Young e Freedman - Física III Eletromagnetismo 14ed - Livro

ISBN 9788543015910 Engenharia w w w p e a r s o n c o m b r Física w w w p e a r s o n c o m b r svpearsoncombr A Sala Virtual oferece para professores apresentações em PowerPoint manual de soluções e exercícios adicionais em inglês Para estudantes exercícios adicionais Este livro também está disponível para compra em formato ebook Para adquirilo acesse nosso site 14e ELETROMAGNETISMO YOUNG FREEDMAN III FÍSICA Desde sua primeira edição esta obra tem sido referência por sua ênfase nos princípios fundamentais de física e em como aplicálos Estruturado de maneira clara e com uma didática minuciosa aliada a uma extensa gama de exercícios e exemplos explicativos este livro permite que os alunos desenvolvam habilidades de identificação estabele cimento execução e avaliação de problemas Fundamental para estudantes dos cursos de graduação em matemática física e para todos os ramos da engenharia esta 14a edição foi totalmente atualizada e revisada para oferecer um aprendizado eficaz por meio de uma abordagem mais explicativa somada a uma quantidade maior de figuras fotos e exercícios E todo esse conteúdo é complementado por notas explicativas nas principais equações quadros com os erros mais comuns conteúdo atualizado da física moderna e aplicações de biociência o que o torna a grande referência para os estudiosos da área SEARS ZEMANSKY 14e YOUNG FREEDMAN SEARS ZEMANSKY FÍSICA III ELETROMAGNETISMO ELETROMAGNETISMO III FÍSICA 14e YOUNG FREEDMAN SEARS ZEMANSKY VIRA VIRA VIRA VIRA 9788543015910SEARSFÍSICA IIIindd 1 18122015 102746 III FÍSICA ELETROMAGNETISMO 14e YOUNG FREEDMAN SEARS ZEMANSKY BookSEARSVol3indb 1 101115 655 PM BookSEARSVol3indb 2 101115 655 PM 14e YOUNG FREEDMAN III FÍSICA SEARS ZEMANSKY Hugh D Young Roger A Freedman Universidade da Califórnia Santa Bárbara Colaborador A Lewis Ford Universidade AM do Texas Tradutores Daniel Vieira e Lucas Pilar Revisão técnica Adir Moysés Luiz Doutor em ciência Professor associado aposentado do Instituto de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro ELETROMAGNETISMO BookSEARSVol3indb 3 101115 655 PM Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Young Hugh D Física III Sears e Zemansky eletromagnetismo Hugh D Young Roger A Freedman colaborador A Lewis Ford tradução Lucas Pilar da Silva e Daniel Vieira revisão técnica Adir Moysés Luiz 14 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2015 Título original University physics with modern physics ISBN 9788543018157 1 Eletromagnetismo 2 Física I Freedman Roger A II Ford A Lewis III Título 1509796 CDD537 Índice para catálogo sistemático 1 Eletromagnetismo Física 537 2016 by Pearson Education do Brasil Ltda Copyright 2016 2014 2012 by Pearson Inc Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Pearson Education do Brasil Gerente editorial Thiago Anacleto Supervisora de produção editorial Silvana Afonso Coordenador de produção editorial Jean Xavier Editor de aquisições Vinícius Souza Editora de texto Sabrina Levensteinas Editores assistentes Marcos Guimarães e Karina Ono Preparação Renata Siqueira Campos Revisão Oitava Rima Capa Solange Rennó Projeto gráfico e diagramação Casa de Ideias 2015 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil Ltda uma empresa do grupo Pearson Education Avenida Santa Marina 1193 CEP 05036001 São Paulo SP Brasil Fone 11 38213542 vendaspearsoncom A01SEARS00001SEA01indd 4 111115 916 AM FÍSICA III ELETROMAGNETISMO 21 CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO 1 211 Carga elétrica 2 212 Condutores isolantes e cargas induzidas 5 213 Lei de Coulomb 8 214 Campo elétrico e forças elétricas 13 215 Determinação do campo elétrico 18 216 Linhas de um campo elétrico 24 217 Dipolos elétricos 25 Resumo 30 Problemasexercíciosrespostas 32 22 LEI DE GAUSS 43 221 Carga elétrica e fluxo elétrico 43 222 Determinação do fluxo elétrico 46 223 Lei de Gauss 51 224 Aplicações da lei de Gauss 55 225 Cargas em condutores 61 Resumo 65 Problemasexercíciosrespostas 67 23 POTENCIAL ELÉTRICO 75 231 Energia potencial elétrica 75 232 Potencial elétrico 82 233 Determinação do potencial elétrico 89 234 Superfícies equipotenciais 93 235 Gradiente de potencial 96 Resumo 99 Problemasexercíciosrespostas 101 24 CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS 111 241 Capacitância e capacitores 112 242 Capacitores em série e em paralelo 116 243 Armazenamento de energia em capacitores e energia do campo elétrico 120 244 Dielétricos 124 245 Modelo molecular da carga induzida 130 246 Lei de Gauss em dielétricos 132 Resumo 134 Problemasexercíciosrespostas 136 25 CORRENTE RESISTÊNCIA E FORÇA ELETROMOTRIZ 145 251 Corrente 146 252 Resistividade 150 253 Resistência 152 254 Força eletromotriz e circuitos 156 255 Energia e potência em circuitos elétricos 162 256 Teoria da condução em metais 167 Resumo 169 Problemasexercíciosrespostas 171 26 CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA 180 261 Resistores em série e em paralelo 180 262 Leis de Kirchhoff 186 263 Instrumentos de medidas elétricas 191 264 Circuitos RC 196 265 Sistemas de distribuição de potência 201 Resumo 205 Problemasexercíciosrespostas 207 27 CAMPO MAGNÉTICO E FORÇAS MAGNÉTICAS 218 271 Magnetismo 219 272 Campo magnético 221 273 Linhas do campo magnético e fluxo magnético 225 274 Movimento de partículas carregadas em um campo magnético 228 275 Aplicações do movimento de partículas carregadas 232 276 Força magnética sobre um condutor conduzindo uma corrente 235 277 Força e torque sobre uma espira de corrente 238 278 O motor de corrente contínua 245 279 O efeito Hall 247 Resumo 249 Problemasexercíciosrespostas 251 28 FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO 263 281 Campo magnético de uma carga em movimento 264 282 Campo magnético de um elemento de corrente 266 283 Campo magnético de um condutor retilíneo conduzindo uma corrente 269 284 Força entre condutores paralelos 272 285 Campo magnético de uma espira circular 274 286 Lei de Ampère 277 287 Aplicações da lei de Ampère 281 288 Materiais magnéticos 284 Resumo 291 Problemasexercíciosrespostas 293 SUMÁRIO BookSEARSVol3indb 5 101115 655 PM VI Física III 29 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 304 291 Experiências de indução 305 292 Lei de Faraday 306 293 Lei de Lenz 315 294 Força eletromotriz produzida pelo movimento 317 295 Campos elétricos induzidos 320 296 Correntes de Foucault 322 297 Corrente de deslocamento e equações de Maxwell 323 298 Supercondutividade 328 Resumo 330 Problemasexercíciosrespostas 332 30 INDUTÂNCIA 343 301 Indutância mútua 344 302 Indutores e autoindutância 347 303 Energia do campo magnético 351 304 O circuito RL 354 305 O circuito LC 359 306 O circuito LRC em série 363 Resumo 366 Problemasexercíciosrespostas 367 31 CORRENTE ALTERNADA 376 311 Fasor e corrente alternada 376 312 Resistência e reatância 380 313 O circuito LRC em série 386 314 Potência em circuitos de corrente alternada 391 315 Ressonância em circuitos de corrente alternada 394 316 Transformadores 397 Resumo 401 Problemasexercíciosrespostas 402 32 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 410 321 Equações de Maxwell e ondas eletromagnéticas 411 322 Ondas eletromagnéticas planas e a velocidade da luz 414 323 Ondas eletromagnéticas senoidais 421 324 Energia e momento linear em ondas eletromagnéticas 425 325 Ondas eletromagnéticas estacionárias 431 Resumo 434 Problemasexercíciosrespostas 435 FÍSICA I MECÂNICA 1 UNIDADES GRANDEZAS FÍSICAS E VETORES 11 A natureza da física 12 Solução de problemas de física 13 Padrões e unidades 14 Utilização e conversão de unidades 15 Incerteza e algarismos significativos 16 Estimativas e ordens de grandeza 17 Vetores e soma vetorial 18 Componentes de vetores 19 Vetores unitários 110 Produtos de vetores Resumo ProblemasExercíciosRespostas 2 MOVIMENTO RETILÍNEO 21 Deslocamento tempo e velocidade média 22 Velocidade instantânea 23 Aceleração instantânea e aceleração média 24 Movimento com aceleração constante 25 Queda livre de corpos 26 Velocidade e posição por integração Resumo ProblemasExercíciosRespostas 3 MOVIMENTO EM DUAS OU TRÊS DIMENSÕES 31 Vetor posição e vetor velocidade 32 Vetor aceleração 33 Movimento de um projétil 34 Movimento circular 35 Velocidade relativa Resumo ProblemasExercíciosRespostas 4 LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO 41 Força e interações 42 Primeira lei de Newton 43 Segunda lei de Newton 44 Massa e peso 45 Terceira lei de Newton 46 Exemplos de diagramas do corpo livre Resumo ProblemasExercíciosRespostas 5 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON 51 Uso da primeira lei de Newton partículas em equilíbrio 52 Uso da segunda lei de Newton dinâmica de partículas 53 Forças de atrito 54 Dinâmica do movimento circular 55 Forças fundamentais da natureza Resumo ProblemasExercíciosRespostas 6 TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA 61 Trabalho 62 Energia cinética e o teorema do trabalhoenergia 63 Trabalho e energia com forças variáveis 64 Potência Resumo ProblemasExercíciosRespostas BookSEARSVol3indb 6 101115 655 PM Sumário VII 7 ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 71 Energia potencial gravitacional 72 Energia potencial elástica 73 Forças conservativas e forças não conservativas 74 Força e energia potencial 75 Diagramas de energia Resumo ProblemasExercíciosRespostas 8 MOMENTO LINEAR IMPULSO E COLISÕES 81 Momento linear e impulso 82 Conservação do momento linear 83 Conservação do momento linear e colisões 84 Colisões elásticas 85 Centro de massa 86 Propulsão de um foguete Resumo ProblemasExercíciosRespostas 9 ROTAÇÃO DE CORPOS RÍGIDOS 91 Velocidade angular e aceleração angular 92 Rotação com aceleração angular constante 93 Relações entre a cinemática linear e a angular 94 Energia no movimento de rotação 95 Teorema dos eixos paralelos 96 Cálculos do momento de inércia Resumo ProblemasExercíciosRespostas 10 DINÂMICA DO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO 101 Torque 102 Torque e aceleração angular de um corpo rígido 103 Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo móvel 104 Trabalho e potência no movimento de rotação 105 Momento angular 106 Conservação do momento angular 107 Giroscópios e precessão Resumo ProblemasExercíciosRespostas 11 EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE 111 Condições de equilíbrio 112 Centro de gravidade 113 Solução de problemas de equilíbrio de corpos rígidos 114 Tensão deformação e módulos de elasticidade 115 Elasticidade e plasticidade Resumo ProblemasExercíciosRespostas FÍSICA II TERMODINÂMICA E ONDAS 12 GRAVITAÇÃO 121 Lei de Newton da gravitação 122 Peso 123 Energia potencial gravitacional 124 Movimento de satélites 125 As leis de Kepler e o movimento de planetas 126 Distribuição esférica de massa 127 Peso aparente e rotação da Terra 128 Buraco negro Resumo Problemasexercíciosrespostas 13 MOVIMENTO PERIÓDICO 131 Causas da oscilação 132 Movimento harmônico simples 133 Energia no movimento harmônico simples 134 Aplicações do movimento harmônico simples 135 O pêndulo simples 136 O pêndulo físico 137 Oscilações amortecidas 138 Oscilações forçadas e ressonância Resumo Problemasexercíciosrespostas 14 MECÂNICA DOS FLUIDOS 141 Gases líquidos e densidade 142 Pressão em um fluido 143 Empuxo 144 Escoamento de um fluido 145 Equação de Bernoulli 146 Viscosidade e turbulência Resumo Problemasexercíciosrespostas 15 ONDAS MECÂNICAS 151 Tipos de ondas mecânicas 152 Ondas periódicas 153 Descrição matemática das ondas 154 Velocidade de uma onda transversal 155 Energia no movimento ondulatório 156 Interferência de ondas condições de contorno de uma corda e princípio da superposição 157 Ondas sonoras estacionárias em uma corda 158 Modos normais de uma corda Resumo Problemasexercíciosrespostas 16 SOM E AUDIÇÃO 161 Ondas sonoras BookSEARSVol3indb 7 101115 655 PM VIII Física III 162 Velocidade das ondas sonoras 163 Intensidade do som 164 Ondas estacionárias e modos normais 165 Ressonância e som 166 Interferência de ondas 167 Batimentos 168 O efeito Doppler 169 Ondas de choque Resumo Problemasexercíciosrespostas 17 TEMPERATURA E CALOR 171 Temperatura e equilíbrio térmico 172 Termômetros e escalas de temperatura 173 Termômetro de gás e escala Kelvin 174 Expansão térmica 175 Quantidade de calor 176 Calorimetria e transições de fase 177 Mecanismos de transferência de calor Resumo Problemasexercíciosrespostas 18 PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA 181 Equações de estado 182 Propriedades moleculares da matéria 183 Modelo cinéticomolecular de um gás ideal 184 Calor específico 185 Velocidades moleculares 186 Fases da matéria Resumo Problemasexercíciosrespostas 19 A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA 191 Sistemas termodinâmicos 192 Trabalho realizado durante variações de volume 193 Caminhos entre estados termodinâmicos 194 Energia interna e a primeira lei da termodinâmica 195 Tipos de processos termodinâmicos 196 Energia interna de um gás ideal 197 Calor específico de um gás ideal 198 Processo adiabático de um gás ideal Resumo Problemasexercíciosrespostas 20 A SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA 201 Sentido de um processo termodinâmico 202 Máquinas térmicas 203 Máquinas de combustão interna 204 Refrigeradores 205 Segunda lei da termodinâmica 206 O ciclo de Carnot 207 Entropia 208 Interpretação microscópica da entropia Resumo Problemasexercíciosrespostas FÍSICA IV ÓTICA E FÍSICA MODERNA 33 NATUREZA E PROPAGAÇÃO DA LUZ 331 Natureza da luz 332 Reflexão e refração 333 Reflexão interna total 334 Dispersão 335 Polarização 336 Espalhamento da luz 337 Princípio de Huygens Resumo Problemasexercíciosrespostas 34 ÓTICA GEOMÉTRICA E INSTRUMENTOS DE ÓTICA 341 Reflexão e refração em uma superfície plana 342 Reflexão em uma superfície esférica 343 Refração em uma superfície esférica 344 Lentes delgadas 345 Câmera 346 O olho 347 A lupa 348 Microscópios e telescópios Resumo Problemasexercíciosrespostas 35 INTERFERÊNCIA 351 Interferência e fontes coerentes 352 Interferência da luz produzida por duas fontes 353 Intensidade das figuras de interferência 354 Interferência em películas finas 355 O interferômetro de Michelson Resumo Problemasexercíciosrespostas 36 DIFRAÇÃO 361 Difração de Fresnel e difração de Fraunhofer 362 Difração produzida por uma fenda simples 363 Intensidade na difração produzida por uma fenda simples 364 Fendas múltiplas 365 A rede de difração 366 Difração de raios X 367 Orifícios circulares e poder de resolução 368 Holografia Resumo Problemasexercíciosrespostas BookSEARSVol3indb 8 101115 655 PM Sumário IX 37 RELATIVIDADE 371 Invariância das leis físicas 372 Relatividade da simultaneidade 373 Relatividade dos intervalos de tempo 374 Relatividade do comprimento 375 As transformações de Lorentz 376 O efeito Doppler para as ondas eletromagnéticas 377 Momento linear relativístico 378 Trabalho e energia na relatividade 379 Mecânica newtoniana e relatividade Resumo Problemasexercíciosrespostas 38 FÓTONS ONDAS DE LUZ SE COMPORTANDO COMO PARTÍCULAS 381 Luz absorvida como fótons o efeito foloelétrico 382 Luz emitida como fótons produção de raios X 383 Luz dispersa como fótons dispersão de Compton e produção de pares 384 Dualidade ondapartícula probabilidade e incerteza Resumo Problemasexercíciosrespostas 39 A NATUREZA ONDULATÓRIA DAS PARTÍCULAS 391 Ondas de elétrons 392 O átomo nuclear e espectros atômicos 393 Níveis de energia e o modelo do átomo de Bohr 394 O laser 395 Espectros contínuos 396 Revisão do princípio da incerteza Resumo Problemasexercíciosrespostas 40 MECÂNICA QUÂNTICA I FUNÇÕES DE ONDA 401 Funções de onda e a equação unidimensional de Schrödinger 402 Partícula em uma caixa 403 Poços de potencial 404 Barreira de potencial e efeito túnel 405 O oscilador harmônico 406 Medição na mecânica quântica Resumo Problemasexercíciosrespostas 41 MECÂNICA QUÂNTICA II ESTRUTURA ATÔMICA 411 A equação de Schrödinger em três dimensões 412 Partícula em uma caixa tridimensional 413 O átomo de hidrogênio 414 O efeito de Zeeman 415 Spin eletrônico 416 Átomos com muitos elétrons e o princípio de exclusão 417 Espectro de raios X 418 Entrelaçamento quântico Resumo Problemasexercíciosrespostas 42 MOLÉCULAS E MATÉRIA CONDENSADA 421 Tipos de ligações moleculares 422 Espectro molecular 423 Estrutura de um sólido 424 Bandas de energia 425 Modelo do elétron livre para um metal 426 Semicondutores 427 Dispositivos semicondutores 428 Supercondutividade Resumo Problemasexercíciosrespostas 43 FÍSICA NUCLEAR 431 Propriedades do núcleo 432 Ligação nuclear e estrutura nuclear 433 Estabilidade nuclear e radioatividade 434 Atividade e meiavida 435 Efeitos biológicos da radiação 436 Reações nucleares 437 Fissão nuclear 438 Fusão nuclear Resumo Problemasexercíciosrespostas 44 FÍSICA DAS PARTÍCULAS E COSMOLOGIA 441 Partículas fundamentais uma história 442 Aceleradores de partículas e detectores 443 Interações entre partículas 444 Quarks e o modelo com simetria de oito modos 445 O modelo padrão e os modelos futuros 446 O universo em expansão 447 O começo do tempo Resumo Problemasexercíciosrespostas APÊNDICES A O sistema internacional de unidades 443 B Relações matemáticas úteis 445 C Alfabeto grego 447 D Tabela periódica dos elementos 448 E Fatores de conversão das unidades 449 F Constantes numéricas 450 Respostas dos problemas ímpares 453 Créditos 459 Índice remissivo 461 Sobre os autores 469 BookSEARSVol3indb 9 101115 655 PM REFERÊNCIA DE CLAREZA E RIGOR Desde a sua primeira edição o livro Física tem sido reconhecido por sua ênfase nos princípios fundamentais e em como aplicálos O texto é conhecido por sua narrativa clara e abrangente e por seu conjunto amplo profundo e ponderado de exemplos funcionais ferramentaschave para o desenvolvimento do conhecimento conceitual e das habilidades para a solução de problemas A décima quarta edição melhora as características essenciais do texto enquanto acrescenta novos recursos influenciados pela pesquisa acadêmica em física Com foco no aprendizado visual novos tipos de problemas encabeçam as melhorias elaboradas para criar o melhor recurso de aprendizagem para os alunos de física de hoje FOCO NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS FOCO NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS baseado em pesquisa IDENTIFICAR PREPARAR EXECUTAR AVALIAR é utilizado em cada Exemplo Essa abordagem consistente ajuda os alunos a enfrentarem os problemas de modo ponderado em vez de partir direto para o cálculo ESTRATÉGIAS PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS fornecem aos alunos táticas específicas para a resolução de determinados tipos de problema PROBLEMAS EM DESTAQUE que ajudam os alunos a passarem de exemplos resolvidos de um único conceito para problemas multiconceituais ao final do capítulo foram revisados com base no feedback dos revisores garantindo que sejam eficazes e estejam no nível de dificuldade apropriado INFLUENCIADO PELO QUE HÁ DE MAIS NOVO EM PESQUISA ACADÊMICA PEDAGOGIA INSPIRADA POR DADOS E PESQUISA NOTAS DADOS MOSTRAM alertam os alunos para os erros estatisticamente mais comuns cometidos na solução de problemas de determinado tópico DADOS MOSTRAM Força elétrica e campo elétrico Quando os alunos recebiam um problema sobre força elétrica e campo elétrico mais de 28 davam uma resposta incorreta Erros comuns Esquecer que o campo elétrico E atuando sobre uma carga puntiforme não depende dessa carga puntiforme O valor de E depende das cargas que o produzem e não da carga que sofre seus efeitos Esquecer que E é um vetor Quando o campo E é em um ponto P resulta de duas ou mais cargas puntiformes E é a soma vetorial dos campos produzidos pelas cargas individuais De modo geral esse valor é diferente da soma dos módulos desses campos Todas as EQUAÇÕES PRINCIPAIS AGORA ESTÃO COMENTADAS para ajudar os alunos a fazer uma ligação entre entendimento conceitual e matemático da física PROBLEMAS DE DADOS aparecem em cada capítulo Esses problemas de raciocínio baseados em dados muitos deles ricos em contexto exigem que os alunos usem evidência experimental apresentada no formato de tabela ou gráfico para formular conclusões Cada capítulo inclui de três a cinco PROBLEMAS COM CONTEXTO que seguem o formato usado nos testes de medicina MCAT Esses problemas exigem que os alunos investiguem diversos aspectos de uma situação física da vida real normalmente biológica por natureza conforme descrito em um texto inicial PREFÁCIO Para o professor Este livro é o resultado de seis décadas e meia de liderança e inovação no ensino da física A primeira edição do livro Física de Francis W Sears e Mark W Zemansky publicada em 1949 foi revolucionária dentre os livrostexto baseados em cálculo por dar ênfase aos princípios da física e suas aplicações O êxito alcançado por esta obra para o uso de diversas gerações de alunos e professores em várias partes do mundo atesta os méritos desse método e das muitas inovações introduzidas posteriormente Tornouse famoso pela clareza das aplicações e pela solução de exemplos e problemas fundamentais para a compreensão da matéria Ao preparar esta décima quarta edição incrementamos e desenvolvemos o livro de modo a incorporar as melhores ideias extraídas de pesquisas acadêmicas com ensino aprimorado de solução de problemas pedagogia visual e conceitual pioneira e novas categorias de problemas de final de capítulo além de melhorar as explicações de novas aplicações da Física oriundas das pesquisas científicas recentes Novidades desta edição Todas as equações principais agora incluem anotações que descrevem a equação e explicam os significados dos símbolos Essas anotações ajudam a promover o processamento detalhado da informação e melhoram a assimilação do conteúdo Notas de DADOS MOSTRAM em cada capítulo com base em dados capturados de milhares de alunos advertem sobre os erros mais comuns cometidos ao resolver problemas Conteúdo atualizado da física moderna inclui seções sobre medição quântica Capítulo 40 e entrelaçamento quântico Capítulo 41 bem como dados recentes sobre o bóson de Higgs e radiação básica cósmica Capítulo 44 Aplicações adicionais da biociência aparecem por todo o texto principalmente na forma de fotos com legendas explicativas para ajudar os alunos a ver como a física está conectada a muitos avanços e descobertas nas biociências O texto foi simplificado com uma linguagem mais concisa e mais focada Revendo conceitos de relaciona os conceitos passados essenciais no início de cada capítulo para que os alunos saibam o que precisam ter dominado antes que se aprofundem no capítulo atual Principais recursos de Física Problemas em destaque ao final dos capítulos muitos deles revisados oferecem uma transição entre os Exemplos de único conceito e os problemas mais desafiadores do final do capítulo Cada Problema em Destaque impõe um problema difícil multiconceitual que normalmente incorpora a física dos capítulos anteriores Um Guia da Solução de modelo consistindo em perguntas e dicas ajuda a treinar os alunos para enfrentar e resolver problemas desafiadores com confiança Grupos de problemas profundos e extensos abordam uma vasta gama de dificuldade com pontos azuis para indicar o nível de dificuldade relativo e exercitam tanto a compreensão da física quanto a habilidade para a solução de problemas Muitos problemas são baseados em situações complexas da vida real Este livro contém mais Exemplos e Exemplos Conceituais que a maioria dos outros principais livros baseados em cálculo permitindo que os alunos explorem desafios para a solução de problemas que não são tratados em outros livrostexto Uma abordagem para a solução de problemas Identificar Preparar Executar e Avaliar é usada em cada Exemplo bem como nas Estratégias para a Solução de Problemas e nos Problemas em Destaque Essa abordagem consiste ajuda os alunos a saber como enfrentar uma situação aparentemente complexa de modo ponderado em vez de partir direto para o cálculo Estratégias para a Solução de Problemas ensinam os alunos a tratar de tipos específicos de problemas As figuras utilizam um estilo gráfico simplificado com foco na física de uma situação e incorporam mais anotações explicativas que na edição anterior As duas técnicas têm demonstrado um forte efeito positivo sobre o aprendizado Os populares parágrafos de Atenção focalizam as principais ideias erradas e as áreas problemáticas do aluno As perguntas de Teste sua compreensão ao final da seção permitem que os alunos verifiquem se entenderam o material usando um formato de exercício de múltipla escolha ou de ordenação para descobrir problemas conceituais comuns Resumos visuais ao final de cada capítulo apresentam as principais ideias em palavras equações e imagens em miniatura ajudando os alunos a revisarem de forma mais eficiente Para o aluno Como aprender física para valer Mark Hollabaugh Normandale Community College Professor Emérito A física abrange o pequeno e o grande o velho e o novo Dos átomos até as galáxias dos circuitos elétricos até a aerodinâmica a física é parte integrante do mundo que nos cerca Você provavelmente está fazendo este curso de física baseada em cálculo como prérequisito para cursos subsequentes que fará para se preparar para uma carreira de ciências ou engenharia Seu professor deseja que você aprenda física e que goste da experiência Ele está muito interessado em ajudálo a aprender essa fascinante matéria Essa é uma das razões para ter escolhido este livrotexto para o seu curso Também foi por isso que os doutores Young e Fredman me pediram para escrever esta seção introdutória Desejamos seu sucesso O objetivo desta seção é fornecer algumas ideias que possam auxiliálo durante a aprendizagem Após uma breve abordagem sobre hábitos e estratégias gerais de estudo serão apresentadas sugestões específicas sobre como usar o livrotexto Preparação para este curso Caso esteja adiantado em seus estudos de física você aprenderá mais rapidamente alguns conceitos por estar familiarizado com a linguagem dessa matéria Da mesma forma seus estudos de matemática facilitarão sua assimilação dos aspectos matemáticos da física Seu professor poderá indicar alguns tópicos de matemática que serão úteis neste curso Aprendendo a aprender Cada um de nós possui um estilo próprio e um método preferido de aprendizagem Compreender seu estilo de aprender ajudará a focar nos aspectos da física que podem ser mais difíceis e a usar os componentes do seu curso que o ajudarão a superar as dificuldades Obviamente você preferirá dedicar mais tempo estudando os assuntos mais complicados Se você aprende mais ouvindo assistir às aulas e conferências será muito importante Se aprende mais explicando o trabalho em equipe vai lhe ser útil Se a sua dificuldade está na solução de problemas gaste uma parte maior do seu tempo aprendendo a resolver problemas Também é fundamental desenvolver bons hábitos de estudo Talvez a coisa mais importante que você possa fazer por si mesmo seja estabelecer uma rotina de estudos em horários regulares e em um ambiente livre de distrações Responda para si mesmo as seguintes perguntas Estou apto a usar os conceitos matemáticos fundamentais da álgebra da geometria e da trigonometria Em caso negativo faça um programa de revisão com a ajuda de seu professor Em cursos semelhantes qual foi a atividade na qual tive mais dificuldade Dedique mais tempo a isso Qual foi a atividade mais fácil para mim Executea primeiro isso lhe dará mais confiança Eu entendo melhor a matéria se leio o livro antes ou depois da aula Pode ser que você aprenda melhor fazendo uma leitura superficial da matéria assistindo à aula e depois relendo com mais atenção Eu dedico tempo adequado aos meus estudos de física Uma regra prática para um curso deste tipo é dedicar em média 2h30 de estudos para cada hora de aula Para uma semana com 5 horas de aula devese dedicar cerca de 10 a 15 horas por semana estudando física Devo estudar física todos os dias Distribua as 10 ou 15 horas de estudos durante a semana Em que parte do dia meus estudos são mais eficientes Escolha um período específico do dia e atenhase a ele Eu estudo em um ambiente silencioso que favorece minha concentração As distrações podem quebrar sua rotina de estudos e atrapalhar a assimilação de pontos importantes Trabalho em grupo Cientistas e engenheiros raramente trabalham sozinhos e preferem cooperar entre si Você aprenderá melhor e com mais prazer estudando física com outros colegas Alguns professores aplicam métodos formais de aprendizagem cooperativa ou incentivam a formação de grupos de estudo Você pode por exemplo formar seu próprio grupo de estudos com os colegas de sala de aula Use email para se comunicar com outros colegas Seu grupo de estudos será um excelente recurso quando estiver fazendo revisões para os exames Aulas e anotações Um componente importante de seu curso são as aulas e conferências Na física isso é especialmente importante porque seu professor geralmente faz demonstrações de princípios físicos executa simulações em computador ou exibe vídeos Todos esses recursos ajudam você a entender os princípios fundamentais da física Não falte a nenhuma aula e caso por algum motivo isso seja inevitável peça a algum colega do seu grupo de estudos suas anotações e explique o que aconteceu Faça anotações das aulas sob a forma de tópicos e deixe para completar os detalhes do conteúdo mais tarde É difícil anotar palavra por palavra portanto anote apenas as ideias básicas O professor pode usar um diagrama contido no livro Deixe um espaço em suas notas para inserir o diagrama depois Após as aulas revise suas anotações preenchendo as lacunas e anotando os pontos que devem ser mais desenvolvidos posteriormente Anote as referências de páginas equações ou seções do livro Faça perguntas em classe ou procure o professor depois da aula Lembrese de que a única pergunta tola é aquela que não foi feita Sua instituição poderá ter assistentes de ensino ou outros profissionais disponíveis para ajudálo com alguma dificuldade Exames Fazer uma prova gera um elevado nível de estresse Contudo estar bem preparado e descansado alivia a tensão Prepararse para uma prova é um processo contínuo ele começa assim que a última prova termina Imediatamente depois de uma prova você deve rever cuidadosamente os eventuais erros cometidos Se tiver resolvido um problema e cometido erros proceda do seguinte modo divida uma folha de papel em duas colunas Em uma delas escreva a solução correta do problema Na outra coloque sua solução e se souber onde foi que errou Caso não consiga identificar o erro com certeza ou não souber como evitar cometêlo novamente Prefácio XV consulte seu professor A física se constrói a partir de princípios básicos e é necessário corrigir imediatamente qualquer interpretação incorreta Atenção embora você possa passar em um exame deixando para estudar na última hora não conseguirá reter adequadamente os concei tos necessários para serem usados na próxima prova AGRADECIMENTOS Desejamos agradecer às centenas de revisores e colegas que ofereceram valiosos comentá rios e sugestões para este livro O sucesso duradouro de Física devese em grande medida às suas contribuições Miah Adel U of Arkansas at Pine Bluff Edward Adelson Ohio State U Julie Alexander Camosun C Ralph Alexander U of Missouri at Rolla J G Anderson R S Anderson Wayne Anderson Sacramento City C Sanjeev Arora Fort Valley State U Alex Azima Lansing Comm C Dilip Balamore Nassau Comm C Harold Bale U of North Dakota Arun Bansil Northeastern U John Barach Vanderbilt U J D Barnett H H Barschall Albert Bartlett U of Colorado Marshall Bartlett Hollins U Paul Baum CUNY Queens C Frederick Becchetti U of Michigan B Bederson David Bennum U of Nevada Reno Lev I Berger San Diego State U Angela Biselli Fairfield U Robert Boeke William Rainey Harper C Bram Boroson Clayton State U S Borowitz A C Braden James Brooks Boston U Nicholas E Brown California Polytechnic State U San Luis Obispo Tony Buffa Cali fornia Polytechnic State U San Luis Obispo Shane Burns Colorado C A Capecelatro Michael Cardamone Pennsylvania State U Duane Carmony Purdue U Troy Carter UCLA P Catranides John Cerne SUNY at Buffalo Shinil Cho La Roche C Tim Chupp U of Michigan Roger Clapp U of South Florida William M Cloud Eastern Illinois U Leonard Cohen Drexel U W R Coker U of Texas Austin Malcolm D Cole U of Mis souri at Rolla H Conrad David Cook Lawrence U Gayl Cook U of Colorado Hans Courant U of Minnesota Carl Covatto Arizona State U Bruce A Craver U of Dayton Larry Curtis U of Toledo Jai Dahiya Southeast Missouri State U Dedra Demaree Geor getown U Steve Detweiler U of Florida George Dixon Oklahoma State U Steve Drasco Grinnell C Donald S Duncan Boyd Edwards West Virginia U Robert Eisenstein Carne gie Mellon U Amy Emerson Missourn Virginia Institute of Technology Olena Erhardt Richland C William Faissler Northeastern U Gregory Falabella Wagner C William Fasnacht US Naval Academy Paul Feldker St Louis Comm C Carlos Figueroa Cabrillo C L H Fisher Neil Fletcher Florida State U Allen Flora Hood C Robert Folk Peter Fong Emory U A Lewis Ford Texas AM U D Frantszog James R Gaines Ohio State U Solomon Gartenhaus Purdue U Ron Gautreau New Jersey Institute of Technology J David Gavenda U of Texas Austin Dennis Gay U of North Florida Elizabeth George Wittenberg U James Gerhart U of Washington N S Gingrich J L Glathart S Goodwin Rich Gottfried Frederick Comm C Walter S Gray U of Michigan Paul Gresser U of Maryland Benjamin Grinstein UC San Diego Howard Grotch Pennsylvania State U John Gruber San Jose State U Graham D Gutsche US Naval Academy Michael J Harrison Michigan State U Harold Hart Western Illinois U Howard Hayden U of Connecticut Carl Helrich Goshen C Andrew Hirsch Purdue U Linda Hirst UC Merced Laurent Hodges Iowa State U C D Hodgman Elizabeth Holden U of Wisconsin Platteville Mi chael Hones Villanova U Keith Honey West Virginia Institute of Technology Gregory Hood Tidewater Comm C John Hubisz North Carolina State U Eric Hudson Pennsylva nia State U M Iona Bob Jacobsen UC Berkeley John Jaszczak Michigan Technical U Alvin Jenkins North Carolina State U Charles Johnson South Georgia State C Robert P Johnson UC Santa Cruz Lorella Jones U of Illinois Manoj Kaplinghat UC Irvine John Karchek GMI Engineering Management Institute Thomas Keil Worcester Polytechnic Institute Robert Kraemer Carnegie Mellon U Jean P Krisch U of Michigan Robert A Kromhout Andrew Kunz Marquette U Charles Lane Berry C Stewart Langton U of Victoria Thomas N Lawrence Texas State U Robert J Lee Alfred Leitner Rensselaer Polytechnic U Frederic Liebrand Walla Walla U Gerald P Lietz DePaul U Gordon Lind Utah State U S Livingston U of Wisconsin Milwaukee Jorge Lopez U of Texas El Paso BookSEARSVol3indb 15 101115 656 PM XVI Física III Elihu Lubkin U of Wisconsin Milwaukee Robert Luke Boise State U David Lynch Iowa State U Michael Lysak San Bernardino Valley C Jeffrey Mallow Loyola U Robert Mania Kentucky State U Robert Marchina U of Memphis David Markowitz U of Connecticut Philip Matheson Utah Valley U R J Maurer Oren Maxwell Florida International U Jo seph L McCauley U of Houston T K McCubbin Jr Pennsylvania State U Charles Mc Farland U of Missouri at Rolla James Mcguire Tulane U Lawrence McIntyre U of Arizona Fredric Messing Carnegie Mellon U Thomas Meyer Texas AM U Andre Mi rabelli St Peters C New Jersey Herbert Muether SUNY Stony Brook Jack Munsee Ca lifornia State U Long Beach Lorenzo Narducci Drexel U Van E Neie Purdue U Forrest Newman Sacramento City C David A Nordling US Naval Academy Benedict Oh Pen nsylvania State U L O Olsen Michael Ottinger Missouri Western State U Russell Palma Minnesota State U Mankato Jim Pannell DeVry Institute of Technology Neeti Parashar Purdue U Calumet W F Parks U of Missouri Robert Paulson California State U Chico Jerry Peacher U of Missouri at Rolla Arnold Perlmutter U of Miami Lennart Peterson U of Florida R J Peterson U of Colorado Boulder R Pinkston Ronald Poling U of Minne sota Yuri Popov U of Michigan J G Potter C W Price Millersville U Francis Prosser U of Kansas Shelden H Radin Roberto Ramos Drexel U Michael Rapport Anne Arundel Comm C R Resnick James A Richards Jr John S Risley North Carolina State U Fran cesc Roig UC Santa Barbara T L Rokoske Richard Roth Eastern Michigan U Carl Rot ter U of West Virginia S Clark Rowland Andrews U Rajarshi Roy Georgia Institute of Technology Russell A Roy Santa Fe Comm C Desi Saludes Hillsborough Comm C Thomas Sandin North Carolina AT State U Dhiraj Sardar U of Texas San Antonio Tumer Sayman Eastern Michigan U Bruce Schumm UC Santa Cruz Melvin Schwartz St Johns U F A Scott L W Seagondollar Paul Shand U of Northern Iowa Stan Shepherd Pennsylvania State U Douglas Sherman San Jose State U Bruce Sherwood Carnegie Mellon U Hugh Siefkin Greenville C Christopher Sirola U of Southern Mississippi To masz Skwarnicki Syracuse U C P Slichter Jason Slinker U of Texas Dallas Charles W Smith U of Maine Orono Malcolm Smith U of Lowell Ross Spencer Brigham Young U Julien Sprott U of Wisconsin Victor Stanionis Iona C James Stith American Institute of Physics Chuck Stone North Carolina AT State U Edward Strother Florida Institute of Technology Conley Stutz Bradley U Albert Stwertka US Merchant Marine Academy Kenneth SzparaDeNisco Harrisburg Area Comm C Devki Talwar Indiana U of Pennsyl vania Fiorella Terenzi Florida International U Martin Tiersten CUNY City C David Toot Alfred U Greg Trayling Rochester Institute of Technology Somdev Tyagi Drexel U Matthew Vannette Saginaw Valley State U Eswara Venugopal U of Detroit Mercy F Verbrugge Helmut Vogel Carnegie Mellon U Aaron Warren Purdue U North Central Ro bert Webb Texas AM U Thomas Weber Iowa State U M Russell Wehr Pennsylvania State U Robert Weidman Michigan Technical U Dan Whalen UC San Diego Lester V Whitney Thomas Wiggins Pennsylvania State U Robyn Wilde Oregon Institute of Techno logy David Willey U of Pittsburgh Johnstown George Williams U of Utah John Williams Auburn U Stanley Williams Iowa State U Jack Willis Suzanne Willis Northern Illinois U Robert Wilson San Bernardino Valley C L Wolfenstein James Wood Palm Beach Ju nior C Lowell Wood U of Houston R E Worley D H Ziebell Manatee Comm C George O Zimmerman Boston U Além disso gostaria de agradecer aos meus colegas do passado e do presente da UCSB in cluindo Rob Geller Carl Gwinn Al Nash Elisabeth Nicol e Francesc Roig pelo dedicado apoio e pelas valiosas discussões Expresso minha gratidão especial aos meus primeiros professores Willa Ramsay Peter Zimmerman William Little Alan Schwettman e Dirk Walecka por me mostrarem como é claro e envolvente o ensino da física e a Stuart Johnson por me convidar a participar deste projeto como coautor deste livro a partir da nona edição Meus especiais agradecimentos a Lewis Ford por criar diversos novos problemas para esta edição incluindo a nova categoria de problemas DADOS a Wayne Anderson que revisou cuidadosamente todos os problemas e os resolveu com Forrest Newman e Michael Ottinger e a Elizabeth George que forneceu a maior parte da nova categoria de Problemas com Contexto Agradeço em particular a Tom Sandin por suas diversas contribuições para os problemas de final de capítulo incluindo a verificação cuidadosa de todos eles e a escrita de outros novos Também tiro meu chapéu e BookSEARSVol3indb 16 101115 656 PM Prefácio XVII dou as boasvindas a Linda Hirst por colaborar com uma série de ideias que se tornaram novos recursos de Aplicação nesta edição Quero expressar meu agradecimento especial à equipe edi torial da Pearson norteamericana a Nancy Whilton pela visão editorial a Karen Karlin por sua leitura atenta e cuidadoso desenvolvimento desta edição a Charles Hibbard pela cuidadosa leitura das provas e a Beth Collins Katie Conley Sarah Kaubisch Eric Schrader e Cindy John son por manter a produção editorial fluindo Acima de tudo desejo expressar minha gratidão e meu amor à minha esposa Caroline a quem dedico minhas contribuições a este livro Alô Caroline a nova edição finalmente saiu vamos comemorar Digame o que você pensa Gosto de receber notícias de alunos e professores especialmente com relação a erros ou defeitos que vocês encontrarem nesta edição O falecido Hugh Young e eu dedicamos muito tempo e esforço para escrever o melhor livro que soubemos escrever e espero que ele o ajude à medida que você ensina e aprende física Por sua vez você pode me ajudar avisando sobre o que ainda precisa ser melhorado Por favor fique à vontade para entrar em contato eletronicamente ou pelo correio comum Seus comentários serão muito bem recebidos Agosto de 2014 Roger A Freedman Department of Physics University of California Santa Barbara Santa Barbara CA 931069530 airboyphysicsucsbedu httpwwwphysicsucsbeduairboy Twitter RogerFreedman Esse material é de uso exclusivo para professores e está protegi do por senha Para ter acesso a ele os professores que adotam o livro devem entrar em contato com seu representante Pearson ou enviar email para ensinosuperiorpearsoncom Site de apoio do livro Na Sala Virtual deste livro svpearsoncombr professores e estudantes podem acessar os seguintes materiais adicionais a qualquer momento Para professores Apresentações em PowerPoint Manual de soluções Exercícios adicionais em inglês Para estudantes Exercícios adicionais BookSEARSVol3indb 17 101115 656 PM BookSEARSVol3indb 18 101115 656 PM A água torna a vida possí vel as células do seu corpo não funcionariam sem água na qual dissolver as moléculas bio lógicas essenciais A água é um solvente tão eficiente porque suas moléculas i apresentam carga líquida igual a zero ii apresentam carga líquida igual a zero mas as cargas positivas e negativas estão separadas iii apresentam carga líquida diferente de zero iv não res pondem a forças elétricas v exercem forças elétricas de repulsão umas sobre as outras OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 211 A natureza da carga elétrica e como sabemos que ela é conservada 212 Como os objetos se tornam eletricamente carregados 213 Como usar a lei de Coulomb para calcular a força elétrica existente entre as cargas 214 A distinção entre força elétrica e campo elétrico 215 Como calcular o campo elétrico em função de um conjunto de cargas 216 Como usar o conceito de linhas de campo elétrico para visualizar e interpretar os campos elétricos 217 Como calcular as propriedades dos dipolos elétricos Revendo conceitos de 1711 0 Álgebra vetorial incluindo o produto escalar e o produto vetorial 43 A segunda lei de Newton 75 Equilíbrio estável e instável 125 Linhas de corrente no escoamento de fluidos 21 CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO N o Capítulo 5 mencionamos os quatro tipos de forças fundamentais Até aqui a única dessas forças que examinamos em detalhes foi a gravidade Agora estamos preparados para analisar a força decorrente do eletromag netismo que envolve tanto a eletricidade quanto o magnetismo As interações eletromagnéticas envolvem partículas que possuem carga elétrica um atributo que é tão fundamental quanto a massa Assim como os objetos com massa são acelerados por forças gravitacionais os objetos eletricamente carregados são acelerados por forças elétricas A descarga elétrica que você sente quando ar rasta os sapatos ao caminhar em um tapete e depois segura uma maçaneta metálica é causada por partículas carregadas que passam entre seus dedos e a maçaneta As correntes elétricas são simplesmente correntes de partículas carregadas dentro de fios em resposta a forças elétricas Até mesmo as forças que mantêm os átomos ligados entre si para formar a matéria sólida e que impedem que os átomos de um objeto sólido passem uns através dos outros são fundamentalmente decorrentes das interações elétricas entre as partículas carregadas dentro dos átomos Iniciaremos nosso estudo do eletromagnetismo neste capítulo examinando a natureza da carga elétrica Vamos descobrir que a carga é quantizada e obedece a um princípio de conservação Quando as cargas estão em repouso em nosso quadro de referência exercem forças eletrostáticas entre si Estas forças são extremamente importantes em química e biologia e possuem diversas aplicações tecnológicas Forças eletrostáticas são regidas por uma relação simples conhecida como Lei de Coulomb e são mais convenientemente descritas utilizando o conceito de campo elétrico Nos capítulos seguintes vamos ampliar nossa discussão para incluir cargas elétricas em movimento Isso irá nos conduzir à compreensão do magnetismo e notavelmente da natureza da luz Enquanto as ideiaschave do eletromagnetismo são conceitualmente simples aplicálas a problemas práticos irá exigir o uso de muitas das suas habilidades BookSEARSVol3indb 1 101115 656 PM 2 Física III matemáticas especialmente seus conhecimentos de geometria e cálculo integral Por este motivo você pode achar que este capítulo e os próximos são mais mate maticamente exigentes que os capítulos anteriores A recompensa por seu esforço adicional será um entendimento mais aprofundado dos princípios essenciais da física moderna e da tecnologia 211 CARGA ELÉTRICA Na Grécia antiga em torno de 600 aC descobriuse que após friccionar lã em um pedaço de âmbar este passava a atrair outros objetos Hoje dizemos que o âmbar adquiriu uma carga elétrica líquida ou se tornou carregado O termo elétrico tem origem na palavra grega elektron que significa âmbar Ao arrastar os sapatos por um tapete de náilon você se torna eletricamente carregado e pode carregar um pente passandoo pelo cabelo seco Hastes de plástico e peles de animais ou artificiais são especialmente boas para demonstrar as características eletrostáticas interações entre cargas elétricas que estão em repouso ou praticamente em repouso Depois de carregar ambas as hastes de plástico na Figura 211a friccionandoas com a pele vemos que as hastes se repelem Quando friccionamos hastes de vidro com um pedaço de seda as hastes de vi dro também se tornam carregadas e se repelem Figura 211b Porém uma haste de plástico carregada atrai uma haste de vidro carregada além disso a haste de plástico e a pele se atraem e a haste de vidro e a seda se atraem Figura 211c Esses experimentos e muitos outros semelhantes mostraram que existem exata mente dois tipos de carga elétrica o tipo de carga elétrica acumulada na haste de plástico friccionada com a pele e o tipo acumulado na haste de vidro friccionada com a seda Benjamin Franklin 17061790 sugeriu chamar de carga positiva e negativa respectivamente esses dois tipos de carga e esses nomes ainda são uti lizados A haste de plástico e a seda possuem cargas negativas a haste de vidro e a pele possuem cargas positivas Duas cargas positivas ou duas cargas negativas se repelem Uma carga po sitiva e uma carga negativa se atraem Figura 211 Experimentos de eletrostática a Objetos com carga negativa se repelem b Objetos com carga positiva se repelem c Objetos com carga positiva e objetos com carga negativa se atraem Plástico Pele a Interação entre duas hastes de plástico depois de friccionadas com pele mas depois de friccionadas com a pele as hastes se repelem Hastes de plástico nem se atraem nem se repelem Seda Vidro b Interação entre duas hastes de vidro depois de friccionadas com a seda mas depois de friccionadas com seda as hastes se repelem Hastes de vidro nem se atraem nem se repelem c Interação entre objetos com cargas opostas e a pele e a seda atraem a haste que foi friccionada com cada uma A haste de plástico friccionada com a pele e a haste de vidro friccionada com a seda se atraem BookSEARSVol3indb 2 101115 656 PM ATENÇÃO Atração e repulsão elétrica A atração e repulsão entre dois objetos carregados às vezes é resumida como cargas semelhantes se repelem e cargas opostas se atraem Contudo cargas semelhantes não significa que as duas cargas são idênticas apenas que ambas as cargas possuem o mesmo sinal algébrico ambas positivas ou ambas negativas Cargas opostas significa que os dois objetos possuem uma carga elétrica e que essas cargas possuem sinais algébricos opostos uma positiva e outra negativa Uma impressora a laser Figura 212 utiliza as forças entre corpos carregados O tambor fotossensível de imagem da impressora recebe uma carga positiva À medida que o tambor gira um raio laser atinge áreas selecionadas do tambor deixando essas áreas com uma carga negativa Partículas de toner carregadas positivamente aderem apenas às áreas do tambor escritas a laser Quando uma folha de papel entra em contato com o tambor as partículas de toner aderem ao papel e formam uma imagem Figura 212 Esquematização da operação de uma impressora a laser O raio laser escreve sobre o tambor deixando áreas com carga negativa onde a imagem será impressa Um fio espalha íons sobre o tambor carregandoo positivamente Uma lâmpada descarrega o cilindro preparandoo para reiniciar o processo Rolos de fuso aquecem o papel para que a fixação do toner seja permanente Toner com carga positiva Um rolo aplica o toner com carga positiva no cilindro O toner adere somente às áreas com carga negativa do cilindro escrito pelo laser Tambor de imagem rotativo Papel alimentação para a esquerda Fios espalham uma carga negativa mais forte sobre o papel para fixação do toner Carga elétrica e a estrutura da matéria Ao ser carregada pela fricção com pele animal ou seda como na Figura 211 uma haste não apresenta alterações visíveis na aparência Então o que realmente acontece com a haste quando ela se torna carregada Para responder a essa pergunta é preciso analisar atentamente a estrutura dos átomos os blocos de construção da matéria comum A estrutura dos átomos pode ser descrita em termos de três partículas o elétron que possui carga negativa o próton que possui carga positiva e o nêutron que não possui carga elétrica Figura 213 Prótons e o nêutrons são constituídos por partículas denominadas quarks que possuem cargas elétricas correspondentes a 13 e 23 da carga do elétron Quarks isolados nunca foram observados e há razões teóricas para acreditar que em princípio seria impossível observar um quark isolado Os prótons e nêutrons no interior de um átomo constituem um centro pequeno e muito denso chamado núcleo com dimensões da ordem de 1015 m Ao redor do núcleo estão os elétrons estendendose a distâncias da ordem de 1010 m do núcleo Se um átomo tivesse um diâmetro de alguns quilômetros seu núcleo teria o tamanho de uma bola de tênis Os elétrons negativamente carregados são mantidos no interior do átomo por forças elétricas de atração exercidas sobre eles pelo núcleo positivamente carregado Os prótons e nêutrons são mantidos no interior dos núcleos atômicos estáveis em virtude de uma interação de atração chamada força nuclear que supera a repulsão elétrica entre os prótons A força nuclear possui curto alcance e seus efeitos não se estendem para muito além do núcleo Figura 213 A estrutura de um átomo O átomo aqui descrito é lítio veja a Figura 214a Átomo A maior parte do volume do átomo é esparsamente ocupada por elétrons Núcleo Minúsculo em comparação ao restante do átomo o núcleo contém mais de 999 da massa do átomo Próton Carga positiva Massa 1673 x 1027 kg Nêutron Sem carga Massa 1675 x 1027 kg Elétron Carga negativa Massa 9109 x 1031 kg As cargas dos elétrons e dos prótons possuem o mesmo módulo As massas das partículas individuais com a precisão atualmente conhecida são dadas por Massa do elétron me 910938291 40 1031 kg Massa do próton mp 1672621777 74 1027 kg Massa do nêutron mn 1674927351 74 1027 kg Os números entre parênteses indicam a incerteza nos dois últimos dígitos Note que as massas do próton e do nêutron são praticamente iguais e cerca de 2000 vezes maiores que a massa do elétron Mais de 999 da massa de qualquer átomo está concentrada em seu núcleo O módulo da carga elétrica negativa do elétron é exatamente igual dentro do erro experimental ao da carga elétrica positiva do próton Em um átomo neutro o número de elétrons é igual ao número de prótons existentes no núcleo do átomo e a carga elétrica total a soma algébrica de todas as cargas é exatamente igual a zero Figura 214a Denominase número atômico de um elemento o número de elétrons ou de prótons existentes em um átomo neutro desse elemento Quando um ou mais elétrons são removidos desse átomo neutro obtémse um íon positivo Figura 214b Um íon negativo é obtido quando um átomo ganha um ou mais elétrons Figura 214c Esse processo no qual o átomo ganha ou perde elétrons denominase ionização Quando o número total de prótons em um corpo macroscópico é igual ao número total de elétrons a carga total é igual a zero e dizemos que o corpo como um todo é eletricamente neutro Para fazermos um corpo ficar com excesso de cargas negativas devemos adicionar cargas negativas ao corpo neutro ou então remover cargas positivas desse corpo De modo análogo para fazermos um corpo ficar com excesso de cargas positivas devemos adicionar cargas positivas ao corpo neutro ou remover cargas negativas desse corpo Na maior parte dos casos elétrons com cargas negativas e extremamente móveis são adicionados ou removidos e geralmente um corpo carregado positivamente é aquele que perdeu certa quantidade de elétrons Quando falamos da carga elétrica de um corpo sempre nos referimos à sua carga líquida A carga líquida é uma fração muito pequena em geral da ordem de 1012 da carga total positiva ou negativa existente no corpo neutro Figura 214 a Um átomo neutro possui a mesma quantidade de elétrons e prótons b Um íon positivo possui um déficit de elétrons c Um íon negativo possui um excesso de elétrons As cascas de elétrons são uma representação visual da distribuição real dos elétrons uma nuvem difusa várias vezes maior que o núcleo a Átomo de lítio neutro Li 3 prótons 3 4 nêutrons 3 elétrons 3 Elétrons equivalem a prótons carga líquida igual a zero b Íon de lítio positivo Li 3 prótons 3 4 nêutrons 2 elétrons 2 Menos elétrons do que prótons carga líquida positiva c Íon de lítio negativo Li 3 prótons 3 4 nêutrons 4 elétrons 4 Mais elétrons do que prótons carga líquida negativa A carga elétrica é conservada Na discussão precedente há dois princípios muito importantes envolvidos implicitamente O primeiro é o princípio da conservação da carga elétrica A soma algébrica de todas as cargas elétricas existentes em um sistema isolado permanece constante Quando atritamos uma haste de plástico e um pedaço de pele ambos inicialmente descarregados a haste adquire carga elétrica negativa uma vez que ela retira elétrons da pele e a pele adquire carga elétrica positiva com o mesmo módulo uma vez que ela perde a mesma quantidade de elétrons fornecidos para a haste Portanto a carga elétrica total do sistema constituído pelos dois corpos permanece constante Em qualquer processo no qual um corpo é carregado a carga elétrica não é criada nem destruída mas meramente transferida de um corpo a outro Acreditase que a lei da conservação da carga elétrica seja uma lei de conservação universal Nunca foram observadas evidências experimentais que violassem esse princípio Até em interações envolvendo energias elevadas durante as quais ocorrem criação e destruição de partículas como a criação de um par elétronpósitron a carga elétrica total do sistema isolado permanece exatamente constante O segundo princípio importante é O módulo da carga do elétron ou do próton é uma unidade natural de carga elétrica Qualquer quantidade de carga elétrica observada é sempre um múltiplo inteiro dessa unidade básica Dizemos que a carga elétrica é quantizada O dinheiro é um exemplo familiar de quantização Quando você compra um produto em uma loja o pagamento em dinheiro é sempre algum múltiplo de um centavo Nenhuma quantidade de dinheiro pode ser menor que um centavo assim como nenhuma carga elétrica pode ser dividida em uma quantidade menor que a carga de um elétron ou de um próton As cargas elétricas do quark 13 e 23 da carga do elétron provavelmente não podem ser observadas como cargas isoladas Portanto a carga elétrica de qualquer corpo macroscópico é sempre igual a zero ou a um múltiplo inteiro positivo ou negativo da carga elétrica do elétron A compreensão da natureza elétrica da matéria esclarece muitos aspectos do mundo físico Figura 215 As ligações químicas que mantêm os átomos unidos para formar moléculas devemse às interações elétricas entre os átomos Elas abrangem as fortes ligações iônicas que mantêm os átomos de sódio e de cloro unidos para produzir o sal de cozinha e as ligações relativamente fracas entre os fios de DNA que registram o código genético de seu corpo A força normal exercida sobre você pelo solo provém das forças elétricas entre as partículas carregadas nos átomos de seus sapatos e nos átomos do solo A força de tensão em um fio esticado e a força adesiva da cola também se devem às interações elétricas dos átomos TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 211 Dois objetos carregados eletricamente se repelem em razão da força elétrica As cargas dos objetos são i uma positiva e outra negativa ii ambas positivas iii ambas negativas iv ou ii ou iii v qualquer uma das alternativas i ii ou iii 212 CONDUTORES ISOLANTES E CARGAS INDUZIDAS Alguns materiais possibilitam a migração da carga elétrica de uma região do material para outra enquanto outros impedem o movimento das cargas elétricas Por exemplo a Figura 216a mostra um fio de cobre suspenso por um fio de náilon Suponha que uma das extremidades do fio seja tocada por uma haste de plástico e que a outra extremidade esteja presa a uma esfera metálica inicialmente descarregada a seguir a haste carregada e o fio de cobre são removidos Quando Figura 215 A maior parte das forças que atuam sobre este esquiador aquático é elétrica As interações elétricas entre as moléculas adjacentes provocam a força da água sobre o esqui a tensão no cabo de reboque e a resistência do ar sobre o corpo do esquiador As interações elétricas também mantém unidos os átomos no corpo do esquiador Somente uma força totalmente não elétrica atua sobre o esquiador a força da gravidade 6 Física III você aproxima outro corpo carregado da esfera figuras 216b e 216c ela é atraída ou repelida mostrando que se tornou eletricamente carregada A carga elétrica foi transferida da haste de plástico para a esfera através do fio de cobre Chamamos o fio de cobre de condutor de eletricidade Caso você repetisse essa experiência substituindo o fio de cobre por um fio de náilon ou uma tira de borracha verificaria que nenhuma carga seria transferida da haste de plástico para a esfera Esse tipo de material denominase isolante Um condutor permite que ocorra o movimento de cargas elétricas com facilidade através dele enquanto um isolante não Os fios de sustentação em náilon mostrados na Figura 216 são isolantes o que impede que a carga deixe a bola metálica e o fio de cobre Como exemplo de um bom isolante citamos um tapete de fibras em um dia seco Quando você arrasta os pés no tapete o atrito de seus sapatos com as fibras produz cargas elétricas que permanecem em seu corpo pois elas não podem escoar através das fibras isolantes Quando a seguir você toca um objeto condutor como uma maçaneta metálica ocorre uma rápida transferência de carga elétrica o que provoca um choque Uma forma de evitar isso é enrolar algumas fibras do tapete em núcleos condutores de modo que qualquer carga gerada em você seja transferida ao tapete sem lhe causar qualquer dano Outra solução é cobrir as fibras do tapete com uma camada antiestática que dificulta a transferência de elétrons entre seus sapatos e o tapete isso impede logo de início que qualquer carga seja gerada em você A maioria dos metais é composta de bons condutores enquanto muitos materiais não metálicos são isolantes No interior de um metal sólido como o cobre um ou mais elétrons externos de cada átomo se desprendem e podem se mover livremente através do material do mesmo modo que as moléculas de um gás podem se mover livremente através dos espaços entre os grãos em um balde de areia Os elétrons restantes permanecem ligados aos núcleos carregados positivamente os quais por sua vez permanecem relativamente fixos no interior do material Em um isolante não existe praticamente nenhum elétron livre e a carga elétrica não pode ser trans ferida através do material Denominase semicondutor um material que possui propriedades intermediárias entre as de um bom condutor e as de um bom isolante Carga por indução Podemos carregar uma esfera metálica usando um fio de cobre e uma haste de plástico eletricamente carregada como mostra a Figura 216a Nesse processo alguns elétrons em excesso existentes na haste de plástico são transferidos para a esfera reduzindo a carga elétrica negativa da haste Existe outra técnica na qual a haste de plástico pode produzir uma carga com sinal oposto em outro corpo sem que haja perda de sua própria carga Neste caso dizemos que o corpo foi carregado por indução A Figura 217 indica um exemplo de como carregar um corpo por indução Uma esfera metálica é apoiada em um suporte isolante Figura 217a Ao aproximar da esfera uma haste carregada negativamente sem que a haste toque na esfera Figura 217b os elétrons livres na esfera metálica são repelidos pelo excesso de elétrons Figura 216 O cobre é um bom condutor de eletricidade o náilon é um bom isolante a A carga elétrica é transferida da haste de plástico para a esfera metálica através do fio de cobre carregando a esfera negativamente A seguir a esfera metálica é b repelida por uma haste de plástico carregada negativamente e c atraída por uma haste de vidro carregada positivamente Fios de náilon isolantes Esfera metálica Fio de cobre Haste de plástico carregada Haste de vidro carregada Haste de plástico carregada O fio conduz a carga da haste de plástico carregada negativamente para a esfera metálica e uma haste de vidro carregada positivamente atrai a esfera Uma haste de plástico carregada negativamente repele a esfera a b c Figura 217 Carregando uma esfera metálica por indução Esfera metálica Suporte isolante Geração de elétrons Deficiência de elétrons Haste carregada negativamente Solo Fio Carga negativa no solo a Esfera metálica sem carga elétrica b A carga negativa na haste repele os elétrons criando zonas de carga induzida negativa e positiva c O fio permite que os elétrons gerados carga induzida negativa escoem para o solo d O fio é retirado a esfera passa a ter somente uma área de deficiência de elétrons com carga positiva e A haste é removida os elétrons se rearranjam a esfera possui deficiência generalizada de elétrons carga líquida positiva BookSEARSVol3indb 6 101115 656 PM Capítulo 21 Carga elétrica e campo elétrico 7 na haste e deslocados para a direita da esfera afastandose da haste Esses elétrons não escapam da esfera porque o suporte e o ar ambiente são isolantes Portanto há um excesso de elétrons no lado direito da esfera e uma deficiência de elétrons ou seja uma carga elétrica líquida positiva no lado esquerdo Dizemos que em cada lado da esfera surgiu uma carga induzida Nem todos os elétrons livres se deslocam para o lado direito da superfície da esfera À medida que começam a surgir cargas induzidas elas exercem forças orientadas para a esquerda sobre os outros elétrons livres Estes são repelidos pelos elétrons negativos existentes no lado direito e atraídos pelas cargas positivas indu zidas do lado esquerdo O sistema atinge um estado de equilíbrio no qual a força sobre um elétron orientada para a direita produzida pela haste é exatamente igual à força sobre o mesmo elétron orientada para a esquerda produzida pelas cargas induzidas Quando removemos a haste carregada os elétrons livres retornam para o lado esquerdo da esfera e a condição de neutralidade original é restaurada O que ocorrerá se mantendo a haste de plástico próxima da esfera você encostar a extremidade de um fio condutor sobre o lado direito da esfera mantendo a outra extremidade do fio em contato com a superfície terrestre Figura 217c A Terra é condutora e por ser extremamente grande pode funcionar como uma fonte pratica mente inesgotável de elétrons ou como um dissipador de elétrons indesejáveis Al gumas cargas negativas escoam através do fio para a superfície terrestre Suponha agora que você desconecte o fio Figura 217d e depois remova a haste carregada Figura 217e restará uma carga líquida positiva na esfera A carga negativa da haste não foi alterada no processo A Terra adquiriu uma carga negativa de módulo igual à carga positiva induzida que permaneceu na esfera Forças elétricas sobre objetos descarregados Finalmente notamos que um corpo carregado pode exercer força até mesmo sobre objetos que não estão carregados Se você friccionar um balão com um tapete e em seguida segurálo contra o teto ele ficará grudado no teto embora este não possua nenhuma carga elétrica líquida Depois de fazer um pente adquirir carga passandoo pelo seu cabelo o pente pode atrair pedacinhos de papel ou de plástico descarregados Figura 218a Como isso é possível Essa interação é produzida pelo fenômeno da indução de cargas Mesmo em um isolante as cargas elétricas podem se deslocar ligeiramente quando há uma carga por perto Isso é indicado na Figura 218b o pente de plástico carregado negativamente produz um ligeiro deslocamento das cargas das moléculas no inte rior do isolante neutro um efeito chamado de polarização As cargas positivas e negativas do material possuem o mesmo módulo porém as cargas positivas estão Figura 218 As cargas no interior das moléculas de um material isolante podem se deslocar ligeiramente Consequentemente um pente com qualquer carga elétrica não nula atrai um isolante neutro Pela terceira lei de Newton o isolante neutro atrai o pente com uma força de mesmo módulo F S F S F S F S Pente com carga negativa Pente com carga positiva Consequentemente as cargas em cada molécula estão mais próximas do pente que as cargas e por isso sentem uma força mais potente exercida pelo pente Portanto a força resultante é de atração Os elétrons em cada molécula do isolante neutro se afastam do pente Neste caso os elétrons em cada molécula do isolante neutro se aproximam do pente de modo que as cargas em cada molécula estão mais próximas do pente e sentem uma força exercida pelo pente mais potente que a das cargas Novamente a força resultante é de atração a Um pente carregado atrai pedaços de plástico descarregados b Como um pente com carga negativa atrai um material isolante c Como um pente com carga positiva atrai um material isolante BookSEARSVol3indb 7 101115 656 PM Figura 219 O processo de pintura eletrostática compare as figuras 217b e 217c Um objeto de metal a ser pintado está ligado à Terra solo e as gotículas de tinta recebem carga elétrica ao saírem pelo bico borrifador Cargas induzidas de sinal oposto surgem no objeto quando as gotículas se aproximam como indicado na Figura 217b e elas atraem as gotículas à superfície Esse processo minimiza o excesso causado por nuvens de partículas soltas de tinta e dá um acabamento especialmente uniforme Gotículas de tinta com carga negativa são borrifadas Objeto de metal a ser pintado Carga positiva é induzida sobre a superfície de metal Borrifador de tinta Solo BIO Aplicação Forças elétricas suor e fibrose cística Uma maneira de testar se uma pessoa é portadora da doença genética fibrose cística FC é medir do teor de sal de seu suor O suor é uma mistura de água e íons incluindo íons de sódio Na e de cloro Cl que compõem o sal de cozinha NaCl Quando o suor é secretado pelas células epiteliais alguns dos íons de Cl escoam do suor de volta para essas células um processo denominado reabsorção A atração elétrica entre as cargas positivas e negativas atrai íons de Na juntamente com o Cl As moléculas de água não conseguem retornar