Lista - Equações de Maxwell e Magnetismo - Fundamentos de Eletromagnetismo - 2023-1

Lista de exercícios sobre Equações de Maxwell e Magnetismo Realizar a solução da lista em uma folha separada e escrita a “mão”. A lista deve ser escaneada em formato PDF e enviada no link do Moodle até dia 26/06 às 23:59. A lista de exercício é individual. 1) Um capacitor é formado por placas planas paralelas circulares com raio 5,00 cm. A carga no capacitor cresce a uma taxa de 10,0 C/s. Encontre a expressão literal para variação do campo magnético em função do raio e responda: a) Quanto vale o campo magnético em um ponto entre as placas, distante 2,00 cm do eixo dos discos? b) E em um ponto ainda entre as placas, distante 12,0 cm do eixo dos discos? 2) Marque a afirmativa que completa a frase nas questões abaixo: a) Nos materiais paramagnéticos A) O campo magnético induzido pode exceder o valor do campo aplicado dependendo da constante dielétrica do material. B) Existe um momento dipolar nos ́atomos do material mesmo na ausˆencia de um campo externo. C) A magnetização depende da temperatura conforme a lei de Curie. D) A e B e são corretos. E) B e C são corretos. b) Os materiais diamagnéticos A) Possuem átomos com momento dipolar mesmo na ausência de um campo externo. B) Podem sofrer uma transição de fase e virar ferromagnéticos C) Desenvolvem um campo magnético interno na mesma direção que o campo externo, portanto o campo resultante tem sempre maior amplitude. D) Reagem a um campo externo criando momentos de dipolo nos seus átomos em sentido oposto ao campo externo. E) nenhuma das anteriores. c) A radiação eletromagnética: A) São ondas de natureza mecânica que se propagam à velocidade da luz. B) É a variação de campos elétrico e magnético que oscilam com qualquer fase entre eles. C)É formada exclusivamente por ondas planas polarizadas. D) Consiste de ondas eletromagnéticas onde a oscilação dos campos elétrico e magnético estão sincronizados. E) São ondas com o mesmo comprimento de onda da luz visível. 3) Escreva todas as equações de Maxwell e descreva seu significado físico e ilustre diferentes aplicações. 4) A Figura 1 abaixo mostra uma espira de área A que está girando em torno do eixo y com velocidade angular 𝜔. Sabendo que existe um campo magnético uniforme de módulo B na direção x, e que a resistência da espira é R, calcule qual é a corrente induzida na espira. Figura 1. 5) Nesta questão você deverá derivar a equação da onda para luz a partir das Equações de Maxwell e achar as soluções desta equação. Assuma que o campo elétrico seja função de x e t ao longo da direção y e que o campo magnético seja função de x e t ao longo da direção z. a) Escreva as equações de Maxwell em um meio livre de correntes e cargas. b) Dado o campo elétrico que foi assumido na questão, utilize a lei de Faraday, e determine como que uma mudança espacial no campo elétrico gera uma mudança temporal no campo magnético. Ou seja, que: !" !# = − !$ !% (1) c) Repita o mesmo raciocínio para o campo magnético, ou seja, que !$ !# = −𝜇&𝜀& !" !% (2) d) Faça uma derivada parcial em função de x dos dois lados da equação (1), e utilizando a equação (2) chegue na equação de onda para o campo elétrico: !!" !#! = 𝜇&𝜀& !!" !%! (3) e) Repita o mesmo procedimento para encontrar a equação de onda para o campo magnético: !!$ !#! = 𝜇&𝜀& !!$ !%! (4) f) Agora devemos encontrar as soluções para as equações diferenciais (3) e (4). Mostre que as seguintes funções do campo elétrico e magnético são soluções destas equações diferenciais: 𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐸&𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 𝐵(𝑥, 𝑡) = 𝐵&𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) g) Sabendo que o vetor de onda da luz é 𝑘 = '( ) , onde 𝜆 é comprimento de onda da luz, e que a frequência angular da luz é 𝜔 = 2𝜋𝑓, onde f é frequência da luz, determine a velocidade da luz c em termos de 𝜇& e 𝜀&. 