Questão - Equações Diferenciais a 2022 1

Considere a equação diferencial t \frac{d^2 y}{dt^2} + \left(-1 + 16t^2\right) \frac{dy}{dt} + 320t^3y = 0, \quad \text{para } t > 0. Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma \(y(t) = e^{rt^2}\) para r fixo. Seja y(t) uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t \to +\infty? Todos os cálculos devem ser apresentados. Escolha uma opção: a. \lim_{t \to +\infty} e^{4t^2}y(t) = \frac{y(1)}{32} + \frac{3y(1)}{4}. b. \lim_{t \to +\infty} e^{t^2}y(t) \text{ não está definido e } \lim_{t \to +\infty} e^{t^4}y(t) = 0. c. \lim_{t \to +\infty} e^{3t^2}y(t) \text{ não está definido e } \lim_{t \to +\infty} e^{4t^2}y(t) = 0. d. \lim_{t \to +\infty} t^3e^{-4t^2}y(t) = \frac{y(1)}{32} + 4y(1). e. \lim_{t \to +\infty} t^3e^{-4t^2}y(t) = \frac{y(1)}{2} + 4y(1). f. \lim_{t \to +\infty} e^{-3t^2}y(t) = \frac{y(1)}{32} + \frac{3y(1)}{4}.