¸c˜ao Linear e T(v1), T(v2), · · · , T(vn) em Rm, temos [T(v1)]γ =   a11 a21 ... am1   , [T(v2)]γ =   a12 a22 ... am2   , · · · , [T(vn)]γ =   a1n a2n ... amn   . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Matriz De Uma Transforma¸c˜ao Linear Pela linearidade de T, temos T(v) = T(x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn) = x1 T(v1) + x2 T(v2) + · · · + xn T(vn) = x1(a11w1 + a21w2 + · · · + am1wm) + x2(a12w1 + a22w2+ · · · + am2wm) + xn(a1nw1 + a2nw2 + · · · + amnwm) = (x1a11 + x2a12 + · · · + xna1n)w1 + (x1a21 + x2a22 + · · · + xna2n)w2 + (x1am1 + x2am2 + · · · + xnamn)wm Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Matriz De Uma Transforma¸c˜ao Linear Ent˜ao, T(v) = (x1a11 + x2a12 + · · · + xna1n)w1 + (x1a21 + x2a22 + · · · + xna2n)w2 + (x1am1 + x2am2 + · · · + xnamn)wm, implica que [T(v)]γ =   x1a11 + x2a12 + · · · + xna1n x1a21 + x2a22 + · · · + xna2n ... x1am1 + x2am2 + · · · + xnamn   = A Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Matriz De Uma Transforma¸c˜ao Linear [T(v)]γ =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... am1 am2 · · · amn     x1 x2 ... xn   = A [v]β, Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica onde A= [T(1)], [T (v2) Lee [T (vn) ]y |: Esta matriz é chamada de matriz da transformacao linear em relacao as bases 2 e 7 e é denotada por (THs, Ou seja, (TH =| (Tih (Toe) [Thy | Isso prova o teorema a seguir. Seja T : R” > R™ uma transformacao linear. Sejam GB = {v1, V2,--* , Vn} uma base de R” e y = {w4, Wo,--: , Wm} uma base de R™. Entado, a matriz m x n (TH =| (Tih (Telly [Thy | é tal que [T(v)ly = 1715 Wve para todo vetor v € R”. Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Obs Sejam I : Rn → Rn a transforma¸c˜ao linear identidade, β e β′ bases de Rn. Ent˜ao, a matriz da transforma¸c˜ao linear identidade em rela¸c˜ao `as bases β e β′ ´e exatamente a matriz de mudan¸ca da base β para a base β′, [I]β β′. Se β ´e uma base de Rn e T : Rn → Rn uma transforma¸c˜ao linear, denotaremos a matriz [T]β β simplesmente por [T]β. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Defini¸c˜ao Sejam T : Rn → Rp e S : Rp → Rm transforma¸c˜oes lineares. A composi¸c˜ao de S com T, denotada por ST ´e a fun¸c˜ao de Rn em Rm definida por (S ◦ T)(X) = S(T(X)), para todo X ∈ Rn. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Teorema 10 Se T : Rn → Rp e S : Rp → Rm s˜ao transforma¸c˜oes lineares, ent˜ao a composi¸c˜ao S ◦ T : Rn → Rm ´e uma transforma¸c˜ao linear. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplos (Exerc´ıcios) (a) Sejam T(x, y) = (y, x, x − y), β = {(1, 0), (0, 1)} e α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Encontre [T]β α. (b) Seja S(x, y, z) = (z, x − y, −z), α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e γ = {(1, 1, 0), (−1, 1, 0), (0, 0, 1)}. Encontre [S]α γ. (c) Determine S ◦ T : R2 → R3 e encontre [S ◦ T]β γ. (d) Verifique que [S ◦ T]β γ = [S]α γ [T]β α. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares O item (d) acima ´e um caso particular do seguinte teorema. Teorema 11 Sejam T : Rn → Rp e S : Rp → Rm transforma¸c˜oes lineares. Sejam β base de Rn, α base de Rp e γ base de Rm. Ent˜ao, [S ◦ T]β γ = [S]α γ [T]β α. Isto ´e, a matriz da composi¸c˜ao de duas transforma¸c˜oes lineares ´e o produto das matrizes das transforma¸c˜oes lineares. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Defini¸c˜ao Dizemos que uma transforma¸c˜ao linear T : Rn → Rn ´e invers´ıvel se existe uma fun¸c˜ao T −1 : Rn → Rn tal que as composi¸c˜oes T −1 ◦ T e T ◦ T −1 s˜ao iguais a transforma¸c˜ao identidade, ou seja, T −1 ◦ T = I e T ◦ T −1 = I. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio Mostre que se T : Rn → Rn ´e uma transforma¸c˜ao linear invers´ıvel, ent˜ao a inversa T −1 tamb´em ´e uma transforma¸c˜ao linear. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Sejam 8 e B’ bases de R". Uma transformacao linear T : R” > R” é inversivel se, e somente se, [71% é uma matriz inversivel. Além disso, se [715 é inversivel, entao —170' p\* (TB = (175) - Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplo Seja T : R3 → R3 uma transforma¸c˜ao linear definida por T(x, y, z) = (x + y + 2z, y + 2z, z). Mostre que T ´e invers´ıvel e determine a sua inversa. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Sejam 8 e 8’ bases de R". Se T : R” > R” é uma transformacdo linear, entao [To = (5, (71s 15 - , =i Isto é, sendo [5 = ((13,) , entdo [Tle =P[T]sP°, — pe" onde P = [I]; . Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Obs Sejam A e B duas matrizes n × n. Dizemos que B ´e semelhante `a matriz A, se existe uma matriz invers´ıvel P, n × n, tal que B = P A P−1. Observe que se B ´e semelhante `a A, ent˜ao A tamb´em ´e semelhante `a B. Desse modo, basta dizer que A e B s˜ao semelhantes. As matrizes [T]β e [T]β′ s˜ao semelhantes, conforme o teorema. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exemplo Sejam β = {(1, 0), (0, 1), a base canˆonica, e β′ = {(1, 1), (−1, 1)} bases de R2. Seja T : R2 → R2 a transforma¸c˜ao linear definida por T(x, y) = (y, x). Determine as matrizes [T]β, [T]β′, [I]β β′ e [I]β′ β , e verifique o teorema com elas. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio Seja T : R2 → R2 a transforma¸c˜ao linear definida por T(x, y) = (2x + y, x − 3y). Seja β = {(1, 1), (1, 2)} uma base de R2. Determine [T]β. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio Seja T : R3 → R3 a transforma¸c˜ao linear definida por T(X) = A X, para todo X ∈ R3, onde A =   3 −1 −2 0 0 −2 0 0 −1   Seja β = {v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 2, 0), v3 = (0, −2, 1)} uma base de R3. (a) Determine [T]β. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio (b) Determine [T]β usando as matrizes [I]β α e [T]α, onde α = {E1, E2, E3} ´e a base canˆonica de R3. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio Para cada uma das transforma¸c˜oes lineares T verifique se T ´e invers´ıvel e calcule a inversa, T −1, se ela existir. (a) T : R3 → R3 definida por T(x, y, z) = (x + 2y + z, y + 2z, z). (b) T : R3 → R3 definida por T(x, y, z) = (z, x − y, −z). (c) T : R3 → R3 definida por T(x, y, z)=(x + y + z, −x + z, x + z). (d) T : R2 → R2 definida por T(x, y) = (x + y, x − y). (e) T : R2 → R2 definida por T(x, y) = (x − y, −x + y). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Exerc´ıcio (f) T : R2 → R2 definida por T(x, y) = (x cosθ − y senθ, x senθ + y cosθ), onde θ ´e uma contante. (g) T : R3 → R3 definida por T(x, y, z) = (x cosθ − y senθ, x senθ + y cosθ, z), onde θ ´e uma contante. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Transforma¸c˜oes Lineares Transforma¸c˜oes Lineares Temos uma generaliza¸c˜ao do teorema 13 a seguir. Teorema 14 Seja T : Rn → Rm uma transforma¸c˜ao linear. Sejam β e β′ bases de Rn e γ e γ′ bases de Rm. Ent˜ao [T]β′ γ′ = Q [T]β γ P, onde P = [I]β′ β e Q = [I]γ γ′ e . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica