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Engenharia Metalúrgica ·
Estatística 1
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PPGEMCPGEMUFMG EMT873Tópicos Especiais CAnálise Estatística de Experimentos Metalúrgicos EMT873 Tópicos Especiais C Análise Estatística de Experimentos Metalúrgicos Lista de Exercícios 2 Resolva o exercício explicitando o passoapasso da sua solução Consider a copper ore leaching using sulfuric acid leaching in a Pachuca reactor vessel and the variables temperature ore particle size stirring intensity and sulfuric acid concentration as operational variables Table 1 shows the variables and their experimental levels The experimental results obtained are shown in table 2 Using the a replicated full factorial method design for variables and their interaction evaluation find the rank of the most significant variables and interactions on the percentage of copper extraction Besides this evaluation optimize the experimental results using the step path statistical optimization method for maximum copper extraction Finally use the Fisher method to determine the algebraic expression of the statistical model adopted for this exercise Ftab449 Table 1 Selected Variables and their Experimental Levels Used in the Replicated Full Factorial Design Method Variables Upper Lower A Temperature oC 80 25 B Ore particle size 85 200mesh 100 200mesh C Stirring intensity rpm 330 135 E Sulfuric acid concentration kgt 1104 736 Table 2 Matrix Block for Sixteen Replicated Experiments According to the Full Factorial Design Method and their Respective Copper Extraction Responses R1 R2 Test Effect Variables Responses A B C E R1 R2 1 i 688 662 2 A 706 703 3 C 674 681 4 AC 733 725 5 E 689 679 6 AE 746 763 7 CE 689 691 8 ACE 761 767 9 B 506 523 10 AB 684 692 11 BC 632 597 12 ABC 696 702 13 BE 535 581 14 ABE 705 692 15 BCE 620 636 16 ABCE 732 729 1 Médias das respostas dos experimentos Primeiro precisamos calcular as médias 𝑅𝑚é𝑑𝑖𝑎 para todos os 16 experimentos 𝑅1𝑚é𝑑𝑖𝑎 688 662 2 675 𝑅2𝑚é𝑑𝑖𝑎 706 703 2 7045 𝑅3𝑚é𝑑𝑖𝑎 674 681 2 6775 𝑅4𝑚é𝑑𝑖𝑎 733 725 2 7290 𝑅5𝑚é𝑑𝑖𝑎 689 679 2 6840 𝑅6𝑚é𝑑𝑖𝑎 746 763 2 7545 𝑅7𝑚é𝑑𝑖𝑎 689 691 2 6900 𝑅8𝑚é𝑑𝑖𝑎 761 767 2 7640 𝑅9𝑚é𝑑𝑖𝑎 506 523 2 5145 𝑅10𝑚é𝑑𝑖𝑎 684 692 2 6880 𝑅11𝑚é𝑑𝑖𝑎 632 597 2 6145 𝑅12𝑚é𝑑𝑖𝑎 696 702 2 6990 𝑅13𝑚é𝑑𝑖𝑎 535 581 2 5580 𝑅14𝑚é𝑑𝑖𝑎 705 692 2 6985 𝑅15𝑚é𝑑𝑖𝑎 620 636 2 6280 𝑅16𝑚é𝑑𝑖𝑎 732 729 2 7305 2 Efeitos de primeira ordem O efeito principal de um fator é a diferença entre a média das respostas 𝑅𝑚é𝑑𝑖𝑎 quando o fator está no nível 1 e a média das respostas quando o fator está no nível 1 Efeito do fator 𝑅1 𝑅1 Onde 𝑅1 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 1 𝑅1 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 1 Fator A Temperatura Nível 1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 Nível 1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 Médias 𝑅1 7045 7290 7545 7640 6880 6990 6985 7305 8 7210 𝑅1 6750 6775 6840 6900 5145 6145 5580 6280 8 6302 Efeito Efeito de A 7210 6302 908 Fator B Tamanho das partículas Nível 1 Testes 9 10 11 12 13 14 15 16 Nível 1 Testes 1 2 3 4 5 6 7 8 Médias 𝑅1 5145 6880 6145 6990 5580 6985 6280 7305 8 6442 𝑅1 6750 7045 6775 7290 6840 7545 6900 7640 8 7126 Efeito Efeito de B 6442 7126 684 Fator C Intensidade de Agitação Nível 1 Testes 3 4 7 8 11 12 15 16 Nível 1 Testes 1 2 5 6 9 10 13 14 Médias 𝑅1 6775 7290 6900 7640 6145 6990 6280 7305 8 6966 𝑅1 6750 7045 6840 7545 5145 6880 5580 6985 8 6647 Efeito Efeito de C 6966 6647 319 Fator E Concentração de Ácido Nível 1 Testes 5 6 7 8 13 14 15 16 Nível 1 Testes 1 2 3 4 9 10 11 12 Médias 𝑅1 6840 7545 6900 7640 5580 6985 6280 7305 8 6997 𝑅1 6750 7045 6775 7290 5145 6880 6145 6990 8 6740 Efeito Efeito de E 6997 6740 257 Resumo dos Efeitos A Temperatura 908 B Tamanho das partículas 684 C Intensidade de agitação 319 E Concentração de ácido 257 3 Efeitos de segunda ordem A interação de segunda ordem entre dois fatores X e Y avalia como a combinação dos níveis dos dois fatores afeta a resposta média 𝑅𝑚é𝑑𝑖𝑎 Efeito da interação 𝑅𝑋𝑌1 𝑅𝑋𝑌1 Onde XY1 Casos em que os níveis dos fatores multiplicados resultam 1 níveis iguais ambos 1 ou ambos 1 XY1 Casos em que os níveis dos fatores multiplicados resultam 1 níveis diferentes um 1 e o outro 1 Interação AB Temperatura x Tamanho das Partículas Multiplicando os níveis de A e B AB A B Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Separando as médias 𝑅𝑚é𝑑𝑖𝑎 para AB1 e AB1 AB1 Testes 1 4 5 8 10 13 14 15 AB1 Testes 2 3 6 7 9 11 12 16 Calculando as médias 𝑅𝐴𝐵1 6750 7290 6840 7640 6880 5580 6985 6280 8 6797 𝑅𝐴𝐵1 7045 6775 7545 6900 5145 6145 6990 7305 8 6453 Efeito Efeito de AB 6797 6453 344 Interação AC Temperatura x Intensidade de Agitação Multiplicando os níveis de A e C AC A C Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AC1 Testes 1 4 6 7 10 12 13 15 AC1 Testes 2 3 5 8 9 11 14 16 Calculando as médias 𝑅𝐴𝐶1 6750 7290 7545 6900 6880 6990 5580 6280 8 6734 𝑅𝐴𝐶1 7045 6775 6840 7640 5145 6145 6985 7305 8 6861 Efeito Efeito de AC 6734 6861 127 Interação AE Temperatura x Concentração de Ácido Multiplicar os níveis de A e E AE A E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AE1 Testes 1 4 6 7 9 12 13 16 AE1 Testes 2 3 5 8 10 11 14 15 𝑅𝐴𝐸1 6750 7290 7545 6900 5145 6990 5580 7305 8 6676 𝑅𝐴𝐸1 7045 6775 6840 7640 6880 6145 6985 6280 8 6615 Efeito de AE 6676 6615 061 Interação BC Tamanho das Partículas x Intensidade de Agitação BC B C Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 BC1 Testes 1 4 5 8 10 13 14 15 BC1 Testes 2 3 6 7 9 11 12 16 𝑅𝐵𝐶1 6750 7290 6840 7640 6880 5580 6985 6280 8 6781 𝑅𝐵𝐶1 7045 6775 7545 6900 5145 6145 6990 7305 8 6568 Efeito de BC 6781 6568 213 Interação BE Tamanho das Partículas x Concentração de Ácido BE B E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 BE1 Testes 1 4 6 7 9 12 13 16 BE1 Testes 2 3 5 8 10 11 14 15 𝑅𝐵𝐸1 6750 7290 7545 6900 5145 6990 5580 7305 8 6626 𝑅𝐵𝐸1 7045 6775 6840 7640 6880 6145 6985 6280 8 6635 Efeito de BE 6626 6635 009 Interação CE Intensidade de Agitação x Concentração de Ácido CE C E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 CE1 Testes 1 4 6 7 9 12 13 16 CE1 Testes 2 3 5 8 10 11 14 15 𝑅𝐶𝐸1 6750 7290 7545 6900 5145 6990 5580 7305 8 6651 𝑅𝐶𝐸1 7045 6775 6840 7640 6880 6145 6985 6280 8 6677 Efeito de CE 6651 6677 026 4 Efeitos de terceira ordem Definição de interação de terceira ordem a interação de terceira ordem entre três fatores X Y Z avalia como a combinação dos níveis dos três fatores afeta a resposta média 𝑅𝑚é𝑑𝑖𝑎 Efeito da interação 𝑅𝑋𝑌𝑍1 𝑅𝑋𝑌𝑍1 Onde XYZ1 Casos em que o produto dos níveis dos três fatores resulta 1 número par de fatores 1 XYZ1 Casos em que o produto dos níveis dos três fatores resulta 1 número ímpar de fatores 1 Interação ABC Temperatura x Tamanho das Partículas x Intensidade de Agitação ABC A B C Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABC1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 ABC1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 𝑅𝐴𝐵𝐶1 7045 7290 7545 7640 6880 6990 6985 7305 8 7210 𝑅𝐴𝐵𝐶1 6750 6775 6840 6900 5145 6145 5580 6280 8 7401 Efeito de ABC 7210 7401 191 Interação ABE Temperatura x Tamanho das Partículas x Concentração de Ácido ABE A B E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABE1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 ABE1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 𝑅𝐴𝐵𝐸1 7045 7290 7545 7640 6880 6990 6985 7305 8 6765 𝑅𝐴𝐵𝐸1 6750 6775 6840 6900 5145 6145 5580 6280 8 6667 Efeito de ABE 6765 6667 098 Interação ACE Temperatura x Intensidade de Agitação x Concentração de Ácido ACE A C E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ACE1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 ACE1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 𝑅𝐴𝐶𝐸1 7045 7290 7545 7640 6880 6990 6985 7305 8 6870 𝑅𝐴𝐶𝐸1 6750 6775 6840 6900 5145 6145 5580 6280 8 6910 Efeito de ACE 6870 6910 041 Interação BCE Tamanho das Partículas x Intensidade de Agitação x Concentração de Ácido BCE B C E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 BCE1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 BCE1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 𝑅𝐵𝐶𝐸1 7045 7290 7545 7640 6880 6990 6985 7305 8 6620 𝑅𝐵𝐶𝐸1 6750 6775 6840 6900 5145 6145 5580 6280 8 6617 Efeito de BCE 6620 6617 003 5 Efeitos de quarta ordem A interação de quarta ordem avalia como a combinação dos níveis de quatro fatores A B C E afeta a resposta média 𝑅𝑚é𝑑𝑖𝑎 Efeito da interação 𝑅𝐴𝐵𝐶𝐸1 𝑅𝐴𝐵𝐶𝐸1 Onde ABCE1 Casos em que o produto dos níveis dos quatro fatores resulta 1 número par de fatores 1 ABCE1 Casos em que o produto dos níveis dos quatro fatores resulta 1 número ímpar de fatores 1 ABCE A B C E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABCE1 Testes 2 3 6 7 10 11 14 15 ABCE1 Testes 1 4 5 8 9 12 13 16 𝑅𝐴𝐵𝐶𝐸1 7045 6775 7545 6900 6880 6145 6985 6280 8 6882 𝑅𝐴𝐵𝐶𝐸1 6750 7290 6840 7640 5145 6990 5580 7305 8 6795 Efeito de ABCE 𝑅𝐴𝐵𝐶𝐸1 𝑅𝐴𝐵𝐶𝐸1 6882 6795 087 6 Teste de Fischer Agora vamos ao teste de Fischer Temos que calcular a soma R1 𝑅22 𝑅1 𝑅2 688 662 706 703 674 681 733 725 689 679 746 763 689 691 761 767 506 523 684 692 632 597 696 702 535 581 705 692 620 636 732 729 𝑅1 𝑅2 26 03 07 08 10 17 02 06 17 08 35 06 46 13 16 03 Agora elevamos ao quadrado cada uma das diferenças 𝑅1 𝑅22 676 009 049 064 10 289 004 036 289 064 1225 036 2116 169 256 009 Somamos todos os valores obtidos 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 676 009 049 064 10 289 004 036 289 064 1225 036 2116 169 256 009 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 5391 Os graus de liberdade associados são 𝐺𝐿𝑒𝑟𝑟𝑜 16 2 1 16 Finalmente calculamos 𝑀𝑆𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 𝐺𝐿𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑀𝑆𝑒𝑟𝑟𝑜 5391 16 3369375 Aplicando o teste de Fischer 𝐹calculado Efeito2 𝑀𝑆erro Para A Temperatura o efeito é 908125 𝐹𝐴 9081252 3369375 𝐹𝐴 8246622890625 3369375 𝐹𝐴 2448 Para B Tamanho das partículas o efeito é 684375 𝐹𝐵 6843752 3369375 𝐹𝐵 46838091015625 3369375 𝐹𝐵 1390 Para C Intensidade de agitação o efeito é 319375 𝐹𝐶 3193752 3369375 𝐹𝐶 1020207015625 3369375 𝐹𝐶 303 Para E Concentração de ácido o efeito é 256875 𝐹𝐸 2568752 3369375 𝐹𝐸 659847265625 3369375 𝐹𝐸 196 Notase que todos os outros efeitos possuem valores inferiores a 319375 efeito de C cujo teste de Fisher ficou inferior a 𝐹𝑡𝑎𝑏 448 Logo todos os outros efeitos são irrelevantes no contexto do problema 7 Otimização das