Lista 5 - Semana 9 - Equações Diferenciais C - 2022-2

Semana 9- Lista 5: Fazer os exerc´ıcios selecionados do livro Equa¸c˜oes diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 11. edition, (2020) LTC, Rio de Janeiro.Autor: W. E. Boyce and R. C. DiPrima 1. Se¸c˜ao 3.4: p.198 ´ 201 1-8, 9-11, 12, 18-22, 25-27, 31-34. 2. Se¸c˜ao 3.5: p.210 ´ 213 1-10, 11-15, 28-30. Observa¸c˜ao: • A indica¸c˜ao da p´agina ser´a especificada por exemplo “p´agina 25=p.25”. • Exerc´ıcios com (*) podem ser dif´ıceis por´em interessantes. • Os exerc´ıcios em destacados em vermelho merecem especial aten¸c˜ao. 5 Secao 3.4 Segue que —| 2 1/2 —| y=v(tjt =—ct +k," (35) 3 em que ce k sdo constantes arbitrdrias. A segunda parcela a direita do sinal de igualdade na Eq. (35) é um multiplo de y,, e pode ser retirada; porém, a primeira parcela nos da uma solucdo nova, y, (t)= t'”?. Vocé pode verificar que o wronskiano dey, ey, é ; 3-3/2 WD yl) = st = (0 parat > 0. (36) Em consequéncia, y, €y, formam um conjunto fundamental de solugdes para a Eq. (33) para t > 0. Problemas Em cada um dos Problemas 1 a 8, encontre a solucdo geral da equacdo diferencial dada. 1. y"—2y'+y=0 2. 9y"+6y'+y=0 3. 4y"—4y'—3y=0 4. y"—2y'+10y=0 5. y"—6y'+9y=0 6. 4y"+17y'+4y=0 7. l6y”+24y'+9y=0 8. 2y"+2y’'+y=0 Em cada um dos Problemas 9 a 11, resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o grafico da solucdo e descreva seu comportamento quando f cresce. 9, 9y"—12y'+4y=0, y(0)=2, y'(0)=-1 10. y"-6y'+9y=0, y(0)=0, y'(0)=2 ll. y'+4y'+4y=0, y(-D=2, y(-D=1 12. Considere a modificagao a seguir do problema de valor inicial no Exemplo 2: ft i, ¥ . f yy -¥ vA =0, y(O)=2, y(O)=6, Encontre a solugaéo em fungao de b e depois determine o valor critico de b que separa as solugdes que permanecem positivas para todo ¢ > 0 das que acabam ficando negativas. 13. Considere o problema de valor inicial 4y"+4y'+y=0, y(0)=1, y"(0)=2. a. Resolva o problema de valor inicial e faga 0 grafico da solucao. b. c. d. 14. 15. b. c. 16. 17. b. Determine as coordenadas (tM, yM) do ponto de máximo. Mude a segunda condição inicial para y′(0) = b > 0 e encontre a solução como função de b. Encontre as coordenadas (tM, yM) do ponto de máximo em função de b. Descreva a dependência em b de tM e de yM quando b aumenta. Considere a equação ay″ + by′ + cy = 0. Se as raízes da equação característica correspondente forem reais, mostre que uma solução da equação diferencial é identicamente nula ou pode assumir o valor zero no máximo uma vez. Os Problemas 15 a 17 indicam outras maneiras de encontrar uma segunda solução quando a equação característica tem raízes repetidas. a. Considere a equação y″ + 2ay′ + a2y = 0. Mostre que as raízes da equação característica são r1 = r2 = –α, de modo que uma solução da equação é e–at. Use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é em que c1 é uma constante. Seja y1(t) = e–at e use o resultado do item (b) para obter uma equação diferencial satisfeita por uma segunda solução y2(t). Resolvendo essa equação, mostre que y2(t) = te–at. Suponha que r1 e r2 são raízes de ar2 + br + c = 0 e que r1 ≠ r2; então, exp(r1t) e exp(r2t) são soluções da equação diferencial ay″ + by′ + cy = 0. Mostre que também é solução da equação para r2 ≠ r1. Depois, pense em r1 como fixo e use a regra de L’Hôpital para calcular o limite de φ(t; r1, r2) quando r2 → r1 obtendo, assim, a segunda solução no caso de raízes iguais. a. Se ar2 + br + c = 0 tem raízes iguais r1, mostre que Como a última expressão à direita na Eq. (37) é nula quando r = r1, segue que exp(r1t) é uma solução de L[y] = ay″ + by′ + cy = 0. Diferencie a Eq. (37) em relação a r e mude as ordens das derivadas em relação a r e a t, mostrando, assim, que Como a última expressão à direita na Eq. (38) é zero quando r = r1, conclua que t exp(r1t) também é solução de L[y] = 0. Em cada um dos Problemas 18 a 22, use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada. Seção 3.4 23. 