para dentro das células epiteliais portanto o suor sobre a pele tem um baixo teor de sal No entanto em pessoas com FC a reabsorção de íons de Cl é bloqueada Este é o motivo pelo qual pessoas com FC possuem suor notavelmente salgado com até quatro vezes a concentração normal de Cl e Na mais próximas do pente que as cargas negativas sofrendo uma força de atração maior que a força de repulsão sobre as cargas negativas Portanto a força resultante é de atração Na Seção 213 estudaremos como as forças elétricas dependem da distância Observe que o isolante neutro também pode ser atraído por um pente carregado positivamente Figura 218c Nesse caso as cargas no isolante sofrem um deslocamento em sentido contrário ao do caso anterior as cargas negativas no isolante estão mais próximas do pente e sofrem uma força de atração maior que a força de repulsão sofrida pelas cargas positivas no isolante Portanto qualquer que seja o sinal da carga elétrica de um objeto carregado ele sempre exerce uma força de atração sobre um isolante neutro A Figura 219 mostra uma aplicação industrial desse efeito TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 212 Considere duas esferas metálicas leves cada uma pendurada em um fio de náilon isolante Uma das esferas possui carga líquida negativa enquanto a outra não possui carga líquida a Quando as esferas estão próximas mas não se tocam elas i se atraem ii se repelem ou iii não exercem nenhuma força entre si b Caso as esferas se toquem elas i se atraem ii se repelem ou iii não exercem nenhuma força entre si 213 LEI DE COULOMB Charles Augustin de Coulomb 17361806 estudou as forças de interação entre partículas carregadas em 1784 Ele usou uma balança de torção Figura 2110a semelhante à usada 13 anos mais tarde por Cavendish para estudar a força de interação gravitacional que é muito mais fraca que a elétrica conforme discutimos na Seção 121 Para cargas puntiformes corpos carregados muito menores que a distância r que os separa Coulomb verificou que a força elétrica entre eles é proporcional a 1r2 Ou seja quando a distância r dobra a força se reduz a um quarto de seu valor inicial quando a distância se reduz à metade a força se torna quatro vezes maior que seu valor inicial A força elétrica entre dois corpos também depende da carga existente em cada corpo que será designada por q ou Q Para explorar essa dependência Coulomb dividiu uma carga em duas partes iguais colocando um pequeno condutor esférico carregado em contato com outro condutor esférico idêntico descarregado por simetria as cargas são igualmente divididas entre as duas esferas Observe o papel essencial desempenhado pela lei da conservação da carga nesse procedimento Figura 2110 a Medição da força elétrica entre cargas puntiformes b As forças elétricas entre cargas puntiformes obedecem a terceira lei de Newton F1 em 2 F2 em 1 a Uma balança de torção do tipo usado por Coulomb para medir a força elétrica Filamento de torção Esferas do núcleo carregadas Escala A esfera com carga negativa atrai a esfera com carga positiva esta se move até as forças elásticas no filamento de torção equilibrarem a atração eletrostática b Interações entre cargas puntiformes Cargas com sinais iguais se repelem Cargas com sinais opostos se atraem Dessa maneira ele poderia obter uma carga igual à metade da carga inicial um quarto da carga inicial e assim por diante Ele verificou que a força elétrica entre as duas cargas q₁ e q₂ é proporcional a cada uma das cargas e portanto proporcional ao produto q₁q₂ das duas cargas Desse modo Coulomb estabeleceu uma relação hoje conhecida como lei de Coulomb O módulo da força elétrica entre duas cargas puntiformes é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas Em termos matemáticos o módulo F da força que qualquer uma das duas cargas q₁ e q₂ separadas por uma distância r exerce sobre a outra pode ser expresso pela relação F k q₁q₂ r² 211 em que k é uma constante de proporcionalidade cujo valor numérico depende do sistema de unidades usado As barras verticais que indicam valor absoluto são usadas na Equação 211 porque as cargas q₁ e q₂ podem ser positivas ou negativas enquanto o módulo da força F é sempre positivo A direção da força que qualquer uma das cargas exerce sobre a outra é sempre ao longo da linha reta que passa pelas cargas Quando as cargas q₁ e q₂ possuem o mesmo sinal ambos positivos ou ambos negativos as forças são repulsivas quando as cargas q₁ e q₂ possuem sinais opostos as forças são atrativas Figura 2110b As duas forças obedecem à terceira lei de Newton elas sempre possuem o mesmo módulo e sentidos contrários mesmo quando as cargas não são iguais em módulo A proporcionalidade da força elétrica com 1 r² foi verificada com grande precisão Não existe nenhuma razão para suspeitar que o fator do expoente não seja exatamente igual a 2 Portanto a Equação 211 tem estrutura igual à da lei da gravitação Porém a interação elétrica é um fenômeno diferente da interação gravitacional A interação elétrica depende das cargas elétricas e pode ser atrativa ou repulsiva enquanto a interação gravitacional depende das massas e só pode ser atrativa porque não existe massa negativa Constantes elétricas fundamentais O valor da constante de proporcionalidade k na lei de Coulomb depende do sistema de unidades Em nossos estudos de eletricidade e do magnetismo usaremos exclusivamente unidades do SI Muitas unidades elétricas do SI abrangem unidades familiares como o volt o ampère o ohm e o watt Não existe nenhum sistema britânico de unidades elétricas A unidade SI de carga elétrica é igual a um coulomb 1 C Usando unidades do SI a constante k na Equação 211 é k 8987551787 10⁹ Nm²C² 8988 10⁹ Nm²C² O valor da constante k é conhecido com muitos algarismos significativos porque esse valor está intimamente relacionado à velocidade da luz no vácuo Veremos isso no Capítulo 32 quando estudarmos a radiação eletromagnética Conforme dissemos na Seção 13 a velocidade da luz no vácuo é definida exatamente como c 299792458 10⁸ ms Em termos de c o valor de k é precisamente dado por k 10⁷ Ns²C² c² Você pode conferir as unidades da relação anterior para verificar se k realmente possui as unidades certas Primeiro podemos medir a força elétrica F entre duas cargas iguais q separadas por uma distância r e usar a lei de Coulomb para determinar o valor da carga Portanto podemos encarar o valor de k como uma definição operacional do coulomb Contudo por razões de precisão experimental é melhor definir o coulomb em termos da unidade de corrente elétrica carga por unidade de tempo ou seja o ampère que é igual a um coulomb por segundo Retornaremos a essa definição no Capítulo 28 Usando unidades do SI geralmente escrevemos a constante k da Equação 211 como 1 4πε₀ em que ε₀ épsilon zero é denominada constante elétrica Essa substituição simplifica muitas fórmulas que serão encontradas em capítulos posteriores A partir de agora quase sempre escreveremos a lei de Coulomb na forma F 1 4πε₀ q₁q₂ r² 212 Lei de Coulomb módulo da força elétrica entre duas cargas puntiformes Constante elétrica Valores das duas cargas Distância entre as duas cargas As constantes na Equação 212 são dadas aproximadamente por ε₀ 8854 10¹² C²Nm² e 1 4πε₀ k 8988 10⁹ Nm²C² Nos exemplos e nos problemas geralmente usaremos o valor aproximado 1 4πε₀ 90 10⁹ Nm²C² Conforme dissemos na Seção 211 a unidade mais fundamental de carga elétrica é o módulo da carga de um próton ou de um elétron que será designado por e O valor mais preciso disponível quando este livro foi escrito é dado por e 1602176565 35 10¹⁹ C Um coulomb representa o valor negativo da carga total existente em aproximadamente 6 10¹⁸ elétrons Comparativamente um cubo de cobre de 1 cm de aresta contém aproximadamente 24 10²⁴ elétrons Cerca de 10¹⁹ elétrons passam através do filamento luminoso de uma lâmpada incandescente a cada segundo Em geral os problemas de eletrostática isto é que envolvem cargas em repouso não incluem cargas tão elevadas quanto 1 coulomb Duas cargas de 1 C separadas por uma distância de 1 m exerceriam uma força mútua com módulo aproximadamente igual a 9 10⁹ N aproximadamente 1 milhão de toneladas A carga total dos elétrons existentes em uma moeda de cobre de um centavo é ainda maior aproximadamente igual a 14 10⁵ C mostrando que não podemos perturbar a neutralidade elétrica a não ser usando forças muito elevadas Os valores típicos de cargas elétricas livres oscilam aproximadamente entre um microcoulomb 1 µC 10⁶ C e um nanocoulomb 1 nC 10⁹ C EXEMPLO 211 FORÇA ELÉTRICA VERSUS FORÇA GRAVITACIONAL Uma partícula α o núcleo do átomo de hélio possui massa m 664 10²⁷ kg e carga q 2e 32 10¹⁹ C Compare o módulo da força de repulsão elétrica entre duas partículas α alfa com o módulo da força de atração gravitacional entre elas SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR este problema envolve a lei de Newton para a força gravitacional Fg entre partículas veja a Seção 121 e a lei de Coulomb para a força elétrica Fe entre cargas puntiformes Devemos comparar essas forças de modo que a incógnita do problema seja a razão entre essas duas forças FeFg Usamos a Equação 212 para Fe e a Equação 121 para Fg EXECUTAR a Figura 2111 mostra nossa esquematização do problema a partir das equações 212 e 121 Fe 1 4πε₀ q² r² Fg G m² r² Continua Continuação Essas duas forças possuem relações de proporções inversas do quadrado de r que se cancelam quando calculamos a razão Fe Fg 1 4πε₀G q² m² 90 10⁹ Nm²C² 667 10¹¹ Nm²kg² 32 10¹⁹ C² 664 10²⁷ kg² 31 10³⁵ AVALIAR esse número extraordinariamente elevado mostra que a força gravitacional nesse caso é completamente desprezível em comparação à força elétrica Isso é sempre verdade para interações entre partículas atômicas e subatômicas Contudo entre dois corpos do tamanho de uma pessoa ou de um planeta em geral a carga líquida positiva é aproximadamente igual à carga líquida negativa e a força elétrica é muito menor que a força gravitacional Figura 2111 Nossa esquematização do problema Superposição de forças A lei de Coulomb como nós a apresentamos descreve apenas a interação entre duas cargas puntiformes Quando duas cargas exercem forças sobre uma terceira carga a experiência mostra que a força total exercida sobre essa carga é dada pela soma vetorial das forças que as duas cargas exercem individualmente Essa importante propriedade denominada princípio da superposição das forças pode ser aplicada a um número qualquer de cargas Usando esse princípio podemos aplicar a lei de Coulomb para qualquer conjunto de cargas Dois dos exemplos no final desta seção demonstram a aplicação do princípio da superposição Teoricamente a lei de Coulomb como nós a apresentamos só poderia ser usada para cargas puntiformes no vácuo Quando existe matéria no espaço entre as cargas a força resultante sobre cada carga se altera porque ocorre o fenômeno da indução de cargas elétricas nas moléculas do material do meio considerado Descreveremos esse efeito posteriormente Contudo na prática podemos usar a lei de Coulomb sem nenhuma alteração para cargas puntiformes no ar Para a pressão atmosférica normal a presença do ar altera o valor da força elétrica no vácuo em apenas uma parte em 2000 ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 211 LEI DE COULOMB IDENTIFICAR os conceitos relevantes a lei de Coulomb descreve as forças elétricas entre partículas carregadas PREPARAR o problema usando as seguintes etapas 1 Faça um desenho indicando as localizações das partículas carregadas e classifique cada partícula conforme a respectiva carga 2 Se as cargas não estiverem localizadas na mesma linha monte um sistema de coordenadas xy 3 O problema pedirá que se encontre a força elétrica que atua sobre uma ou mais partículas Identifique essas partículas EXECUTAR a solução da seguinte forma 1 Calcule o módulo da força que cada partícula exerce sobre uma partícula de interesse usando a Equação 212 2 Use esses módulos para montar um diagrama do corpo livre mostrando os vetores da força elétrica que atuam sobre cada partícula de interesse A força exercida pela partícula 1 sobre a partícula 2 aponta da partícula 2 para a partícula 1 caso as duas cargas tenham sinais opostos mas aponta da partícula 2 para o lado oposto ao da partícula 1 caso as cargas tenham o mesmo sinal 3 Use o princípio da superposição para calcular a força elétrica total uma soma vetorial sobre cada partícula de interesse Revise a álgebra vetorial abordada desde a Seção 17 até a Seção 19 Esse método de componentes muitas vezes é útil 4 Use unidades consistentes unidades do SI são completamente consistentes Em 1 4πε₀ 90 10⁹ Nm²C² as distâncias devem ser expressas em metros as cargas em coulombs e as forças em newtons 5 Alguns exemplos e problemas deste e dos próximos capítulos envolvem distribuições contínuas de carga ao longo de uma linha sobre uma superfície ou através de um volume Nesses casos a soma vetorial mencionada no item 3 transformase em uma integral vetorial Dividimos a distribuição de cargas em regiões infinitesimais usamos a lei de Coulomb para cada região e a seguir integramos para achar a soma vetorial Em alguns casos isso pode ser feito sem necessidade do uso de integrais 6 Explore quaisquer simetrias na distribuição de cargas para simplificar o processo de resolução de problemas Por exemplo duas cargas idênticas q exercem uma força elétrica líquida igual a zero sobre uma carga Q que se encontra no ponto médio entre elas porque as forças sobre Q possuem o mesmo módulo e sentidos opostos AVALIAR sua resposta confira se os resultados numéricos são razoáveis e confirme se o sentido da força elétrica líquida está de acordo com o princípio de que cargas iguais se repelem e cargas opostas se atraem EXEMPLO 212 FORÇA ENTRE DUAS CARGAS PUNTIFORMES Duas cargas puntiformes q₁ 25 nC e q₂ 75 nC estão separadas por uma distância r 30 cm Figura 2112a Determine o módulo e o sentido da força elétrica a que q₁ exerce sobre q₂ e b que q₂ exerce sobre q₁ SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR este problema solicita as forças elétricas que duas cargas exercem entre si Usamos a lei de Coulomb Equação 212 para calcular o módulo de cada força Os sinais das cargas elétricas determinarão as direções e os sentidos das forças EXECUTAR a após converter r para metros e as unidades de q₁ e q₂ para coulombs obtemos com a Equação 212 F₁ em 2 14πε₀ q₁q₂r² 90 x 10⁹ N m²C² 25 x 10⁹ C75 x 10⁹ C0030 m² 0019 N Visto que as duas cargas possuem sinais opostos a força é de atração para a esquerda na Figura 2112b ou seja a força que atua sobre q₂ está sobre a reta que une as duas cargas e possui sentido orientado para q₁ b Como foi feito na parte a temos F₂ em 1 14πε₀ q₂q₁r² F₁ em 2 0019 N A força de atração exercida sobre q₁ é direcionada para a direita Figura 2112c AVALIAR a terceira lei de Newton se aplica à força elétrica Embora as cargas possuam módulos diferentes o módulo da força que q₂ exerce sobre q₁ é igual ao módulo da força que q₁ exerce sobre q₂ e essas duas forças possuem sentidos opostos Figura 2112 Qual é a força elétrica que q₁ exerce sobre q₂ e qual é a força elétrica que q₂ exerce sobre q₁ As forças gravitacionais são desprezíveis a As duas cargas q₁ q₂ r b Diagrama do corpo livre para q₂ F₁ em 2 q₂ c Diagrama do corpo livre para q₁ q₁ F₂ em 1 EXEMPLO 213 SOMA VETORIAL PARA FORÇAS COLINEARES Duas cargas puntiformes estão localizadas no eixo x de um sistema de coordenadas q₁ 10 nC está em x 20 cm e q₂ 30 nC está em x 40 cm Qual é a força elétrica total exercida por q₁ e q₂ sobre uma carga q₃ 50 nC em x 0 SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR a Figura 2113a mostra a situação Para obter a força total sobre q₃ a incógnita do problema devemos encontrar a soma vetorial das duas forças elétricas atuando sobre essa carga EXECUTAR a Figura 2113b é um diagrama do corpo livre para a carga q₃ que é repelida por q₁ que possui o mesmo sinal e atraída por q₂ que possui sinal oposto F₁ em 3 está no sentido de x e F₂ em 3 está no sentido de x Convertendo as unidades temos a partir da Equação 212 F₁ em 3 14πε₀ q₁q₃r₁₃² 90 x 10⁹ N m²C² 10 x 10⁹ C50 x 10⁹ C0020 m² 112 x 10⁴ N 112 μN Da mesma forma é possível demonstrar que F₂ em 3 84 μN Portanto sabemos que F₁ em 3 112 μNî e F₂ em 3 84 μNî A força elétrica líquida sobre q₃ é dada por F₃ F₁ em 3 F₂ em 3 112 μNî 84 μNî 28 μNî AVALIAR para conferir note que o módulo de q₂ é três vezes maior que o módulo de q₁ mas q₂ está duas vezes mais distante de q₃ Pela Equação 212 isso significa que F₂ em 3 deve ser 32² 34 075 vez o valor de F₁ em 3 Isso está de acordo com nossos resultados F₂ em 3F₁ em 3 84 μN112 μN 075 Como F₂ em 3 é a força mais fraca o sentido da força líquida é o mesmo de F₁ em 3 ou seja no sentido de x Figura 2113 Nossa esquematização do problema a Nosso diagrama da situação y q₃ 50 nC q₁ 10 nC q₂ 30 nC 0 20 cm 40 cm b Diagrama do corpo livre para q₃ y F₁ em 3 F₂ em 3 x q₃ 0 EXEMPLO 214 SOMA VETORIAL DE FORÇAS ELÉTRICAS EM UM PLANO Duas cargas puntiformes positivas iguais q₁ q₂ 20 μC estão localizadas em x 0 y 030 m e x 0 y 030 m respectivamente Determine o módulo a direção e o sentido da força elétrica total resultante que q₁ e q₂ exercem sobre uma terceira carga Q 40 μC em x 040 m y 0 SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR como no Exemplo 213 devemos calcular a força que cada carga exerce sobre Q e a seguir obter a soma vetorial dessas forças A Figura 2114 mostra a situação Como as três cargas não são colineares o modo mais fácil para calcular as forças consiste em usar os componentes EXECUTAR a Figura 2114 mostra as forças F₁ em Q e F₂ em Q exercida pelas cargas idênticas q₁ e q₂ que estão a distâncias iguais de Q De acordo com a lei de Coulomb o módulo de ambas as forças é dado por F₁ ou 2 em Q 90 x 10⁹ N m²C² 40 x 10⁶ C20 x 10⁶ C050 m² 029 N O componente x de cada uma das duas forças é dado por F₁ ou 2 em Qₓ F₁ ou 2 em Qcos α 029 N040 m050 m 023 N Usando um raciocínio de simetria vemos que os componentes y das duas forças possuem módulos iguais e sentidos opostos Portanto sua soma é igual a zero e a força total F em Q tem componente x Fₓ 023 N 023 N 046 N A força total em Q aponta no sentido x e possui módulo igual a 046 N AVALIAR a força total sobre Q aponta em um sentido que não se afasta diretamente de q₁ nem de q₂ Em vez disso esse sentido é uma acomodação que aponta para fora do sistema das cargas q₁ e q₂ Você consegue perceber que a força total não apontaria no sentido x se q₁ e q₂ não fossem iguais ou se a disposição geométrica das cargas não fosse tão simétrica Figura 2114 Nossa esquematização deste problema y q₁ 20 μC 030 m q₂ 20 μC 030 m 050 m 050 m F₂ em Qᵧ F₂ em Qₓ F₂ em Q Q 40 μC 040 m F₁ em Qᵧ F₁ em Qₓ F₁ em Q x TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 213 Considere que a carga q₂ no Exemplo 214 fosse 20 μC Nesse caso a força elétrica total sobre Q i apontaria no sentido positivo de x ii apontaria no sentido negativo de x iii apontaria no sentido positivo de y iv apontaria no sentido negativo de y v seria igual a zero vi nenhuma das alternativas Figura 2115 Um corpo carregado cria um campo elétrico ao redor dele a A e B exercem forças elétricas entre si b Remova o corpo B e designe sua posição anterior como P c O corpo A forma um campo elétrico E no ponto P E é a força por unidade de carga exercida pelo corpo A sobre uma carga de teste em P BIO Aplicação Tubarões e o sexto sentido Os tubarões têm a capacidade de localizar presas como o linguado e outros peixes de fundo que estão completamente escondidas sob a areia no fundo do oceano Eles fazem isso através da detecção de fracos campos elétricos produzidos pelas contrações musculares de suas presas Os tubarões derivam sua sensibilidade a campos elétricos um sexto sentido a partir de canais cheios de geleia em seus corpos Estes canais terminam em poros na pele do tubarão mostrado nesta fotografia Um campo elétrico fraco como 5 x 10⁷ NC já provoca um fluxo de carga dentro dos canais e aciona um sinal no sistema nervoso do tubarão Como o tubarão tem canais com diferentes orientações ele pode medir diferentes componentes do vetor do campo elétrico e consequentemente determinar a direção do campo Para entendermos como esse processo de duas etapas ocorre inicialmente consideramos apenas o corpo A removemos o corpo B e designamos pela letra P o ponto que ele ocupava Figura 2115b Dizemos que o corpo A produz um campo elétrico no ponto P e em todos os outros pontos nas vizinhanças Esse campo elétrico está presente no ponto P mesmo quando não existe nenhuma carga em P isso decorre somente da existência da carga sobre o corpo A Quando uma carga q₀ é a seguir colocada no ponto P ela sofre a ação da força elétrica F₀ Adotamos o ponto de vista de que essa força é exercida sobre a carga q₀ pelo campo elétrico no ponto P Figura 2115c Portanto o campo elétrico serve de intermediário para comunicar a força que A exerce sobre q₀ Visto que a carga puntiforme q₀ sofre a ação da força em qualquer ponto nas vizinhanças de A o campo elétrico produzido por A está presente em todos os pontos ao redor de A De modo análogo podemos dizer que a carga puntiforme q₀ produz em torno dela um campo elétrico e que esse campo exerce sobre o corpo A uma força elétrica F₀ Para cada força a força de A sobre q₀ e a força de q₀ sobre A uma das cargas cria um campo elétrico que exerce uma força sobre a outra carga Enfatizamos que esse efeito é uma interação entre dois corpos carregados Uma única carga produz um campo elétrico no espaço de suas vizinhanças porém esse campo elétrico não pode exercer força resultante sobre a carga que o criou esse é um exemplo do princípio geral enunciado na Seção 43 segundo o qual um corpo não pode produzir uma força resultante sobre si mesmo Se esse princípio não fosse verdadeiro você poderia dar um pulo até o teto simplesmente puxando seu cinto para cima A força elétrica sobre um corpo carregado é exercida pelo campo elétrico produzido por outros corpos carregados Para verificarmos se existe um campo elétrico em um dado ponto colocamos no referido ponto um corpo carregado chamado de carga de teste Figura 2115c Quando a carga de teste sofre a ação de uma força elétrica concluímos que existe um campo elétrico nesse ponto Esse campo elétrico é produzido por outras cargas que não a carga q₀ A força é uma grandeza vetorial de modo que o campo elétrico também o é Observe o uso de sinais vetoriais assim como as letras em negrito e os sinais de mais menos e igual na discussão a seguir Definimos o campo elétrico E em um ponto como a força elétrica F₀ que atua sobre uma carga q₀ nesse ponto dividida pela carga q₀ Ou seja o campo elétrico em um dado ponto é igual à força elétrica por unidade de carga que atua sobre uma carga situada nesse ponto Campo elétrico força elétrica por unidade de carga E F₀q₀ Força elétrica sobre uma carga de teste q₀ em função de outras cargas Valor da carga de teste 213 Usando unidades SI para as quais a unidade de força é 1 N e a unidade de carga é 1 C a unidade de campo elétrico é 1 newton por coulomb 1 NC Quando o campo elétrico E for conhecido em um dado ponto usando a Equação 213 podemos obter a força elétrica F₀ que atua sobre uma carga puntiforme q₀ colocada nesse ponto Essa força é dada simplesmente pelo campo elétrico E produzido pelas outras cargas com exceção da carga q₀ multiplicado pela carga q₀ F₀ q₀E força exercida sobre uma carga puntiforme q₀ por um campo elétrico E 214 A carga q0 pode ser positiva ou negativa Quando q0 for positiva a força F0 que atua sobre a carga terá o mesmo sentido de E quando q0 for negativa F0 e E terão sentidos opostos Figura 2116 Embora o conceito de campo elétrico possa ser novo para você a ideia básica de que um corpo produz um campo no espaço em torno dele e um segundo corpo sofre a ação desse campo já foi na realidade introduzida anteriormente Compare a Equação 214 com a expressão familiar da força gravitacional Fg que a Terra exerce sobre um corpo de massa m0 Fg m0g 215 Nessa expressão g é a aceleração da gravidade Dividindo ambos os lados da Equação 215 pela massa m0 obtemos g Fgm0 Portanto podemos interpretar g como a força gravitacional por unidade de massa Por analogia à Equação 213 é possível dizer que g é o campo gravitacional Desse modo a interação gravitacional entre a Terra e um corpo de massa m0 pode ser descrita como um processo com duas etapas a Terra produz um campo gravitacional g no espaço em torno dela e o campo gravitacional produz uma força dada pela Equação 215 sobre um corpo de massa m0 que chamamos de massa de teste O campo gravitacional g ou a força gravitacional por unidade de massa é um conceito útil porque não depende da massa do corpo sobre o qual a força gravitacional está atuando analogamente o campo elétrico E ou a força elétrica por unidade de carga também é um conceito útil porque não depende da carga do corpo sobre o qual a força elétrica está atuando ATENÇÃO F0 q0E somente se aplica a cargas de teste puntiformes A força elétrica que atua sobre uma carga de teste q0 pode variar de um ponto a outro do espaço de modo que o campo elétrico pode assumir diferentes valores em pontos diferentes Por essa razão a Equação 214 só deve ser usada para determinar a força elétrica que atua sobre uma carga puntiforme Quando o corpo carregado possui um tamanho suficientemente grande o campo elétrico E pode variar em módulo e direção em pontos diferentes ao longo do corpo e a determinação da força elétrica resultante que atua sobre o corpo pode se tornar complicada Campo elétrico de uma carga puntiforme Quando a distribuição de cargas da fonte corresponde a uma carga puntiforme q é fácil encontrar o campo elétrico que ela produz O local onde essa carga se encontra denominase ponto da fonte e o ponto P onde desejamos determinar o campo elétrico é chamado de ponto do campo Também é útil introduzir um vetor unitário êr que aponta ao longo da linha que une o ponto da fonte ao ponto do campo Figura 2117a Esse vetor unitário é igual ao vetor deslocamento r que une o ponto da fonte ao ponto do campo dividido pela distância r r entre esses dois pontos ou seja êr rr Se colocarmos uma carga de teste pequena q0 no ponto do campo P a uma distância r do ponto da fonte o módulo F0 da força será dado pela lei de Coulomb Equação 212 F0 14πε0 qq0r² 16 Física III Pela Equação 213 o módulo E do campo elétrico no ponto P é dado por E 1 4pP0 0 q0 r2 módulo de campo elétrico de uma carga puntiforme 216 Usando o vetor unitário podemos escrever uma equação vetorial que fornece o módulo a direção e o sentido do campo elétrico 217 Vetor unitário da carga puntiforme para onde o campo é medido Distância da carga puntiforme até onde o campo é medido Campo elétrico em função de uma carga puntiforme r SE r2 q 4pP0 1 Constante elétrica Valor da carga puntiforme Por definição o campo elétrico de uma carga puntiforme sempre aponta para fora de uma carga positiva ou seja no mesmo sentido de veja a Figura 2117b porém para dentro de uma carga negativa ou seja no sentido oposto ao de veja a Figura 2117c Enfatizamos o cálculo do campo elétrico em um determinado ponto Porém uma vez que o campo elétrico pode variar de um ponto para outro ele não é dado por uma única grandeza vetorial mas por um conjunto infinito de grandezas vetoriais cada uma das quais associada a um ponto desse espaço Esse é um exemplo de um campo vetorial A Figura 2118 mostra uma série de campos vetoriais produzidos por uma carga positiva ou uma carga negativa Quando usamos um sistema de co ordenadas retangulares x y z cada componente de em geral é uma função das coordenadas x y z do ponto Podemos representar os componentes desse vetor por Exx y z Eyx y z e Ezx y z Outro exemplo de campo vetorial é a velocidade das correntes de vento o módulo e a direção da velocidade e portanto seus com ponentes vetoriais podem variar de um ponto a outro da atmosfera Em alguns casos o módulo e a direção do campo elétrico e portanto de seus com ponentes vetoriais são constantes em todos os pontos de uma dada região nesse caso dizemos que o campo é uniforme na região considerada Um importante exemplo disso é o campo elétrico encontrado no interior de um condutor Caso exista um campo elé trico no interior de um condutor o campo exerce uma força sobre cada carga existente no interior do condutor produzindo um movimento de cargas livres Por definição não existe nenhum movimento efetivo em uma situação eletrostática Concluímos que na eletrostática o campo elétrico deve ser igual a zero em todos os pontos no interior de um condutor Note que quando existe um buraco no interior de um condutor não po demos afirmar que o campo elétrico seja necessariamente igual a zero no interior dele Usando o conceito de campo elétrico nossa descrição da interação elétrica é composta por duas partes Em primeiro lugar uma dada distribuição de cargas funciona como uma fonte do campo elétrico Em segundo lugar o campo elé trico dessa distribuição exerce uma força sobre qualquer carga presente no interior desse campo Em geral nossa análise também apresenta duas etapas primeiro calculamos o campo elétrico produzido por certa distribuição de cargas depois Figura 2117 Campo elétrico produzido no ponto P por uma carga puntiforme q em S Note que tanto em b como em c o campo elétrico é produzido por q veja a Equação 217 porém atua sobre q0 no ponto P veja a Equação 214 E S E S r r r P q0 q S Para todos os pontos P o campo elétrico produzido por uma carga isolada puntiforme negativa q aponta para dentro da carga e no sentido oposto de r S P q0 q Para todos os pontos P o campo elétrico produzido por uma carga isolada puntiforme positiva q aponta para fora da carga e no mesmo sentido de r q P q0 c b a S r O vetor unitário r aponta do ponto da fonte S para o ponto do campo P Figura 2118 Uma carga puntiforme q produz um campo elétrico em todos os pontos no espaço A força do campo diminui conforme a distância aumenta E S E S q q a O campo produzido por uma carga puntiforme positiva aponta para fora da carga b O campo produzido por uma carga puntiforme negativa aponta para dentro da carga BookSEARSVol3indb 16 101115 656 PM determinamos o efeito desse campo em termos de força e do movimento A segunda etapa geralmente envolve leis de Newton assim como os princípios das interações elétricas Na próxima seção mostraremos como determinar o campo elétrico produzido por diversas distribuições de fontes porém a seguir apresentaremos três exemplos para a determinação do campo elétrico produzido por cargas puntiformes e para o cálculo da força elétrica que um dado campo E exerce sobre uma carga EXEMPLO 215 MÓDULO DO CAMPO ELÉTRICO DE UMA CARGA PUNTIFORME Calcule o módulo do campo elétrico E de uma carga puntiforme q 40 nC em um ponto do campo situado a uma distância de 20 m da carga SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR este problema se refere ao campo elétrico em função de uma carga puntiforme Como conhecemos o módulo da carga e a distância entre a carga e o ponto do campo usamos a Equação 216 para calcular o módulo do campo E EXECUTAR de acordo com a Equação 216 E 14πε0 qr² 90 109 Nm²C² 40 109 C20 m² 90 NC AVALIAR nosso resultado E 90 NC significa que uma carga de 10 C em um ponto a 20 m de distância de q sofreria uma força igual a 90 N A força sobre uma carga de 20 C seria igual a 20 C90 NC 18 N e assim por diante EXEMPLO 216 VETOR DO CAMPO ELÉTRICO DE UMA CARGA PUNTIFORME Uma carga puntiforme q 80 nC está localizada na origem Determine o vetor do campo elétrico para o ponto do campo x 12 m y 16 m SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR devemos encontrar o vetor E do campo elétrico em função de uma carga puntiforme A Figura 2119 mostra a situação Vamos utilizar a Equação 217 para fazer isso primeiro achamos a distância r entre o ponto do campo P e o ponto da fonte S a posição da carga q que nesse exemplo é igual à origem O bem como uma expressão para o vetor unitário êr rr que aponta no sentido de S para P EXECUTAR a distância de S até P é dada por r x² y² 12 m² 16 m² 20 m O vetor unitário êr portanto é dado por êr rr xi yjr 12 m i 16 m j 20 m 060 i 080 j A seguir de acordo com a Equação 217 E 14πε0 qr² êr 90 109 Nm²C² 80 109 C20 m² 060 i 080 j 11 NC i 14 NC j AVALIAR como a carga q é negativa o vetor E aponta do ponto do campo para a carga o ponto da fonte possuindo sentido oposto ao do vetor unitário êr compare com a Figura 2117c Deixamos para você fazer como exercício o cálculo do módulo e da direção de E veja o Exercício 2130 Figura 2119 Nossa esquematização deste problema EXEMPLO 217 ELÉTRON EM UM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME Quando os terminais de uma bateria são conectados a duas placas condutoras paralelas separadas por um vão pequeno as cargas resultantes sobre as placas produzem um campo elétrico E aproximadamente uniforme na região entre as placas Na próxima seção mostraremos por que isso acontece Se as placas estão separadas por uma distância de 10 cm conectadas a uma bateria de 100 V como indica a Figura 2120 o campo está orientado verticalmente de baixo para cima e seu módulo é dado por E 100 104 NC a Calcule a aceleração de um elétron carga e 160 1019 C massa m 911 1031 kg liberado do repouso na placa superior b Calcule o módulo da velocidade e a energia cinética do elétron adquiridos ao longo do trecho de 1 cm até a placa inferior c Quanto tempo ele leva para percorrer essa distância Continua SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR este exemplo envolve a relação entre campo elétrico e força elétrica Também envolve a relação entre força e aceleração a definição de energia cinética e as relações cinemáticas entre aceleração distância velocidade e tempo Um sistema de coordenadas é indicado na Figura 2120 Como conhecemos o campo elétrico usamos a Equação 214 para obter a força que