variáveis O modelo estatístico reduzido é 𝑌 𝜇 𝛽𝐴 𝐴 𝛽𝐵 𝐵 Onde 𝜇 média global das respostas 𝛽𝐴 coeficiente do efeito de A calculado como 𝛽𝐴 Efeito de A 2 𝛽𝐵 coeficiente do efeito de B calculado como 𝛽𝐵 Efeito de B 2 A média global é 𝜇 média global das respostas 𝑅1 e 𝑅2 𝜇 média de 𝑅1 média de 𝑅2 2 média de 𝑅1 67925 média de 𝑅2 67796875 Portanto 𝜇 67925 67796875 2 678609375 Os efeitos são Efeito de A 908125 𝛽𝐴 908125 2 4540625 Efeito de B 684375 𝛽𝐵 684375 2 3421875 Agora calculamos 𝑌 para todas as combinações de níveis experimentais de A e B 1 e 1 Para A 1 B 1 𝑌 𝜇 𝛽𝐴 1 𝛽𝐵 1 𝑌 678609375 4540625 1 3421875 1 𝑌 678609375 4540625 3421875 66440625 Para A 1 B 1 𝑌 𝜇 𝛽𝐴 1 𝛽𝐵 1 𝑌 678609375 4540625 1 3421875 1 𝑌 678609375 4540625 3421875 59596875 Para A 1 B 1 𝑌 𝜇 𝛽𝐴 1 𝛽𝐵 1 𝑌 678609375 4540625 1 3421875 1 𝑌 678609375 4540625 3421875 75521875 Para A 1 B 1 𝑌 𝜇 𝛽𝐴 1 𝛽𝐵 1 𝑌 678609375 4540625 1 3421875 1 𝑌 678609375 4540625 3421875 68678125 A resposta máxima é 𝑌 75521875 que ocorre para A 1 e B 1 Isso indica que a melhor combinação para maximizar a resposta é a temperatura no nível superior 1 e o tamanho das partículas no nível inferior 1 8 Expressão final para os resultados otimizados 𝑌 𝜇 𝛽𝐴 𝐴 𝛽𝐵 𝐵 𝜇 678609375 𝛽𝐴 4540625 𝛽𝐵 3421875 Portanto a expressão final é 𝑌 678609375 4540625 𝐴 3421875 𝐵 1 Médias das respostas dos experimentos Primeiro precisamos calcular as médias Rmédia para todos os 16 experimentos R1mé dia688662 2 675 R2mé dia706703 2 7045 R3mé dia674681 2 6775 R4 mé dia733725 2 7290 R5mé dia689679 2 6840 R6mé dia746763 2 7545 R7mé dia689691 2 6900 R8mé dia761767 2 7640 R9mé dia506523 2 5145 R10mé dia684692 2 6880 R11 mé dia632597 2 6145 R12mé dia696702 2 6990 R13mé dia535581 2 5580 R14 mé dia705692 2 6985 R15mé dia620636 2 6280 R16mé dia732729 2 7305 2 Efeitos de primeira ordem O efeito principal de um fator é a diferença entre a média das respostas Rmédia quando o fator está no nível 1 e a média das respostas quando o fator está no nível 1 Efeito do fatorR1R1 Onde R1mé diadasrespostas comofator noní vel1 R1mé diadas respostascomofatornoní vel1 Fator A Temperatura Nível 1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 Nível 1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 Médias R170457290754576406880699069857305 8 7210 R167506775684069005145614555806280 8 6302 Efeito Efeito de A72106302908 Fator B Tamanho das partículas Nível 1 Testes 9 10 11 12 13 14 15 16 Nível 1 Testes 1 2 3 4 5 6 7 8 Médias R151456880614569905580698562807305 8 6442 R167507045677572906840754569007640 8 7126 Efeito Efeito de B64427126684 Fator C Intensidade de Agitação Nível 1 Testes 3 4 7 8 11 12 15 16 Nível 1 Testes 1 2 5 6 9 10 13 14 Médias R167757290690076406145699062807305 8 6966 R167507045684075455145688055806985 8 6647 Efeito Efeito de C69666647319 Fator E Concentração de Ácido Nível 1 Testes 5 6 7 8 13 14 15 16 Nível 1 Testes 1 2 3 4 9 10 11 12 Médias R168407545690076405580698562807305 8 6997 R167507045677572905145688061456990 8 6740 Efeito Efeito de E69976740257 Resumo dos Efeitos A Temperatura 908 B Tamanho das partículas 684 C Intensidade de agitação 319 E Concentração de ácido 257 3 Efeitos de segunda ordem A interação de segunda ordem entre dois fatores X e Y avalia como a combinação dos níveis dos dois fatores afeta a resposta média Rmédia Efeito da interaçãoRXY 1RXY 1 Onde XY1 Casos em que os níveis dos fatores multiplicados resultam 1 níveis iguais ambos 1 ou ambos 1 XY1 Casos em que os níveis dos fatores multiplicados resultam 1 níveis diferentes um 1 e o outro 1 Interação AB Temperatura x Tamanho das Partículas Multiplicando os níveis de A e B AB A B Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Separando as médias Rmédia para AB1 e AB1 AB1 Testes 1 4 5 8 10 13 14 15 AB1 Testes 2 3 6 7 9 11 12 16 Calculando as médias RAB 1 67507290684076406880558069856280 8 6797 RAB 170456775754569005145614569907305 8 6453 Efeito Efeito de AB67976453344 Interação AC Temperatura x Intensidade de Agitação Multiplicando os níveis de A e C AC A C Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AC1 Testes 1 4 6 7 10 12 13 15 AC1 Testes 2 3 5 8 9 11 14 16 Calculando as médias RAC 1 67507290754569006880699055806280 8 6734 RAC 170456775684076405145614569857305 8 6861 Efeito Efeito de AC67346861127 Interação AE Temperatura x Concentração de Ácido Multiplicar os níveis de A e E AE A E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AE1 Testes 1 4 6 7 9 12 13 16 AE1 Testes 2 3 5 8 10 11 14 15 RAE 167507290754569005145699055807305 8 6676 RAE 170456775684076406880614569856280 8 6615 Efeito de AE66766615061 Interação BC Tamanho das Partículas x Intensidade de Agitação BC B C Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 BC1 Testes 1 4 5 8 10 13 14 15 BC1 Testes 2 3 6 7 9 11 12 16 RBC167507290684076406880558069856280 8 6781 RBC170456775754569005145614569907305 8 6568 Efeito de BC67816568213 Interação BE Tamanho das Partículas x Concentração de Ácido BE B E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 BE1 Testes 1 4 6 7 9 12 13 16 BE1 Testes 2 3 5 8 10 11 14 15 RBE 167507290754569005145699055807305 8 6626 RBE 1 70456775684076406880614569856280 8 6635 Efeito de BE66266635009 Interação CE Intensidade de Agitação x Concentração