24. 28. 29. b. 30. A equação diferencial aparece no estudo da turbulência em um fluxo uniforme ao passar por um cilindro circular. Verifique que y1(x) = exp(–δx2/2) é uma solução e depois encontre a solução geral na forma de uma integral. O método do Problema 15 pode ser estendido para equações de segunda ordem com coeficientes variáveis. Se y1 for uma solução conhecida de y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 que não se anula, mostre que uma segunda solução y2 irá satisfazer (y2/y1)′ = W[y1, y2]/y1 2, em que W[y1, y2] é o wronskiano de y1 e y2. Depois use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para determinar y2. Em cada um dos Problemas 25 a 27, use o método do Problema 24 para encontrar uma segunda solução independente da equação dada. Comportamento de Soluções quando t → ∞. Os Problemas 28 a 30 tratam do comportamento de soluções quando t → ∞. Se a, b e c forem constantes positivas, mostre que todas as soluções de ay′′ + by′ + cy = 0 tendem a zero quando t → ∞. a. Se a > 0 e c > 0, mas b = 0, mostre que o resultado do Problema 28 não continua válido, mas que todas as soluções permanecem limitadas quando t → ∞. Se a > 0 e b > 0, mas c = 0, mostre que o resultado do Problema 28 não continua válido, mas que todas as soluções tendem a uma constante, que depende da condição inicial, quando t → ∞. Determine essa constante para as condições iniciais y(0)= y0, y′(0) = y′0. Mostre que y = sen t é uma solução de para qualquer valor da constante k. Se 0 < k < 2, mostre que 1 – k cos t sent > 0 e k sen2t ≥ 0. Observe então que, embora os coeficientes dessa equação diferencial com coeficientes variáveis sejam não negativos (e o coeficiente de y′ se anule apenas nos pontos t = 0, π, 2π, …), ela tem uma solução que não tende a zero quando t → ∞. Compare essa situação com o resultado do Problema 28. Observamos, assim, uma situação que não é incomum na teoria de equações diferenciais: equações aparentemente bastante semelhantes podem ter propriedades muito diferentes. Seção 3.4 3.5 Equações de Euler. Em cada um dos Problemas 31 a 34, use a substituição introduzida no Problema 25 na Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada. Equações Não Homogêneas; Método dos Coeficientes Indeterminados Vamos considerar agora a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea em que p, q e g são funções (contínuas) dadas em um intervalo aberto I. A equação na qual g(t) = 0 e p e q são as mesmas que na Eq. (1), é chamada de equação diferencial homogênea associada à Eq. (1). Os dois resultados a seguir descrevem a estrutura de soluções da equação não homogênea (1) e fornecem uma base para a construção de sua solução geral. Teorema 3.5.1 Se Y1 e Y2 forem duas soluções da equação não homogênea (1), então sua diferença Y1 – Y2 é uma solução da equação homogênea associada (2). Se, além disso, y1 e y2 formarem um conjunto fundamental de soluções para a Eq. (2), então em que c1 e c2 são constantes determinadas. Para provar esse resultado, note que Y1 e Y2 satisfazem as equações Subtraindo a segunda da primeira dessas equações, temos No entanto, de modo que a Eq. (5) fica Seção 3.4 Substituindo y, y′ e y″ na Eq. (31) por Y, Y′ e Y″, cancelando o fator eαt e juntando os termos semelhantes, obtemos A determinação de uma solução particular da Eq. (32) é precisamente