atua sobre o elétron e a segunda lei de Newton para obter sua aceleração Como o campo é uniforme entre as placas a força e a aceleração são constantes e podemos usar as fórmulas de aceleração constante do Capítulo 2 para achar a velocidade do elétron e o tempo de percurso Achamos a energia cinética a partir de K 12 mv² EXECUTAR a embora E seja orientado verticalmente de baixo para cima no sentido y a força F é orientada verticalmente de cima para baixo pois a carga do elétron é negativa portanto o componente Fy é negativa Visto que Fy é constante o elétron se move com uma aceleração constante ay Fym eEm 160 1019 C100 104 NC 911 1031 kg 176 1015 ms² b O elétron parte do repouso de modo que seu movimento ocorre somente no sentido y o sentido da aceleração Podemos determinar o módulo da velocidade do elétron em qualquer ponto y usando a Equação 213 para movimentos com aceleração constante vy² v0y² 2ayy y0 Temos v0y 0 e y0 0 então quando y 10 cm 10 102 m temos vy 2ayy 2176 1015 ms²10 102 m 59 106 ms A velocidade é orientada de cima para baixo de modo que vy 59 10⁶ ms A energia cinética do elétron é dada por K 12 mv² 12 911 1031 kg59 10⁶ ms² 16 1017 J c De acordo com a Equação 28 para movimentos com aceleração constante vy v0y ayt t vy v0y ay 59 106 ms 0 ms 176 1015 ms² 34 109 s AVALIAR nossos resultados mostram que em problemas sobre partículas subatômicas como os elétrons muitas grandezas incluindo aceleração módulo da velocidade energia cinética e tempo terão valores muito diferentes dos constatados para objetos comuns como bolas de beisebol e automóveis Figura 2120 Um campo elétrico uniforme entre duas placas condutoras paralelas conectadas a uma bateria de 100 V Nesta figura a separação entre as placas está exagerada em relação ao tamanho delas TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 214 a Uma carga puntiforme negativa se move ao longo de uma trajetória retilínea no sentido de uma carga puntiforme positiva fixa Que aspectos da força elétrica sobre a carga puntiforme negativa permanecerão constantes enquanto ela se move i Módulo ii direção e sentido iii módulo direção e sentido iv nenhum deles b Uma carga puntiforme negativa se move ao longo de uma órbita circular em torno de uma carga positiva puntiforme Que aspectos da força elétrica sobre a carga puntiforme negativa permanecerão constantes enquanto ela se move i Módulo ii direção e sentido iii módulo direção e sentido iv nenhum deles Superposição dos campos elétricos Para determinarmos o campo elétrico produzido por uma distribuição de cargas imaginemos a distribuição como um conjunto de cargas puntiformes q1 q2 q3 Esta hipótese é efetivamente bastante realista porque conforme vimos as cargas elétricas são oriundas de elétrons e prótons que são partículas tão pequenas que podem ser consideradas puntiformes Para qualquer ponto P cada carga puntiforme produz seu respectivo campo elétrico E1 E2 E3 de modo que uma carga de teste q0 colocada em P sofre a ação de uma força F1 q0E1 exercida pela carga q1 uma força F2 q0E 2 exercida pela carga q2 e assim por diante De acordo com o princípio da superposição das forças discutido na Seção 213 a força total F0 resultante da ação da distribuição de cargas sobre q0 é a soma vetorial dessas forças individuais F0 F1 F2 F3 q0E1 q0E2 q0E3 O efeito combinado de todas as cargas da distribuição é descrito pelo campo elétrico total E no ponto P De acordo com a Equação 213 esse campo elétrico é dado por E F0q0 E1 E2 E3 O campo elétrico total no ponto P é igual à soma vetorial dos campos que cada carga da distribuição produz no ponto P Figura 2121 Esse resultado é chamado de princípio da superposição dos campos elétricos Quando uma carga é distribuída ao longo de uma linha sobre uma superfície ou através de um volume alguns termos adicionais são úteis Para uma distribuição linear de cargas como no caso de uma haste estreita e longa de plástico carregada usaremos a letra λ a letra grega lambda para representar a densidade linear de carga carga por unidade de comprimento medida em Cm Quando a carga estiver distribuída sobre uma superfície como a superfície do tambor de reprodução de imagens de impressoras a laser usaremos a letra σ sigma para representar a densidade superficial de carga carga por unidade de área medida em Cm² E quando a carga se encontrar distribuída através de um volume tomaremos a letra ρ rô para representar a densidade volumétrica de carga carga por unidade de volume medida em Cm³ Alguns dos cálculos que serão apresentados nos exemplos a seguir podem parecer complexos Depois que você resolver alguns exemplos desenvolvendo cada etapa verá que essa tarefa não é tão complicada Muitas técnicas usadas nos cálculos apresentados nesses exemplos serão novamente empregadas no Capítulo 28 para calcular os campos magnéticos produzidos por cargas em movimento DADOS MOSTRAM Força elétrica e campo elétrico Quando os alunos recebiam um problema sobre força elétrica e campo elétrico mais de 28 davam uma resposta incorreta Erros comuns Esquecer que o campo elétrico E atuando sobre uma carga puntiforme não depende dessa carga puntiforme O valor de E depende das cargas que o produzem e não da carga que sofre seus efeitos Esquecer que E é um vetor Quando o campo E em um ponto P resulta de duas ou mais cargas puntiformes E é a soma vetorial dos campos produzidos pelas cargas individuais De modo geral esse valor é diferente da soma dos módulos desses campos Figura 2121 Ilustração do princípio da superposição dos campos elétricos EXEMPLO 218 CAMPO DE UM DIPOLO ELÉTRICO A distância entre duas cargas puntiformes q1 12 nC e q2 12 nC é igual a 0100 m Figura 2122 Denominase dipolo elétrico um conjunto de duas cargas iguais porém de sinais opostos Determine o campo elétrico produzido por q1 o campo elétrico produzido por q2 e o campo elétrico resultante a no ponto a b no ponto b e c no ponto c SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR devemos obter o campo elétrico total em três pontos diferentes em função de duas cargas puntiformes Usaremos o princípio da superposição E E1 E2 A Figura 2122 mostra o sistema de coordenadas e a localização dos três pontos do campo a b e c EXECUTAR em cada ponto do campo E depende de E1 e E2 naquele ponto No ponto a o módulo do campo E1a causado por q1 é E1a 14πε0 q1r² 90 10⁹ Nm²C²1210⁹ C0060 m² 30 10⁴ NC Calculamos os outros módulos do campo da mesma forma Os resultados são E1a 30 10⁴ NC E1b 68 10⁴ NC E1c 639 10³ NC E2a 68 10⁴ NC E2b 055 10⁴ NC E2c E1c 639 10³ NC Os sentidos dos campos correspondentes são todos para fora da carga positiva q1 e para dentro da carga negativa q2 a No ponto a tanto E1a quanto E2a apontam para a direita logo Ea E1a î E2a î 98 10⁴ NC î b No ponto b E1b aponta para a esquerda enquanto E2b aponta para a direita logo Eb E1b î E2b î 62 10⁴ NC î c A Figura 2122 mostra as direções e os sentidos de E1 e E2 no ponto c Os dois vetores possuem o mesmo componente x E1cx E2cx E1c cos α 639 10³ NC513 246 10³ NC Por simetria E1y e E2y possuem o mesmo módulo e sentidos opostos portanto sua soma é igual a zero Logo Ec 2246 10³ NC î 49 10³ NC î AVALIAR também podemos encontrar Ec usando a Equação 217 para o campo de uma carga puntiforme O vetor de deslocamento rˆ1 que liga q1 ao ponto c é dado por rˆ1 r cos α î r sen α ĵ Portanto o vetor unitário que aponta de q1 ao ponto c é dado por rˆ1 r1r cos α î sen α ĵ Por simetria o vetor unitário que aponta de q2 ao ponto c possui um componente x oposto porém o mesmo componente y rˆ2 cos α î sen α ĵ Podemos agora usar a Equação 217 para escrever os campos E1c e E2c no ponto c em notação vetorial e em seguida encontrar o valor da soma dos dois Como q2 q1 e a distância r até c é a mesma para suas cargas Ec E1c E2c 14πε0 q1r² rˆ1 q2r² rˆ2 14πε0r² q1rˆ1 q2rˆ2 q14πε0r² rˆ1 rˆ2 14πε0 q1r² 2 cos α î 2 90 10⁹ Nm²C² 12 10⁹ C 013 m² 513 î 49 10³ NC î Este é o mesmo valor que encontramos no item c Figura 2122 Campo elétrico em três pontos a b e c estabelecidos pelas cargas q1 e q2 os quais formam um dipolo elétrico EXEMPLO 219 CAMPO DE UM ANEL CARREGADO Uma carga Q é distribuída uniformemente ao longo de um anel condutor de raio a Figura 2123 Determine o campo elétrico em um ponto P situado sobre o eixo do anel a uma distância x de seu centro SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR este problema envolve a superposição de campos elétricos Cada parcela de carga em torno do anel produz um campo elétrico em um ponto arbitrário sobre o eixo x a incógnita do problema é o campo elétrico resultante de todas essas parcelas de carga EXECUTAR como indicado na Figura 2123 dividimos o anel em segmentos infinitesimais de comprimento ds Em termos de densidade linear de carga λ Q2πa um segmento de comprimento ds possui uma carga dQ λds Considere dois segmentos idênticos um indicado na figura em y a e outro em y a O Exemplo 214 nos mostra que a força resultante dF exercida sobre uma carga de teste puntiforme em P e consequentemente o campo elétrico resultante dE estão sobre o eixo x O mesmo pode ser dito para qualquer par de segmentos em torno do anel então o campo elétrico resultante no ponto P se encontra no sentido positivo do eixo x E Ex î Para calcular Ex note que o quadrado da distância r entre um segmento qualquer do anel e o ponto P é dado por r² x² a² Logo o módulo do campo elétrico dE produzido pelo segmento no ponto P é dE 14πε0 dQx² a² O componente x desse campo é dado por dEx dE cos α Sabemos que dQ λds e a Figura 2123 mostra que cos α xr xx² a² ½ portanto dEx dE cos α 14πε0 dQx² a² xx² a² 14πε0 λxx² a²³² ds Para encontrarmos Ex integramos a expressão anterior sobre todos os segmentos do anel ou seja para s de 0 a 2πa a circunferência do anel O integrando possui o mesmo valor para todos os pontos do anel portanto pode ser retirado da integral Logo temos Ex dEx 14πε0 λxx² a²³² ds 0 a 2πa 14πε0 λxx² a²³² 2πa E Ex î 14πε0 Qxx² a²³² î 218 AVALIAR de acordo com a Equação 218 E 0 está no centro do anel x 0 Isso faz sentido cargas situadas em pontos opostos do anel empurrariam uma carga de teste no centro em sentidos opostos e a soma vetorial de cada um desses pares de forças seria igual a zero Quando o ponto do campo P estiver situado a uma distância muito maior que o raio do anel temos x a e o denominador da Equação 218 será aproximadamente igual a x³ Nesse limite o campo elétrico no ponto P é dado por E 14πε0 Qx² î Em outras palavras quando o anel está tão distante que seu raio se torna desprezível em relação a essa distância x o campo elétrico do anel será o mesmo que o produzido por uma carga puntiforme Figura 2123 Cálculo do campo elétrico em um ponto sobre o eixo de um anel carregado A carga considerada na figura é positiva EXEMPLO 2110 CAMPO DE UMA LINHA RETA CARREGADA Uma carga elétrica positiva Q está distribuída uniformemente ao longo do eixo y entre y a e y a Determine o campo elétrico em um ponto P situado sobre o eixo x a uma distância x da origem uma expressão para o campo elétrico no ponto P em função de x O eixo x é perpendicular à linha carregada assim podemos usar um argumento de simetria EXECUTAR dividimos a linha carregada cujo comprimento é igual a 2a em segmentos infinitesimais de comprimento igual a dy A densidade linear de carga é dada por λ Q2a e a carga dQ λdy Q2ady A distância r entre um segmento a uma altura y e o ponto do campo P é dada por r x² y²¹² logo o módulo do campo elétrico no ponto P produzido por esse segmento a uma altura y é dado por Continua Figura 2124 Nossa esquematização deste problema dE 14πε₀ dQr² 14πε₀ Q2a dyx² y² A Figura 2124 mostra que os componentes x e y desse campo são dEx dE cos α e dEy dE sen α onde cos α xr e sen α yr Então dEx 14πε₀ Q2a x dyx² y²³² dEy 14πε₀ Q2a y dyx² y²³² Para encontrarmos o campo elétrico resultante no ponto P somamos os campos de todos os segmentos ao longo da linha ou seja integramos entre y a e y a Convidamos você a fazer os detalhes da integração uma tabela de integrais seria útil Os resultados são dados por Ex 14πε₀ Q2a ᵃₐ x dyx² y²³² Q4πε₀ 1xx² a² Ey 14πε₀ Q2a ᵃₐ y dyx² y²³² 0 ou em notação vetorial E 14πε₀ Qxx² a² î 219 E aponta para fora da linha carregada quando λ é positivo e para dentro da linha carregada quando λ é negativo AVALIAR usando o argumento de simetria como o adotado no Exemplo 219 concluímos que Ey deve ser igual a zero colocandose uma carga de teste positiva no ponto P as cargas situadas na metade superior da linha de carga empurram a carga de teste para baixo e a metade inferior da linha de carga empurra com módulo igual Por causa da simetria concluímos que a metade superior e a metade inferior contribuem igualmente para o campo elétrico resultante no ponto P Quando a linha reta é muito curta ou o ponto do campo está muito longe da linha reta de modo que x a podemos desprezar a no denominador da Equação 219 Então o campo elétrico será o mesmo que o produzido por uma carga puntiforme conforme encontramos no Exemplo 219 E 14πε₀ Qx² î Para explorar o que acontece quando a linha reta é muito longa ou o ponto do campo está muito perto da linha reta de modo que a x primeiro reescrevemos a Equação 219 com algumas modificações E 12πε₀ λ xx²a² 1 î 2110 No limite a x podemos desprezar x²a² no denominador da Equação 2110 portanto E λ2πε₀x î Esse é o campo de linha carregada com um comprimento infinitamente grande Em qualquer ponto P situado a uma distância r medida perpendicularmente até a linha de cargas em qualquer direção e sentido E possui um módulo E λ2πε₀r linha carregada de comprimento infinito Note que esse campo elétrico é proporcional a 1r contrariamente ao caso de uma carga puntiforme que produz um campo proporcional a 1r² Certamente na natureza não existe nenhuma linha carregada de comprimento infinito Contudo quando o ponto do campo estiver suficientemente próximo da linha reta a diferença entre o resultado de uma linha infinita e o resultado finito real será muito pequena Por exemplo se a distância r entre o ponto de campo e a linha carregada for igual a 1 do comprimento da linha a diferença no valor de E será menor que 002 do valor do resultado de uma linha infinita EXEMPLO 2111 CAMPO DE UM DISCO UNIFORMEMENTE CARREGADO Um disco não condutor com raio R possui uma densidade superficial de carga positiva uniforme σ Encontre o campo elétrico em um ponto situado sobre o eixo do disco a uma distância x de seu centro Suponha que x seja positivo SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR a situação é indicada na Figura 2125 Podemos representar a distribuição de cargas como um conjunto de anéis concêntricos carregados dQ No Exemplo 219 Continua Continuação obtivemos a Equação 218 para o campo elétrico no eixo de um único anel carregado uniformemente portanto nessa situação basta integrar as contribuições de todos os anéis EXECUTAR um anel típico possui carga dQ raio interno r e raio externo r dr Sua área é aproximadamente igual a sua largura dr vezes sua circunferência 2πr ou dA 2πr dr A carga por unidade de área é dada por σ dQdA portanto a carga do anel é dada por dQ σdA 2πσr dr Usamos dQ no lugar de Q na Equação 218 a expressão para o campo em razão do anel que encontramos no Exemplo 219 e substituímos o raio do anel a por r Portanto o componente dEx do campo elétrico no ponto P em função desse anel é dado por dEx 14πε₀ 2πσr x drx² r²³² Para determinarmos o campo elétrico resultante produzido pela contribuição de todos os anéis integramos dEx para todos os valores de r de r 0 a r R não de R até R Ex ₀ᴿ 14πε₀ 2πσ r xx² r²³² dr σx4ε₀ ₀ᴿ 2r drx² r²³² A integral pode ser calculada usandose a substituição t x² r² o que resulta em dt 2r dr deixamos para você a tarefa de fazer os detalhes da integração O resultado é Ex σx2ε₀ 1x² R² 1x σ2ε₀ 1 1R²x² 1 2111 AVALIAR quando o disco é muito grande ou o ponto está muito próximo do disco de modo que R x o termo 1R²x² 1 na Equação 2111 será muito menor que 1 A Equação 2111 passa a ser E σ2ε₀ 2112 O resultado final não contém a distância x do ponto do campo até o disco Isso significa que o campo elétrico produzido por um plano infinito com uma distribuição uniforme de cargas é independente da distância entre o ponto e o plano Portanto esse campo elétrico é uniforme sua direção é sempre perpendicular ao plano e seu sentido aponta para fora dele Novamente observamos que na natureza não existe nenhum plano infinito com cargas contudo quando a distância x do ponto do campo P for muito menor que as dimensões do plano o campo elétrico nesse ponto será aproximadamente igual ao produto da Equação 2112 Se o ponto P estivesse situado à esquerda do plano x 0 o resultado seria o mesmo exceto pelo fato de que o sentido de E seria da direita para a esquerda em vez de da esquerda para a direita Caso a distribuição de cargas fosse negativa os sentidos dos campos seriam para dentro do plano em vez de para fora dele Figura 2125 Nossa esquematização deste problema EXEMPLO 2112 CAMPO DE DUAS PLACAS INFINITAS COM CARGAS OPOSTAS Duas placas paralelas infinitas separadas por uma distância d possuem densidades superficiais de carga uniformes σ e σ Figura 2126 Determine o campo elétrico entre as duas placas acima do plano superior e abaixo do plano inferior SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR a Equação 2112 nos fornece o campo de um único plano infinito uniformemente carregado Para encontrar o campo elétrico produzido por duas placas usaremos o princípio da superposição Figura 2126 EXECUTAR de acordo com a Equação 2112 E₁ e E₂ possuem o mesmo módulo em todos os pontos independentemente da distância entre o ponto e qualquer plano E₁ E₂ σ2ε₀ A partir do Exemplo 2111 E₁ sempre aponta para fora do plano 1 e E₂ sempre aponta para dentro da carga do plano 2 Nos pontos situados entre os planos E₁ e E₂ se reforçam nos pontos acima do plano superior ou abaixo do plano inferior eles se cancelam Logo o campo elétrico resultante é dado por E E₁ E₂ 0 acima da placa superior σε₀ entre as placas 0 abaixo da placa inferior AVALIAR como as placas foram consideradas infinitas o resultado não depende da separação d Nosso resultado mostra que o campo elétrico entre duas placas com cargas opostas é essencialmente uniforme caso a separação das placas seja muito menor que as dimensões delas Na verdade usamos esse resultado no Exemplo 217 Seção 214 ATENÇÃO Campos elétricos não são fluxos Talvez você tenha pensado que o campo elétrico E₁ da placa 1 não conseguiria penetrar na placa 2 e que o campo elétrico E₂ da placa 2 não conseguiria penetrar na placa 1 Você pode concluir isso se pensar em um plano como um tipo de substância que flui saindo ou entrando em uma carga Na verdade não existe esse tipo de substância e os campos E₁ e E₂ dependem somente das cargas que os produziram O campo elétrico resultante é simplesmente dado pela soma vetorial de E₁ com E₂ Continua Figura 2126 Cálculo do campo elétrico produzido por duas placas infinitas carregadas com cargas opostas A figura mostra uma vista de perfil obtida por um corte ortogonal das placas somente uma região das placas infinitas pode ser mostrada TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 215 Suponha que a linha de carga na Figura 2124 Exemplo 2110 tivesse carga Q distribuída uniformemente entre y 0 e y a e tivesse carga Q distribuída uniformemente entre y 0 e y a Neste caso o campo elétrico em P i apontaria no sentido positivo de x ii apontaria no sentido negativo de x iii apontaria no sentido positivo de y iv apontaria no sentido negativo de y v seria igual a zero vi nenhuma dessas alternativas I 216 LINHAS DE UM CAMPO ELÉTRICO O conceito de campo elétrico pode parecer um pouco ilusório porque não se pode vêlo diretamente As linhas do campo elétrico constituem uma ajuda valiosa para visualizar o campo e interpretálo de modo mais realista Uma linha de campo elétrico é desenhada como uma linha imaginária reta ou curva que passa por uma região do espaço de tal modo que sua tangente em qualquer ponto fornece a direção e o sentido do campo elétrico no ponto considerado A ideia básica é indicada na Figura 2127 Usamos um conceito semelhante em nossa discussão sobre o escoamento de um fluido na Seção 145 Uma linha de corrente é uma linha reta ou curva cuja tangente em qualquer ponto fornece a direção e o sentido da velocidade do fluido no ponto considerado Contudo existe apenas semelhança matemática entre uma linha de corrente de um fluido e uma linha de campo elétrico não existe nada fluindo ao longo de uma linha de campo elétrico O cientista inglês Michael Faraday 17911867 foi o primeiro a introduzir o conceito de linhas de campo Ele chamou essas curvas de linhas de força porém a expressão linhas de campo elétrico é preferível As linhas de campo elétrico indicam a direção e o sentido do campo elétrico E em cada ponto e o espaçamento dessas linhas fornece uma ideia do módulo de E em cada ponto Nos locais onde E é forte desenhamos linhas agrupadas de forma compacta onde E é mais fraco as distâncias entre as linhas são maiores Em qualquer ponto particular o campo elétrico possui uma única direção de modo que somente uma linha de campo elétrico pode passar em cada ponto Em outras palavras as linhas de campo elétrico jamais se cruzam A Figura 2128 mostra algumas das linhas de campo elétrico em um plano com a uma única carga positiva b duas cargas de mesmo módulo porém de sinais opostos um dipolo e c duas cargas positivas iguais Diagramas como esses algumas vezes são chamados de mapas do campo Eles são na verdade seções retas de uma configuração em três dimensões A direção do campo elétrico resultante em cada ponto desses diagramas segue pela tangente da linha de campo elétrico que passa pelo ponto considerado As setas indicam o sentido do vetor E ao longo de cada linha de campo elétrico O tamanho real dos vetores do campo foi desenhado em alguns pontos em cada uma das configurações Note que em geral o módulo do campo elétrico é diferente em pontos diferentes de uma mesma linha de campo elétrico uma linha de campo elétrico não é uma curva que possui o módulo do campo elétrico constante A Figura 2128 mostra que as linhas de campo elétrico estão direcionadas para fora das cargas positivas visto que nas vizinhanças de uma carga puntiforme positiva o campo elétrico E aponta para fora da carga e para dentro das cargas negativas visto que nas vizinhanças de uma carga puntiforme negativa o campo Figura 2128 Linhas de campo elétrico para três distribuições de cargas diferentes Geralmente o módulo de E difere em pontos diferentes da mesma linha de campo elétrico Figura 2130 a A molécula de água é um exemplo de dipolo elétrico b Cada tubo de teste contém uma solução de uma substância diferente na água O grande momento de dipolo elétrico da água produz um excelente solvente As unidades de p são carga vezes distância C m Por exemplo o módulo do momento de dipolo elétrico da molécula de água é dado por p 613 10³⁰ C m O trabalho realizado é igual à variação da energia potencial com o sinal oposto análogo ao que vimos no Capítulo 7 W U1 U2 Assim vemos que uma definição apropriada de energia potencial U para esse sistema é Uφ pEcosφ 2117 Nessa relação reconhecemos o produto escalar p E pEcos φ portanto podemos também escrever Energia potencial para um dipolo em um campo elétrico U p E 2118 Campo elétrico Momento de dipolo elétrico A energia potencial possui um valor mínimo U pE isto é seu valor negativo com maior módulo correspondendo a uma posição de equilíbrio estável para φ 0 e p e E paralelos A energia potencial possui um valor máximo quando φ π e p é antiparalelo a E então U pE Quando φ π2 em que p é perpendicular a E U será igual a zero Poderíamos definir U de outro modo considerando seu valor igual a zero para outra orientação de p porém nossa definição é a mais simples possível A Equação 2118 nos permite analisar o efeito indicado na Figura 2129 de outra forma O campo elétrico E fornece a cada semente um momento de dipolo elétrico e a semente então se alinha a E para minimizar a energia potencial EXEMPLO 2113 FORÇA E TORQUE SOBRE UM DIPÔLO ELÉTRICO A Figura 2132a indica um dipolo elétrico no interior de um campo elétrico uniforme com módulo igual a 5 105 NC orientado paralelamente ao plano da figura As cargas são 16 1019 C e ambas as cargas estão sobre o plano da figura e a distância entre elas é igual a 0125 nm 0125 109 m Calcule a a força resultante exercida pelo campo sobre o dipolo b o módulo a direção e o sentido do momento de dipolo elétrico c o módulo a direção e o sentido do torque d a energia potencial do sistema na posição indicada SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR este problema usa os conceitos desta seção referentes a um dipolo elétrico colocado em um campo elétrico Usamos a relação F qE para cada carga puntiforme para achar a força sobre o dipolo como um todo A Equação 2114 fornece o momento de dipolo a Equação 2116 o torque sobre o dipolo e a Equação 2118 a energia potencial do sistema EXECUTAR a uma vez que o campo elétrico é uniforme as forças que atuam sobre as cargas são iguais e opostas e a força resultante é igual a zero b O módulo p do momento de dipolo elétrico p é dado por p qd 16 1019 C 0125 109 m 20 1029 C m O sentido de p aponta da carga negativa para a positiva formando um ângulo de 145 no sentido horário com o sentido do campo elétrico Figura 2132b c O módulo do torque é τ pE senφ 20 1029 C m 50 105 NC sen 145 57 1024 N m Usando a regra da mão direita para o produto vetorial veja a Seção 110 o torque τ p E aponta ortogonalmente para fora da página Isso corresponde a um torque no sentido antihorário que tende a alinhar p com E d A energia potencial é dada por U pEcosφ 20 1029 C m 50 105 NC cos 145 82 1024 J AVALIAR o módulo da carga a distância entre as cargas o momento de dipolo e a energia potencial são todos muito pequenos mas todos típicos para moléculas Figura 2132 a Um dipolo elétrico b Direções e sentidos do momento de dipolo elétrico do campo elétrico e do torque τ aponta para fora da página a b Nesta discussão estamos supondo que E é uniforme de modo que a força resultante que atua sobre o dipolo elétrico é igual a zero Caso E não fosse uniforme as forças nas extremidades não se cancelariam completamente e a força resultante poderia ser diferente de zero Logo um corpo sem nenhuma carga elétrica líquida porém com um momento de dipolo elétrico pode sofrer uma força elétrica resultante em um campo elétrico não uniforme Como dissemos na Seção 211 um corpo neutro pode ser polarizado por um campo elétrico surgindo nele uma separação de cargas e portanto um momento de dipolo elétrico Isso explica como um corpo descarregado pode sofrer a ação de forças eletrostáticas veja a Figura 218 Campo de um dipolo elétrico Vamos agora estudar um dipolo elétrico como uma fonte de campo elétrico A forma geral do campo por um dipolo é mostrada pelo mapa do campo indicado na Figura 2128b Em cada ponto da configuração o campo elétrico resultante E é dado pela soma vetorial dos campos produzidos pelas duas cargas individuais como no Exemplo 218 Seção 215 Sugerimos que você faça diagramas mostrando essa soma vetorial em diversos pontos Para obtermos informações quantitativas sobre o campo de um dipolo elétrico precisamos fazer alguns cálculos como o próximo exemplo ilustra Observe o uso do princípio da superposição dos campos elétricos para a soma vetorial das contribuições individuais das cargas Observe também que devemos usar técnicas de aproximação até mesmo no caso relativamente simples do campo elétrico produzido por duas cargas Os cálculos envolvidos podem se tornar bastante complicados e geralmente utilizamos análises feitas com o uso de um computador para a determinação do campo elétrico em função de distribuições arbitrárias de cargas EXEMPLO 2114 CAMPO DE UM DIPÔLO ELÉTRICO NOVO ESTUDO Na Figura 2133 um dipolo elétrico está centralizado na origem com o vetor p apontando para o eixo y Deduza uma expressão para o campo elétrico em um ponto P ao longo do eixo y considerando y muito maior do que d Para fazer isso use a série binomial 1 xn 1 nx n n 1 x22 válido para o caso x 1 SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR usamos o princípio da superposição o campo elétrico total é a soma vetorial do campo produzido pela carga positiva e do campo produzido pela carga negativa No ponto do campo P indicado na Figura 2133 o campo E da carga positiva possui um componente y positivo de baixo para cima e o campo E da carga negativa possui um componente y negativo de cima para baixo Somamos esses componentes para obter o campo elétrico resultante e a seguir aplicamos a aproximação de que y é muito maior que d EXECUTAR o componente y resultante do campo elétrico Ey produzido pelas duas cargas é dado por Ey q4πε0 1y d22 1y d22 q4πε0y2 1 d2y2 1 d2y2 Usamos esse método no Exemplo 218 Seção 215 Agora vamos à aproximação quando estamos muito afastados do dipolo Figura 2133 Cálculo do campo elétrico produzido por um dipolo elétrico para um ponto situado sobre seu eixo em comparação ao seu tamanho portanto y d temos d2y 1 Fazendo n 2 e identificando d2y com o papel desempenhado por x na série binomial mantemos apenas os dois primeiros termos da série os demais termos desprezados são muito menores Assim encontramos Continua Continuação 1 d2y2 1 dy e 1 d2y2 1 dy Portanto Ey é dado aproximadamente por Ey q4πε0y2 1 dy 1 dy qd2πε0y3 p2πε0y3 AVALIAR um caminho alternativo para obter essa expressão consiste em colocar as frações da expressão de Ey sobre um denominador comum somar e em seguida aproximar o denominador y d22 y d22 para y4 Deixamos os detalhes para você veja o Exercício 2158 Quando o ponto P não está sobre o eixo de coordenadas as expressões são um pouco mais complicadas porém para todos os pontos muito afastados do dipolo elétrico em qualquer direção o campo elétrico cai com 1r3 Compare esse resultado com a dependência de 1r2 para uma carga puntiforme com a dependência de 1r para uma linha de cargas e com a independência de r para o caso de um plano carregado infinito Existem distribuições de cargas para as quais o campo elétrico decresce ainda mais rapidamente Um quadrupolo elétrico é um conjunto de dois dipolos elétricos iguais com orientações opostas e separados por uma distância pequena Para pontos muito afastados de seu centro o campo elétrico de um quadrupolo cai com 1r4 TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 217 Um dipolo elétrico é colocado em uma área de campo elétrico uniforme E com o momento de dipolo elétrico p apontando no sentido oposto a E O dipolo está i em equilíbrio estável ii em equilíbrio instável ou iii nenhuma das alternativas Dica revise a Seção 75 Superposição dos campos elétricos o campo elétrico É de qualquer combinação de cargas é igual à soma vetorial dos campos elétricos produzidos pelas cargas individuais Para calcular o campo elétrico produzido por uma distribuição contínua de cargas divida a distribuição em pequenos elementos calcule o campo elétrico produzido por cada elemento e determine a soma vetorial para cada componente do campo elétrico geralmente fazendo uma integral As distribuições de cargas são descritas pela densidade linear de carga l pela densidade superficial de carga σ e pela densidade volumétrica de carga ρ Exemplos 218 a 2112 Linhas de campo elétrico as linhas de campo elétrico oferecem uma representação gráfica do campo elétrico Em qualquer ponto de uma linha de campo a tangente à linha fornece a direção e o sentido de É no ponto considerado O número de linhas por unidade de área perpendicular à sua direção é proporcional ao módulo de É no ponto considerado Dipolos elétricos um dipolo elétrico é um par de cargas elétricas com sinais opostos com o mesmo módulo q separadas por uma distância d O momento de dipolo elétrico p tem módulo p qd A direção de p é o eixo do dipolo e seu sentido aponta da carga negativa para a carga positiva Um dipolo elétrico em um campo elétrico É sofre a ação de um torque cujo módulo é o produto vetorial de p e É O módulo do torque depende do ângulo ϕ entre p e É A energia potencial U para um dipolo elétrico em um campo elétrico também depende da orientação relativa de p e É Exemplos 2113 e 2114 τ pE sen ϕ 2115 τ p É 2116 U p É 2118 Problema em destaque Cálculo do campo elétrico meio anel carregado A Figura 2134 apresenta a carga positiva Q distribuída uniformemente em torno de um semicírculo de raio a Encontre o módulo a direção e o sentido do campo elétrico resultante no ponto P o centro da curvatura do semicírculo GUIA DA SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR 1 As incógnitas da questão são os componentes do campo elétrico no ponto P 2 Divida o semicírculo em segmentos infinitesimais cada um representando um segmento de arco circular curto que possui raio a e ângulo dθ Qual é o comprimento de um desses segmentos Qual é o valor da carga que um segmento possui 3 Considere um segmento infinitesimal em uma posição angular θ no semicírculo medido a partir do canto direito inferior do semicírculo onde x a y 0 Logo θ π2 em x 0 y a e θ π em x a y 0 Quais são os componentes x e y do campo elétrico em P dEX e dEY produzidos apenas por esse segmento EXECUTAR 4 Integre suas expressões para dEX e dEY entre θ 0 e θ π Os resultados serão os componentes x e y do campo elétrico no ponto P 5 Use seus resultados da etapa 4 para encontrar o módulo a direção e o sentido do campo elétrico no ponto P AVALIAR 6 Seu resultado para o módulo do campo elétrico está expresso nas unidades corretas 7 Explique como você poderia encontrar o componente x do campo elétrico usando um argumento de simetria 8 Qual seria o campo elétrico no ponto P caso o semicírculo passasse a ser um círculo completo cujo centro se localiza no ponto P PROBLEMAS níveis de dificuldade PC problemas cumulativos incorporando material de outros capítulos CALC problemas exigindo cálculo