de Ácido CE C E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 CE1 Testes 1 4 6 7 9 12 13 16 CE1 Testes 2 3 5 8 10 11 14 15 RCE 1 67507290754569005145699055807305 8 6651 RCE 1 70456775684076406880614569856280 8 6677 Efeito de CE66516677026 4 Efeitos de terceira ordem Definição de interação de terceira ordem a interação de terceira ordem entre três fatores X Y Z avalia como a combinação dos níveis dos três fatores afeta a resposta média Rmédia Efeito da interaçãoRXYZ 1 R XYZ 1 Onde XYZ1 Casos em que o produto dos níveis dos três fatores resulta 1 número par de fatores 1 XYZ1 Casos em que o produto dos níveis dos três fatores resulta 1 número ímpar de fatores 1 Interação ABC Temperatura x Tamanho das Partículas x Intensidade de Agitação ABC A B C Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABC1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 ABC1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 RABC 1 70457290754576406880699069857305 8 7210 RABC 1 67506775684069005145614555806280 8 7401 Efeito de ABC72107401191 Interação ABE Temperatura x Tamanho das Partículas x Concentração de Ácido ABE A B E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABE1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 ABE1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 RABE 1 70457290754576406880699069857305 8 6765 RABE 167506775684069005145614555806280 8 6667 Efeito de ABE67656667098 Interação ACE Temperatura x Intensidade de Agitação x Concentração de Ácido ACE A C E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ACE1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 ACE1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 RACE 170457290754576406880699069857305 8 6870 RACE 1 67506775684069005145614555806280 8 6910 Efeito de ACE68706910041 Interação BCE Tamanho das Partículas x Intensidade de Agitação x Concentração de Ácido BCE B C E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 BCE1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 BCE1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 RBCE1 70457290754576406880699069857305 8 6620 RBCE167506775684069005145614555806280 8 6617 Efeito de BCE66206617003 5 Efeitos de quarta ordem A interação de quarta ordem avalia como a combinação dos níveis de quatro fatores A B C E afeta a resposta média Rmédia Efeito da interaçãoRABCE1 RABCE1 Onde ABCE1 Casos em que o produto dos níveis dos quatro fatores resulta 1 número par de fatores 1 ABCE1 Casos em que o produto dos níveis dos quatro fatores resulta 1 número ímpar de fatores 1 ABCE A B C E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABCE1 Testes 2 3 6 7 10 11 14 15 ABCE1 Testes 1 4 5 8 9 12 13 16 RABCE 170456775754569006880614569856280 8 6882 RABCE 167507290684076405145699055807305 8 6795 Efeito de ABCERABCE 1 RABCE 168826795087 6 Teste de Fischer Agora vamos ao teste de Fischer Temos que calcular a soma R1R2 2 R1R268866270670367 468173372568967974676 368969176176750 6523684692632597 696702535581705692620636732729 R1R226030 70810170206170835064 6131603 Agora elevamos ao quadrado cada uma das diferenças R1R2 2676009 0490641028900403628906412250362116169256009 Somamos todos os valores obtidos SQerro676009049064102890040 3628906412250362116169256009 SQerro5391 Os graus de liberdade associados são G Lerro16 2116 Finalmente calculamos M Serro SQerro G Lerro M Serro5391 16 3369375 Aplicando o teste de Fischer FcalculadoEfeito 2 M Serro Para A Temperatura o efeito é 908125 F A 908125 2 3369375 F A8246622890625 3369375 F A24 48 Para B Tamanho das partículas o efeito é 684375 FB 684375 2 3369375 FB 46838091015625 3369375 FB13 90 Para C Intensidade de agitação o efeito é 319375 FC 319375 2 3369375 FC1020207015625 3369375 FC303 Para E Concentração de ácido o efeito é 256875 FE 256875 2 3369375 FE659847265625 3369375 FE196 Notase que todos os outros efeitos possuem valores inferiores a 319375 efeito de C cujo teste de Fisher ficou inferior a Ftab448 Logo todos os outros efeitos são irrelevantes no contexto do problema 7 Otimização das variáveis O modelo estatístico reduzido é Yμ βA AβBB Onde μ média global das respostas β A coeficiente do efeito de A calculado como β AEfeito de A 2 βB coeficiente do efeito de B calculado como βBEfeito de B 2 A média global é μmédia global das respostas R1 e R2 μmédia de R1média de R2 2 média de R167925 média de R267796875 Portanto μ6792567796875 2 678609375 Os efeitos são Efeito de A908125 β A908125 2 4540625 Efeito de B684375β B684375 2 3421875 Agora calculamos Y para todas as combinações de níveis experimentais de A e B 1 e 1 Para A 1 B 1 Yμ βA 1 βB 1 Y6786093754540625134218751 Y6786093754540625342187566440625 Para A 1 B 1 Yμ βA 1 βB 1 Y6786093754540625134218751 Y6786093754540625342187559596875 Para A 1 B 1 Yμ βA 1 βB 1 Y67860937545406251 34218751 Y6786093754540625342187575521875 Para A 1 B 1 Yμ βA 1 βB 1 Y67860937545406251 34218751 Y6786093754540625342187568678125 A resposta máxima é Y75521875 que ocorre para A 1 e B 1 Isso indica que a melhor combinação para maximizar a resposta é a temperatura no nível superior 1 e o tamanho das partículas no nível inferior 1 8 Expressão final para os resultados otimizados Yμ βA AβBB μ678609375β A4540625 βB3421875 Portanto a expressão final é Y6786093754540625 A3421875B