o mesmo problema, exceto pelos nomes das constantes, que resolver a Eq. (28). Portanto, se aα2 + bα + c não for zero, suporemos que u(t) = A0tn + … + An; logo, uma solução particular da Eq. (31) terá a forma Por outro lado, se aα2 + bα + c for zero, mas 2aα + b não for, precisaremos escolher u(t) da forma t(A0tn + ... + An). A forma correspondente para Y(t) é t vezes a expressão à direita do sinal de igualdade na Eq. (33). Note que, se aα2 + bα + c for zero, então eαt será uma solução da equação homogênea. Se ambos aα2 + bα + c e 2aα + b forem nulos (e isso implica que tanto eαt quanto teat serão soluções da equação homogênea), então a forma correta para u(t) será t2(A0tn + …+ An). Portanto, Y(t) será t2 vezes a expressão à direita do sinal de igualdade na Eq. (33). Caso 3: g(t) =eαt Pn (t) cos(βt) ou eαt Pn(t) sen(βt). Estes dois casos são semelhantes, logo, consideraremos apenas o último. Podemos reduzir este problema ao precedente notando que, em consequência da fórmula de Euler, sen(βt) = (eiβt – e–iβt)/(2i). Portanto, g(t) é da forma e devemos escolher ou, de modo equivalente, Em geral, prefere-se essa última forma, já que não envolve coeficientes complexos. Se α ± iβ satisfizerem a equação característica associada à equação homogênea, teremos, é claro, que multiplicar cada um dos polinômios por t para aumentar o grau de um. Se a função não homogênea envolver ambos cos(βt) e sen(βt), será conveniente, em geral, tratar esses termos em conjunto, já que cada um, individualmente, pode gerar a mesma forma de solução particular. Por exemplo, se g(t) = t sen t + 2 cos t, a forma de Y(t) será desde que sen t e cos t não sejam soluções da equação homogênea. Problemas Em cada um dos Problemas 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Seção 3.5 a. 22. Em cada um dos Problemas 11 a 15, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Em cada um dos Problemas 16 a 21: Determine uma forma adequada para Y(t) para usar o método dos coeficientes indeterminados. b. Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução particular da equação dada. Considere a equação do Exemplo 5. Lembre-se de que y1(t) = e–t e y2(t) = e4t são soluções da equação homogênea associada. Adaptando o método de redução de ordem (Seção 3.4), busque uma solução da equação não homogênea da forma Y(t) = Seção 3.5 a. b. c. 23. 25. 26. 27. v(t)y1(t) = v(t)e–t, em que v(t) é uma função a ser determinada. Substitua y, y′ e y″ na Eq. (34) por Y(t), Y′(t) e Y″ (t) e mostre que v(t) tem que satisfazer v″ – 5v′ = 2. Seja w(t) = v′(t) e mostre que w(t) tem que satisfazer w′ – 5w = 2. Resolva esta equação para w(t). Integre w(t) para encontrar v(t) e depois mostre que A primeira parcela na expressão à direita do sinal de igualdade é a solução particular desejada da equação não homogênea. Note que é um produto de t e de e–t. Determine a solução geral de em que λ > 0 e λ ≠ mπ para m = 1,…, N. 24. Em muitos problemas físicos, o termo não homogêneo pode ser especificado por fórmulas diferentes em períodos de tempo diferentes. Como exemplo, determine a solução y = φ(t) de que satisfaz as condições iniciais y(0) = 0 e y’(0) = 1. Suponha, também, que y e y′ são contínuas em t = π. Faça o gráfico do termo não homogêneo e da solução em função do tempo. Sugestão: primeiro, resolva o problema de valor inicial para t ≤ π; depois resolva para t > π, determinando as constantes nesta última solução a partir das condições de continuidade em t = π. Comportamento de Soluções quando t → ∞. Nos Problemas 25 e 26, continuamos a discussão iniciada nos Problemas 28 a 30 na Seção 3.4. Considere a equação diferencial em que a, b e