Slide - Descrição Mecânico-quântica de Átomos de um Elétron - Química Geral 2022-1

Química Geral – Átomos de Um Elétron Química Geral Descrição Mecânico-Quântica de Átomos de Um Elétron Leonardo H. R. Dos Santos Química Geral – Átomos de Um Elétron Equação de Schrödinger para o átomo de H Em coordenadas cartesianas: ෡𝐻 𝒓  𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐸 𝑥, 𝑦, 𝑧 Em coordenadas esféricas: ෡𝐻 𝒓  𝑟, 𝜃, 𝜗 = 𝐸 𝑟, 𝜃, 𝜗 2 Química Geral – Átomos de Um Elétron Equação de Schrödinger para o átomo de H Átomo de H (coordenadas cartesianas): 3 − ħ2 2𝜇 𝜕2 𝜕𝑥2 + 𝜕2 𝜕𝑦2 + 𝜕2 𝜕𝑧2 − 𝑒2 4𝜋𝜀0 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝜑 𝒓 = 𝐸𝜑 𝒓 𝒓 𝒙 𝒚 𝒛 𝒓 𝜃 𝜗 ቐ 𝑥 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜗 𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜗 𝑧 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃 Relação entre coordenadas cartesianas (𝒙, 𝒚, 𝒛) e esféricas (𝒓, 𝜽, 𝝑) 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 0 ≤ 𝜗 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 Química Geral – Átomos de Um Elétron Equação de Schrödinger para o átomo de H Átomo de H (coordenadas esféricas): 4 − ħ2 2𝜇 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 + 1 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕 𝜕𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕 𝜕𝜃 + 1 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜕2 𝜕𝜗2 − 𝑒2 4𝜋𝜀0𝑟 𝜑 𝒓 = 𝐸𝜑 𝒓 Separação de variáveis: 𝜑 𝒓 = 𝑅 𝑟 .  𝜃 . (𝜗) 𝑑2 𝑑𝜗2 = −𝑚2 − 1 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑 𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑 𝑑𝜃 + 𝑚2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 𝑙(𝑙 + 1) 1 𝑟2 𝑑 𝑑𝑟 𝑟2 𝑑𝑅 𝑑𝑟 + 2𝜇 ħ2 𝐸 + 𝑒2 4𝜋𝜀0𝑟 𝑅 = 𝑙 𝑙 + 1 𝑅 𝑟2 Química Geral – Átomos de Um Elétron Equação de Schrödinger para o átomo de H Átomo de H (coordenadas esféricas): 5 Soluções: 𝜑 𝒓 = 𝑅𝑛𝑙 𝑟 . 𝑙𝑚 𝜃 . 𝑚 𝜗  𝜗 = exp 𝑖𝑚𝜗 ∴ 𝑚 = −𝑙, −𝑙 + 1, −𝑙 + 2, … , 0, … , 𝑙 − 2, 𝑙 − 1, 𝑙  𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 𝑚 𝜃. 