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PPGEMCPGEMUFMG EMT873Tópicos Especiais CAnálise Estatística de Experimentos Metalúrgicos EMT873 Tópicos Especiais C Análise Estatística de Experimentos Metalúrgicos Lista de Exercícios 2 Resolva o exercício explicitando o passoapasso da sua solução Consider a copper ore leaching using sulfuric acid leaching in a Pachuca reactor vessel and the variables temperature ore particle size stirring intensity and sulfuric acid concentration as operational variables Table 1 shows the variables and their experimental levels The experimental results obtained are shown in table 2 Using the a replicated full factorial method design for variables and their interaction evaluation find the rank of the most significant variables and interactions on the percentage of copper extraction Besides this evaluation optimize the experimental results using the step path statistical optimization method for maximum copper extraction Finally use the Fisher method to determine the algebraic expression of the statistical model adopted for this exercise Ftab449 Table 1 Selected Variables and their Experimental Levels Used in the Replicated Full Factorial Design Method Variables Upper Lower A Temperature oC 80 25 B Ore particle size 85 200mesh 100 200mesh C Stirring intensity rpm 330 135 E Sulfuric acid concentration kgt 1104 736 Table 2 Matrix Block for Sixteen Replicated Experiments According to the Full Factorial Design Method and their Respective Copper Extraction Responses R1 R2 Test Effect Variables Responses A B C E R1 R2 1 i 688 662 2 A 706 703 3 C 674 681 4 AC 733 725 5 E 689 679 6 AE 746 763 7 CE 689 691 8 ACE 761 767 9 B 506 523 10 AB 684 692 11 BC 632 597 12 ABC 696 702 13 BE 535 581 14 ABE 705 692 15 BCE 620 636 16 ABCE 732 729 1 Médias das respostas dos experimentos Primeiro precisamos calcular as médias 𝑅𝑚é𝑑𝑖𝑎 para todos os 16 experimentos 𝑅1𝑚é𝑑𝑖𝑎 688 662 2 675 𝑅2𝑚é𝑑𝑖𝑎 706 703 2 7045 𝑅3𝑚é𝑑𝑖𝑎 674 681 2 6775 𝑅4𝑚é𝑑𝑖𝑎 733 725 2 7290 𝑅5𝑚é𝑑𝑖𝑎 689 679 2 6840 𝑅6𝑚é𝑑𝑖𝑎 746 763 2 7545 𝑅7𝑚é𝑑𝑖𝑎 689 691 2 6900 𝑅8𝑚é𝑑𝑖𝑎 761 767 2 7640 𝑅9𝑚é𝑑𝑖𝑎 506 523 2 5145 𝑅10𝑚é𝑑𝑖𝑎 684 692 2 6880 𝑅11𝑚é𝑑𝑖𝑎 632 597 2 6145 𝑅12𝑚é𝑑𝑖𝑎 696 702 2 6990 𝑅13𝑚é𝑑𝑖𝑎 535 581 2 5580 𝑅14𝑚é𝑑𝑖𝑎 705 692 2 6985 𝑅15𝑚é𝑑𝑖𝑎 620 636 2 6280 𝑅16𝑚é𝑑𝑖𝑎 732 729 2 7305 2 Efeitos de primeira ordem O efeito principal de um fator é a diferença entre a média das respostas 𝑅𝑚é𝑑𝑖𝑎 quando o fator está no nível 1 e a média das respostas quando o fator está no nível 1 Efeito do fator 𝑅1 𝑅1 Onde 𝑅1 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 1 𝑅1 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 1 Fator A Temperatura Nível 1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 Nível 1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 Médias 𝑅1 7045 7290 7545 7640 6880 6990 6985 7305 8 7210 𝑅1 6750 6775 6840 6900 5145 6145 5580 6280 8 6302 Efeito Efeito de A 7210 6302 908 Fator B Tamanho das partículas Nível 1 Testes 9 10 11 12 13 14 15 16 Nível 1 Testes 1 2 3 4 5 6 7 8 Médias 𝑅1 5145 6880 6145 6990 5580 6985 6280 7305 8 6442 𝑅1 6750 7045 6775 7290 6840 7545 6900 7640 8 7126 Efeito Efeito de B 6442 7126 684 Fator C Intensidade de Agitação Nível 1 Testes 3 4 7 8 11 12 15 16 Nível 1 Testes 1 2 5 6 9 10 13 14 Médias 𝑅1 6775 7290 6900 7640 6145 6990 6280 7305 8 6966 𝑅1 6750 7045 6840 7545 5145 6880 5580 6985 8 6647 Efeito Efeito de C 6966 6647 319 Fator E Concentração de Ácido Nível 1 Testes 5 6 7 8 13 14 15 16 Nível 1 Testes 1 2 3 4 9 10 11 12 Médias 𝑅1 6840 7545 6900 7640 5580 6985 6280 7305 8 6997 𝑅1 6750 7045 6775 7290 5145 6880 6145 6990 8 6740 Efeito Efeito de E 6997 6740 257 Resumo dos Efeitos A Temperatura 908 B Tamanho das partículas 684 C Intensidade de agitação 319 E Concentração de ácido 257 3 Efeitos de segunda ordem A interação de segunda ordem entre dois fatores X e Y avalia como a combinação dos níveis dos dois fatores afeta a resposta média 𝑅𝑚é𝑑𝑖𝑎 Efeito da interação 𝑅𝑋𝑌1 𝑅𝑋𝑌1 Onde XY1 Casos em que os níveis dos fatores multiplicados resultam 1 níveis iguais ambos 1 ou ambos 1 XY1 Casos em que os níveis dos fatores multiplicados resultam 1 níveis diferentes um 1 e o outro 1 Interação AB Temperatura x Tamanho das Partículas Multiplicando os níveis de A e B AB A B Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Separando as médias 𝑅𝑚é𝑑𝑖𝑎 para AB1 e AB1 AB1 Testes 1 4 5 8 10 13 14 15 AB1 Testes 2 3 6 7 9 11 12 16 Calculando as médias 𝑅𝐴𝐵1 6750 7290 6840 7640 6880 5580 6985 6280 8 6797 𝑅𝐴𝐵1 7045 6775 7545 6900 5145 6145 6990 7305 8 6453 Efeito Efeito de AB 6797 6453 344 Interação AC Temperatura x Intensidade de Agitação Multiplicando os níveis de A e C AC A C Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AC1 Testes 1 4 6 7 10 12 13 15 AC1 Testes 2 3 5 8 9 11 14 16 Calculando as médias 𝑅𝐴𝐶1 6750 7290 7545 6900 6880 6990 5580 6280 8 6734 𝑅𝐴𝐶1 7045 6775 6840 7640 5145 6145 6985 7305 8 6861 Efeito Efeito de AC 6734 6861 127 Interação AE Temperatura x Concentração de Ácido Multiplicar os níveis de A e E AE A E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AE1 Testes 1 4 6 7 9 12 13 16 AE1 Testes 2 3 5 8 10 11 14 15 𝑅𝐴𝐸1 6750 7290 7545 6900 