c são constantes positivas. Se Y1(t) e Y2(t) forem soluções da Eq. (35), mostre que Y1(t) – Y2(t)→ 0 quando t → ∞. Este resultado será verdadeiro se b = 0? Se g(t) = d, uma constante, mostre que toda solução da Eq. (35) tende a d/c quando t → ∞. O que acontece se c = 0? E se b também for nulo? Indicamos, neste problema, um procedimento8 diferente para resolver a equação diferencial Seção 3.5 Secao 3.5 em que b e c sao constantes, e D denota diferenciagéo em relacgéo a t. Sejam r; e rz os zeros do polinédmio caracteristico da equagcéo homogénea associada. Essas raizes podem ser reais e distintas, reais e iguais, ou numeros complexos conjugados. a. Verifique que a Eq. (36) pode ser escrita na forma fatorada (D—1\(D—-n)y= git), em quer; +r, =—ber,rz =c. b. Sejau=(D-—ry,)y. Mostre que a solugado da Eq. (36) pode ser encontrada resolvendo-se as duas equag6es de primeira ordem a seguir: (D— 1 )u= g(t), (D-nH)y=uit). Em cada um dos Problemas 28 a 30, use o método do Problema 27 para resolver a equacdo diferencial dada. sai 2 . 28. y"—3y'—4y=3e" (veja o Exemplo 1) 2 i rt - . - 29. y"+2y'+y=2e (veja o Problema 6) i F . = er. 30. y' +2y' =3+4sen(2t) (veja o Problema 5) Variacgdo dos Parametros Vamos descrever, nesta secao, um segundo método para encontrar uma solucdo particular de uma equacgao nao homogénea. Este método, conhecido como varia¢ao dos parametros ou método de Lagrange, complementa muito bem o método dos coeficientes indeterminados. A principal vantagem do método de variacgao dos parametros esta no fato de ser um método geral; pelo menos em principio, pode ser aplicado a qualquer equacao e nao precisa de hipoteses detalhadas sobre a forma da solugao. De fato, usaremos este método mais adiante nesta sec4o para deduzir uma formula para uma solugéo particular de uma equagao diferencial linear nao homogénea de segunda ordem arbitraria. Por outro lado, o método de variagéo dos parametros sempre precisa do calculo de determinadas integrais envolvendo o termo nao homogéneo da equacao diferencial, 0 que pode apresentar dificuldades. Antes de olhar 0 método no caso geral, vamos ilustrar seu uso em um exemplo. EXEMPLO 1 Encontre uma solucdo particular de ff 2 y +4y=8tant —7/2<te<r/2. (1) Solugao: Observe que este problema ndo é um bom candidato para 0 método de coeficientes indeterminados como descrito na Secdo 3.5, jé que o termo ndo homogéneo, g(t) = 8 tan t, envolve um quociente (em vez de uma soma ou produto) de sen fe cos f. Portanto, o método dos coeficientes a determinar nao pode ser aplicado; precisamos de uma abordagem diferente. Note, também, que a equacdo homogénea associada a Eq. (1) é i y +4y=0, (2) e que a solucdo geral da Eq. (2) é Semana 10,11- Lista 6: Fazer os exerc´ıcios selecionados do livro Equa¸c˜oes diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 11. edition, (2020) LTC, Rio de Janeiro.Autor: W. E. Boyce and R. C. DiPrima 1. Se¸c˜ao 6.1: p.359 ´ 362 1-22, 23,24 2. Se¸c˜ao 6.2: p.370 ´ 374 1-19, 20˚˚, 21˚˚22-27,28˚˚,29. Observa¸c˜ao: • A indica¸c˜ao da p´agina ser´a especificada por exemplo “p´agina 25=p.25”. • Exerc´ıcios com (*) podem ser dif´ıceis por´em interessantes. • Os exerc´ıcios em destacados em vermelho merecem especial aten¸c˜ao. 6 Entdo, dos Exemplos 5 e 7, obtemos . 5 12 Lif (t)}}=—--——_, s>0. st2 <s°+16 Problemas Em cada um dos Problemas 1 a 3, esboce o grafico da funcdo dada. Em cada caso, determine se fé continua, seccionalmente continua, ou nenhuma das duas no intervalo0 <t<3. t?, 0<t<1 l. f(f)= j24+t, l<t=2 6-t, 2<t<3 Secao 6.1 2 , O=<f=1 2 f(=i(t-", 1<t<2 1, 2<ft<3 t?, O<t<1 3. flt)=4h l<f=2 3—f, 2<f=3 4. Encontre a transformada de Laplace de cada uma das fungées a seguir: a. f(j=t b. fQ=e c. f()=f", em quen é um inteiro positivo. 