1) Na região entre as placas, só temos corrente de deslocamento. Para r ≤ R1, temos o campo dentro de um cilindro: B = μ0 Id r / 2π R1² Para r ≥ R1, temos o campo dado pelo campo de um fio: B = μ0 Id / 2π r a) Como Id é i = 10 C/s, o campo é (estamos em r ≤ R1): B = 4π ⋅ 10⁻⁷ ⋅ 10 ⋅ 0,02 / 2π ⋅ 0,05² = 16 ⋅ 10⁻⁶ T b) Nesse caso, r > R1 e B = 4π ⋅ 10⁻⁷ ⋅ 10 / 2π ⋅ 0,12 = 16,7 ⋅ 10⁻⁶ T 2) a) Resposta: Letra E b) Resposta: Letra D (?) Resposta: Letra D 3) Lei de Gauss: ∮𝐸 ⋅ d𝐴 = qenc / ϵ0, diz que cargas elétricas são fonte de campo que divergem/convergem. A Lei de Gauss, em outras palavras, atesta a existência de cargas elétricas isoladas. Pode ser usada para cálculo de campo elétrico ou de fluxo elétrico em superfícies devido à distribuição de carga. Lei de Gauss do magnetismo: ∮𝐵 ⋅ d𝐴 = 0. Em contraste com a Lei anterior, a equação acima é um reflexo da inexistência de cargas magnéticas na natureza. Lei de Faraday: ∮𝐸 ⋅ d𝐿 = -d/dt (∮𝐵 ⋅ d𝐴). Uma variação do fluxo magnético numa superfície gera um campo elétrico que circula o contorno dessa superfície. Se esse contorno for um condutor, podemos ter uma fem induzida. Lei de Ampère-Maxwell: ∮𝐵 ⋅ d𝐿 = μ0 ienc + μ0 ϵ0 d/dt ∮𝐸 ⋅ d𝐴. Campo magnético é gerado por corrente de carga elétrica e também por variação temporal de campo elétrico. Usamos esse resultado para calcular o campo 𝐵 na questão 1. 4) Temos a fem induzida E = -d/dt (∮𝐵 ⋅ d𝐴) Mas, ∮𝐵 ⋅ d𝐴 = BA cosθ, com θ = ωt, assumindo que 𝐵 e 𝐴 estão paralelos em t=0. Temos E = -BA d/dt cosωt = ωBA senωt e a corrente é i = E/R = ωBA senωt/R 5) a) 𝐸 é mais adequado utilizarmos as equações de Maxwell na forma diferencial, para o que segue na questão: ∇ ⋅ 𝐸 = 0 ∇ ⋅ 𝐵 = 0 ∇ × 𝐸 = -∂𝐵/∂t ∇ × 𝐵 = μ0 ϵ0 ∂𝐸/∂t b) De \( \vec{E} = E(x,t) \hat{j} \), então, pela lei de Faraday: \( \vec{ abla} \times \vec{E} = \frac{\partial E}{\partial x} \hat{k} = - \frac{\partial B}{\partial t} \hat{k} \Rightarrow \frac{\partial E}{\partial x} = - \frac{\partial B}{\partial t} \) c) De \( \vec{B} = B(x,t) \hat{k} \), então pela Lei de Ampère: \( \vec{ abla} \times \vec{B} = - \frac{\partial B}{\partial x} \hat{\jmath} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} \hat{\jmath} \Rightarrow \frac{\partial B}{\partial x} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} \) d) Seguindo as instruções do enunciado: \( \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial E}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial B}{\partial t} \), Podemos inverter a ordem dos derivados em \( B \): \( \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = -\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial B}{\partial x} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 E}{\partial t^2} \) e) Seguindo as instruções do enunciado: \( \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial B}{\partial x} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial E}{\partial t} \). Podemos inverter a ordem dos derivados em \( E \): \( \frac{\partial^2 B}{\partial x^2} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial E}{\partial x} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 B}{\partial t^2} \) f) Deje \( \frac{\partial^2 A(x,t)}{\partial x^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 A(x,t)}{\partial t^2} \), e \( A(x,t) = A_0 \cos(kx - \omega t) \), logo \( \frac{\partial^2 A}{\partial x^2} = -k^2 A_0 \cos(kx - \omega t) \) e \( \frac{\partial^2 A}{\partial t^2} = -\omega^2 A_0 \cos(kx - \omega t) \). Substituindo: \( k^2 = \mu_0 \varepsilon_0 \omega^2 \). Isso diz que \( A(x,t) \) é solução da equação se \( \frac{k}{\omega} = \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} \). Portanto, \( E \) e \( B \) satisfazem a equação de onda se \( \frac{k}{\omega} = \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} \) g) Substituindo \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \) e \( \omega = \frac{2\pi}{T} \) na relação acima: \( \frac{1}{\lambda f} = \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} \). Mas, \( \lambda f \) é a velocidade, logo \( \frac{1}{v} = \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} \Rightarrow v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \) é a velocidade da luz