DADOS problemas envolvendo dados reais evidência científica projeto experimental eou raciocínio científico BIO problemas envolvendo biociências QUESTÕES PARA DISCUSSÃO Q211 Quando você destaca duas tiras de fita adesiva transparente do mesmo rolo e imediatamente as suspende próximas uma da outra elas vão se repelir Quando você gruda a parte adesiva de uma delas no lado brilhante da outra e depois puxa para afastálas elas vão se atrair Dê uma explicação plausível para essa série de ocorrências entre as tiras da fita adesiva envolvendo a transferência de elétrons Q212 Duas esferas metálicas estão suspensas com fios de náilon Quando você as aproxima elas tendem a se atrair Com base somente nessa informação discuta todas as possibilidades de existência de cargas na superfície das esferas Caso fosse possível o toque entre as esferas elas permaneceriam unidas Explique Q213 A força elétrica entre duas partículas carregadas tornase fraca quando a distância aumenta Suponha que em vez disso a força elétrica fosse independente da distância Nesse caso um pente carregado ainda poderia produzir uma polarização de um isolante neutro como indicado na Figura 218 Por quê O isolante neutro ainda seria atraído pelo pente Novamente por quê Q214 Suas roupas tendem a se aglutinar depois que passam pela secadora Por quê Você espera que na secagem supondo que todas as roupas sejam feitas do mesmo material digamos algodão a aglutinação seja maior ou menor do que no caso de roupas feitas com materiais diferentes Por quê Talvez você queira fazer a experiência na próxima vez em que lavar roupa Q215 Uma esfera metálica descarregada está suspensa por um fio de náilon Quando uma haste de vidro carregada positivamente é colocada próxima à esfera ela é atraída e se move no sentido da haste Porém se a esfera toca a haste ela repentinamente se afasta dela Explique por que ela é inicialmente atraída e a seguir repelida Q216 BIO Faça uma estimativa de quantos elétrons existem em seu corpo Apresente claramente todas as suas hipóteses Dica a maior parte dos átomos em seu corpo possui o mesmo número de elétrons prótons e nêutrons Qual é a soma das cargas de todos esses elétrons Q217 A Figura Q217 mostra algumas linhas do campo elétrico em função de três cargas puntiformes sobre o eixo vertical As três cargas possuem o mesmo módulo a Quais são os sinais algébricos de cada carga Explique seu raciocínio b O módulo do campo elétrico tem seu valor mínimo em que pontos Explique seu raciocínio Explique como os campos elétricos individuais de cada carga puntiforme combinam para produzir um campo resultante pequeno nesses pontos Q218 Bons condutores elétricos como os metais em geral também são bons condutores de calor isolantes elétricos como a madeira em geral são maus condutores de calor Explique por que existe uma relação entre a condução elétrica e a condução térmica desses materiais Q219 Suponha que a carga da Figura 2128a esteja fixa em uma posição Uma partícula pequena positivamente carregada é colocada em algum local e em seguida liberada A trajetória da partícula seguirá uma linha do campo elétrico Por quê Suponha que a partícula seja colocada em algum ponto da Figura 2128b e liberada as cargas positivas e negativas exibidas estão fixas Sua trajetória seguirá uma linha do campo elétrico Por quê Explique quaisquer diferenças entre suas respostas para as duas situações Q2110 Dois objetos metálicos idênticos são montados sobre suportes isolantes Descreva como você poderia introduzir em tais objetos cargas com sinais opostos porém com módulos exatamente iguais Q2111 Como as cargas do elétron e do próton possuem o mesmo valor absoluto os átomos são eletricamente neutros Suponha que isso não seja exatamente verdadeiro e o valor absoluto da carga do elétron seja 000100 menor que a carga do próton Estime o valor da carga líquida deste livro nessas circunstâncias Apresente claramente todas as suas hipóteses Dica a maioria dos átomos neste livro possui o mesmo número de elétrons prótons e nêutrons Qual seria o módulo da força elétrica entre dois livros separados por 50 m de distância Essa força seria atraente ou repulsiva Explique como o fato de que a matéria comum é estável mostra que os valores absolutos das cargas do elétron e do próton devem ser idênticos a um nível muito elevado de precisão Q2112 Quando você caminha sobre um tapete de náilon e a seguir toca um objeto metálico grande como uma maçaneta pode ocorrer uma faísca e você sentirá um choque Por que em um dia seco existe maior probabilidade de isso ocorrer do que em um dia úmido Dica veja a Figura 2130 Por que quando você toca um objeto metálico pequeno como um clipe de papel a probabilidade de choque é menor Q2113 Você tem um objeto com carga negativa Como pode usálo para colocar carga negativa em uma esfera metálica isolada E para colocar carga positiva na esfera Q2114 Quando duas cargas puntiformes de igual massa e carga são liberadas sobre uma mesa com atrito desprezível cada qual possui uma aceleração inicial módulo a0 Se em vez disso você mantiver uma fixa e liberar a outra qual será a aceleração inicial a0 2a0 ou a02 Explique Q2115 Uma carga puntiforme de massa m e carga Q e outra carga puntiforme de massa m porém com carga 2Q são liberadas sobre uma mesa com atrito desprezível Caso a carga Q tenha uma aceleração inicial a0 qual será a aceleração de 2Q a0 2a0 4a0 a02 ou a04 Explique Q2116 Um próton é colocado em um campo elétrico uniforme e depois liberado A seguir um elétron é colocado nesse mesmo ponto e liberado Essas duas partículas sofrem a mesma força A mesma aceleração Elas se movem na mesma direção e sentido quando liberadas Q2117 No Exemplo 211 Seção 213 vimos que a força elétrica entre duas partículas α é da ordem de 1035 vezes mais forte que a força gravitacional Então por que sentimos facilmente a gravidade da Terra mas nenhuma força elétrica que dela emana Q2118 Que semelhanças existem entre uma força elétrica e uma gravitacional Quais são as diferenças mais relevantes entre essas forças Q2119 Dois objetos irregulares A e B possuem cargas elétricas de sinais opostos A Figura Q2119 mostra as linhas do campo elétrico próximo desses objetos a Qual objeto é positivo A ou B Como você sabe b Onde o campo elétrico é mais forte próximo de A ou de B Como você sabe Q2120 Um núcleo é constituído por prótons e nêutrons Isso mostra que além das forças elétrica e gravitacional deve existir outro tipo de interação Explique Q2121 Um campo elétrico suficientemente forte pode fazer um átomo se tornar um íon positivo isto é fazer com que ele perca um ou mais elétrons Explique como isso pode ocorrer O que determina a intensidade mínima capaz de produzir esse efeito Q2122 Os campos elétricos no ponto P produzidos pelas cargas positivas q1 e q2 são mostrados na Figura Q2122 O fato de eles se cruzarem viola a afirmação feita na Seção 216 de que os campos elétricos nunca se cruzam Explique Q2123 A temperatura e a velocidade do ar possuem valores diferentes em diferentes pontos da atmosfera terrestre A velocidade do ar é uma grandeza vetorial Por quê A temperatura do ar é uma grandeza vetorial Por quê Exercícios Seção 213 Lei de Coulomb 211 Uma pequena esfera de chumbo de massa igual a 800 g possui excesso de elétrons com uma carga líquida igual a 320 109 C a Calcule o número de elétrons em excesso sobre a esfera b Quantos elétrons em excesso existem por átomo de chumbo O número atômico do chumbo é igual a 82 e sua massa atômica é 207 gmol 212 Um relâmpago ocorre quando existe fluxo de cargas elétricas principalmente elétrons entre o solo e uma nuvem de tempestade A taxa máxima do fluxo de cargas elétricas em um raio é aproximadamente igual a 20000 Cs essa descarga dura cerca de 100 µs Qual é a quantidade de carga que flui entre a terra e a nuvem nesse intervalo Quantos elétrons fluíram durante esse intervalo 213 Um próton e um elétron separados por 20 1010 m uma distância atômica comum são liberados Encontre a aceleração inicial de cada partícula 214 Partículas em um anel de ouro Você possui um anel de ouro puro 24 quilates com massa igual a 108 g A massa atômica do ouro é igual a 197 gmol e seu número atômico é 79 a Quantos prótons existem no anel e qual é a carga total positiva correspondente b Sabendo que o anel não tem nenhuma carga líquida quantos elétrons ele possui 215 BIO Propagação de sinal em neurônios Neurônios são componentes do sistema nervoso do corpo que transmitem sinais à medida que impulsos elétricos se propagam ao longo de sua extensão Essa propagação acontece quando cargas subitamente entram e saem de uma parte do neurônio chamada axônio Medições mostraram que durante a entrada dessa parte do ciclo cerca de 56 1011 Na íons de sódio por metro cada um com carga de e entram no axônio Quantos coulombs de carga entram por um comprimento de 15 cm do axônio durante esse processo 216 Duas pequenas esferas separadas por uma distância igual a 200 cm possuem cargas iguais Quantos elétrons em excesso devem estar presentes em cada esfera para que o módulo da força de repulsão entre elas seja igual a 333 1021 N 217 Um ser humano médio pesa cerca de 650 N Se dois desses seres de peso médio carregassem cada um 10 coulomb de excesso de carga um positivo e outro negativo qual deve ser a distância entre eles para que a atração elétrica seja igual a seus pesos de 650 N 218 Duas pequenas esferas de alumínio cada uma com massa igual a 00250 kg estão separadas por uma distância de 800 cm a Quantos elétrons estão presentes em cada esfera O número atômico do alumínio é 13 e sua massa atômica é 26982 gmol b Quantos elétrons devem ser removidos de uma esfera e adicionados à outra para que o módulo da força de atração entre elas seja igual a 100 104 N aproximadamente igual ao peso de uma tonelada Suponha que as esferas possam ser tratadas como cargas puntiformes c A que fração da carga total de cada esfera essa quantidade corresponde 219 Duas esferas de plástico pequenas recebem cargas elétricas positivas Quando estão separadas por uma distância de 150 cm a força repulsiva entre elas possui módulo igual a 0220 N Qual é a carga de cada esfera a se as duas cargas fossem iguais e b se uma esfera possuísse uma carga quatro vezes maior que a outra 2110 Quão intensa é a força elétrica Suponha que você tenha duas pequenas caixas cada uma contendo 10 g de prótons a Se uma fosse colocada na Lua por um astronauta e a outra permanecesse na Terra e se elas estivessem ligadas por uma corda muito leve e muito comprida qual seria a tensão na corda Expresse sua resposta em newtons e em libras Você precisa levar em conta as forças gravitacionais da Terra e da Lua sobre os prótons Por quê b Qual a força gravitacional que cada caixa de prótons exerce sobre a outra caixa 2111 Em um experimento no espaço um próton é mantido fixo e outro é liberado do repouso a uma distância de 250 mm a Qual é a aceleração inicial do próton após ser liberado b Faça gráficos qualitativos sem números de aceleração versus tempo e velocidade versus tempo do movimento do próton liberado 2112 Uma carga negativa de 0550 µC exerce uma força de baixo para cima de 0600 N sobre uma carga desconhecida situada a 0300 m diretamente abaixo da primeira a Qual é o valor da carga desconhecida módulo e sinal b Determine o módulo a direção e o sentido da força que a carga desconhecida exerce sobre a carga de 0550 µC 2113 Três cargas puntiformes estão dispostas em linha reta A carga q3 50 nC está na origem A carga q2 30 nC está em x 400 cm A carga q1 está em x 200 cm Determine q1 módulo e sinal quando a força resultante sobre q3 for igual a zero 2114 No Exemplo 214 suponha que a carga puntiforme sobre o eixo y na posição y 030 m possua uma carga negativa igual a 20 µC mantendo a outra carga inalterada Determine o módulo a direção e o sentido da força resultante sobre a carga Q Quais são as diferenças entre sua resposta e a resposta encontrada no Exemplo 214 Explique as diferenças 2115 No Exemplo 213 calcule a força resultante sobre a carga q1 2116 No Exemplo 214 determine a força resultante módulo direção e sentido sobre a carga q1 exercida pelas outras duas cargas 2117 Três cargas puntiformes estão dispostas ao longo do eixo x A carga q1 300 μC está na origem e a carga q2 500 μC está em x 0200 m A carga q3 800 μC Onde q3 estará localizada quando a força resultante sobre q1 for 70 N no sentido x 2118 Repita o Exercício 2117 para q3 800 μC 2119 Duas cargas puntiformes estão localizadas sobre o eixo y do seguinte modo carga q1 150 nC no ponto y 0600 m e carga q2 320 nC na origem y 0 Qual é a força resultante módulo direção e sentido que essas duas cargas exercem sobre uma terceira carga q3 500 nC localizada no ponto y 0400 m 2120 Duas cargas puntiformes são colocadas sobre o eixo x do seguinte modo carga q1 400 nC está localizada no ponto x 0200 m e carga q2 500 nC no ponto x 0300 m Qual é o módulo a direção e o sentido da força resultante que essas duas cargas exercem sobre uma terceira carga puntiforme negativa q3 600 nC localizada na origem 2121 BIO Pareamento de bases no DNA I Os dois lados da dupla hélice de DNA são ligados por pares de bases adenina timina citosina e guanina Em razão da forma geométrica dessas moléculas a adenina se liga à timina e a citosina se liga à guanina A Figura E2121 mostra a ligação de timina e adenina Cada carga na figura é e e a distância HN é de 0110 nm a Calcule a força resultante que a timina exerce sobre a adenina É uma força de atração ou repulsão Para manter os cálculos simples porém razoáveis considere apenas as forças decorrentes das combinações de OHN e NHN supondo que estas duas combinações sejam paralelas entre si Lembrese no entanto de que no conjunto OHN O exerce uma força tanto sobre H quanto N e de forma análoga o mesmo acontece no conjunto NHN b Calcule a força sobre o elétron no átomo de hidrogênio que fica a 00529 nm de distância do próton Em seguida compare a intensidade da força de ligação do elétron no hidrogênio com a força de ligação das moléculas de adeninatimina Figura E2121 2122 BIO Pareamento de bases no DNA II Consulte o Exercício 2121 A Figura E2122 mostra a ligação de citosina e guanina As distâncias OH e NH são de 0110 nm cada Neste caso suponha que a ligação resulte apenas das forças ao longo das combinações OHO NHN e OHN e suponha também que essas três combinações sejam paralelas entre si Calcule a força resultante que a citosina exerce sobre a guanina em virtude dessas três combinações É uma força de atração ou repulsão Figura E2122 Seção 214 Campo elétrico e forças elétricas 2123 PC Um próton é colocado em um campo elétrico uniforme de 275 103 NC Calcule a o módulo da força elétrica sofrida pelo próton b a aceleração do próton c o módulo da velocidade do próton após 100 μs no campo supondo que ele parta do repouso 2124 Uma partícula possui carga igual a 500 nC a Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico produzido por essa partícula em um ponto situado a 0250 m diretamente acima dela b A que distância dessa partícula o campo elétrico possui módulo igual a 120 NC 2125 PC Um próton se desloca horizontalmente da esquerda para a direita a 450 106 ms a Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico mais fraco capaz de trazer o próton uniformemente para o repouso ao longo de uma distância de 320 cm b Quanto tempo o próton leva para parar após entrar no campo c Qual é o campo mínimo módulo direção e sentido necessário para parar um elétron sob as condições descritas no item a 2126 PC Um elétron é liberado do repouso em um campo elétrico uniforme O elétron acelera verticalmente de baixo para cima percorrendo 450 m nos primeiros 300 μs após ser liberado a Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico b Existe justificativa para desprezar os efeitos da gravidade Justifique sua resposta em termos quantitativos 2127 a Qual deve ser a carga sinal e módulo de uma partícula com 145 g para que ela permaneça em repouso quando colocada em um campo elétrico orientado de cima para baixo cujo módulo é igual a 650 NC b Qual deve ser o módulo de um campo elétrico para que a força elétrica exercida sobre um próton seja igual ao módulo de seu peso 2128 Campo elétrico da Terra A Terra possui uma carga elétrica líquida que produz um campo elétrico orientado para o centro da Terra com módulo de 150 NC em pontos próximos a sua superfície a Quais devem ser o módulo e o sinal da carga líquida adquirida por uma pessoa de 60 kg para que seu peso seja igual e contrário à força produzida pelo campo elétrico da Terra b Qual seria a força de repulsão entre duas pessoas que tivessem a carga calculada no item a quando a distância entre elas fosse igual a 100 m O uso do campo elétrico da Terra poderia fornecer algum método factível para voar Por quê 2129 PC Um elétron é projetado com velocidade inicial v0 160 106 ms para dentro do campo elétrico uniforme entre as placas paralelas Figura E2129 Suponha que o campo seja uniforme e orientado verticalmente para baixo e considere o campo elétrico fora das placas igual a zero O elétron entra no campo em um ponto intermediário entre as placas a Sabendo que o elétron tangencia a placa superior quando ele sai do campo calcule o módulo do campo elétrico b Suponha que na Figura E2129 o elétron seja substituído por um próton com a mesma velocidade inicial v0 O próton colide com uma das placas Se o próton não colide com nenhuma placa qual deve ser o módulo a direção e o sentido de seu deslocamento vertical quando ele sai da região entre as placas c Compare as trajetórias seguidas pelo elétron e pelo próton e explique as diferenças d Analise se é razoável desprezar os efeitos da gravidade para cada partícula 2130 a Determine o módulo a direção e o sentido em relação ao eixo x do campo elétrico do Exemplo 216 b Uma carga puntiforme de 25 nC é colocada no ponto P da Figura 2119 Determine o módulo a direção e o sentido i da força que uma carga de 80 nC situada na origem exerce sobre essa carga e ii da força que essa carga exerce sobre a carga de 80 nC situada na origem 2131 PC No Exercício 2129 qual é o módulo da velocidade do elétron quando ele emerge do campo 2132 PC Há um campo elétrico uniforme na região entre duas placas planas paralelas com cargas de sinais opostos Um próton é liberado do repouso na superfície da placa com carga positiva e colide com a superfície da placa oposta que está a uma distância de 160 cm da primeira depois de um intervalo igual a 32 106 s a Determine o módulo do campo elétrico b Calcule o módulo da velocidade do próton quando ele atinge a placa com carga negativa 2133 Uma carga puntiforme está na origem Considerando essa carga uma fonte puntiforme qual é o vetor unitário r para um ponto do campo situado em a x 0 y 135 m b x 120 cm y 120 cm c x 110 m y 26 m Expresse seus resultados em termos dos vetores unitários î e ĵ 2134 Uma carga puntiforme 875 μC está colada em uma mesa horizontal com atrito desprezível Ela está atada a uma carga puntiforme de 650 μC por um fio leve não condutor de 250 cm Um campo elétrico uniforme de módulo 185 108 NC está direcionado paralelamente ao fio como indica a Figura E2134 a Determine a tensão no fio b Qual seria a tensão se ambas as cargas fossem negativas 2135 a Um elétron se desloca no sentido leste em um campo elétrico uniforme de 150 NC que aponta do leste para o oeste No ponto A a velocidade do elétron é 450 105 ms no sentido leste Qual é o módulo da velocidade do elétron quando ele atinge o ponto B que está a 0375 m a leste do ponto A b Um próton se desloca no campo elétrico uniforme do item a No ponto A a velocidade do próton é 190 104 ms para o leste Qual é o módulo da velocidade do próton no ponto B Seção 215 Determinação do campo elétrico 2136 A Figura E2136 apresenta duas cargas puntiformes Q e q onde q é positiva que produzem o campo elétrico resultante exibido no ponto P A direção do campo é paralela à linha reta que liga as duas cargas a O que se pode concluir sobre o sinal e o módulo de Q Explique seu raciocínio b Se a carga q fosse negativa o campo elétrico poderia ter a direção e o sentido mostrados na figura Explique seu raciocínio 2137 Duas cargas puntiformes q são colocadas sobre o eixo x uma no ponto x a e outra no ponto x a a Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico no ponto x 0 b Deduza uma expressão para o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo x Use seu resultado para fazer um gráfico do campo elétrico em função de x para valores de x compreendidos entre 4a e 4a 2138 As duas cargas q1 e q2 representadas na Figura E2138 possuem módulos iguais Determine a direção e o sentido do campo elétrico resultante em função dessas duas cargas nos pontos A B e C se a ambas as cargas forem negativas b ambas as cargas forem positivas e c q1 for positiva e q2 for negativa 2139 Uma carga puntiforme igual a 200 nC está na origem e uma segunda carga puntiforme igual a 500 nC encontrase sobre o eixo x no ponto x 0800 m a Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico nos seguintes pontos sobre o eixo x i x 0200 m ii x 120 m iii x 0200 m b Calcule a força elétrica resultante que essas duas cargas exerceriam sobre um elétron situado em cada um dos pontos mencionados no item a 2140 Repita o Exercício 2139 porém considere a carga na origem igual a 40 nC 2141 Três cargas puntiformes negativas estão posicionadas ao longo de uma linha como indica a Figura E2141 Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico que esse conjunto de cargas produz no ponto P que está a 600 cm da carga 200 μC medida perpendicularmente à linha que conecta as três cargas 2142 Uma carga puntiforme é colocada em cada vértice de um quadrado de lado a Todas as cargas possuem módulo q Duas cargas são positivas e duas são negativas Figura E2142 Determine a direção e o sentido do campo elétrico resultante no centro do quadrado em função das quatro cargas bem como o módulo do campo em função de q e a 2143 Duas cargas puntiformes estão separadas por 250 cm Figura E2143 Calcule o campo elétrico resultante que essas cargas produzem a no ponto A e b no ponto B Qual seria o módulo a direção e o sentido da força elétrica a que esse conjunto de cargas produziria em um próton no ponto A Figura E2143 2144 A carga puntiforme q1 500 nC está na origem e a carga puntiforme q2 300 nC está sobre o eixo x em x 300 cm O ponto P está sobre o eixo y em y 400 cm a Calcule os campos elétricos E1 e E2 no ponto P em função das cargas q1 e q2 Expresse seus resultados em função de vetores unitários Exemplo 216 b Use os resultados da parte a para obter o campo elétrico resultante no ponto P também em função de vetores unitários 2145 Se dois elétrons estão cada um a uma distância igual a 150 1010 m de um próton Figura E2145 encontre o módulo a direção e o sentido da força elétrica resultante que eles irão exercer sobre o próton 2146 BIO Campo elétrico de axônios Um sinal nervoso é transmitido através de um neurônio quando um excesso de íons de Na subitamente entra no axônio uma parte longa e cilíndrica do neurônio Axônios possuem um diâmetro aproximadamente igual a 100 μm e as medições mostram que cerca de 56 1011 íons de Na por metro cada um de carga e entram no axônio durante esse processo Embora o axônio seja um cilindro longo a carga não entra em todos em todos os lugares ao mesmo tempo Um modelo plausível seria uma série de cargas puntiformes que se deslocam ao longo do axônio Considere um comprimento de 010 mm do axônio e modeleo como uma carga puntiforme a Se a carga que entra cada metro do axônio é distribuída uniformemente ao longo dela quantos coulombs de carga entram em um comprimento de 010 mm do axônio b Qual é o campo elétrico módulo direção e sentido que a entrada súbita de cargas produz na superfície do corpo se o axônio se encontra 500 cm abaixo da pele c Alguns tubarões podem responder a campos elétricos fracos a partir de 10 μNC A que distância máxima desse segmento do axônio um tubarão poderia estar e ainda detectar seu campo elétrico 2147 Em um sistema de coordenadas ortogonais uma carga puntiforme positiva q 60 109 C é colocada no ponto x 0150 m y 0 e outra carga idêntica é colocada no ponto x 0150 m y 0 Estabeleça os componentes x e y bem como o módulo a direção e o sentido do campo elétrico nos seguintes pontos a a origem b x 0300 m y 0 c x 0150 m y 0400 m d x 0 y 0200 m 2148 Uma carga puntiforme q1 400 nC está no ponto x 0600 m y 0800 m e outra carga puntiforme q2 600 nC está no ponto x 0600 m y 0 Calcule o módulo a direção e o sentido do campo elétrico na origem produzido por essas duas cargas 2149 Uma carga de 650 nC está uniformemente distribuída sobre a superfície de uma face de um disco não condutor de raio 125 cm a Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico que esse disco produz em um ponto P sobre o eixo do disco a uma distância de 20 cm de seu centro b Suponha que a carga seja integralmente afastada do centro e uniformemente distribuída sobre a periferia do disco Ache o módulo a direção e o sentido do campo elétrico no ponto P c Se a carga for trazida integralmente para o centro do disco encontre o módulo a direção e o sentido do campo elétrico no ponto P d Por que o campo no item a é mais forte que o campo no item b Por que o campo no item c é o mais forte dos três campos 2150 Um fio retilíneo muito longo possui carga por unidade de comprimento igual a 320 1010 Cm A que distância do fio o módulo do campo elétrico é igual a 250 NC 2151 Um condutor em forma de anel com raio a 250 cm possui uma carga positiva resultante Q 0125 nC uniformemente distribuída ao longo do anel Figura 2123 O centro do anel está na origem O do sistema de coordenadas a Qual é o campo elétrico módulo direção e sentido no ponto P situado em x 400 cm b Uma carga puntiforme q 250 μC é colocada no ponto P Determine o módulo a direção e o sentido da força exercida pela carga q sobre o anel 2152 Um fio plástico retilíneo e não condutor de 850 cm de comprimento carrega uma densidade de carga de 175 nCm distribuída uniformemente ao longo do comprimento Ele se encontra sobre a superfície horizontal de uma mesa a Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico que esse fio produz em um ponto 600 cm diretamente acima de seu ponto médio b Se o fio for dobrado em círculo sobre a mesa encontre o módulo a direção e o sentido do campo elétrico que ele produz em um ponto 600 cm diretamente acima de seu centro Seção 217 Dipolos elétricos 2153 A distância entre duas cargas puntiformes q1 45 nC e q2 45 nC é igual a 31 mm formando um dipolo elétrico a Calcule o momento de dipolo elétrico módulo direção e sentido b As cargas estão no interior de um campo elétrico cuja direção forma um ângulo de 369 com o eixo que liga as cargas Qual é o módulo desse campo elétrico sabendo que o módulo do torque exercido sobre o dipolo elétrico é igual a 72 109 N m 2154 A molécula de amônia NH3 possui um momento de dipolo elétrico igual a 50 1030 C m Moléculas de amônia na fase gasosa são colocadas em um campo elétrico uniforme E cujo módulo é igual a 16 106 NC a Qual é alteração sofrida pela energia potencial elétrica quando o momento de dipolo muda sua orientação em relação a E de uma direção paralela para uma direção perpendicular b Qual é a temperatura absoluta T para a qual a energia cinética média da translação 32kT das moléculas é igual à variação da energia potencial calculada no item a Observação acima dessa temperatura a agitação térmica impede que o dipolo elétrico se alinhe com o campo elétrico 2155 Torque sobre um dipolo Um dipolo elétrico com momento de dipolo p está em um campo elétrico uniforme E a Determine as orientações do dipolo para as quais o torque sobre o dipolo é igual a zero b Qual das orientações do item a é estável e qual é instável Dica considere uma pequena rotação para fora da posição de equilíbrio e verifique o que acontece c Mostre que para a orientação estável do item b o próprio campo elétrico do dipolo tende a se opor ao campo externo 2156 O momento de dipolo da molécula de água H2O é 617 1030 C m Suponha que a molécula de água esteja na origem com o momento de dipolo elétrico p apontando no sentido x Um íon de cloro Cl com carga igual a 160 1019 C está localizado no ponto x 300 109 m Determine o módulo a direção e o sentido da força que a molécula de água exerce sobre o íon de cloro A força é de atração ou de repulsão Suponha que x seja muito maior que a distância d entre as cargas do dipolo elétrico de modo que você possa usar a expressão aproximada para o campo elétrico ao longo do eixo do dipolo elétrico encontrada no Exemplo 2114 2157 Três cargas se situam nos vértices de um triângulo isósceles como indica a Figura E2157 As cargas de 500 μC formam um dipolo a Determine a força módulo direção e sentido que a carga 1000 μC exerce sobre o dipolo b Para um eixo perpendicular à linha que liga as cargas de 50 μC no meio dessa linha encontre o torque módulo direção e sentido exercido sobre o dipolo pela carga 100 μC Figura E2157 2158 Considere o dipolo elétrico do Exemplo 2114 a Deduza uma expressão para o módulo do campo elétrico produzido pelo dipolo em um ponto sobre o eixo x na Figura 2133 Qual é a direção e o sentido desse campo elétrico b Como o campo elétrico nos pontos sobre o eixo x depende de x quando este é muito grande PROBLEMAS 2159 Quatro cargas idênticas Q são colocadas nos vértices de um quadrado de lado igual a L a Faça um diagrama do corpo livre mostrando todas as forças que atuam sobre uma das cargas b Determine o módulo a direção e o sentido da força resultante exercida pelas outras três cargas sobre a carga considerada 2160 Duas cargas são colocadas no eixo x uma de 250 μC na origem e outra de 350 μC em x 0600 m Figura P2160 Determine a posição sobre o eixo x em que a força resultante sobre uma pequena carga q será igual a zero Figura P2160 2161 Uma carga q1 500 nC é colocada na origem de um sistema de coordenadas e uma carga q2 200 nC é colocada no lado positivo do eixo x no ponto x 400 cm a Se uma terceira carga q3 600 nC é colocada no ponto x 40 cm y 30 cm quais são os componentes x e y da força resultante que atua sobre essa carga exercida pelas outras cargas b Determine o módulo a direção e o sentido dessa força 2162 PC Duas esferas idênticas de massa m estão suspensas em fios de seda de comprimento L Figura P2162 Cada esfera possui a mesma carga logo q1 q2 q O raio de cada esfera é muito pequeno em comparação à distância entre as esferas de modo que elas podem ser consideradas cargas puntiformes Mostre que se o ângulo θ for pequeno a distância d no equilíbrio entre as esferas será dada por d q²L2πε0mg13 Dica quando θ for pequeno então tan θ sen θ 2163 PC Duas pequenas esferas idênticas de massa m 150 g estão suspensas por fios de seda de comprimento L 120 m e presos em um ponto comum Figura P2162 Cada esfera possui a mesma carga logo q1 q2 q Cada fio possui inclinação θ 250 com a vertical a Faça um desenho mostrando as forças que atuam sobre cada esfera Considere as esferas como cargas puntiformes b Calcule o módulo de q c Os dois fios agora se encurtam para um comprimento L 0600 m enquanto as cargas q1 e q2 ficam inalteradas Qual será o novo ângulo que cada fio formará com a vertical Dica esta parte do problema pode ser resolvida numericamente pelo método das tentativas escolha um valor inicial para θ e ajuste os valores de θ até obter um valor autoconsistente 2164 PC Duas esferas idênticas estão suspensas por fios de seda de comprimento L 0500 m presos em um ponto comum Figura P2162 Cada esfera possui massa m 800 g O raio de cada esfera é muito pequeno em comparação à distância entre as esferas de modo que elas podem ser consideradas cargas puntiformes Uma esfera possui uma carga q1 e a outra possui uma carga diferente q2 as esferas se afastam e quando elas atingem o equilíbrio cada fio forma um ângulo θ 200 com a vertical a Faça um diagrama do corpo livre para cada esfera na posição de equilíbrio identificando com símbolos todas as forças que atuam em cada esfera b Determine o módulo da força eletrostática que atua sobre cada esfera e calcule a tensão em cada fio c Com base nos dados do problema o que você pode concluir sobre os módulos e os sinais das cargas q1 e q2 Explique d Agora um pequeno fio condutor é conectado entre as duas esferas permitindo que ocorra uma transferência de cargas de uma para outra até que as duas esferas fiquem com cargas iguais a seguir o fio condutor é removido Então cada fio se seda passa a formar um ângulo de 300 com a vertical Calcule os valores das cargas originais q1 e q2 Dica a carga total das duas esferas permanece constante 2165 PC Uma pequena esfera de plástico de 123 g é amarrada a um fio muito leve de 286 cm de comprimento que é fixado à parede vertical de um quarto Figura P2165 Um campo elétrico horizontal uniforme existe neste quarto Ao receber uma carga em excesso igual a 111 μC notase que a esfera se mantém suspensa no ar com a corda formando um ângulo de 174 com a parede Encontre o módulo a direção e o sentido do campo elétrico no quarto 2166 A carga puntiforme q1 600 106 C está sobre o eixo x no ponto x 0200 m A carga puntiforme q2 está sobre o eixo x no ponto x 0400 m A carga puntiforme q3 300 106 C está na origem Determine q2 módulo e sinal a caso a força resultante sobre q3 for 600 N no sentido x b caso a força resultante sobre q3 for 600 N no sentido x 2167 Duas partículas cujas cargas são q1 0500 nC e q2 80 nC estão separadas por uma distância de 12 m Em que ponto entre as cargas o campo elétrico resultante das duas cargas é igual a zero Figura P2165 56 2168 Uma carga puntiforme igual a 300 nC está sobre o eixo x no ponto x 120 m Uma segunda carga puntiforme Q está sobre o eixo x no ponto x 0600 m Determine o módulo e o sinal de Q de modo que o campo elétrico resultante na origem seja igual a 450 NC no sentido x b 450 NC no sentido x 