5. Encontre a transformada de Laplace de f (#) = cos(at), em que a é uma constante real. Lembre-se de que lia _ lia _ cosh(bt) = =e" see senh(bt)=—(e —e), Em cada um dos Problemas 6 e 7, use a linearidade da transformada de Laplace para encontrar a transformada de Laplace da funcdo dada; a e b sao constantes reais. 6. f(f)=cosh(bt) 7. f(t) =sen(bt) Lembre-se de que 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 22. Em cada um dos Problemas 8 a 11, use a linearidade da transformada de Laplace para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais. Suponha que as fórmulas de integração elementares podem ser estendidas para esse caso. f(t) = sen(bt) f(t) = cos(bt) f(t) = eat sen(bt) f(t) = eat cos(bt) Em cada um dos Problemas 12 a 15, use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; n é um inteiro positivo e a é uma constante real. f(t) = te(at) f(t) = t sen(at) f(t) = tn e (at) f(t) = t2 sen(at) Em cada um dos Problemas 16 a 18, encontre a transformada de Laplace da função dada. Em cada um dos Problemas 19 a 21, determine se a integral dada converge ou diverge. Suponha que f e f ′ são contínuas em t ≥ 0 e de ordem exponencial quando t → ∞. Integrando por partes, mostre que, se F(s)= ℒ{f (t)}, então = 0. O resultado continua válido sob condições menos restritivas, como as do Teorema 6.1.2. 23. a. b. c. d. 24. a. b. c. A Função Gama. A função gama, denotada por Γ(p), é definida pela integral A integral converge quando x → ∞ para todo p. Para p < 0, também é imprópria em x = 0, já que o integrando se torna ilimitado quando x → 0. No entanto, pode-se mostrar que a integral converge em x = 0 para p > –1. Mostre que, para p > 0, Mostre que Γ(1) = 1. Se p for um inteiro positivo n, mostre que Como Γ(p) também está definido quando p não é inteiro, esta função fornece uma extensão da função fatorial para valores não inteiros da variável independente. Note que também é consistente definir 0! = 1. Mostre que, para p > 0, Assim, Γ(p) pode ser determinado para todos os valores positivos de p se Γ(p) for conhecido em um único intervalo de comprimento um − por exemplo, em 0 < p ≤ 1. É possível mostrar que . Encontre . Considere a transformada de Laplace de tp, em que p > –1. Usando o Problema 23, mostre que Seja p um inteiro positivo n no item (a); mostre que Mostre que É possível mostrar que d. 6.2 portanto, Mostre que Solução de Problemas Valores Iniciais Nesta seção, vamos mostrar como a transformada de Laplace pode ser usada para resolver Problemas valor inicial para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. A utilidade da transformada de Laplace neste contexto reside no fato de que a transformada de f ′ está relacionada de maneira simples com a transformada de f. Esta relação está explicitada no teorema a seguir. Teorema 6.2.1 Suponha que f é contínua e que f ′ é seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0 ≤ t ≤ A. Além disso, considere que existem constantes K, a e M tais que |f (t)| ≤ Keat para t ≥ M. Então ℒ{f ′(t)} existe para s > α e, além disso, Para demonstrar esse teorema, vamos considerar a integral cujo limite quando A → ∞, se existir, será a transformada de Laplace de f ′. Para calcular este limite, precisamos primeiro escrever a integral em uma forma adequada. Se f ′ tiver pontos de descontinuidade no intervalo 0 ≤ t ≤ A, vamos denotá- los por t1, t2, …, tk. Podemos, então, escrever essa integral como Integrando cada parcela à direita do sinal de igualdade por partes, obtemos As aplicações elementares mais importantes da