𝐹𝑙 𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∴ 𝑙 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1 𝑅 𝑟 = 𝑟 𝑎0 𝑙 . 𝐺𝑛𝑙 𝑟 𝑎0 . exp − 𝑟 𝑛𝑎0 ∴ 𝑛 = 1,2, … , ∞ 𝜑 𝒓 = 𝑅𝑛𝑙 𝑟 . 𝑌𝑙𝑚(𝜃, 𝜗) contribuição radial contribuição angular “tamanho” do orbital “forma” do orbital Função de onda para um elétron em um átomo (ou molécula) Orbital atômico (ou molecular) Química Geral – Átomos de Um Elétron Equação de Schrödinger para o átomo de H 6 𝜑 𝒓 = 𝑅𝑛𝑙 𝑟 . 𝑌𝑙𝑚(𝜃, 𝜗) 𝑹 𝒓 = 𝒓 𝒂𝟎 𝒍 . 𝑮𝒏𝒍 𝒓 𝒂𝟎 . 𝒆𝒙𝒑 − 𝒓 𝒏𝒂𝟎 ∴ 𝒏 = 𝟏, 𝟐, … , ∞ 𝐺𝑛𝑙 𝑟 𝑎0 → 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑔𝑢𝑒𝑟𝑟𝑒 Funções radiais 𝑹(𝒓) 𝑹(𝒓) 𝟏𝒔 𝑹𝟏𝒔 = 𝟐 𝟏 𝒂𝟎 𝟑/𝟐 . 𝒆𝒙𝒑 − 𝒓 𝒂𝟎 𝟑𝒔 𝑹𝟑𝒔 = 𝟐 𝟐𝟕 𝟏 𝟑𝒂𝟎 𝟑/𝟐 . 𝟐𝟕 − 𝟏𝟖 𝒓 𝟐𝒂𝟎 + 𝟐 𝒓𝟐 𝒂𝟎 𝟐 . 𝒆𝒙𝒑 − 𝒓 𝟑𝒂𝟎 𝟐𝒔 𝑹𝟐𝒔 = 𝟐 𝟏 𝟐𝒂𝟎 𝟑/𝟐 . 𝟐 − 𝒓 𝟐𝒂𝟎 . 𝒆𝒙𝒑 − 𝒓 𝟐𝒂𝟎 𝟑𝒑 𝑹𝟑𝒑 = 𝟏 𝟖𝟏 𝟑 𝟐 𝒂𝟎 𝟑/𝟐 . 𝟔 − 𝒓 𝟐𝒂𝟎 𝒓 𝟐𝒂𝟎 . 𝒆𝒙𝒑 − 𝒓 𝟑𝒂𝟎 𝟐𝒑 𝑹𝟐𝒑 = 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐𝒂𝟎 𝟑/𝟐 . 𝒓 𝟐𝒂𝟎 . 𝒆𝒙𝒑 − 𝒓 𝟐𝒂𝟎 𝟑𝒅 𝑹𝟑𝒅 = 𝟏 𝟖𝟏 𝟏𝟓 𝟐 𝒂𝟎 𝟑/𝟐 . 𝒓𝟐 𝒂𝟎 𝟐 . 𝒆𝒙𝒑 − 𝒓 𝟑𝒂𝟎 Química Geral – Átomos de Um Elétron Equação de Schrödinger para o átomo de H 7 𝜑 𝒓 = 𝑅𝑛𝑙 𝑟 . 𝑌𝑙𝑚(𝜃, 𝜗) Harmônicos esféricos complexos 𝒀𝒍𝒎 𝜽, 𝝑 = −𝟏 𝒎 𝟐𝒍 + 𝟏 𝒍 − 𝒎 ! 𝟒𝝅 𝒍 + 𝒎 ! 𝑭𝒍 𝒎 𝒄𝒐𝒔𝜽 . 𝐞𝐱𝐩(𝐢𝐦𝝑) 𝐹𝑙 𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜃 → 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐿𝑒𝑔𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒 𝜑 𝒓 = 𝑅𝑛𝑙 𝑟 . 𝑌𝑙𝑚±(𝜃, 𝜗) Harmônicos esféricos reais A equação de Schrödinger é linear em 𝜑(𝒓)!!! 𝒀𝒍𝒎± 𝜽, 𝝑 = 𝑵𝒍𝒎𝑭𝒍 𝒎 𝒄𝒐𝒔𝜽 . 𝟏 𝟐 𝐞𝐱𝐩 𝐢𝐦𝝑 + 𝐞𝐱𝐩 −𝐢𝐦𝝑 = 𝑵′𝒍𝒎𝑭𝒍 𝒎 𝒄𝒐𝒔𝜽 . 𝒄𝒐𝒔𝝑 𝑵𝒍𝒎𝑭𝒍 𝒎 𝒄𝒐𝒔𝜽 . 𝟏 𝟐𝒊 𝐞𝐱𝐩 𝐢𝐦𝝑 − 𝐞𝐱𝐩 −𝐢𝐦𝝑 = 𝑵′𝒍𝒎𝑭𝒍 𝒎 𝒄𝒐𝒔𝜽 . 𝒔𝒆𝒏𝝑 𝒀𝒍𝒎 𝜽, 𝝑 = 𝑵𝒍𝒎𝑭𝒍 𝒎 𝒄𝒐𝒔𝜽 . 𝐞𝐱𝐩(𝐢𝐦𝝑) Química Geral – Átomos de Um Elétron Equação de Schrödinger para o átomo de H • Função de onda angular para os orbitais 2p: 8 𝑛 = 2, 𝑙 = 1, 𝑚 = 0 → 2𝑝0 𝒀𝟏𝟎 𝜽, 𝝑 = −𝟏 𝟎 𝟐 + 𝟏 𝟏 − 𝟎 ! 𝟒𝝅 𝟏 + 𝟎 ! . 𝒄𝒐𝒔𝜽. 𝐞𝐱𝐩 𝐢𝟎𝝑 = 𝟏 𝟐 𝟑 𝝅 𝒄𝒐𝒔𝜽 → 𝟏 𝟐 𝟑 𝝅 𝒛 𝒓 𝟐𝒑𝟎 = 𝟐𝒑𝒛 𝑛 = 2, 𝑙 = 1, 𝑚 = +1 → 2𝑝+1 𝒀𝟏+𝟏 𝜽, 𝝑 = −𝟏 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟏 − 𝟏 ! 𝟒𝝅 𝟏 + 𝟏 ! . − 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 . 