2169 Uma carga Q se encontra na origem separada por uma distância d de uma carga 4Q que se encontra sobre o eixo x Onde deve ser colocada uma terceira carga q e com que módulo e sinal de modo que as três cargas estarão em equilíbrio 2170 Uma carga igual a 300 nC está na origem de um sistema de coordenadas xy e uma carga igual a 200 nC é colocada sobre o eixo y em y 40 cm a Se uma terceira carga igual a 500 nC é colocada no ponto x 300 cm y 400 cm encontre os componentes x e y da força resultante exercida sobre essa carga pelas outras duas cargas b Calcule o módulo a direção e o sentido dessa força 2171 Três cargas puntiformes idênticas q são colocadas nos vértices de um quadrado de lado L Calcule o módulo a direção e o sentido da força resultante sobre uma carga puntiforme 3q colocada a no centro do quadrado b no vértice vazio do quadrado Em cada caso faça um diagrama do corpo livre mostrando as forças que atuam sobre a carga 3q exercidas pelas outras três cargas 2172 Duas cargas puntiformes q1 e q2 são mantidas fixas a uma distância de 450 cm Outra carga puntiforme Q 175 μC de massa igual a 500 g está inicialmente localizada a 300 cm de cada uma dessas cargas Figura P2172 e é liberada do repouso Você verifica que a aceleração inicial de Q é 324 ms² de baixo para cima paralela à linha que liga as duas cargas puntiformes Encontre q1 e q2 2173 PC Intensidade da força elétrica Imagine duas sacolas de 10 g com prótons uma no polo norte e outra no polo sul a Quantos prótons há em cada sacola b Calcule a atração gravitacional e a repulsão elétrica que cada sacola exerce sobre a outra c As forças no item b são suficientes para que você sinta que está segurando uma das sacolas 2174 PC Duas esferas minúsculas de massa 680 mg possuem cargas com módulos iguais 720 nC porém sinais opostos Elas estão atadas ao mesmo gancho de teto por fios leves de comprimento igual a 0530 Figura P2174 m Quando um campo elétrico uniforme horizontal E direcionado da direita para a esquerda é ativado as esferas ficam suspensas a um ângulo θ entre os fios igual a 580 Figura P2174 a Qual esfera a da esquerda ou a da direita é positiva b Qual é o módulo E do campo elétrico 2175 PC Considere um modelo de um átomo de hidrogênio em que um elétron possui uma órbita circular de raio r 529 1011 m em torno de um próton fixo Qual é o módulo da velocidade escalar desse elétron em sua órbita 2176 A Terra possui um campo elétrico orientado para seu centro com módulo aproximadamente igual a 150 NC em pontos próximos de sua superfície Se uma gota de chuva de diâmetro igual a 0020 mm está suspensa imóvel nesse campo quantos elétrons em excesso ela deve possuir 2177 PC Um próton é projetado para o interior de um campo elétrico uniforme que aponta verticalmente para cima e possui módulo E A velocidade inicial do próton possui módulo v0 e sua direção forma um ângulo α abaixo da horizontal a Calcule a distância máxima hmax que o próton desce verticalmente abaixo de sua altura inicial Despreze as forças gravitacionais b Depois de qual distância horizontal d o próton retorna à sua altura inicial c Faça um esboço da trajetória do próton d Calcule os valores numéricos de hmax e d se E 500 NC v0 400 105 ms e α 300 2178 Um pequeno objeto com massa m carga q e velocidade inicial v0 500 103 ms é projetado para dentro de um campo elétrico uniforme entre duas placas paralelas de comprimento igual a 260 cm Figura P2178 O campo elétrico entre as placas está orientado verticalmente para baixo e possui módulo E 800 NC Considere o campo elétrico fora das placas igual a zero O espaço entre as placas é suficientemente grande para que o objeto passe entre as placas sem colidir com a placa inferior Após passar pelo campo elétrico o objeto é defletido para baixo a uma distância vertical d 125 cm a partir da direção original do movimento e atinge uma placa coletora que está a 560 cm de distância da borda das placas paralelas Despreze a gravidade e a resistência do ar Calcule a razão entre carga e massa qm do objeto Figura P2178 2179 CALC Uma carga positiva Q é distribuída uniformemente sobre o eixo x de x 0 até x a Uma carga puntiforme positiva q está sobre a parte positiva do eixo x no ponto x a r a uma distância r à direita da extremidade de Q Figura P2179 a Determine os componentes x e y do campo elétrico produzidos pela distribuição de cargas Q nos pontos da parte positiva do eixo x para x a b Calcule a força módulo direção e sentido que a distribuição de cargas Q exerce sobre a carga q c Mostre que para os pontos r a o módulo da força calculada no item b é aproximadamente igual a Qq4πε₀r² Explique o motivo desse resultado 2180 Em uma região em que existe um campo elétrico uniforme vertical direcionado de baixo para cima com módulo igual a 360 104 NC um pequeno objeto é projetado com uma velocidade inicial igual a 192 ms O objeto se desloca verticalmente para cima atravessando uma distância igual a 698 cm em 0200 s Calcule a razão entre carga e massa qm do objeto Considere g 980 ms² Despreze a resistência do ar 57 2181 Uma carga puntiforme negativa q1 400 nC está sobre o eixo x no ponto x 060 m Uma segunda carga puntiforme q2 está sobre o eixo x no ponto x 120 m Determine o módulo e o sinal de q2 para que o campo elétrico resultante na origem seja a 500 NC no sentido x e b 500 NC no sentido x 2182 CALC Uma carga positiva Q é distribuída uniformemente sobre a parte positiva do eixo y desde y 0 até y a Uma carga puntiforme negativa q está sobre a parte positiva do eixo x a uma distância x da origem Figura P2182 a Determine os componentes x e y do campo elétrico produzido pela distribuição de cargas Q nos pontos da parte positiva do eixo x b Encontre os componentes x e y da força que a distribuição de cargas Q exerce sobre a carga q c Mostre que para os pontos x a Fx Qq4πε0x² e Fy Qqa8πε0x³ Explique o motivo desse resultado 2183 Um disco uniformemente carregado como o indicado na Figura 2125 possui raio de 250 cm e carga igual a 70 1012 C a Encontre o campo elétrico módulo direção e sentido sobre o eixo x para x 200 cm b Mostre que para x R a Equação 2111 se transforma em E Q4πε0x² onde Q é a carga total sobre o disco c Verifique se o módulo do campo elétrico que você encontrou no item a é maior ou menor que o do campo elétrico a 200 cm de distância de uma carga puntiforme que possui a mesma carga que a carga total existente no disco Com base na aproximação usada na parte b para deduzir E Q4πε0x² para uma carga puntiforme a partir da Equação 2111 explique a razão desse comportamento d Calcule a diferença percentual entre o campo elétrico produzido pelo disco e o campo elétrico produzido por uma carga puntiforme com a mesma carga para x 200 cm e para x 100 cm 2184 PC Uma pequena esfera de massa m com uma carga positiva q é ligada à extremidade de um fio de seda de comprimento L A outra extremidade do fio está presa a uma grande placa isolante vertical que possui uma densidade superficial de carga σ Mostre que quando a esfera está em equilíbrio o ângulo formado entre a vertical e o fio é dado por arc tan qσ2mγε0 2185 CALC Uma carga negativa Q é distribuída uniformemente ao longo da quarta parte de uma circunferência de raio a que está sobre o primeiro quadrante com centro de curvatura na origem Encontre os componentes x e y do campo elétrico na origem 2186 CALC Um semicírculo de raio a se encontra no primeiro e no segundo quadrantes com seu centro de curvatura na origem A carga positiva Q está distribuída uniformemente ao longo da metade do lado esquerdo do semicírculo e a carga negativa Q está distribuída uniformemente ao longo da metade do lado direito do semicírculo Figura P2186 Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico resultante na origem produzido por essa distribuição de cargas Figura P2186 2187 Duas hastes não condutoras de 120 m de comprimento se encontram em um ângulo reto Uma haste possui 250 μC de carga uniformemente distribuída ao longo do comprimento e a outra possui 250 μC de carga uniformemente distribuída ao longo do comprimento Figura P2187 a Determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico produzido por esses fios no ponto P que se situa a 600 cm de cada haste b Se um elétron for liberado de P quais são o módulo a direção e o sentido da força resultante que essas hastes exercem sobre ele 2188 Duas placas paralelas muito grandes estão separadas por uma distância igual a 500 cm A placa A possui uma densidade superficial de carga uniforme igual a 880 μCm² e a placa B que está à direita da A possui uma densidade superficial de carga uniforme igual a 116 μCm² Suponha que as placas sejam suficientemente grandes para que possamos considerálas infinitas Calcule o módulo a direção e o sentido do campo elétrico resultante que essas placas produzem em um ponto a 400 cm à direita da placa A b 400 cm à esquerda da placa A c 400 cm à direita da placa B 2189 Repita o Problema 2188 considerando a carga da placa B positiva 2190 Duas placas horizontais muito grandes estão a uma distância de 425 cm uma da outra e possuem densidade de cargas iguais porém opostas de módulo σ Você quer usar essas placas para manter fixa na área entre elas uma gota de óleo de massa 486 μg que carrega 5 elétrons em excesso Supondo que a gota esteja em um vácuo a para que lado deve apontar o campo elétrico entre as placas e b qual deve ser o valor de σ 2191 PC Denominase coroa anular um disco fino de raio externo R2 com um buraco circular concêntrico de raio interno R1 Figura P2191 Uma coroa anular possui uma densidade superficial de carga σ sobre sua superfície a Determine a carga elétrica resultante sobre a coroa anular b A coroa anular está sobre o plano yz com seu centro na origem Para um ponto arbitrário sobre o eixo x o eixo de simetria da coroa anular determine o módulo a direção e o sentido do campo elétrico E Considere pontos acima e abaixo do plano da coroa anular c Mostre que para os pontos sobre o eixo x suficientemente próximos da origem o módulo do campo elétrico é aproximadamente proporcional à distância entre o centro da coroa anular e o ponto considerado Qual é a distância que pode ser considerada suficientemente próxima d Uma partícula puntiforme com massa m e carga negativa q pode se mover livremente sobre o eixo x mas não pode sair desse eixo A partícula é inicialmente colocada em repouso sobre o ponto x 001 R1 e a seguir liberada Determine a frequência das Figura P2191 oscilações da partícula Dica revise a Seção 132 A coroa anular permanece em repouso 2192 DADOS PC Projeto de uma impressora a jato de tinta Impressoras a jato de tinta podem ser descritas como contínuas ou como gotas sob demanda Em uma impressora contínua as letras são reproduzidas em uma folha de papel injetandose gotas de tinta que saem de um pulverizador que se move rapidamente Você faz parte de uma equipe de engenharia que está desenvolvendo um projeto desse tipo de impressora Cada gota de tinta deve ter possuir massa igual a 14 10⁸ g As gotas devem passar pelo pulverizador e se dirigir para o papel com velocidade igual a 50 ms passando por uma unidade eletrostática que arrancará alguns elétrons de cada gota produzindo nelas uma carga positiva q A seguir as gotas devem passar entre placas defletoras com comprimento igual a 20 cm no interior das quais existe um campo elétrico vertical uniforme com módulo igual a 80 10⁴ NC Sua equipe está trabalhando na unidade eletrostática que carrega as gotas a Sabendo que a gota deve sofrer um desvio de 030 mm ao atingir o final da placa defletora qual deve ser o módulo da carga produzida em cada gota Quantos elétrons devem ser removidos da gota para produzir essa carga b Caso a unidade produtora do fluxo de gotas fosse modificada para funcionar com velocidade igual a 25 ms qual valor de q é necessário para atingir a mesma deflexão de 030 mm 2193 DADOS Duas pequenas esferas cada uma com carga líquida positiva estão separadas por 0400 m Pediramlhe para realizar medições que lhe permitirão determinar a carga em cada esfera Você configura um sistema de coordenadas com uma esfera carga q₁ na origem e a outra esfera carga q₂ em x 0400 m Uma terceira esfera com carga líquida q₃ 400 10⁶ C está disponível para você além de um aparelho que pode medir com precisão a localização dessa esfera e a força resultante sobre ela Primeiro você coloca a terceira esfera no eixo x em x 0200 m você mede a força resultante sobre ela e encontra o valor de 450 N no sentido x Em seguida você posiciona a terceira esfera em x 0600 m e mede a força resultante sobre ela encontrando o valor de 350 N no sentido x a Calcule q₁ e q₂ b Qual é a força resultante módulo direção e sentido sobre q₃ se essa carga for colocada no eixo x em x 0200 m c Em que o valor de x diferente de x q₃ poderia ser colocado de modo que a força resultante sobre ela seria igual a zero 2194 DADOS A carga positiva Q está distribuída uniformemente em torno de um anel condutor muito estreito de raio a como na Figura 2123 Você mede o campo elétrico E em pontos sobre o eixo do anel a uma distância x de seu centro por meio de uma vasta gama de valores de x a Seus resultados para os valores maiores de x são representados na Figura P2194a como Ex² versus x Explique por que a quantidade Ex² se aproxima de um valor constante à medida que x aumenta Use a Figura P2194a para calcular a carga líquida Q sobre o anel b Seus resultados para os valores de x menores são representados na Figura P2194b como Ex versus x Explique por que Ex se aproxima de um valor constante quando x se aproxima de zero Use a Figura P2194b para calcular a PROBLEMAS DESAFIADORES 2195 Três cargas são colocadas como indica a Figura P2195 O módulo de q₁ é igual a 20 μC porém não conhecemos seu sinal nem o valor da carga q₂ A carga q₃ é igual a 40 μC e a força resultante F sobre q₃ aponta para o sentido negativo do eixo x a Considerando os possíveis sinais diferentes para as cargas q₁ existem quatro diagramas de forças possíveis para representar as forças F₁ e F₂ exercidas por q₁ e q₂ sobre q₃ Faça desenhos mostrando esses quatro diagramas possíveis b Usando os desenhos da parte a e a direção e o sentido de F determine os sinais das cargas q₁ e q₂ c Calcule o módulo de q₂ d Calcule o módulo da força resultante F que atua sobre q₃ 2196 Duas cargas são colocadas como indica a Figura P2196 O módulo de q₁ é igual a 300 μC porém não conhecemos seu sinal nem o valor da carga q₂ O campo elétrico resultante E no ponto P aponta para o sentido negativo do eixo y a Considerando os possíveis sinais diferentes para as cargas q₁ e q₂ existem quatro possíveis diagramas para representar os campos elétricos E₁ e E₂ produzidos por q₁ e q₂ Faça desenhos mostrando esses quatro diagramas possíveis b Usando os desenhos da parte a e a direção e o sentido de E determine os sinais das cargas q₁ e q₂ c Calcule o módulo do campo elétrico E 2197 CALC Duas hastes estreitas de comprimento L estão sobre o eixo x uma delas entre os pontos x ½a e x 12 a L e a outra entre os pontos x 12 a e x 12 a L Cada haste possui uma carga Q distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento a Calcule o campo elétrico produzido pela segunda haste nos pontos situados ao longo da parte positiva do eixo x b Mostre que o módulo da força que uma haste exerce sobre a outra é dado por F Q²4πε₀L² lna L² aa 2L c Mostre que quando a L o módulo dessa força se reduz a F Q²4πε₀a² Dica use o desenvolvimento em série ln1 z z z²2 13 z³ válido para z 1 Faça todos os desenvolvimentos até pelo menos o termo L²a² Interprete esse resultado Figura P2194 a b Ex² N m²C 50 45 40 35 30 25 20 0 1 2 3 4 5 6 7 x m Ex NC m 700 600 500 400 300 0 01 02 03 x m Figura P2195 300 cm 500 cm 400 cm F q₁ q₂ q₃ Figura P2196 P E 50 cm 120 cm 130 cm q₁ q₂ Problemas com contexto BIO Abelhas elétricas Insetos voadores como as abelhas podem acumular uma pequena carga elétrica positiva enquanto voam Em um experimento a carga elétrica média de 50 abelhas foi medida como sendo de 30 5 pC por abelha Os pesquisadores também observaram as propriedades elétricas de uma planta que consiste em uma flor no topo de um caule longo A carga no caule foi medida enquanto uma abelha com carga positiva se aproximou pousou e voou para longe As plantas em geral são eletricamente neutras por isso a carga elétrica líquida medida no caule era zero quando a abelha estava muito longe À medida que a abelha se aproximava da flor uma carga líquida positiva pequena passou a ser detectada no caule mesmo antes de a abelha pousar Uma vez que a abelha pousou toda a planta ficou carregada positivamente e essa carga positiva permaneceu na planta após a abelha voar para longe Por meio da criação de flores artificiais com diversos valores de carga os experimentadores descobriram que as abelhas são capazes de distinguir entre flores carregadas e não carregadas e podem usar a carga elétrica positiva deixada por uma abelha anterior como um indício de que a planta já foi visitada e neste caso restará pouco pólen na flor 2198 Considere uma abelha com a carga elétrica média encontrada no experimento Esta carga representa aproximadamente quantos elétrons perdidos a 19 10⁸ b 30 10⁸ c 19 10¹⁸ d 30 10¹⁸ 2199 Qual é a melhor explicação para a observação de que a carga elétrica no caule tornouse positiva enquanto a abelha se aproximava antes de pousar a Como o ar é um bom condutor a carga positiva sobre a superfície da abelha fluiu através do ar a partir da abelha para a planta b Como a terra é um reservatório de grandes quantidades de carga íons positivos foram puxados do solo pelo caule em direção à abelha carregada c A planta tornouse eletricamente polarizada enquanto a abelha carregada se aproximava d As abelhas que visitaram a planta anteriormente depositaram uma carga positiva sobre o caule 21100 Uma abelha voou para longe após deixar uma flor com uma carga positiva e em seguida outra abelha com a mesma quantidade de carga positiva voou perto da planta Qual diagrama da Figura P21100 melhor representa as linhas do campo elétrico entre a abelha e a flor Figura P21100 a b c d 21101 Em um experimento complementar uma carga de 40 pC foi colocada no centro de uma flor artificial na extremidade de um caule de 30 cm de comprimento De acordo com as observações as abelhas se aproximavam até uma distância mínima de 15 cm do centro dessa flor e então voavam para longe Esta observação sugere que o menor campo elétrico externo a que as abelhas possam ser sensíveis está mais próximo de qual destes valores a 24 NC b 16 NC c 27 10¹⁰ NC d 48 10¹⁰ NC RESPOSTAS Resposta à pergunta inicial do capítulo Resposta ii As moléculas de água possuem um momento de dipolo elétrico permanente uma das extremidades da molécula possui carga positiva e a outra possui carga negativa Essas extremidades atraem íons positivos e negativos respectivamente mantendoos isolados em solução A água é menos eficaz como solvente para materiais cujas moléculas não se ionizam chamadas substâncias não iônicas como os óleos Respostas às perguntas dos testes de compreensão 211 Resposta iv Dois objetos carregados se repelem quando suas cargas possuem o mesmo sinal ambos positivos ou ambos negativos 212 Resposta a i b ii Antes das duas esferas se tocarem aquela com carga negativa exerce uma força repulsiva sobre os elétrons na outra esfera produzindo zonas com cargas induzidas positivas e zonas com cargas induzidas negativas na outra esfera Figura 217b A zona positiva está mais próxima da esfera com carga negativa e por isso há uma força resultante de atração que une as esferas como o pente e o isolante na Figura 218b Quando as duas esferas metálicas se tocam parte do excesso de elétrons na esfera com carga negativa passará para a outra esfera porque os metais são condutores Logo ambas as esferas terão carga negativa e irão se repelir 213 Resposta iv A força exercida por q₁ sobre Q continua sendo a mesma do Exemplo 214 O módulo da força exercida por q₂ sobre Q continua sendo igual a F₁ em Q mas o sentido da força passa a ser de q₁ para q₂ formando um ângulo α abaixo do eixo x Portanto os componentes x de ambas as forças se cancelam enquanto os componentes y negativos se somam e a força elétrica total aponta no sentido negativo do eixo y 214 Resposta a ii b i O campo elétrico E produzido por uma carga puntiforme positiva aponta diretamente para fora da carga como na Figura 2118a e possui um módulo que depende da distância r da carga até o ponto do campo Logo uma segunda carga puntiforme negativa q 0 sofrerá uma força F q E que aponta diretamente para dentro da carga positiva e possui um módulo que depende da distância r entre as duas cargas Se a carga negativa se move diretamente para dentro da carga positiva o sentido da força permanece o mesmo mas o módulo aumenta à medida que a distância r diminui Quando a carga negativa se move em círculo em torno da carga positiva o módulo da força permanece inalterado pois a distância r é constante mas a direção da força varia 215 Resposta iv Imagine um par de segmentos de comprimento dy um na coordenada y 0 e outro na coordenada y 0 O segmento superior possui carga positiva e produz um campo elétrico dE no ponto P que aponta para fora do segmento logo dE possui componente positivo de x e negativo de y como o vetor dE da Figura 2124 O segmento inferior possui o mesmo valor de carga negativa Ele produz um dE com o mesmo módulo mas que aponta no sentido do segmento inferior e portanto possui um componente negativo de x e um componente negativo de y Por simetria os dois componentes de x são iguais porém opostos cancelandose Assim o campo elétrico total possui somente um componente negativo de y 216 Resposta sim Se as linhas de campo fossem retilíneas E deve apontar na mesma direção retilínea em todos os pontos da região Logo a força F qE que atua sobre uma partícula de carga q está sempre nesta mesma direção Uma partícula lançada a partir do repouso acelera em linha reta no sentido de F e portanto sua trajetória é uma linha reta ao longo de uma linha de campo 217 Resposta ii De acordo com as equações 2117 e 2118 a energia potencial para um dipolo em um campo elétrico é U p E p E cos ϕ em que ϕ é o ângulo entre as direções de p e E Se p e E apontam em sentidos opostos de modo que ϕ 180 temos cos ϕ 1 e U pE Este é o valor máximo de U Com base no estudo sobre diagramas de energia na Seção 75 deduzse que essa é uma situação de equilíbrio instável Problema em destaque E 2kQπa² no sentido negativo de y Esta criança adquire cargas elétricas ao tocar a esfera metálica oca carregada Os cabelos eletricamente carre gados na cabeça da criança se repelem e ficam arrepiados O que aconteceria se a criança ficasse dentro de uma grande esfera metálica oca carregada Ela deveria adquirir i cargas com o mesmo sinal da carga da esfera e seus cabelos fica riam em pé ii cargas com o sinal oposto da carga da esfera e seus cabelos ficariam em pé iii nenhuma carga e seus cabelos ficariam relaxados iv qualquer uma das respos tas anteriores dependendo da quantidade de carga da esfera OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 221 Como determinar a quantidade de carga no interior de uma superfície fechada examinando o campo elétrico sobre a superfície 222 O que significa fluxo elétrico e como calculálo 223 Como a lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada à carga englobada pela superfície 224 Como usar a lei de Gauss para calcular o campo elétrico produzido por uma distribuição simétrica de carga 225 Onde se localiza a carga em um condutor carregado Revendo conceitos de 2142 16 Campos elétricos e suas propriedades 22 LEI DE GAUSS N a física uma ferramenta importante para a simplificação de um problema consiste em usar as propriedades de simetria dos sistemas Muitos sistemas físicos possuem simetrias Por exemplo se você girar um cilindro em torno de seu eixo central o aspecto do cilindro continuará o mesmo e uma esfera me tálica carregada permanecerá exatamente a mesma se você girar a esfera em torno de qualquer eixo passando por seu centro Neste capítulo aplicaremos as noções de simetria juntamente com um novo conceito a lei de Gauss a fim de simplificar a determinação de campos elétricos Por exemplo o campo elétrico de uma distribuição de cargas ao longo de uma linha reta ou de um plano como o que deduzimos na Seção 215 usando algumas integrações trabalhosas pode ser deduzido em poucas etapas com a lei de Gauss Mas essa lei é mais do que apenas uma forma de facilitar a realização de alguns cál culos De fato tratase de uma afirmação fundamental sobre a relação entre cargas e campos elétricos Dentre outras coisas a lei de Gauss também pode nos ajudar a compreender como se dá a distribuição das cargas elétricas em corpos condutores Aqui descrevemos o significado da lei de Gauss Dada qualquer distribuição de cargas desenhamos uma superfície imaginária englobando as cargas A seguir pes quisamos como o campo elétrico se distribui ao longo dos pontos dessa superfície imaginária A lei de Gauss relaciona a carga total existente no interior da superfície com o campo elétrico de todos os pontos sobre a superfície imaginária Pode pare cer uma forma bastante indireta para resolver o problema porém se trata de uma relação extraordinariamente útil Nos capítulos seguintes frequentemente usaremos os conceitos decorrentes da lei de Gauss em relação à natureza do campo elétrico 221 CARGA ELÉTRICA E FLUXO ELÉTRICO No Capítulo 21 fizemos a pergunta Qual é o campo elétrico produzido por uma dada distribuição de cargas em um ponto P Vimos que a resposta pode ser A discussão sobre a lei de Gauss nesta seção tem como base e fonte de ins piração as ideias inovadoras de Ruth W Chabay e Bruce A Sherwood em Electric and Magnetic Interactions John Wiley Sons 1994 BookSEARSVol3indb 43 101115 656 PM Figura 221 Como medir a carga no interior de uma caixa sem abrila a Caixa com uma quantidade de carga desconhecida b A carga elétrica no interior da caixa pode ser detectada usandose uma carga de teste fora dela para medir o campo elétrico a Carga positiva dentro da caixa fluxo de dentro para fora b Cargas positivas dentro da caixa fluxo de dentro para fora c Carga negativa dentro da caixa fluxo de fora para dentro d Cargas negativas dentro da caixa fluxo de fora para dentro Figura 222 Campo elétrico sobre a superfície de caixas contendo a uma única carga puntiforme positiva b duas cargas puntiformes positivas c uma única carga puntiforme negativa ou d duas cargas puntiformes negativas Fluxo elétrico e carga englobada Na Seção 214 discutimos a analogia entre o vetor do campo elétrico e o vetor da velocidade de um fluido em movimento Essa analogia pode ser útil embora não exista nenhum fluxo real em um campo elétrico Usando essa analogia nas figuras 222a e 222b nas quais o campo elétrico aponta para fora da superfície podemos dizer que existe um fluxo elétrico para fora da superfície A palavra fluxo deriva do latim e a palavra escoamento geralmente é usada como sinônimo de fluxo Nas figuras 222c e 222d todos os vetores E apontam para o interior da superfície e o fluxo elétrico segue para dentro A Figura 222 sugere uma relação simples quando existe uma carga positiva no interior da caixa o fluxo elétrico orientase para fora da superfície e quando existe uma carga negativa no interior da caixa o fluxo elétrico orientase para dentro da superfície O que acontece quando a carga é igual a zero dentro da caixa Na Figura 223a a caixa está vazia e E 0 em todos os pontos logo não existe fluxo elétrico nem para dentro nem para fora da superfície Na Figura 223b no interior da caixa existe uma carga positiva e uma carga negativa com mesmo módulo portanto a carga líquida é igual a zero dentro da caixa Existe um campo elétrico porém o fluxo para dentro em uma das metades da caixa é igual ao fluxo para fora na outra metade Logo o fluxo elétrico líquido através da superfície da caixa é igual a zero Na Figura 223c a caixa está novamente vazia Contudo existem cargas presentes fora da caixa ela foi colocada com uma de suas extremidades paralela a um plano infinito com uma distribuição uniforme de cargas que produz um campo elétrico uniforme perpendicular ao plano veja o Exemplo 2111 da Seção 215 Em uma das extremidades da caixa o vetor E aponta para dentro dela na extremidade oposta E aponta para fora da caixa e nas faces laterais da caixa E é paralelo à superfície externa e não aponta nem para dentro nem para fora Analogamente ao caso indicado na Figura 223b o fluxo elétrico para dentro em uma das metades da caixa compensa exatamente o fluxo elétrico para fora da outra metade Logo em todos os casos indicados na Figura 223 não existe fluxo elétrico líquido através da superfície da caixa e a carga líquida dentro da caixa é igual a zero As figuras 222 e 223 demonstram a conexão entre o sinal positivo negativo ou nulo da carga líquida dentro da caixa e o sentido para dentro para fora ou nenhum do fluxo elétrico líquido através da superfície Também existe uma conexão entre o módulo da carga dentro da superfície fechada e a intensidade do fluxo do vetor E sobre a superfície Em ambas as figuras 224a e 224b existe uma única carga puntiforme no interior da caixa porém na Figura 224b o módulo da carga é igual ao dobro do módulo da carga na Figura 224a Considerando a analogia do escoamento de um fluido isso significa que o fluxo elétrico líquido para fora da superfície na Figura 224b também é igual ao dobro do fluxo elétrico líquido na Figura 224a Isso sugere que o fluxo elétrico líquido através da superfície é diretamente proporcional ao módulo da carga líquida existente no interior da caixa Essa conclusão independe do tamanho da caixa Na Figura 224c a carga puntiforme q está no interior de uma caixa com o dobro das dimensões lineares da caixa da Figura 224a O módulo do campo elétrico diminui com a distância entre o ponto e a carga elétrica na razão 1r² de modo que o valor médio do módulo Figura 224 Três caixas cada qual com uma carga positiva em seu interior a Caixa contendo uma carga positiva q b A mesma caixa de a contendo uma carga positiva 2q c A mesma carga puntiforme positiva q no interior de uma caixa com o dobro das dimensões Há um fluxo elétrico de dentro para fora através da superfície Quando dobramos o valor da carga englobada dobramos também o módulo do campo elétrico na superfície portanto o fluxo elétrico através da superfície é igual ao dobro do fluxo de a O fluxo elétrico é igual ao fluxo de a o módulo do campo elétrico sobre a superfície se reduz a 14 porém a área através da qual ele flui tornase 4 vezes maior do campo elétrico E em cada face da caixa grande indicada na Figura 224c é exatamente igual a 14 do valor médio do módulo do campo na face correspondente indicada na Figura 224a Porém a área de cada face da caixa grande é exatamente quatro vezes maior que a respectiva área de cada face da caixa pequena Portanto o fluxo elétrico para fora das duas caixas é o mesmo se definirmos o fluxo elétrico do seguinte modo para cada face da caixa faça o produto do valor médio do componente perpendicular de E pela área da respectiva face a seguir some os resultados para todas as faces da caixa Usando essa definição o fluxo elétrico líquido produzido por uma única carga puntiforme no interior da caixa é independente de seu tamanho dependendo somente do valor da carga existente em seu interior Resumindo para os casos especiais de uma superfície fechada em forma de caixa retangular e para distribuições de cargas que envolvam cargas puntiformes ou planos infinitos com uma distribuição de cargas uniformes verificamos o seguinte 1 O sinal de carga existente no interior de uma superfície fechada determina se o fluxo elétrico está entrando ou saindo da superfície considerada 2 Cargas situadas no exterior da superfície não fornecem fluxo elétrico líquido através da superfície fechada 3 O fluxo elétrico líquido é diretamente proporcional à carga líquida existente no interior da superfície fechada porém ele não depende do tamanho da superfície fechada escolhida Essas observações constituem uma formulação qualitativa da lei de Gauss Será que tais observações permanecem válidas para outros tipos de distribuição de carga e para superfícies fechadas com formas arbitrárias A resposta a essas perguntas é sim Porém para explicar a razão desse comportamento precisamos de uma definição matemática de fluxo elétrico Desenvolveremos isso na próxima seção TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 221 Se todas as dimensões da caixa na Figura 222a forem triplicadas qual efeito essa alteração produzirá sobre o fluxo elétrico através da caixa i O fluxo será 3² 9 vezes maior ii o fluxo será 3 vezes maior iii o fluxo permanecerá inalterado iv o fluxo será 13 do valor inicial v o fluxo será 13² 19 do valor inicial vi não há informação suficiente para a decisão Figura 225 A vazão volumétrica de um fluido através da área da espira retangular de arame é dada por a vA quando a área do retângulo é perpendicular a v e b vA cos φ quando a área do retângulo está inclinada a um ângulo φ a Uma espira retangular em um fluido b A espira retangular inclinada a um ângulo φ 222 DETERMINAÇÃO DO FLUXO ELÉTRICO Na seção precedente introduzimos o conceito de fluxo elétrico Usamos esse conceito para elaborar uma formulação qualitativa aproximada da lei de Gauss o fluxo elétrico líquido através de uma superfície fechada é diretamente proporcional à carga líquida existente no interior dessa superfície Para utilizarmos plenamente essa lei precisamos saber como se calcula um fluxo elétrico Para isso vamos fazer novamente a analogia entre um campo elétrico E e um campo de velocidade v no escoamento de um fluido Lembrese de que isso é somente uma analogia um campo elétrico não escoa Fluxo analogia do escoamento de um fluido A Figura 225 indica um fluido escoando de modo constante da esquerda para a direita Vamos examinar a vazão volumétrica dVdt digamos em metros cúbicos por segundo através da espira retangular de arame com área A Quando a área está perpendicular à velocidade do escoamento v Figura 225a e a velocidade do escoamento é a mesma em todos os pontos do fluido a vazão volumétrica dVdt é igual ao produto da área A pelo módulo da velocidade v dVdt vA Quando o retângulo está inclinado a um ângulo ϕ Figura 225b de modo que sua face não é perpendicular a v a área que conta é o perfil da área quando observamos o retângulo na direção de v Essa área indicada pelo símbolo A na Figura 225b é a projeção da área A sobre um plano perpendicular a v Dois lados da projeção do retângulo possuem o mesmo comprimento do retângulo original porém os outros dois ficam diminuídos pelo fator de cos ϕ de modo que a área projetada A é dada por A cos ϕ Então a vazão volumétrica através de A é dVdt v A cosϕ Quando ϕ 90 dVdt 0 o retângulo é paralelo ao escoamento e não passa nenhum fluido através dele Além disso v cos ϕ é o componente do vetor v perpendicular ao plano da área A Usando o símbolo v para esse componente podemos reescrever a vazão volumétrica na forma dVdt v A Podemos expressar mais resumidamente a vazão volumétrica usando o conceito de vetor área Ă uma grandeza vetorial cujo módulo fornece área A e cuja direção é perpendicular ao plano da área que estamos descrevendo O vetor área Ă indica o tamanho da área e sua orientação no espaço Com base na área Ă podemos escrever a vazão volumétrica do fluido através do retângulo indicado na Figura 225b como um produto escalar dVdt v Ă Fluxo de um campo elétrico uniforme Usando a analogia entre campo elétrico e escoamento de um fluido agora podemos definir o fluxo elétrico com um método semelhante ao que acabamos de usar para definir a vazão volumétrica de um fluido basta substituir a velocidade v pelo campo elétrico Ē Para fluxo elétrico usamos o símbolo ΦE letra grega maiúscula fi com o índice inferior E para lembrarmos que estamos considerando fluxo elétrico Inicialmente considere uma superfície plana com área A perpendicular a um campo elétrico uniforme Ē Figura 226a Definimos o fluxo elétrico através dessa área como o produto do módulo E pela área A ΦE E A Figura 226 Uma superfície plana em um campo elétrico uniforme O fluxo elétrico ΦE através da superfície é igual ao produto escalar de Ē e do vetor da área Ă a A superfície é frontal ao campo elétrico Ē e Ă são paralelos o ângulo entre Ē e Ă é ϕ 0 O fluxo ΦE Ē Ă EA b A superfície está inclinada em relação a uma orientação frontal formando um ângulo ϕ O ângulo entre Ē e Ă é ϕ O fluxo ΦE Ē Ă EA cos ϕ c A superfície é lateral ao campo elétrico Ē e Ă são perpendiculares o ângulo entre Ē e Ă é ϕ 90 O fluxo ΦE Ē Ă EA cos 90 0 BIO Aplicação Fluxo através da boca de um tubarãofrade Ao contrário de tubarões carnívoros agressivos como grandes tubarõesbrancos um tubarãofrade se alimenta passivamente de plâncton na água que passa através de suas brânquias enquanto ele nada Sobreviver alimentandose apenas desses minúsculos organismos requer um enorme fluxo de água através da imensa boca do tubarãofrade que pode possuir até um metro de diâmetro O fluxo de água o produto da velocidade do tubarão através da água pela área de sua boca pode ser de até 05 m³s 500 litros por segundo ou quase 2 10⁶ litros por hora De modo análogo o fluxo de um campo elétrico através de uma superfície depende do módulo do campo elétrico e da área da superfície bem como a orientação relativa do campo e da superfície De modo aproximado podemos descrever ΦE em termos das linhas de campo que passam através da área A Quando a área aumenta um número maior de linhas de Ē passa através dela fazendo aumentar o fluxo elétrico campos elétricos mais fortes correspondem a linhas de Ē agrupadas mais compactamente e portanto mais linhas por unidade de área de modo que novamente o fluxo elétrico é maior Quando a área A é plana mas não perpendicular ao campo Ē um número menor de linhas passa através dela Nesse caso a área que conta é o perfil dela quando a observamos na direção de Ē Essa área é indicada pelo símbolo A na Figura 226b sendo dada por A cos ϕ compare com a Figura 225b Generalizamos a definição de fluxo elétrico para um campo elétrico uniforme por meio da relação ΦE EA cos ϕ 221 fluxo elétrico para Ē uniforme superfície plana Como E cos ϕ é o componente de Ē perpendicular à área podemos reescrever a Equação 221 na forma ΦE E A 222 fluxo elétrico para Ē uniforme superfície plana Com base no vetor da área Ă perpendicular à área podemos escrever o fluxo elétrico como o produto escalar entre os vetores Ē e Ă ΦE Ē Ă 223 fluxo elétrico para Ē uniforme superfície plana As equações 221 222 e 223 são formas equivalentes para calcular o fluxo elétrico para o caso de uma superfície plana e um campo elétrico uniforme No SI a unidade de fluxo elétrico é 1 Nm²C Note que se a área for lateral ao campo Ē e Ă serão perpendiculares e o fluxo será igual a zero Figura 226c Podemos representar um vetor área Ă usando um vetor unitário n perpendicular à área n representa a palavra normal Logo Ă A n 224 Uma superfície possui dois lados portanto existem dois sentidos possíveis para os vetores Ă e n Devemos sempre especificar qual é o sentido escolhido Na Seção 221 relacionamos a carga no interior de uma superfície fechada com o fluxo elétrico que passa através da superfície Quando a superfície é fechada sempre escolhemos o sentido de n para fora da superfície e dizemos que o fluxo elétrico sai da superfície fechada Logo quando na Seção 221 falamos que um fluxo elétrico sai da superfície queremos dizer que ΦE é positivo e quando falamos que um fluxo elétrico entra na superfície queremos dizer que ΦE é negativo Fluxo de um campo elétrico não uniforme O que ocorre quando o campo elétrico Ē não é uniforme e sim varia de um ponto para outro ao longo da superfície de área A Ou o que ocorre quando A é parte de uma superfície curva Nesse caso dividimos A em pequenos elementos de superfície de área dA cada um deles possui um vetor unitário n perpendicular à respectiva superfície e um vetor área dĂ n dA Calculamos o fluxo elétrico através de cada um desses elementos e integramos o resultado para obter o fluxo elétrico total Fluxo elétrico através de uma superfície ΦE E cos ϕ dA E dA Ē dĂ 225 Módulo do campo elétrico Ē Componente de Ē perpendicular à superfície Ângulo entre Ē e normal à superfície Elemento da área da superfície Elemento vetorial da área da superfície Essa integral é chamada integral de superfície do componente E sobre a área considerada ou a integral de superfície de Ē dĂ Em problemas específicos uma forma da integral pode ser mais conveniente do que outra O Exemplo 223 no final desta seção ilustra o uso da Equação 225 Na Equação 225 o fluxo elétrico E dA é igual ao valor médio do componente perpendicular do campo elétrico multiplicado pela área da superfície Essa é a mesma definição de fluxo elétrico apresentada na Seção 221 agora expressa sob uma forma matemática mais rigorosa Na próxima seção veremos a conexão entre o fluxo elétrico total por meio de qualquer tipo de superfície fechada seja qual for o seu formato e a carga no interior da superfície EXEMPLO 221 FLUXO ELÉTRICO ATRAVÉS DE UM DISCO Um disco com raio igual a 010 m está orientado de modo que seu vetor unitário normal n forme um ângulo de 30 com um campo elétrico uniforme Ē cujo módulo é igual a 20 10³ NC Figura 227 Como essa superfície não é fechada não podemos especificar um lado interno ou externo Por essa razão tivemos de escolher o sentido de n na figura a Qual é o fluxo elétrico através do disco b Qual é o fluxo elétrico através do disco depois que ele gira de modo que n se torne perpendicular a Ē c Qual é o fluxo elétrico através do disco quando n é paralelo ao vetor Ē SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR este problema trata de uma superfície plana em um campo elétrico uniforme portanto podemos aplicar os conceitos abordados nesta seção Calculamos o fluxo elétrico usando a Equação 221 EXECUTAR a a área é A π 010 m² 00314 m² e o ângulo entre Ē e Ă A n é ϕ 30 portanto conforme a Equação 221 ΦE EA cos ϕ 20 10³ NC 00314 m² cos 30 54 N m²C b A normal ao disco é agora perpendicular a Ē logo ϕ 90 cos ϕ 0 e ΦE 0 c A normal ao disco é paralela a Ē logo ϕ 0 cos ϕ 1 ΦE EA cos ϕ 20 10³ NC00314 m²1 63 N m²C AVALIAR nossa resposta ao item b é menor que a resposta ao item a que por sua vez é menor que a resposta ao item c É assim que deve ser Figura 227 O fluxo elétrico ΦE através de um disco depende do ângulo entre sua normal n e o campo elétrico Ē r 010 m n 30 Ē EXEMPLO 222 FLUXO ELÉTRICO ATRAVÉS DE UM CUBO Uma superfície fechada imaginária em forma de cubo de lado L está em uma região onde existe um campo elétrico uniforme Ē Determine o fluxo elétrico através de cada face do cubo e o fluxo total através do cubo quando a ele está orientado com duas de suas faces perpendiculares a Ē Figura 228a e b ele sofre um giro de um ângulo θ em torno de um eixo vertical Figura 228b SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR como o campo elétrico Ē é uniforme e todas as seis faces do cubo são retas podemos calcular o fluxo elétrico através de cada face do cubo usando as equações 223 e 224 O fluxo total através do cubo é a soma dos seis fluxos individuais EXECUTAR a os vetores unitários n1 a n6 são indicados na Figura 228a cada vetor unitário está orientado para fora da superfície do cubo O ângulo entre Ē e n1 é igual a 180 o ângulo entre Ē e n2 é igual a 0 e o ângulo entre Ē e cada um dos outros quatro vetores unitários é igual a 90 Cada face do cubo possui uma área igual a L² Portanto os fluxos através de cada face do cubo são ΦE1 Ē n1 A EL² cos 180 EL² ΦE2 Ē n2 A EL² cos 0 EL² ΦE3 ΦE4 ΦE5 ΦE6 EL² cos 90 0 Continua Continuação O fluxo é negativo sobre a face 1 na qual Ē está entrando no cubo e positivo sobre a face 2 na qual Ē está saindo do cubo O fluxo total através do cubo é ΦE ΦE1 ΦE2 ΦE3 ΦE4 ΦE5 ΦE6 EL² EL² 0 0 0 0 0 b Como o campo elétrico Ē sai das faces 1 e 3 os fluxos elétricos através delas são negativos como Ē sai das faces 2 e 4 os fluxos através delas são positivos Encontramos ΦE1 Ē n₁ A EL² cos 180 θ EL² cos θ ΦE2 Ē n₂ A EL² cos θ ΦE3 Ē n₃ A EL² cos 90 θ EL² sen θ ΦE4 Ē n₄ A EL² cos 90 θ EL² sen θ ΦE5 ΦE6 EL² cos 90 0 O fluxo elétrico total ΦE ΦE1 ΦE2 ΦE3 ΦE4 ΦE5 ΦE6 através do cubo é novamente igual a zero AVALIAR obtivemos essa mesma conclusão em nossa discussão acerca da Figura 223c o fluxo elétrico é igual a zero quando um campo elétrico uniforme atravessa uma superfície fechada no interior da qual não existe nenhuma carga elétrica Figura 228 Fluxo elétrico de um campo elétrico uniforme Ē através de uma caixa cúbica de lado L em duas orientações a b EXEMPLO 223 FLUXO ELÉTRICO ATRAVÉS DE UMA ESFERA Uma carga puntiforme positiva q 30 μC está circundada por uma esfera imaginária de raio igual a r 020 m centralizada sobre a carga Figura 229 Calcule o fluxo elétrico resultante através da esfera SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR a superfície não é plana e o campo elétrico não é uniforme portanto devemos usar a definição geral de fluxo elétrico nossa variávelalvo Equação 225 para calculálo Como a esfera está centralizada sobre uma carga puntiforme em qualquer ponto na superfície esférica Ē está direcionado para fora da esfera perpendicular à superfície O sentido positivo tanto para n quanto para E aponta para fora portanto E E e o fluxo através de um elemento de superfície dA é Ē dA E dA Isso simplifica muito a integral na Equação 225 EXECUTAR devemos calcular a integral da Equação 225 ΦE E dA Em qualquer ponto sobre a esfera de raio r o campo elétrico possui o mesmo módulo E q4πε₀r² Portanto E pode ser retirado da integral e a equação passa a ser dada por ΦE E dA EA em que A é a área da superfície esférica A 4πr² Portanto o fluxo elétrico total que sai da esfera é ΦE EA q4πε₀r² 4πr² qε₀ 30 x 10⁶ C 885 x 10¹² C²Nm² 34 x 10⁵ Nm²C Avaliar o valor de ΦE não depende do raio r da esfera Obtêríamos o mesmo resultado tanto para uma esfera com 20 m de raio quanto para uma com 200 m Chegamos a essa mesma conclusão em nossa discussão da Figura 224 na Seção 221 na qual utilizamos superfícies fechadas retangulares com dois tamanhos diferentes mas com a mesma carga puntiforme Naquele caso descobrimos que o fluxo de Ē não dependia do tamanho da área o mesmo resultado se aplica a uma superfície esférica Na verdade o fluxo elétrico sobre qualquer superfície fechada que contenha uma carga puntiforme não depende nem da forma nem do tamanho da superfície conforme mostraremos mais adiante Figura 229 Fluxo elétrico através de uma esfera centrada sobre uma carga puntiforme TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 222 Classifique as seguintes superfícies seguindo a ordem do fluxo elétrico mais positivo para o mais negativo i Uma superfície retangular plana com vetor de área A 60 m² î em um campo elétrico uniforme Ē 40 NC ĵ ii uma superfície circular plana com vetor de área A 30 m² ĵ em um campo elétrico uniforme Ē 40 NC î 20 NC ĵ iii uma superfície quadrada plana com vetor de área A 30 m² î 70 m² ĵ em um campo elétrico uniforme Ē 40 NC î 20 NC ĵ iv uma superfície oval plana com vetor de área A 30 m² î 70 m² ĵ em um campo elétrico uniforme Ē 40 NC î 20 NC ĵ 223 LEI DE GAUSS A lei de Gauss é uma alternativa à lei de Coulomb Embora seja completamente equivalente à lei de Coulomb a lei de Gauss apresenta uma forma diferente de expressar a relação entre carga elétrica e campo elétrico Ela foi formulada por Carl Friedrich Gauss 17771855 um dos maiores matemáticos de todos os tempos Figura 2210 Carga puntiforme no interior de uma superfície esférica A lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada a superfície interna de um volume definido é proporcional à carga elétrica total líquida existente no interior da superfície Na Seção 221 observamos isso qualitativamente agora verificaremos isso de maneira mais rigorosa Vamos iniciar com o campo elétrico de uma única carga puntiforme positiva q As linhas de campo se irradiam para fora da carga igualmente em todas as direções Colocamos essa carga no centro de uma superfície esférica imaginária de raio R O módulo do campo elétrico E em qualquer ponto sobre a superfície é dado por E 14πε₀ qR² O vetor Ē é perpendicular a cada ponto da superfície e seu módulo é sempre o mesmo em todos os pontos como no Exemplo 223 Seção 222 O fluxo elétrico resultante é dado pelo produto do módulo do campo elétrico E pela área total A 4πR² da superfície da esfera ΦE EA 14πε₀ qR² 4πR² qε₀ 226 O fluxo elétrico é independente do raio R da esfera Ele depende apenas da carga q existente no interior da esfera Podemos também interpretar esse resultado com base nas linhas de campo A Figura 2211 mostra duas esferas com raios R e 2R centralizadas sobre a carga puntiforme q Cada linha de campo elétrico que passa pela esfera menor também passa pela maior de modo que o fluxo elétrico é o mesmo nas duas esferas O que é verdade para a esfera como um todo também é verdade para qualquer porção de sua superfície Na Figura 2211 um elemento de área dA é assinalado sobre uma esfera de raio R e a seguir projetado sobre uma esfera concêntrica de raio 2R desenhando raios que passam pelo centro e pelos pontos limítrofes de dA A área projetada sobre a esfera maior é claramente igual a 4 dA Porém como o campo elétrico de uma carga puntiforme é inversamente proporcional a r² o módulo do campo elétrico sobre a esfera de raio 2R é 14 do módulo do campo elétrico sobre a esfera de raio R Portanto o fluxo elétrico é o mesmo para ambas as áreas e não depende do raio da esfera Carga puntiforme no interior de uma superfície não esférica Essa técnica de projeção mostra como generalizar a discussão para superfícies com formas não esféricas Em vez de uma segunda esfera vamos circundar a esfera de raio R com uma superfície de forma irregular como indica a Figura 2212a Considere um pequeno elemento de área dA sobre a superfície irregular notamos que essa área é maior que um elemento de área correspondente sobre a superfície esférica que estivesse à mesma distância de q Se a normal dA forma um ângulo ϕ com o raio que parte da carga q a projeção dessa área sobre a superfície esférica mostra que dois lados se encurtam na medida de cos ϕ Figura 2212b Os outros dois lados não variam Portanto o fluxo elétrico através do elemento da superfície Figura 2210 Carl Friedrich Gauss ajudou a desenvolver diversos ramos da matemática incluindo a geometria diferencial a análise real e a teoria dos números A curva do sino da estatística é uma de suas invenções Gauss também realizou sofisticadas investigações sobre os campos magnéticos da Terra e calculou a órbita do primeiro asteroide a ser descoberto Figura 2211 Projeção de um elemento de área dA de uma esfera de raio R sobre uma esfera concêntrica de raio 2R A projeção multiplica cada dimensão linear por 2 de modo que o elemento de área sobre a esfera maior é igual a 4 dA O mesmo número de linhas de campo e o mesmo fluxo elétrico passam através de cada elemento de área 52 Física III esférica é igual ao fluxo elétrico E dA cos f através do elemento correspondente da superfície irregular Podemos dividir a superfície irregular inteira em elementos dA calcular o fluxo elétrico E dA cos f para cada elemento e somar os resultados fazendo a integral como procedemos para obter a Equação 225 Cada um dos elementos de área se projeta sobre um elemento correspondente da superfície esférica Logo o fluxo elé trico total através da superfície irregular dado por uma das formas da Equação 225 deve ser igual ao fluxo elétrico total sobre a superfície esférica o qual a Equação 226 mostra que é igual a qP0 Portanto para a superfície irregular FE E S dA S q P0 227 A Equação 227 vale para qualquer forma e tamanho da superfície desde que esta seja fechada e contenha uma carga q em seu interior A circunferência em torno do sinal da integral serve para lembrar que a integração sempre deve ser feita sobre uma superfície fechada Os elementos de área d e os vetores unitários correspondentes sempre apon tam para fora do volume delimitado pela superfície Logo o fluxo elétrico é po sitivo nas áreas sobre as quais o campo elétrico aponta para fora da superfície e negativo quando aponta para dentro da superfície Portanto E é positivo nos pontos em que aponta para fora da superfície e negativo nos pontos em que aponta para dentro da superfície Quando a carga puntiforme na Figura 2212 for negativa o campo elétrico estará orientado radialmente para dentro o ângulo f será então maior que 90 seu cosseno será negativo e a integral na Equação 227 será negativa Porém como q também é negativa a Equação 227 continua válida Se no interior de uma superfície não existe nenhuma carga FE E S dA S 0 A relação anterior é uma afirmação matemática de que quando não existe nenhuma carga em uma região qualquer linha de campo produzida por uma carga puntiforme no exterior dessa região que entre na superfície em um dado ponto deve sair da superfície em outro ponto Obtivemos essa mesma conclusão na Seção 221 considerando o caso especial de uma caixa retangular em um campo elétrico uniforme A Figura 2213 ilustra essa conclusão Um campo elétrico só pode começar ou terminar em uma dada região quando existem cargas no interior dessa região Figura 2212 Cálculo do fluxo elétrico através de uma superfície não esférica E S E S a A normal saindo da superfície irregular forma um ângulo f com o vetor E dA E dA cosf b f f q R r q E A projeção do elemento de área dA sobre a superfície esférica é dA cos f dA f S Figura 2213 Uma carga puntiforme no exterior de uma superfície fechada que não engloba nenhuma carga Se uma linha do campo elétrico da carga externa entra na superfície em um ponto ela deve sair em outro ponto E S Linha do campo entrando na superfície Mesma linha do campo saindo da superfície BookSEARSVol3indb 52 101115 656 PM Forma geral da lei de Gauss Agora atingimos a etapa final para obtermos a forma geral da lei de Gauss Suponha que no interior da superfície exista não apenas uma carga puntiforme q mas diversas cargas q₁ q₂ q₃ O campo elétrico total resultante Ē em qualquer ponto é dado pela soma vetorial dos campos elétricos Ē das cargas individuais Vamos designar por Qint a carga total existente no interior da superfície Qint q₁ q₂ q₃ Seja também Ē o campo elétrico total no ponto da superfície correspondente ao elemento de área dA e seja E o componente perpendicular ao plano desse elemento ou seja paralelo a dA Então podemos escrever uma equação análoga à Equação 227 para cada carga com seu campo elétrico correspondente e somar os resultados Fazendo isso obtemos o enunciado matemático geral da lei de Gauss Lei de Gauss ΦE Ē dA Qintε₀ 228 Fluxo elétrico através de uma superfície fechada de área A integral de superfície de Ē Constante elétrica O fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é igual à carga elétrica total líquida existente no interior da superfície dividida por ε₀ Usando a definição de Qint e os diversos modos de escrever a Equação 225 podemos escrever a lei de Gauss nas seguintes formas equivalentes Várias formas da lei de Gauss ΦE E cos ϕ dA E dA Ē dA Qintε₀ 229 Fluxo elétrico através de uma superfície fechada Ângulo entre Ē e a normal à superfície Elemento da área da superfície Elemento vetorial da área da superfície Constante elétrica Tal como na Equação 225 as diversas formas da integral expressam a mesma coisa o fluxo elétrico total através da superfície gaussiana usandose termos diferentes Às vezes uma forma é mais conveniente que outra ATENÇÃO As superfícies gaussianas são imaginárias Lembrese de que a superfície fechada na lei de Gauss é imaginária Não é necessário nenhum objeto material na posição da superfície Frequentemente nos referimos à superfície fechada usada na lei de Gauss como uma superfície gaussiana A título de exemplo a Figura 2214a mostra uma superfície gaussiana esférica com raio r em torno de uma carga puntiforme positiva q O campo elétrico aponta para fora da superfície de modo que cada ponto sobre a superfície Ē aponta no mesmo sentido que dA ϕ 0 e E é igual ao módulo do campo E q4πε₀r² Como E é o mesmo em todos os pontos sobre a superfície podemos retirálo da integral na Equação 229 Então o restante da integral é dA A 4 πr² a área da esfera Portanto a Equação 229 tornase ΦE E dA q4πε₀r² dA q4πε₀r² dA q4πε₀r² 4πr² qε₀ A carga englobada Qint é exatamente a carga q o que está de acordo com a lei de Gauss Se a superfície gaussiana engloba uma carga puntiforme negativa como Figura 2214 Superfícies gaussianas esféricas em torno de a uma carga puntiforme positiva e b uma carga puntiforme negativa a Superfície gaussiana em torno de uma carga puntiforme positiva fluxo positivo para fora b Superfície gaussiana em torno de uma carga puntiforme negativa fluxo negativo para dentro indica a Figura 2214b então 𝐸 aponta para o interior da superfície em cada ponto no sentido oposto a d𝐴 Logo 𝜙 180 e E é igual à negativa do módulo do campo E E q4𝜋ε0r² q4𝜋ε0r² Então a Equação 229 tornase ΦE E dA q4𝜋ε0r² dA q4𝜋ε0r² dA q4𝜋ε0r² 4𝜋r² qε0 Isso está novamente de acordo com a lei de Gauss porque a carga englobada na Figura 2214b é Qint q Nas equações 228 e 229 o termo Qint sempre é obtido fazendose a soma algébrica de todas as cargas positivas e negativas existentes no interior da superfície gaussiana e 𝐸 é o campo elétrico total sobre cada ponto da superfície Observe também que geralmente esse campo elétrico é produzido parcialmente por cargas que estão dentro da superfície e parcialmente por cargas que estão fora dela Porém como mostramos na Figura 2213 as cargas fora da superfície não contribuem para o fluxo elétrico total líquido através dela Portanto as equações 228 e 229 continuam válidas mesmo quando existem cargas fora da superfície que contribuem para o campo elétrico sobre a superfície considerada Quando Qint 0 o fluxo elétrico total através da superfície gaussiana deve ser igual a zero ainda que algumas de suas partes possam ter um fluxo elétrico positivo e outras possam ter um fluxo elétrico negativo Figura 223b A lei de Gauss fornece uma resposta definitiva para a pergunta feita na Seção 221 Caso você conhecesse a configuração do campo elétrico em uma dada região o que poderia afirmar sobre a distribuição de cargas nessa região Essa lei fornece uma relação entre o campo elétrico em uma superfície fechada e a distribuição de cargas existentes no interior da superfície Porém em alguns casos podemos usar a lei de Gauss para responder à pergunta inversa Caso você conhecesse a distribuição de cargas em uma dada região como poderia determinar a configuração do campo elétrico produzido por essa distribuição de cargas A lei de Gauss aparentemente não seria razoável para fornecer uma resposta para essa questão visto que o cálculo da integral na Equação 228 pode parecer uma tarefa impossível Em alguns casos realmente é Contudo em outros essa tarefa tornase surpreendentemente simples A seguir damos um exemplo no qual não é necessário fazer nenhuma integral na próxima seção desenvolveremos outros exemplos EXEMPLO 224 FLUXO ELÉTRICO E CARGA ENGLOBADA A Figura 2215 indica o campo elétrico produzido por duas cargas puntiformes q e q um dipolo elétrico Determine o fluxo elétrico através de cada uma das superfícies fechadas A B C e D SOLUÇÃO A lei de Gauss Equação 228 afirma que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é igual ao valor da carga elétrica total no interior da superfície dividido por ε0 Na Figura 2215 a superfície A em vermelho engloba a carga positiva logo Qint q a superfície B em azul engloba a carga negativa logo Qint q a superfície C em roxo engloba ambas as cargas logo Qint q q 0 e a superfície D em amarelo não possui nenhuma carga em seu interior logo Qint 0 Portanto não é necessário fazer nenhuma integração e concluímos que o ΦEA qε0 ΦEB qε0 e ΦEC ΦED 0 Esses resultados dependem somente das cargas existentes no interior da superfície gaussiana não da forma precisa de cada superfície Podemos obter conclusões semelhantes examinando as linhas de campo elétrico Todas as linhas de campo que atravessam a superfície A apontam de dentro para fora portanto o fluxo através de A deve ser positivo De modo análogo a superfície B deve ser negativa porque todas as linhas de campo que atravessam a superfície B apontam de fora para dentro Tanto na superfície C quanto na superfície D existe o mesmo número de linhas de campo apontando para fora e para dentro da superfície logo o fluxo através de cada uma dessas superfícies é igual a zero Figura 2215 O número total de linhas de campo que atravessam uma superfície fechada é proporcional à carga elétrica total existente no interior da superfície TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 223 A Figura 2216 mostra seis cargas puntiformes todas elas localizadas no mesmo plano Cinco superfícies gaussianas S1 S2 S3 S4 e S5 englobam cada qual uma parte desse plano e a Figura 2216 mostra a intersecção de cada superfície com o plano Classifique essas cinco superfícies por ordem do fluxo elétrico que as atravessa desde o mais positivo até o mais negativo 224 APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS A lei de Gauss é válida para qualquer distribuição de cargas e qualquer superfície fechada Ela pode ser usada de dois modos Quando conhecemos a distribuição de cargas e a integral na lei de Gauss possui simetria suficiente podemos determinar o campo elétrico Ou quando conhecemos o campo podemos usar a lei de Gauss para definirmos a distribuição de cargas como as cargas sobre uma superfície condutora Nesta seção apresentaremos exemplos de ambos os tipos de aplicação À medida que você os estudar observe atentamente o papel desempenhado pelas propriedades de simetria de cada sistema Utilizaremos a lei de Gauss para determinar o campo elétrico produzido por diversas distribuições de cargas e os resultados serão apresentados em uma tabela no resumo do final do capítulo Em problemas práticos geralmente encontramos situações nas quais precisamos saber o campo elétrico produzido por distribuições de cargas sobre um condutor Esses cálculos são facilitados pelo seguinte fato crucial quando existe um excesso de carga em um condutor sólido em equilíbrio o excesso fica inteiramente localizado sobre a superfície do condutor e não no interior do material Por excesso queremos dizer cargas além dos íons e dos elétrons livres que compõem o condutor neutro Agora vamos demonstrar esse resultado Sabemos pela Seção 214 que quando existe equilíbrio eletrostático no qual todas as cargas estão em repouso o campo elétrico 𝐸 é igual a zero em qualquer ponto no interior de um condutor Caso 𝐸 fosse diferente de zero as cargas em excesso estariam em movimento Suponha que você crie uma superfície gaussiana no interior do condutor como a superfície A indicada na Figura 2217 Como 𝐸 0 em todos os pontos sobre essa superfície a lei de Gauss exige que a carga total no interior da superfície seja igual a zero Agora imagine que você faça o volume delimitado por essa superfície tender a zero de modo que a superfície se reduza a um ponto P então a carga nesse ponto deve ser igual a zero Podemos repetir esse raciocínio para todos os pontos do condutor logo não pode existir nenhum excesso de carga no interior de um condutor sólido em equilíbrio qualquer excesso de carga deve ficar localizado sobre a superfície do condutor Esse resultado vale para um condutor sólido Na próxima seção discutiremos o que ocorre quando existem cavidades no interior do condutor O resultado demonstrado será usado com frequência nos exemplos apresentados a seguir Figura 2216 Cinco superfícies gaussianas e seis cargas puntiformes Figura 2217 No equilíbrio eletrostático as cargas não se movem qualquer excesso de carga deve ficar localizado sobre a superfície de um condutor sólido ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 221 LEI DE GAUSS IDENTIFICAR os conceitos relevantes a lei de Gauss é mais útil nas situações em que a distribuição de carga possui simetria esférica cilíndrica ou planar Nessas situações determinamos o sentido de 𝐸 pela simetria da distribuição de carga Podemos usar a lei de Gauss para determinar o módulo de 𝐸 quando conhecemos a distribuição de carga e viceversa Em qualquer desses casos inicie sua análise perguntando qual é a simetria PREPARAR o problema por meio dos seguintes passos 1 Faça uma lista das grandezas conhecidas e desconhecidas e identifique a variávelalvo 2 Escolha a superfície gaussiana apropriada que deve ser imaginária e fechada Para simetria esférica use uma superfície esférica concêntrica Para simetria cilíndrica use uma superfície cilíndrica coaxial com bases perpendiculares ao eixo de simetria como uma lata de sopa Para simetria planar use uma superfície cilíndrica como uma lata de atum com bases paralelas ao plano EXECUTAR a solução da seguinte forma 1 Determine o tamanho e a localização apropriados para a superfície gaussiana Para avaliar um campo magnético em Continua Continuação um ponto específico a superfície deve incluir o ponto considerado Pode ser útil colocar uma extremidade de uma superfície em forma de lata no interior de um condutor onde 𝐸 e Φ são iguais a zero ou colocar suas extremidades em pontos equidistantes de um plano carregado Calcule a integral E dA na Equação 229 Nessa equação E é o componente perpendicular do campo elétrico total em cada ponto sobre a superfície gaussiana Uma superfície gaussiana bem escolhida tornará o processo de integração trivial ou desnecessário Quando a superfície é composta por várias superfícies separadas como os lados e as extremidades de um cilindro a integral E dA sobre toda a superfície fechada é a soma das integrais E dA sobre as superfícies separadas Considere os itens 36 enquanto você trabalha Quando 𝐸 for perpendicular normal em todos os pontos de uma superfície com área A se ele apontar para fora da superfície e seu módulo for constante em todos os pontos ao longo da superfície então E E constante e E dA sobre essa superfície será igual a EA Se 𝐸 apontar para dentro E E e E dA EA Quando 𝐸 for tangente em todos os pontos ao longo de uma superfície então E 0 e a integral sobre essa superfície é igual a zero Isso pode ocorrer em partes de uma superfície gaussiana cilíndrica Quando 𝐸 0 em todos os pontos ao longo de uma superfície então a integral sobre essa superfície será igual a zero 2 Mesmo quando não existe nenhuma carga no interior da superfície o campo elétrico em qualquer ponto sobre a superfície gaussiana não é necessariamente igual a zero Contudo nesse caso o fluxo elétrico total através da superfície sempre é igual a zero 3 A integral do fluxo E dA pode ser aproximada como a diferença entre o número de linhas de força elétrica saindo da superfície gaussiana e o número de linhas de força elétrica entrando nela Nesse sentido o fluxo fornece o sinal da carga englobada mas é apenas proporcional a ela fluxo nulo corresponde a carga englobada nula 4 Após avaliar a integral E dA use a Equação 229 para explicitar a incógnita do problema AVALIAR sua resposta caso seu resultado for uma função que descreve como o módulo do campo elétrico varia conforme a posição certifiquese de que faz sentido EXEMPLO 225 CAMPO DE UMA ESFERA CONDUTORA CARREGADA Colocamos uma carga positiva q sobre uma esfera condutora maciça de raio R Figura 2218 Determine o campo elétrico 𝐸 em qualquer ponto dentro ou fora da esfera SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR conforme discutimos anteriormente nesta seção toda carga deve ficar localizada sobre a superfície da esfera A carga pode se deslocar livremente sobre o condutor e não existe uma posição preferida sobre a superfície portanto a carga está