Exercícios - Limites e Derivadas - 2023-2

Calcule os limites a) \lim_{x \to -1} (x^4 - 3x)(x^2 + 5x + 3) b) \lim_{x \to 3} \frac{1}{x} = \frac{1}{x - 3} Calcule os limites, se existir a) \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x - 4} b) \lim_{x \to \infty} \frac{2 - 3x^2}{5x^2 + 4x} (0,2 pontos) Encontre as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f(x) = \frac{x^2 - 3x - 10}{x^2 + x - 2} (0,5 pontos) Verifique se a função é contínua em x = 3: \( f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \sqrt{7-x} & \text{se} \quad x \le 3 \\ \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} & \text{se} \quad x > 3 \end{array}\right. \) (0,5 pontos) Explique porque a seguinte função é descontínua em x = 1: \( f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{x^2 - x}{x^2 - 1} & \text{se} \quad x \neq 1 \\ 1 & \text{se} \quad x = 1 \end{array}\right. \) Derive as funções a) f(x) = 3^{\ln x} b) f(x) = \frac{x \sin x}{1 + \tan x} (1 ponto) Derive a função f(x) = x^{1/x}. (1 ponto) Considere a função f(x) = 2(x-1)^3 - (x-1)^4 + 2. a) Encontre os pontos críticos de f. b) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f. c) Encontre os intervalos de concavidade de f. d) Qual é o maior valor que a função f assume no intervalo [-1, 2]? (1 ponto) Calcule o limite \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x} (1 ponto) Calcule a integral definida. \int_{e}^{e^4} \frac{1}{x \sqrt{\ln x}} \, dx (1 ponto) Calcule a derivada da função F(x) = x \int_{1}^{\sin x} \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \, dt Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e calcule a área desta região y = -x^2 + 3x, \quad y = x. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada torno do eixo x.