𝐞𝐱𝐩 +𝐢𝝑 = 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐𝝅 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝐞𝐱𝐩 +𝐢𝝑 𝒀𝟏−𝟏 𝜽, 𝝑 = −𝟏 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟏 − 𝟏 ! 𝟒𝝅 𝟏 + 𝟏 ! . − 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 . 𝐞𝐱𝐩 −𝐢𝝑 = 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐𝝅 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝐞𝐱𝐩 −𝐢𝝑 𝑛 = 2, 𝑙 = 1, 𝑚 = −1 → 2𝑝−1 Química Geral – Átomos de Um Elétron Equação de Schrödinger para o átomo de H • Função de onda angular para os orbitais 2p: 9 𝑛 = 2, 𝑙 = 1, 𝑚 = +1 → 2𝑝+1 𝒀𝟏+𝟏 𝜽, 𝝑 = −𝟏 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟏 − 𝟏 ! 𝟒𝝅 𝟏 + 𝟏 ! . − 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 . 𝐞𝐱𝐩 +𝐢𝝑 = 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐𝝅 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝐞𝐱𝐩 +𝐢𝝑 𝒀𝟏−𝟏 𝜽, 𝝑 = −𝟏 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟏 − 𝟏 ! 𝟒𝝅 𝟏 + 𝟏 ! . − 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 . 𝐞𝐱𝐩 −𝐢𝝑 = 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐𝝅 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝐞𝐱𝐩 −𝐢𝝑 𝟐𝒑𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒀𝟏+𝟏 + 𝒀𝟏−𝟏 = 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐𝝅 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝐜𝐨𝐬𝝑 = 𝟏 𝟐 𝟑 𝝅 𝒙 𝒓 𝟐𝒑𝒚 = 𝒊 𝟐 𝒀𝟏+𝟏 − 𝒀𝟏−𝟏 = 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐𝝅 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝐬𝐞𝐧𝝑 = 𝟏 𝟐 𝟑 𝝅 𝒚 𝒓 𝑛 = 2, 𝑙 = 1, 𝑚 = −1 → 2𝑝−1 Química Geral – Átomos de Um Elétron Orbitais atômicos para átomos hidrogenóides 10 𝜑 𝒓 = 𝑅𝑛𝑙 𝑟 . 𝑌𝑙𝑚(𝜃, 𝜗) 𝑹 𝒓 = 𝒁𝒓 𝒂𝟎 𝒍 . 𝑮𝒏𝒍 𝒁𝒓 𝒂𝟎 . 𝒆𝒙𝒑 − 𝒁𝒓 𝒏𝒂𝟎 ∴ 𝒏 = 𝟏, 𝟐, … , ∞ Funções radiais 𝜑 𝒓 = 𝑅𝑛𝑙 𝑟 . 𝑌𝑙𝑚±(𝜃, 𝜗) Harmônicos esféricos reais 𝒀𝒍𝒎± 𝜽, 𝝑 = 𝑵𝒍𝒎𝑭𝒍 𝒎 𝒄𝒐𝒔𝜽 . 𝟏 𝟐 𝐞𝐱𝐩 𝐢𝐦𝝑 + 𝐞𝐱𝐩 −𝐢𝐦𝝑 = 𝑵′𝒍𝒎𝑭𝒍 𝒎 𝒄𝒐𝒔𝜽 . 𝒄𝒐𝒔𝝑 𝑵𝒍𝒎𝑭𝒍 𝒎 𝒄𝒐𝒔𝜽 . 𝟏 𝟐𝒊 𝐞𝐱𝐩 𝐢𝐦𝝑 − 𝐞𝐱𝐩 −𝐢𝐦𝝑 = 𝑵′𝒍𝒎𝑭𝒍 𝒎 𝒄𝒐𝒔𝜽 . 