P3 em Grupo - Equações Diferenciais C 2022-2

EDC - 3a prova em grupo (5 pts) 1. (1,5 pontos) Calcule a série de Fourier gerada por f(x) e desenhe o gráfico da função para a qual a série converge no intervalo [−3π, 3π]: f(x) = x para x ∈ (−π, π), f(x + 2π) = f(x). 2. (1,5 pontos) Uma barra de ferro (α2 = 0, 12 cm2/s) com 10 cm é aquecida uniformemente até 200 oC. Após isso, suas extremidades são submetidas a 0 oC constante. Estime a temperatura no centro da barra após 10 segundos usando apenas os dois primeiros termos não-nulos da solução u(x, t) = ∞ ∑ n=1 bn e−(nπα/L)2t sen (nπx L ) . 3. Considere o problema de valores de contorno abaixo.      1 x2 ∂2u ∂t2 + ∂2u ∂x2 − u = 0 (0 < x < 1, t > 0), u(0, t) = 0, ∂u ∂x(1, t) = 4 (t > 0) (a) (1 ponto) Obtenha a solução estacionária v(x) do problema. (b) (1 ponto) Separe as variáveis com u(x, t) = X(x)T(t). Escreva as equações diferenciais e condições de contorno para X(x) e T(t), sem resolvê-las. Fourier                          f(x) = a0 2 + ∞ ∑ n=1 [ an cos (nπx L ) + bn sen (nπx L )] a0 = 1 L ∫ L −L f(x) dx an = 1 L ∫ L −L f(x) cos (nπx L ) dx (n = 1, 2, . . .) bn = 1 L ∫ L −L f(x) sen (nπx L ) dx (n = 1, 2, . . .) Integrais                      ∫ x cos(kx) dx = x k sen(kx) + 1 k2 cos(kx) + C ∫ x sen(kx) dx = −x k cos(kx) + 1 k2 sen(kx) + C ∫ x2 cos(kx) dx = 2x k2 cos(kx) + (x2 k − 2 k3 ) sen(kx) + C ∫ x2 sen(kx) dx = 2x k2 sen(kx) + ( −x2 k + 2 k3 ) cos(kx) + C