transformada de Laplace estão no estudo de vibrações mecânicas e na análise de circuitos elétricos; as equações que governam esses fenômenos foram deduzidas na Seção 3.7. Um sistema mola-massa em vibração tem equação de movimento em que m é a massa, γ é o coeficiente de amortecimento, k é a constante da mola e f (t) é a força externa que está sendo aplicada. A equação que descreve um circuito elétrico com indutância L, resistência R e capacitância C (um circuito LRC) é em que Q(t) é a carga no capacitor e E(t) é a voltagem aplicada. Em termos da corrente I(t) = dQ(t)/dt, podemos diferenciar a Eq. (34) e escrever Também têm que ser dadas condições iniciais adequadas para u, Q ou I. Observamos anteriormente, na Seção 3.7, que a Eq. (33) para o sistema mola-massa e a Eq. (34) ou (35) para o circuito elétrico são idênticas matematicamente, diferindo apenas pela interpretação das constantes e variáveis que aparecem nelas. Existem outros problemas físicos que levam à mesma equação diferencial. Assim, uma vez resolvido o problema matemático, sua solução pode ser interpretada para cada problema físico correspondente de interesse atual. Nas listas de problemas no final desta e de outras seções neste capítulo, são dados muitos Problemas de valor inicial para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Muitos podem ser interpretados como modelos de sistemas físicos particulares, mas, em geral, não explicitamos isso. Problemas Em cada um dos Problemas 1 a 7, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada. Seção 6.2 20. a. b. Em cada um dos Problemas 8 a 16, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado. Em cada um dos Problemas 17 a 19, encontre a transformada de Laplace Y(s) = ℒ{y} da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na Seção 6.3. Você pode querer olhar os Problemas 16 a 18 na Seção 6.1. As transformadas de Laplace de certas funções podem ser encontradas de modo conveniente pelas suas expansões em séries de Taylor. Use a série de Taylor para sen t e, supondo que a transformada de Laplace desta série pode ser calculada termo a termo, verifique que Seja c. 21. a. b. 26. Mostre que f (t) é contínua para todos os valores reais de t. Encontre a série de Taylor de f em torno de t = 0. Supondo que a transformada de Laplace desta função pode ser calculada termo a termo, verifique que A função de Bessel de primeira espécie de ordem zero J0 tem a série de Taylor (veja a Seção 5.7) Supondo que as transformadas de Laplace a seguir podem ser calculadas termo a termo, verifique que e Os Problemas 21 a 27 tratam da diferenciação de transformadas de Laplace. Seja É possível mostrar que, enquanto f satisfizer as condições do Teorema 6.1.2, é possível diferenciar sob o sinal de integral em relação ao parâmetro s quando s > a. Mostre que F ′(s) =ℒ{–tf(t)}. Mostre que F(n)(s) =ℒ{(–t)nf(t)}; portanto, derivar a transformada de Laplace corresponde a multiplicar a função original por –t. Em cada um dos Problemas 22 a 25, use o resultado do Problema 21 para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são números reais e n é um inteiro positivo. Considere a equação de Bessel de ordem zero Lembre-se, da Seção 5.7, que t = 0 é um ponto singular regular para esta equação e, portanto, as soluções podem se tornar ilimitadas quando t → 0. No entanto, vamos tentar determinar se existem soluções que permanecem limitadas a. b. c. 27. 