5145 6990 5580 7305 8 6676 𝑅𝐴𝐸1 7045 6775 6840 7640 6880 6145 6985 6280 8 6615 Efeito de AE 6676 6615 061 Interação BC Tamanho das Partículas x Intensidade de Agitação BC B C Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 BC1 Testes 1 4 5 8 10 13 14 15 BC1 Testes 2 3 6 7 9 11 12 16 𝑅𝐵𝐶1 6750 7290 6840 7640 6880 5580 6985 6280 8 6781 𝑅𝐵𝐶1 7045 6775 7545 6900 5145 6145 6990 7305 8 6568 Efeito de BC 6781 6568 213 Interação BE Tamanho das Partículas x Concentração de Ácido BE B E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 BE1 Testes 1 4 6 7 9 12 13 16 BE1 Testes 2 3 5 8 10 11 14 15 𝑅𝐵𝐸1 6750 7290 7545 6900 5145 6990 5580 7305 8 6626 𝑅𝐵𝐸1 7045 6775 6840 7640 6880 6145 6985 6280 8 6635 Efeito de BE 6626 6635 009 Interação CE Intensidade de Agitação x Concentração de Ácido CE C E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 CE1 Testes 1 4 6 7 9 12 13 16 CE1 Testes 2 3 5 8 10 11 14 15 𝑅𝐶𝐸1 6750 7290 7545 6900 5145 6990 5580 7305 8 6651 𝑅𝐶𝐸1 7045 6775 6840 7640 6880 6145 6985 6280 8 6677 Efeito de CE 6651 6677 026 4 Efeitos de terceira ordem Definição de interação de terceira ordem a interação de terceira ordem entre três fatores X Y Z avalia como a combinação dos níveis dos três fatores afeta a resposta média 𝑅𝑚é𝑑𝑖𝑎 Efeito da interação 𝑅𝑋𝑌𝑍1 𝑅𝑋𝑌𝑍1 Onde XYZ1 Casos em que o produto dos níveis dos três fatores resulta 1 número par de fatores 1 XYZ1 Casos em que o produto dos níveis dos três fatores resulta 1 número ímpar de fatores 1 Interação ABC Temperatura x Tamanho das Partículas x Intensidade de Agitação ABC A B C Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABC1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 ABC1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 𝑅𝐴𝐵𝐶1 7045 7290 7545 7640 6880 6990 6985 7305 8 7210 𝑅𝐴𝐵𝐶1 6750 6775 6840 6900 5145 6145 5580 6280 8 7401 Efeito de ABC 7210 7401 191 Interação ABE Temperatura x Tamanho das Partículas x Concentração de Ácido ABE A B E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABE1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 ABE1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 𝑅𝐴𝐵𝐸1 7045 7290 7545 7640 6880 6990 6985 7305 8 6765 𝑅𝐴𝐵𝐸1 6750 6775 6840 6900 5145 6145 5580 6280 8 6667 Efeito de ABE 6765 6667 098 Interação ACE Temperatura x Intensidade de Agitação x Concentração de Ácido ACE A C E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ACE1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 ACE1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 𝑅𝐴𝐶𝐸1 7045 7290 7545 7640 6880 6990 6985 7305 8 6870 𝑅𝐴𝐶𝐸1 6750 6775 6840 6900 5145 6145 5580 6280 8 6910 Efeito de ACE 6870 6910 041 Interação BCE Tamanho das Partículas x Intensidade de Agitação x Concentração de Ácido BCE B C E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 BCE1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 BCE1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 𝑅𝐵𝐶𝐸1 7045 7290 7545 7640 6880 6990 6985 7305 8 6620 𝑅𝐵𝐶𝐸1 6750 6775 6840 6900 5145 6145 5580 6280 8 6617 Efeito de BCE 6620 6617 003 5 Efeitos de quarta ordem A interação de quarta ordem avalia como a combinação dos níveis de quatro fatores A B C E afeta a resposta média 𝑅𝑚é𝑑𝑖𝑎 Efeito da interação 𝑅𝐴𝐵𝐶𝐸1 𝑅𝐴𝐵𝐶𝐸1 Onde ABCE1 Casos em que o produto dos níveis dos quatro fatores resulta 1 número par de fatores 1 ABCE1 Casos em que o produto dos níveis dos quatro fatores resulta 1 número ímpar de fatores 1 ABCE A B C E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABCE1 Testes 2 3 6 7 10 11 14 15 ABCE1 Testes 1 4 5 8 9 12 13 16 𝑅𝐴𝐵𝐶𝐸1 7045 6775 7545 6900 6880 6145 6985 6280 8 6882 𝑅𝐴𝐵𝐶𝐸1 6750 7290 6840 7640 5145 6990 5580 7305 8 6795 Efeito de ABCE 𝑅𝐴𝐵𝐶𝐸1 𝑅𝐴𝐵𝐶𝐸1 6882 6795 087 6 Teste de Fischer Agora vamos ao teste de Fischer Temos que calcular a soma R1 𝑅22 𝑅1 𝑅2 688 662 706 703 674 681 733 725 689 679 746 763 689 691 761 767 506 523 684 692 632 597 696 702 535 581 705 692 620 636 732 729 𝑅1 𝑅2 26 03 07 08 10 17 02 06 17 08 35 06 46 13 16 03 Agora elevamos ao quadrado cada uma das diferenças 𝑅1 𝑅22 676 009 049 064 10 289 004 036 289 064 1225 036 2116 169 256 009 Somamos todos os valores obtidos 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 676 009 049 064 10 289 004 036 289 064 1225 036 2116 169 256 009 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 5391 Os graus de liberdade associados são 𝐺𝐿𝑒𝑟𝑟𝑜 16 2 1 16 Finalmente calculamos 𝑀𝑆𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 𝐺𝐿𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑀𝑆𝑒𝑟𝑟𝑜 5391 16 3369375 Aplicando o teste de Fischer 𝐹calculado Efeito2 𝑀𝑆erro Para A Temperatura o efeito é 908125 𝐹𝐴 9081252 3369375 𝐹𝐴 8246622890625 3369375 𝐹𝐴 2448 Para B Tamanho das partículas o efeito é 684375 𝐹𝐵 6843752 3369375 𝐹𝐵 46838091015625 3369375 𝐹𝐵 1390 Para C Intensidade de agitação o efeito é 319375 𝐹𝐶 3193752 3369375 𝐹𝐶 1020207015625 3369375 𝐹𝐶 303 Para E Concentração de ácido o efeito é 256875 𝐹𝐸 2568752 3369375 𝐹𝐸 659847265625 3369375 𝐹𝐸 196 Notase que todos os outros efeitos possuem valores inferiores a 319375 efeito de C cujo teste de Fisher ficou inferior a 𝐹𝑡𝑎𝑏 448 Logo todos os outros efeitos são irrelevantes no contexto do problema 7 Otimização das variáveis O modelo estatístico