P4 - Equações Diferenciais C 2021-2

UFMG/ICEx/MAT Prova 4 de Equações Diferenciais C BH, 21 de setembro de 2022 Respostas sem justificativas não serão consideradas. Entregar no Microsoft Teams até as 21h do dia 22/02/2022. Nome: Matrícula: Atenção: Esta prova destina-se exclusivamente a estudantes nas seguintes situações e com as condições correspondentes no que concerne à nota final: • Estudante que perdeu uma das provas: – quem perdeu a Prova 01 deverá fazer as questões 1, 2, 3 e 4. – quem perdeu a Prova 02 deverá fazer as questões 5, 6, 7 e 8. – quem perdeu a Prova 03 deverá fazer as questões 9, 10, 11 e 12. Nesse caso, a nota da Prova 04 substituirá a nota da prova perdida. • Estudante que fez as três provas mas totalizou menos do que 60 pontos: – fazer as questões 3, 7, 8, 9 e 12. Nesse caso, a nota da Prova 04 substituirá a menor nota obtida dentre as três provas (evidentemente, os valores das questões desta prova serão modificados apropriadamente), com a condição adicional de que a nota final máxima será de 60 pontos. Prova 04 — TE1 e TB2 MAT040 — Eq. Dif. C Prova 4 de Equações Diferenciais C Página 2 de 4 1. (a) (4 pontos) Mostre que a expressão 2(x−2)√x + 1/3−ln | cos(y)| = 4/3 define uma solução do problema de valor inicial x cos(y) dx + √x + 1 sen(y) dy; y(3) = 0. Sugestão: Derive a expressão implicitamente e isole y′. (b) (4 pontos) Determine uma solução (implícita) do problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial com variáveis separáveis: x√1 − y dx − √ 1 − x2 dy = 0; y(0) = 0. 2. (a) (4 pontos) Mostre que a equação diferencial (exp(x)−sen(y)) dx+cos(y) dy = 0 não é exata; mostre que µ(x) = exp(−x) é um fator integrante para essa equação. Não é necessário resolvê-la. (b) (4 pontos) Determine a solução geral da equação diferencial exata (x − 2xy + exp(y)) dx + (y − x2 + x exp(y)) dy. 3. (a) (3 pontos) Indique a forma de uma solução particular da equação linear com coeficientes constantes não homogênea y′′ − 2y′ + y = t et. Não é necessário determinar a solução. (b) (6 pontos) Determine a solução geral da equação diferencial y′′ − 3y′ + 2y = sen(e−x). 4. Uma equação diferencial da forma y′ = p(t)y + q(t)yα com α ̸= 0 e α ̸= 1 é denominada equação de Bernoulli. (a) (3 pontos) Mostre que a substituição y = v1/(1−α) (isto é,v = y1−α), transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear de primeira ordem da forma v′ = (1 − α)p(t)v + (1 − α)q(t). (b) (5 pontos) Use o resultado do item anterior para resolver o problema de valor inicial y′ = −t−1y + ty−2; y(1) = 2. Prova 04-TE1-TB2 MAT040 — Eq. Dif. C Prova 4 de Equagoes Diferenciais C Pagina 3 de 4 Tabela de transformadas de Laplace A transformada de Laplace de f : [0,-+co) — R é definida por +oo clf(e|(s) = Fs) = [etree 0 LAO | AFI) PFO ALPFOM() f[ijs_ a0 Side ‘af a) sa | [EN al en [eteen(bi) | bills =a SP] sa Te@fe"/s 350] || e“ cos(bt) | (s—a)/[(s—a)? +b] s>a || Ua(t) f(t — a) e “F(s) s>0 || Per [Pea fp P=) ar | F(s)-Gs)_ [FOO Ts" FG) = 8" FO == FO [ot-@) eS 5. Calcular a transformada de Laplace das funcoes abaixo indicadas. (a) (4 pontos) f(t) = ¢t° + exp(—4t) cos(4t) + 26(t — 3). (b) (4 pontos) g(t) =2sel<t< 2; g(t) =1se2<t<5; g(t) =4se5<t <8; g(t) =Ose0<touset >8. 6. Calcular a transformada inversa de Laplace das fungoes abaixo indicadas. 8s? —4s+2 (a) (4 pontos) F(s) = “3(s244) 1 (b) (4 pontos) G(s) = exp(—4s)3 — 3exp(—2s). 8 7. (8 pontos) Resolver o problema de valor inicial y""(t) + y(t) = Un/2(t) + 85(t — 37/2) — uae (t); y(0) = 2; y'(0) = -3. 8. (a) (7 pontos) Resolver o problema de valor inicial Pl _ A PO P| _ Hl y()} — [-2 +4) Ly}? WO] [By (b) (2 pontos) Esbogar algumas trajetorias do retrato de fase e classificar o sistema quanto a estabilidade. Prova 04-TE1-TB2 MAT040 — Eq. Dif. C Prova 4 de Equagoes Diferenciais C Pagina 4 de 4 1, -l<a<Q, 9. (9 pontos) Determinar a série de Fourier da fungao definida por f(x) = vt me * f(a +2) = f(z). l-a, se0O<a<1l; 10. (8 pontos) Determinar a solucao do problema de conducao de calor ut = 100 Uce, O0<a<l1, t>0; u(z,0) = sen(27 2) —sen(5r2), O<a<l, u(0,t)=0; wu(1,t) =0, t>0. 11. (8 pontos) Resolver o problema de valor inicial 0? u(a, t) 207 u(z, t) EDP op 9, =2 -wo<2r<+o0, 0<t; Cl u(x,0) = f(x) = exp(—2’), — 00 < @ < +00; Cl uz(a,0) = g(a) = —2az exp(—2”), — 00 <4 < +00. Mostrar que a solucao consiste de apenas uma onda viajante. Para que lado viaja essa onda? Sugestoes: 1. Usar a formula de d’Alembert para a solucdéo da equacéo da onda. 2. Primitiva: [- exp (—2”) dz = exp (—2?) +¢. 12. (9 pontos) Determinar a solucao do problema da equagao do potencial Ure + Uyy = 9, O<a<a, 0<y<b; u(z,0)=0; u(a,b)=g(a), O< aKa; u(0,y) =0; ula,y) = 0, 0<yX<b, x, se0 <a <a/2, em que g(x) = a—«, sea/2<u<a. Sugestao: A solugéo formal desse problema é + nT nT 11) = So dasen (“Tr) seu (Tu) u(x, y) a sen (——a) senh (—-y Prova 04-TE1-TB2