𝒔𝒆𝒏𝝑 Os orbitais de átomos hidrogenóides são menores do que aqueles correspondentes no átomo de H. Os orbitais de átomos hidrogenóides têm a mesma forma daqueles correspondentes no átomo de H. Química Geral – Átomos de Um Elétron Números quânticos O conjunto de números quânticos (𝒏, 𝒍, 𝒎𝒍) é suficiente para caracterizar a função de onda 𝑅𝑛𝑙 𝑟 . 𝑌𝑙𝑚(𝜃, 𝜗) e a energia 𝑬𝒏 do elétron 𝑙 → número quântico azimutal 𝑙 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1 representa a subcamada na qual o elétron se encontra 𝑙 = 0 → 𝑠, 𝑙 = 1 → 𝑝, 𝑙 = 2 → 𝑑 … 11 Química Geral – Átomos de Um Elétron Números quânticos O conjunto de números quânticos (𝒏, 𝒍, 𝒎𝒍) é suficiente para caracterizar a função de onda 𝑅𝑛𝑙 𝑟 . 𝑌𝑙𝑚(𝜃, 𝜗) e a energia 𝑬𝒏 do elétron 𝑚 → número quântico magnético 𝑚 = −𝑙, −𝑙 + 1, −𝑙 + 2, … , 𝑙 − 2, 𝑙 − 1, 𝑙 representa o orbital particular no qual o elétron se encontra 12 Química Geral – Átomos de Um Elétron Números quânticos 1) 𝑛 = 1, 𝑙 = 0, 𝑚 = 0 → 1𝑠 2) 𝑛 = 3, 𝑙 = 1, 𝑚 = 0 → 3𝑝𝑧 3) 𝑛 = 4, 𝑙 = 1, 𝑚 = −1 → 4𝑝𝑥 ou 4𝑝𝑦 4) 3𝑑𝑧2 → 𝑛 = 3, 𝑙 = 2, 𝑚 = 0 5) 5𝑓𝑧3 → 𝑛 = 5, 𝑙 = 3, 𝑚 = 0 13 Química Geral – Átomos de Um Elétron Energia eletrônica A energia mecânico-quântica para átomos de um elétron coincide com aquela obtida pelo modelo de Bohr: 𝐸𝑛 = −13,6𝑒𝑉. 𝑍2 𝑛2 A energia eletrônica de um átomo de 1 elétron depende apenas de 𝑛! 14 Química Geral – Átomos de Um Elétron Funções de onda do átomo de H Um orbital em um átomo é uma função de onda para um elétron no átomo 15 𝜑 𝒓 = 𝑅𝑛𝑙 𝑟 . 𝑌𝑙𝑚(𝜃, 𝜗) contribuição radial contribuição angular “tamanho” do orbital “forma” do orbital Função de onda para um elétron em um átomo (ou molécula) Orbital atômico (ou molecular) Química Geral – Átomos de Um Elétron Funções de onda angulares 1) 𝑙 = 0, 𝑚 = 0 → 𝑛𝑠 16 Química Geral – Átomos de Um Elétron Funções de onda angulares 2) 𝑙 = 1, 𝑚 = −1,0, +1 → 𝑛𝑝𝑥, 𝑛𝑝𝑦, 𝑛𝑝𝑧 17 Química Geral – Átomos de Um Elétron Funções de onda angulares 3) 𝑙 = 2, 𝑚 = −2, −1,0, +1, +2 → 𝑛𝑑𝑥𝑦, 𝑛𝑑𝑥𝑧, 𝑛𝑑𝑦𝑧, 𝑛𝑑𝑧2, 𝑛𝑑𝑥2−𝑦2 18 Química Geral – Átomos de Um Elétron Funções de onda radiais 19 Química Geral – Átomos de Um Elétron Funções de probabilidade radial 20