28. em t = 0 e têm derivadas finitas aí. Supondo que existe tal solução y = ϕ(t), seja Y(s) = ℒ{ϕ(t)}. Mostre que Y(s) satisfaz Mostre que Y(s) = c(1 + s2)–1/2, em que c é uma constante arbitrária. Escrevendo (1 + s2)–1/2 = s–1(1 + s–2)–1/2, expandindo em uma série binomial válida para s > 1 e supondo que é permitido inverter a transformada termo a termo, mostre que em que J0 é a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero. Note que J0(0) = 1 e que J0 tem derivadas finitas de todas as ordens em t = 0. Foi demonstrado na Seção 5.7 que a segunda solução dessa equação se torna ilimitada quando t → 0. Para cada um dos Problemas valor inicial a seguir, use os resultados do Problema 21 para encontrar a equação diferencial satisfeita por Y(s) = ℒ{y(t)}, em que y(t) é a solução do problema de valor inicial dado. (equação de Airy) (equação de Legendre) Note que a equação diferencial para Y(s) é de primeira ordem no item (a), mas de segunda ordem no item (b). Isso porque t aparece no máximo elevado à primeira potência na equação no item (a), enquanto aparece elevado à segunda potência na equação do item (b). Isso ilustra o fato de que a transformada de Laplace nem sempre é útil para resolver equações diferenciais com coeficientes variáveis, a menos que todos os coeficientes sejam, no máximo, funções lineares da variável independente. Suponha que Se G(s) e F(s) forem as transformadas de Laplace de g(t) e f (t), respectivamente, mostre que 29. Neste problema, vamos mostrar como se pode usar uma expansao geral em fra¢gdes parciais para calcular muitas transformadas de Laplace inversas. Suponha que P(s) F(s)=—., Q(s) em que Q(s) é um polindmio de grau n com n raizes distintas r), ..., 7,, ¢ P(s) é um polinédmio de grau menor do que n. Neste caso, é possivel mostrar que P(s)/O(s) tem uma expansdo em fracées parciais da forma P(s) A A . Ft (36) Qis) s-1 s—r, em que 0s coeficientes A,, ...,A,, precisam ser determinados. a. Mostre que P(r Ay =e) k=1,---,m. Q (r.) Sugestdo: um modo de fazer isso é multiplicar a Eq. (36) por s —r; e depois tomar o limite quando s — r,. Note que os limites sAo usados porque nao podemos simplesmente calcular a Eq. (36) multiplicada por s—r, ems =r;, ja que a Eq. (36) nao esta definida em cada raiz de O(s). b. Mostre que a .-! PU) rt £'NF(s)}= SE et, k=1 Q (") Fungoes Degrau Na Segao 6.2, esbocamos o procedimento geral usado para resolver um problema de valor inicial a partir da transformada de Laplace. Algumas das aplicacées elementares mais interessantes do método de transformada ocorrem na solucdo de equacoes diferenciais lineares sob a acdo de fungdes descontinuas ou de impulso. Equacgées desse tipo aparecem com frequéncia na analise do fluxo de corrente em circuitos elétricos ou nas vibragdes de sistemas mecanicos. Nesta e nas segdes seguintes no Capitulo 6, vamos desenvolver algumas propriedades adicionais da transformada de Laplace Uteis na solucdo de tais problemas. A menos que se diga explicitamente o contrario, supomos que todas as fungGdes a seguir sao seccionalmente continuas e de ordem exponencial, de modo que suas transformadas de Laplace existem, pelo menos para s suficientemente grande. Para tratar de maneira efetiva fungdes com saltos, é util definir uma fun¢ao conhecida como fungao degrau unitario ou funcao de Heaviside. Esta fungao sera denotada por u, e definida por 0, f< c, ' u(t)= ; (1) l, tc. Como a transformada de Laplace envolve valores de ¢ no intervalo [0, 0), estaremos interessados apenas em valores nao negativos de c. A Figura 6.3.1 mostra 0 grafico de y = u,(). Atribuimos, de forma um tanto arbitraria, o valor um au, em t = c. Entretanto, para uma funcgado seccionalmente continua como u,, 0 valor em um ponto de descontinuidade é irrelevante, em geral. O degrau também pode ser negativo. Por exemplo, a Figura 6.3.2 mostra 0 grafico de y = 1 — u, (2).