reduzido é 𝑌 𝜇 𝛽𝐴 𝐴 𝛽𝐵 𝐵 Onde 𝜇 média global das respostas 𝛽𝐴 coeficiente do efeito de A calculado como 𝛽𝐴 Efeito de A 2 𝛽𝐵 coeficiente do efeito de B calculado como 𝛽𝐵 Efeito de B 2 A média global é 𝜇 média global das respostas 𝑅1 e 𝑅2 𝜇 média de 𝑅1 média de 𝑅2 2 média de 𝑅1 67925 média de 𝑅2 67796875 Portanto 𝜇 67925 67796875 2 678609375 Os efeitos são Efeito de A 908125 𝛽𝐴 908125 2 4540625 Efeito de B 684375 𝛽𝐵 684375 2 3421875 Agora calculamos 𝑌 para todas as combinações de níveis experimentais de A e B 1 e 1 Para A 1 B 1 𝑌 𝜇 𝛽𝐴 1 𝛽𝐵 1 𝑌 678609375 4540625 1 3421875 1 𝑌 678609375 4540625 3421875 66440625 Para A 1 B 1 𝑌 𝜇 𝛽𝐴 1 𝛽𝐵 1 𝑌 678609375 4540625 1 3421875 1 𝑌 678609375 4540625 3421875 59596875 Para A 1 B 1 𝑌 𝜇 𝛽𝐴 1 𝛽𝐵 1 𝑌 678609375 4540625 1 3421875 1 𝑌 678609375 4540625 3421875 75521875 Para A 1 B 1 𝑌 𝜇 𝛽𝐴 1 𝛽𝐵 1 𝑌 678609375 4540625 1 3421875 1 𝑌 678609375 4540625 3421875 68678125 A resposta máxima é 𝑌 75521875 que ocorre para A 1 e B 1 Isso indica que a melhor combinação para maximizar a resposta é a temperatura no nível superior 1 e o tamanho das partículas no nível inferior 1 8 Expressão final para os resultados otimizados 𝑌 𝜇 𝛽𝐴 𝐴 𝛽𝐵 𝐵 𝜇 678609375 𝛽𝐴 4540625 𝛽𝐵 3421875 Portanto a expressão final é 𝑌 678609375 4540625 𝐴 3421875 𝐵 1 Médias das respostas dos experimentos Primeiro precisamos calcular as médias Rmédia para todos os 16 experimentos R1mé dia688662 2 675 R2mé dia706703 2 7045 R3mé dia674681 2 6775 R4 mé dia733725 2 7290 R5mé dia689679 2 6840 R6mé dia746763 2 7545 R7mé dia689691 2 6900 R8mé dia761767 2 7640 R9mé dia506523 2 5145 R10mé dia684692 2 6880 R11 mé dia632597 2 6145 R12mé dia696702 2 6990 R13mé dia535581 2 5580 R14 mé dia705692 2 6985 R15mé dia620636 2 6280 R16mé dia732729 2 7305 2 Efeitos de primeira ordem O efeito principal de um fator é a diferença entre a média das respostas Rmédia quando o fator está no nível 1 e a média das respostas quando o fator está no nível 1 Efeito do fatorR1R1 Onde R1mé diadasrespostas comofator noní vel1 R1mé diadas respostascomofatornoní vel1 Fator A Temperatura Nível 1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 Nível 1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 Médias R170457290754576406880699069857305 8 7210 R167506775684069005145614555806280 8 6302 Efeito Efeito de A72106302908 Fator B Tamanho das partículas Nível 1 Testes 9 10 11 12 13 14 15 16 Nível 1 Testes 1 2 3 4 5 6 7 8 Médias R151456880614569905580698562807305 8 6442 R167507045677572906840754569007640 8 7126 Efeito Efeito de B64427126684 Fator C Intensidade de Agitação Nível 1 Testes 3 4 7 8 11 12 15 16 Nível 1 Testes 1 2 5 6 9 10 13 14 Médias R167757290690076406145699062807305 8 6966 R167507045684075455145688055806985 8 6647 Efeito Efeito de C69666647319 Fator E Concentração de Ácido Nível 1 Testes 5 6 7 8 13 14 15 16 Nível 1 Testes 1 2 3 4 9 10 11 12 Médias R168407545690076405580698562807305 8 6997 R167507045677572905145688061456990 8 6740 Efeito Efeito de E69976740257 Resumo dos Efeitos A Temperatura 908 B Tamanho das partículas 684 C Intensidade de agitação 319 E Concentração de ácido 257 3 Efeitos de segunda ordem A interação de segunda ordem entre dois fatores X e Y avalia como a combinação dos níveis dos dois fatores afeta a resposta média Rmédia Efeito da interaçãoRXY 1RXY 1 Onde XY1 Casos em que os níveis dos fatores multiplicados resultam 1 níveis iguais ambos 1 ou ambos 1 XY1 Casos em que os níveis dos fatores multiplicados resultam 1 níveis diferentes um 1 e o outro 1 Interação AB Temperatura x Tamanho das Partículas Multiplicando os níveis de A e B AB A B Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Separando as médias Rmédia para AB1 e AB1 AB1 Testes 1 4 5 8 10 13 14 15 AB1 Testes 2 3 6 7 9 11 12 16 Calculando as médias RAB 1 67507290684076406880558069856280 8 6797 RAB 170456775754569005145614569907305 8 6453 Efeito Efeito de AB67976453344 Interação AC Temperatura x Intensidade de Agitação Multiplicando os níveis de A e C AC A C Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AC1 Testes 1 4 6 7 10 12 13 15 AC1 Testes 2 3 5 8 9 11 14 16 Calculando as médias RAC 1 67507290754569006880699055806280 8 6734 RAC 170456775684076405145614569857305 8 6861 Efeito Efeito de AC67346861127 Interação AE Temperatura x Concentração de Ácido Multiplicar os níveis de A e E AE A E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AE1 Testes 1 4 6 7 9 12 13 16 AE1 Testes 2 3 5 8 10 11 14 15 RAE 167507290754569005145699055807305 8 6676 RAE 170456775684076406880614569856280 8 6615 Efeito de AE66766615061 Interação BC Tamanho das Partículas x Intensidade de Agitação BC B C Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 BC1 Testes 1 4 5 8 10 13 14 15 BC1 Testes 2 3 6 7 9 11 12 16 RBC167507290684076406880558069856280 8 6781 RBC170456775754569005145614569907305 8 6568 Efeito de BC67816568213 Interação BE Tamanho das Partículas x Concentração de Ácido BE B E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 BE1 Testes 1 4 6 7 9 12 13 16 BE1 Testes 2 3 5 8 10 11 14 15 RBE 167507290754569005145699055807305 8 6626 RBE 1 70456775684076406880614569856280 8 6635 Efeito de BE66266635009 Interação CE Intensidade de Agitação x Concentração de Ácido CE C E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 CE1 Testes 1 4 6 7 9 12 13 16 CE1 Testes 2 3 5 8 10 11 14 15 RCE 1 67507290754569005145699055807305 8 6651 RCE 1 70456775684076406880614569856280 8 6677 Efeito de CE66516677026 4 Efeitos de terceira ordem Definição de interação de terceira ordem a interação de terceira ordem entre três fatores X Y Z avalia como a combinação dos níveis dos três fatores afeta a resposta média Rmédia Efeito da interaçãoRXYZ 1 R XYZ 1 Onde XYZ1 Casos em que o produto dos níveis dos três fatores resulta 1 número par de fatores 1 XYZ1 Casos em que o produto dos níveis dos três fatores resulta 1 número ímpar de fatores 1 Interação ABC Temperatura x Tamanho das Partículas x Intensidade de Agitação ABC A B C Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABC1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 ABC1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 RABC 1 70457290754576406880699069857305 8 7210 RABC 1 67506775684069005145614555806280 8 7401 Efeito de ABC72107401191 Interação ABE Temperatura x Tamanho das Partículas x Concentração de Ácido ABE A B E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABE1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 ABE1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 RABE 1 70457290754576406880699069857305 8 6765 RABE 167506775684069005145614555806280 8 6667 Efeito de ABE67656667098 Interação ACE Temperatura x Intensidade de Agitação x Concentração de Ácido ACE A C E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ACE1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 ACE1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 RACE 170457290754576406880699069857305 8 6870 RACE 1 67506775684069005145614555806280 8 6910 Efeito de ACE68706910041 Interação BCE Tamanho das Partículas x Intensidade de Agitação x Concentração de Ácido BCE B C E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 BCE1 Testes 2 4 6 8 10 12 14 16 BCE1 Testes 1 3 5 7 9 11 13 15 RBCE1 70457290754576406880699069857305 8 6620 RBCE167506775684069005145614555806280 8 6617 Efeito de BCE66206617003 5 Efeitos de quarta ordem A interação de quarta ordem avalia como a combinação dos níveis de quatro fatores A B C E afeta a resposta média Rmédia Efeito da interaçãoRABCE1 RABCE1 Onde ABCE1 Casos em que o produto dos níveis dos quatro fatores resulta 1 número par de fatores 1 ABCE1 Casos em que o produto dos níveis dos quatro fatores resulta 1 número ímpar de fatores 1 ABCE A B C E Resultados 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABCE1 Testes 2 3 6 7 10 11 14 15 ABCE1 Testes 1 4 5 8 9 12 13 16 RABCE 170456775754569006880614569856280 8 6882 RABCE 167507290684076405145699055807305 8 6795 Efeito de ABCERABCE 1 RABCE 168826795087 6 Teste de Fischer Agora vamos ao teste de Fischer Temos que calcular a soma R1R2 2 R1R268866270670367 468173372568967974676 368969176176750 6523684692632597 696702535581705692620636732729 R1R226030 70810170206170835064 6131603 Agora elevamos ao quadrado cada uma das diferenças R1R2 2676009 0490641028900403628906412250362116169256009 Somamos todos os valores obtidos SQerro676009049064102890040 3628906412250362116169256009 SQerro5391 Os graus de liberdade associados são G Lerro16 2116 Finalmente calculamos M Serro SQerro G Lerro M Serro5391 16 3369375 Aplicando o teste de Fischer FcalculadoEfeito 2 M Serro Para A Temperatura o efeito é 908125 F A 908125 2 3369375 F A8246622890625 3369375 F A24 48 Para B Tamanho das partículas o efeito é 684375 FB 684375 2 3369375 FB 46838091015625 3369375 FB13 90 Para C Intensidade de agitação o efeito é 319375 FC 319375 2 3369375 FC1020207015625 3369375 FC303 Para E Concentração de ácido o efeito é 256875 FE 256875 2 3369375 FE659847265625 3369375 FE196 Notase que todos os outros efeitos possuem valores inferiores a 319375 efeito de C cujo teste de Fisher ficou inferior a Ftab448 Logo todos os outros efeitos são irrelevantes no contexto do problema 7 Otimização das variáveis O modelo estatístico reduzido é Yμ βA AβBB Onde μ média global das respostas β A coeficiente do efeito de A calculado como β AEfeito de A 2 βB coeficiente do efeito de B calculado como βBEfeito de B 2 A média global é μmédia global das respostas R1 e R2 μmédia de R1média de R2 2 média de R167925 média de R267796875 Portanto μ6792567796875 2 678609375 Os efeitos são Efeito de A908125 β A908125 2 4540625 Efeito de B684375β B684375 2 3421875 Agora calculamos Y para todas as combinações de níveis experimentais de A e B 1 e 1 Para A 1 B 1 Yμ βA 1 βB 1 Y6786093754540625134218751 Y6786093754540625342187566440625 Para A 1 B 1 Yμ βA 1 βB 1 Y6786093754540625134218751 Y6786093754540625342187559596875 Para A 1 B 1 Yμ βA 1 βB 1 Y67860937545406251 34218751 Y6786093754540625342187575521875 Para A 1 B 1 Yμ βA 1 βB 1 Y67860937545406251 34218751 Y6786093754540625342187568678125 A resposta máxima é Y75521875 que ocorre para A 1 e B 1 Isso indica que a melhor combinação para maximizar a resposta é a temperatura no nível superior 1 e o tamanho das partículas no nível inferior 1 8 Expressão final para os resultados otimizados Yμ βA AβBB μ678609375β A4540625 βB3421875 Portanto a expressão final é Y6786093754540625 A3421875B