distribuída uniformemente sobre a superfície e o sistema possui simetria esférica Para tirar proveito da simetria tomamos como a superfície gaussiana uma esfera imaginária com raio r centralizada sobre o condutor Para calcular o campo dentro ou fora do condutor supomos r R ou r R respectivamente Em qualquer desses casos o ponto em que desejamos calcular 𝐸 localizase sobre a superfície gaussiana EXECUTAR a simetria esférica também mostra que o campo elétrico deve ser radial isso acontece porque não existe uma direção preferida paralela à superfície então 𝐸 não pode possuir nenhum componente paralelo à superfície Não existe uma orientação preferida da esfera então o módulo E do campo elétrico depende apenas da distância r entre o ponto considerado e o centro da esfera e deve possuir sempre o mesmo valor sobre todos os pontos na superfície gaussiana Para r R todo o condutor está localizado no interior da superfície gaussiana de modo que a carga no interior da superfície seja igual a q A área da superfície gaussiana é 4𝜋r² e 𝐸 é uniforme e perpendicular à superfície em todos os seus pontos O fluxo elétrico dado pela integral E dA é portanto E4𝜋r² e a Equação 228 fornece E4𝜋r² qε0 E 14𝜋ε0 qr² fora de uma esfera condutora carregada Essa expressão é igual ao campo elétrico produzido por uma carga puntiforme no exterior da esfera seu campo se comporta como se toda a carga da esfera estivesse concentrada em seu centro Imediatamente fora da superfície da esfera para r R E 14𝜋ε0 qR² sobre a superfície de uma esfera condutora carregada Para r R temos novamente E4𝜋r² Qintε0 Mas como a superfície gaussiana escolhida que se localiza inteiramente dentro do condutor não contém carga Qint 0 Portanto o campo elétrico no interior do condutor é nulo ATENÇÃO O fluxo pode ser positivo ou negativo Lembrese de que escolhemos a carga q como positiva Quando a carga é negativa o campo elétrico está orientado radialmente para dentro da esfera em vez de para fora e o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é negativo Os módulos dos campos elétricos fora da esfera e sobre sua superfície são dados pelas mesmas expressões anteriores lembrando que nesse caso q representa o módulo valor absoluto da carga Continua Continuação AVALIAR já sabíamos que E0 no interior de um condutor sólido seja esférico ou não quando as cargas estão em repouso A Figura 2218 mostra E em função da distância r a partir do centro da esfera Note que no limite R0 a esfera se comporta como uma carga puntiforme então só existe um lado de fora dessa carga puntiforme e o campo elétrico é dado por Eq4πε0r² Portanto deduzimos a lei de Coulomb a partir da lei de Gauss Na Seção 223 deduzimos a lei de Gauss a partir da lei de Coulomb as duas são equivalentes Podemos usar esse método para uma casca esférica uma esfera condutora com um buraco esférico concêntrico supondo que não haja carga no interior do buraco Usamos uma superfície gaussiana esférica com raio r menor que o raio do buraco Se houvesse um campo elétrico no interior do buraco ele seria radial e esfericamente simétrico como antes logo EQint4πε0r² Como nesse caso não estamos considerando nenhuma carga englobada logo Qint0 e E0 no interior do buraco Você é capaz de usar esse método para determinar o campo elétrico no espaço existente entre uma esfera carregada com outra esfera oca condutora concêntrica que esteja na parte de fora dessa esfera Figura 2218 Cálculo do campo elétrico de uma esfera condutora com carga positiva q Fora da esfera o campo é o mesmo como se toda carga estivesse concentrada no centro da esfera EXEMPLO 226 CAMPO DE UMA CARGA DISTRIBUÍDA AO LONGO DE UM FIO Uma carga elétrica é distribuída uniformemente ao longo de um fio retilíneo infinito fino A carga por unidade de comprimento é λ considerado positivo Calcule o campo elétrico usando a lei de Gauss SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR como vimos no Exemplo 2110 Seção 215 o campo elétrico E de um fio retilíneo infinito uniformemente carregado aponta radialmente para fora quando λ é positivo e radialmente para dentro quando λ é negativo O módulo do campo elétrico E em um ponto depende apenas da distância radial entre o ponto e o fio Essas propriedades de simetria sugerem o uso de uma superfície gaussiana cilíndrica com um raio arbitrário r e um comprimento arbitrário l coaxial ao fio e com suas extremidades perpendiculares ao fio Figura 2219 EXECUTAR o fluxo elétrico através das bases do cilindro é igual a zero porque o campo elétrico radial é paralelo aos planos dessas bases logo E n0 Para a superfície lateral do cilindro temos E nEE em todos os pontos Se λ fosse negativo teríamos E nEE em todos os pontos A área da superfície lateral é igual a 2πrl portanto o fluxo através dela e portanto o fluxo elétrico total ΦE através da superfície gaussiana é EA2πrlE A carga interna total é Qintλl Usando a lei de Gauss Equação 228 obtemos ΦE2πrlEλlε0 e E12πε0 λr campo de um fio infinito carregado Esse resultado é igual ao encontrado no Exemplo 2110 por meio de uma técnica muito mais trabalhosa Quando λ é negativo o campo elétrico E está orientado radialmente para dentro do fio e na expressão anterior para E devemos interpretar λ como o módulo valor absoluto da carga por unidade de comprimento do fio AVALIAR vimos no Exemplo 2110 que embora a carga inteira sobre o fio contribua para o campo elétrico em qualquer ponto somente a parte Qintλl que está no interior da superfície fechada deve ser considerada quando aplicamos a lei de Gauss Não há nada inconsistente nesse raciocínio é preciso toda a carga para que o campo elétrico possua as propriedades que nos permitem calcular ΦE de uma maneira tão simples e a lei de Gauss sempre se aplica apenas para cargas englobadas Se o fio é curto a simetria do fio infinito não existe e E não é uniforme ao longo da superfície gaussiana cilíndrica coaxial Nesse caso a lei de Gauss não é útil para determinar Φ devemos resolver o problema Continua Continuação usando a técnica mais trabalhosa de integração empregada no Exemplo 2110 Podemos usar uma superfície gaussiana semelhante à indicada na Figura 2219 para mostrar que o campo elétrico para os pontos externos de um cilindro muito longo uniformemente carregado é igual ao campo da mesma carga se estivesse concentrada sobre uma linha ao longo de seu eixo veja o Problema 2241 Também podemos calcular o campo elétrico no espaço entre um cilindro carregado e um cilindro oco coaxial em seu exterior veja o Problema 2239 Figura 2219 Uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial é usada para a determinação do campo elétrico produzido no exterior de um fio carregado infinitamente longo EXEMPLO 227 CAMPO DE UMA CARGA DISTRIBUÍDA AO LONGO DE UM PLANO INFINITO FINO Determine o campo elétrico produzido por um plano infinito fino com uma densidade superficial de carga uniforme positiva σ SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR no Exemplo 2111 Seção 215 vimos que o campo elétrico E de um plano infinito uniformemente carregado é normal ao plano e que seu módulo em um ponto não depende da distância entre o ponto e a placa Essas propriedades de simetria sugerem o uso de uma superfície gaussiana cilíndrica com um eixo perpendicular ao plano carregado e cujas bases possuam área A Figura 2220 EXECUTAR o fluxo elétrico sobre a superfície lateral do cilindro é igual a zero porque E n0 O fluxo em cada uma das bases do cilindro é igual a EA porque E nEE em todos os pontos Portanto o fluxo elétrico total em ambas as bases logo o fluxo elétrico total ΦE através da superfície gaussiana é igual a 2EA A carga líquida no interior da superfície gaussiana é QintσA Usando a lei de Gauss obtemos 2EA σA ε0 e E σ 2ε0 campo de um plano carregado infinito Caso σ fosse negativa E estaria orientado para dentro do plano o fluxo elétrico através da superfície gaussiana na Figura 2220 seria negativo e σ na expressão Eσ2ε0 designaria o módulo valor absoluto da densidade de carga AVALIAR encontramos o mesmo resultado para o campo elétrico de um plano carregado infinito no Exemplo 2111 Seção 215 O cálculo era muito mais complexo e envolveu uma integral desafiadora Em razão da simetria oportuna a lei de Gauss facilita muito a resolução deste problema Figura 2220 Uma superfície gaussiana cilíndrica é usada para determinar o campo elétrico produzido por um plano carregado infinito EXEMPLO 228 CAMPO ENTRE DUAS PLACAS PARALELAS COM CARGAS OPOSTAS Duas placas paralelas grandes possuem cargas com módulos iguais mas com sinais opostos as densidades superficiais das cargas são σ e σ Determine o campo elétrico na região entre as duas placas SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR o campo elétrico é indicado na Figura 2221a Como cargas de sinais opostos se atraem a maior parte delas se acumula nas superfícies opostas das placas Algumas cargas permanecem nas superfícies externas das placas de modo que existe certo espalhamento e encurvamento das linhas de campo nas bordas das placas Contudo quando as placas são muito grandes em comparação à distância entre elas as cargas nas superfícies externas são muito pequenas e desprezamos os efeitos de encurvamento exceto sobre as bordas Nesse caso podemos supor que o campo elétrico seja uniforme na região entre as placas como indicado na Figura 2221b e que as cargas se distribuam uniformemente sobre as superfícies planas opostas Para explorar essa simetria desenhamos as superfícies gaussianas sombreadas S1 S2 S3 e S4 Essas superfícies são cilindros que possuem bases com área A uma base de cada cilindro está no interior de uma das placas condutoras Continua Continuação EXECUTAR para a superfície S1 a base da esquerda está no interior da placa positiva 1 Como o campo elétrico é igual a zero no interior da parte maciça de qualquer condutor em equilíbrio eletrostático não existe nenhum fluxo elétrico através dessa base O campo elétrico entre as placas é perpendicular à base da direita portanto nessa base o módulo E é igual a E e o fluxo elétrico é igual a EA esse valor é positivo visto que E está orientado para fora da superfície gaussiana Não existe nenhum fluxo elétrico através da superfície lateral do cilindro visto que E é paralelo a ela Logo a integral de fluxo elétrico total da lei de Gauss é igual a EA A carga líquida no interior da superfície gaussiana é igual a σA Usando a Equação 228 obtemos EAσAε0 portanto temos Eσε0 campo entre placas condutoras carregadas com cargas opostas Figura 2221 Campo elétrico produzido por duas placas carregadas com cargas opostas a Desenho realista O campo elétrico entre as placas é quase uniforme apontando do plano positivo para o negativo b Modelo idealizado No caso idealizado desprezamos os efeitos de encurvamento nas bordas e consideramos uniforme o campo entre as placas Superfícies gaussianas cilíndricas vista lateral O campo elétrico é uniforme sua direção é perpendicular ao plano das placas e seu módulo em um ponto é independente da distância entre o ponto e qualquer uma das placas Esse mesmo resultado pode ser obtido usandose a superfície gaussiana S4 As superfícies gaussianas S2 e S3 mostram que E0 à esquerda do plano 1 e à direita do plano 2 respectivamente Deixamos esses cálculos para você veja o Exercício 2227 AVALIAR no Exemplo 2112 obtivemos os mesmos resultados usando o princípio da superposição para o campo elétrico Os campos produzidos pelos planos de cargas um em cada placa são E1 e E2 pelo Exemplo 227 ambos possuem módulo σ2ε0 O campo elétrico resultante em qualquer ponto é dado pela soma vetorial EE1E2 Nos pontos a e c indicados na Figura 2221b E1 e E2 possuem sentidos opostos e a resultante é igual a zero No ponto b E1 e E2 possuem o mesmo sentido logo a resultante possui módulo Eσε0 exatamente como acabamos de concluir usando a lei de Gauss EXEMPLO 229 CAMPO DE UMA ESFERA UNIFORMEMENTE CARREGADA Uma carga positiva Q é distribuída uniformemente ao longo do volume de uma esfera isolante de raio R Determine o módulo do campo elétrico em um ponto P a uma distância r do centro da esfera SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR assim como no Exemplo 225 o sistema possui simetria esférica Logo podemos usar as conclusões desse exemplo sobre a direção o sentido e o módulo de E Para usarmos essa simetria escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raio r concêntrica à distribuição de cargas EXECUTAR pela simetria a direção do vetor E é radial em todos os pontos da superfície gaussiana logo EE e o módulo do campo elétrico E é o mesmo em todos os pontos sobre a superfície Portanto o fluxo elétrico total através da superfície gaussiana é igual ao produto de E pela área total da superfície A4πr² ou seja ΦE4πr²E A quantidade de cargas no interior da superfície gaussiana depende de r Para calcular E dentro da esfera escolhemos rR A densidade volumétrica de carga ρ é igual à carga Q dividida pelo volume total da esfera de raio R ρQ4πR³3 O volume Vint englobado pela superfície gaussiana é igual a 43πr³ de modo que a carga total Qint no interior dessa superfície é QintρVintQ4πR³343πr³Qr³R³ Usando a lei de Gauss Equação 228 obtemos 4πr²EQε0 r³R³ ou E14πε0 QrR³ campo no interior de uma esfera uniformemente carregada Continua O módulo do campo elétrico é proporcional à distância r entre o ponto do campo e o centro da esfera veja o gráfico de E em função de r na Figura 2222 Para determinarmos E fora da esfera escolhemos r R Essa superfície engloba a carga total da esfera logo Qint Q e usando a lei de Gauss obtemos 4πr²E Qε₀ ou E 14πε₀ Qr² campo no exterior de uma esfera uniformemente carregada Para qualquer corpo com uma distribuição de cargas com simetria esférica o campo elétrico para pontos situados no exterior desse corpo é o mesmo que o produzido caso toda carga do corpo estivesse concentrada no centro da esfera A Figura 2222 mostra um gráfico dessa situação Quando a carga é negativa E aponta radialmente para dentro e Q é interpretado como o módulo valor absoluto da carga nas expressões para E AVALIAR note que quando substituímos r R em qualquer uma das expressões de E obtemos o mesmo resultado E Q4πε₀R² para o módulo do campo elétrico na superfície da esfera Isso decorre do fato de o módulo E ser uma função contínua de r Em contraste para o caso da esfera condutora do Exemplo 225 o módulo do campo elétrico é uma função descontínua no ponto r R ela salta de um valor E 0 em um ponto interno até E Q4πε₀R² em um ponto externo quase sobre a superfície Geralmente o campo elétrico E sofre uma descontinuidade em módulo direção eou sentido sempre que existir uma película carregada como na superfície de uma esfera condutora carregada Exemplo 225 na superfície de um plano infinito carregado Exemplo 227 ou na superfície de uma placa condutora Exemplo 228 A técnica aplicada neste exemplo pode ser usada para qualquer corpo com uma distribuição de cargas com simetria esférica até mesmo quando a distribuição não é uniforme Esses tipos de distribuição ocorrem em muitos átomos e em núcleos atômicos razão pela qual a lei de Gauss é uma ferramenta útil na física atômica e na física nuclear EXEMPLO 2210 CARGA SOBRE UMA ESFERA OCA Uma esfera oca com paredes finas possui raio de 0250 m e uma quantidade desconhecida de carga distribuída uniformemente sobre sua superfície A uma distância de 0300 m do centro da esfera o campo elétrico aponta radialmente para o centro e possui módulo 180 10² NC Quanta carga há na esfera SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR a distribuição de carga possui simetria esférica Assim como nos exemplos 225 e 229 ocorre que o campo elétrico é radial em todos os pontos e seu módulo é uma função somente da distância radial r do centro da esfera Usamos uma superfície gaussiana esférica que é concêntrica à distribuição de carga e que passa pelo ponto de interesse em r 0300 m A variávelalvo do problema é Qint q EXECUTAR a distribuição de carga é a mesma que se a carga estivesse sobre a superfície de uma esfera condutora com raio de 0250 m Logo podemos tomar emprestados os resultados do Exemplo 225 Notamos que o campo elétrico neste caso está direcionado para a esfera então q deve ser negativa Além disso como o campo elétrico está direcionado para a superfície gaussiana E E e ΦE E dA E4πr² Pela lei de Gauss o fluxo é igual à carga q sobre a esfera que está toda englobada pela superfície gaussiana dividida por ε₀ Explicitando q obtemos q E4πε₀r² 180 10² NC4π 8854 10¹² C²Nm²0300 m² 180 10⁹ C 180 nC AVALIAR para determinar a carga tivemos de determinar o campo elétrico em todos os pontos sobre a superfície gaussiana para podermos calcular a integral do fluxo Isso foi possível neste caso porque a distribuição de carga é altamente simétrica Quando porém a distribuição de carga é irregular ou carece de simetria a lei de Gauss não é muito útil para o cálculo da distribuição de carga a partir do campo ou viceversa TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 224 Você coloca uma determinada quantidade de carga Q no condutor de formato irregular mostrado na Figura 2217 Conhecendo seu tamanho e formato você pode usar a lei de Gauss para calcular o campo elétrico em uma posição arbitrária fora do condutor BIO Aplicação Distribuição de cargas no interior de uma célula nervosa O interior de uma célula nervosa humana contém íons positivos de potássio K e moléculas de proteínas negativas Pr Os íons de potássio podem sair da célula através da membrana celular mas as moléculas de proteínas que são muito maiores não Como resultado o interior da célula tem uma carga líquida negativa O fluido no exterior da célula tem uma carga positiva que equilibra essa situação O fluido no interior da célula é um bom condutor de modo que as moléculas de Pr se distribuem sobre a superfície externa do fluido ou seja na superfície interna da membrana celular que é um isolante Isso acontece independentemente da forma da célula 225 CARGAS EM CONDUTORES Já vimos que no equilíbrio eletrostático ou seja quando não existe movimento das cargas o campo elétrico em qualquer ponto no interior do condutor é igual a zero e qualquer excesso de carga de um condutor sólido deve ficar localizado inteiramente sobre sua superfície Figura 2223a O que ocorre no entanto quando existe uma cavidade no interior do condutor Figura 2223b Quando não existe nenhuma carga no interior da cavidade podemos usar uma superfície gaussiana como a superfície A que está contida completamente na parte maciça do condutor para mostrar que a carga total sobre a superfície da cavidade deve ser igual a zero pois E 0 sobre todos os pontos da superfície gaussiana De fato podemos mostrar que não existe carga sobre nenhum ponto da superfície da cavidade Deixamos para fazer uma demonstração detalhada desse resultado no Capítulo 23 Suponha que um pequeno corpo com carga q seja colocado no interior de uma cavidade contida em um condutor Figura 2223c O condutor está descarregado e isolado da carga q Novamente E 0 sobre todos os pontos da superfície A logo de acordo com a lei de Gauss a carga total no interior da superfície deve ser igual a zero Concluímos portanto que deve existir uma carga q distribuída sobre a superfície da cavidade atraída pela carga q existente no interior dela A Figura 2223 Cálculo do campo elétrico no interior de um condutor carregado a Condutor sólido com carga qc E 0 no interior do condutor A carga qc localizase inteiramente sobre a superfície do condutor A situação é eletrostática portanto E 0 no interior do condutor b O mesmo condutor com uma cavidade interna Superfície gaussiana arbitrária A qc Cavidade Como E 0 em todos os pontos no interior do condutor o campo elétrico em todos os pontos sobre a superfície gaussiana deve ser igual a zero c Uma carga isolada q colocada dentro da cavidade qc q q Para que E seja igual a zero em todos os pontos sobre a superfície gaussiana a superfície da cavidade deve ter carga total igual a q carga total do condutor deve continuar igual a zero o que permite concluir que uma carga q deve aparecer na superfície externa do material ou na parte maciça do condutor Porém já demonstramos que em equilíbrio eletrostático não pode existir nenhum excesso de carga na parte maciça de um condutor Assim a carga q deve aparecer na superfície externa Usando o mesmo raciocínio se o condutor estivesse inicialmente carregado com uma carga qC surgiria uma carga qC q em sua superfície externa depois que a carga q fosse colocada no interior da cavidade EXEMPLO CONCEITUAL 2211 UM CONDUTOR COM CAVIDADE Um condutor com uma cavidade possui carga total igual a 7 nC A carga puntiforme no interior da cavidade isolada do condutor é igual a 5 nC Qual deve ser a carga existente em cada superfície interna e externa do condutor SOLUÇÃO A Figura 2224 mostra a situação Como a carga no interior da cavidade é q 5 nC a carga sobre a superfície interna da cavidade é q 5 nC 5 nC O condutor possui uma carga total igual a 7 nC que não pode estar localizada na parte maciça do condutor Como já existe uma carga igual a 5 nC na superfície interna da cavidade então deve existir uma carga 7 nC 5 nC 2 nC sobre a superfície externa do condutor Figura 2224 Nossa esquematização do problema O campo elétrico no interior do condutor sólido é igual a zero e portanto o fluxo pela superfície gaussiana indicada é nulo de modo que a carga na parede da cavidade deve ser oposta à da carga puntiforme Carga líquida 7 nC Superfície gaussiana 5 nC 5 nC sobre a parede da cavidade 2 nC sobre a superfície externa Teste experimental da lei de Gauss Podemos agora descrever um experimento histórico ilustrado na Figura 2225 Colocamos um recipiente condutor sobre uma base isolante O recipiente está inicialmente descarregado A seguir suspendemos uma bola metálica carregada usando um fio isolante Figura 2225a introduzimos a bola no balde e o fechamos com a tampa Figura 2225b Nas paredes do recipiente surgem cargas induzidas como indicado Em seguida deixamos a bola tocar a parede interna Figura 2225c A superfície da bola tornase uma parte da superfície da cavidade Agora a situação é semelhante à descrita na Figura 2223b a lei de Gauss exige que a carga total sobre a superfície da cavidade seja igual a zero Portanto a bola perde Figura 2225 a Com um fio isolante suspendemos uma esfera condutora carregada sobre um recipiente condutor apoiado sobre uma base isolante b Introduzimos a esfera no recipiente e o fechamos com a tampa c A esfera toca a superfície interna do recipiente a Fio isolante Esfera condutora carregada Recipiente metálico Base isolante b Tampa metálica A esfera carregada induz cargas no interior e no exterior do recipiente c Tampa metálica Quando a bola toca o recipiente ela passa a fazer parte da superfície interna toda sua carga é transferida para o recipiente e se acumula em sua superfície externa Em um tipo de soldagem a carga elétrica flui entre a ferramenta e as partes de metal a serem soldadas Isso produz um arco luminoso que funde as peças por causa de sua alta temperatura Por que a ferramenta deve ser man tida próxima às peças a serem soldadas i Para maximizar a diferença de potencial entre a ferramenta e as peças ii para minimizar essa diferença de potencial iii para maximizar o campo elétrico entre a ferra menta e as peças iv para mi nimizar esse campo elétrico v mais de uma das alternativas OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 231 Como calcular a energia potencial elétrica de um conjunto de cargas 232 O significado e a importância do potencial elétrico 233 Como calcular o potencial elétrico que um conjunto de cargas produz em um ponto no espaço 234 Como usar superfícies equipotenciais para visualizar como o potencial elétrico varia no espaço 235 Como usar o potencial elétrico para calcular o campo elétrico Revendo conceitos de 7174 Forças conservadoras e energia potencial 211216 Força elétrica e campo elétrico 224 225 Aplicações da lei de Gauss 23 POTENCIAL ELÉTRICO E ste capítulo trata da energia associada às interações elétricas Toda vez que você liga uma lâmpada ouve um CD ou usa um aparelho eletrodoméstico está utilizando a energia elétrica um ingrediente indispensável em nossa so ciedade tecnológica Nos capítulos 6 e 7 introduzimos os conceitos de trabalho e energia no contexto da mecânica agora vamos combinar esses conceitos com tudo aquilo que você aprendeu sobre cargas elétricas forças elétricas e campos elétricos Assim como o conceito de energia possibilitou a solução de alguns tipos de problemas mecânicos de forma muito simples a aplicação das noções de energia facilita a solução de uma série de problemas relativos à eletricidade Quando uma partícula carregada se desloca em um campo elétrico este exerce uma força que realiza um trabalho sobre a partícula Esse trabalho realizado pode ser sempre expresso em termos da energia potencial elétrica Assim como a ener gia potencial gravitacional depende da altura em que se encontra a massa sobre a superfície terrestre a energia potencial elétrica depende da posição da partícula carregada no campo elétrico Descreveremos a energia potencial elétrica usando um conceito novo chamado potencial elétrico ou simplesmente potencial Nos circuitos a diferença de potencial entre dois pontos geralmente é chamada de vol tagem Os conceitos de potencial e de voltagem são cruciais para entendermos o funcionamento de um circuito elétrico e possuem aplicações igualmente importan tes nos feixes de elétrons utilizados em radioterapia no tratamento do câncer em aceleradores de partículas e em muitos outros dispositivos 231 ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA Os conceitos de trabalho energia potencial e conservação da energia foram ex tremamente úteis em nossos estudos de mecânica Nesta seção mostraremos que esses conceitos são igualmente úteis para entender e analisar interações elétricas BookSEARSVol3indb 75 101115 657 PM 94 Física III desloca de um ponto a outro sobre essa superfície a energia potencial elétrica q0V permanece constante Em uma região onde existe um campo elétrico podemos construir uma superfície equipotencial em qualquer local Nos diagramas costuma ser suficiente mostrar algumas superfícies equipotenciais mais representativas em geral igualmente espaçadas para indicar que a diferença de potencial entre duas superfícies adjacentes é constante Nenhum ponto pode possuir dois potenciais dife rentes portanto as superfícies equipotenciais não podem se cruzar nem se tangenciar Superfícies equipotenciais e linhas de campo Como a energia potencial não varia quando uma carga de teste se desloca ao longo de uma superfície equipotencial o campo elétrico não pode realizar trabalho sobre essa carga Portanto deve ser perpendicular à superfície em todos os seus pontos de modo que a força elétrica q0 seja sempre perpendicular ao desloca mento de uma carga que se move sobre a superfície As linhas de campo elétrico e as superfícies equipotenciais são sempre mutuamente perpendiculares Em geral uma linha de campo é uma curva e uma superfície equipotencial é uma super fície curva No caso particular de um campo elétrico uniforme para o qual as linhas de campo são retas paralelas e igualmente espaçadas as superfícies equipotenciais são planos perpendiculares a essas retas A Figura 2323 mostra diversos arranjos de cargas As linhas de campo elétrico estão situadas no plano das cargas essas linhas cortam as obtidas pela interseção das superfícies equipotenciais com o plano da página Na realidade as superfícies Figura 2322 As linhas de contorno em um mapa topográfico são curvas que ligam pontos com a mesma altura e portanto com energia potencial gravitacional constante Figura 2323 Seções retas das superfícies equipotenciais linhas azuis e das linhas de campo elétrico linhas vermelhas para conjuntos de cargas puntiformes A diferença de potencial entre duas superfícies adjacentes é constante Compare estes diagramas com os da Figura 2128 que indicavam somente as linhas do campo elétrico V 70 V V 50 V V 30 V V 50 V V 70 V V 70 V V 50 V V 30 V V 70 V V 50 V V 30 V V 0 V V 30 V c Duas cargas positivas iguais Seções retas das superfícies equipotenciais Linhas de campo elétrico b Um dipolo elétrico a Uma única carga positiva BookSEARSVol3indb 94 101115 657 PM OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 241 A natureza dos capacitores e como calcular a grandeza que mede sua capacidade de armazenar energia 242 Como analisar capacitores conectados em uma rede 243 Como calcular a quantidade de energia armazenada em um capacitor 244 O que são dielétricos e como eles aumentam a eficácia dos capacitores 245 Como um dielétrico no interior de um capacitor carregado se torna polarizado 246 Como usar a lei de Gauss quando dielétricos estão presentes Revendo conceitos de 2122 15217 Polarização campo de condutores carregados dipolo elétrico 223225 Lei de Gauss 2332 34 Potencial de um condutor carregado potencial produzido por uma distribuição de carga cilíndrica Q uando você estica o elástico de um estilingue ou puxa uma flecha para trás encurvando um arco está armazenando energia mecânica sob a forma de energia potencial Um capacitor é um dispositivo que armazena energia po tencial elétrica e carga elétrica Para fazer um capacitor basta colocar um isolante entre dois condutores Para armazenar energia nesse dispositivo transfira carga de um condutor para outro de modo que um deles fique com uma carga negativa e o outro com carga igual mas sinal positivo É necessário realizar um trabalho para deslocar essas cargas até que se estabeleça uma diferença de potencial resultante entre os condutores e o trabalho realizado é armazenado sob a forma de energia potencial elétrica Os capacitores possuem inúmeras aplicações práticas como em unidades de flash das máquinas fotográficas em um laser pulsante nos sensores de airbags automotivos ou em receptores de rádio e televisão Encontraremos muitas dessas aplicações nos próximos capítulos principalmente no Capítulo 31 no qual veremos o papel crucial desempenhado pelos capacitores nos circuitos de corrente alternada que permeiam nossa sociedade tecnológica Neste capítulo porém a ênfase recairá sobre as propriedades fundamentais dos capacitores Para um capacitor em particu lar a razão entre a carga acumulada em cada condutor e a diferença de potencial en tre os condutores é uma constante chamada capacitância A capacitância depende das dimensões das formas dos condutores e do material caso haja existente entre eles Em comparação ao caso no qual existe somente vácuo entre os condutores a capacitância tornase maior quando há um material isolante ou dielétrico entre eles Isso resulta de uma redistribuição das cargas chamada polarização que ocorre no interior do material O estudo da polarização nos fornecerá maior compreensão das propriedades elétricas da matéria O estudo dos capacitores também nos fornece uma nova maneira de pensar sobre a energia potencial elétrica A energia armazenada em um capacitor carregado está A energia utilizada pela uni dade de flash de uma má quina fotográfica é armazenada em um capacitor que consiste em dois condutores separados por uma pequena distância e que possuem cargas opostas Caso a quantidade de carga nos condutores seja duplicada qual será o fator de aumento da energia armazenada i 2 ii 2 iii 22 iv 4 v 8 CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS 24 BookSEARSVol3indb 111 101115 658 PM Capítulo 24 Capacitância e dielétricos 133 cial induzida si Mas agora podemos usar a Equação 2416 desenvolvida para essa mesma situação a fim de simplificar a equação eliminando si A Equação 2416 fornece si s a1 1 Kb ou s si s K Combinando essa relação à Equação 2421 encontramos EA sA KP0 ou KEA sA P0 2422 A Equação 2422 mostra que o fluxo de K e não o fluxo de através da superfície gaussiana na Figura 2422 é igual à carga livre s no interior da super fície A dividida por P0 Verificase que para qualquer superfície gaussiana desde que a carga induzida seja proporcional ao campo elétrico no material é possível reescrever a lei de Gauss na forma 2423 Lei de Gauss em um dielétrico Constante dielétrica Carga livre total no interior da superfície Constante elétrica P0 Qintelivre KE dA S S Integral de superfície de KE sobre uma superfície fechada S em que Qintelivre é a carga livre ou seja a carga não ligada existente no interior da superfície gaussiana A vantagem desse resultado é que o lado direito contém somente a carga livre sobre o condutor e não a carga ligada induzida De fato embora não tenhamos demonstrado a Equação 2423 permanece válida mesmo quando diferentes partes da superfície gaussiana estão imersas em dielétricos com diferentes valores de K desde que o valor de K em cada dielétrico seja independente do campo elétrico o que geralmente é o caso quando os campos elétricos não são muito fortes e que adotemos o valor apropriado de K para cada ponto da superfície gaussiana Use a lei de Gauss para calcular a capacitância do capacitor esfé rico do Exemplo 243 Seção 241 considerando que o volume entre as cascas esféricas concêntricas é preenchido por um óleo isolante com uma constante dielétrica K SOLUÇÃO IDENTIFICAR E PREPARAR a simetria esférica do problema não se altera pela presença do dielétrico portanto como fizemos no Exemplo 243 usaremos uma superfície gaussiana esférica de raio r entre as duas esferas Como um dielétrico está presente aplicaremos a lei de Gauss na forma da Equação 2423 EXECUTAR pela Equação 2423 KE S dA S KE dA KE dA 1KE2 14pr22 Q P0 E Q 4pKP0r2 Q 4pPr2 EXEMPLO 2412 UM CAPACITOR ESFÉRICO COM DIELÉTRICO Continua BookSEARSVol3indb 133 101115 658 PM Em uma lanterna como o fluxo de corrente para fora da lâmpada se compara ao fluxo da corrente para dentro dela i A corrente para fora é menor que a corrente para dentro ii a corrente para fora é maior que a corrente para dentro iii a corrente para fora é igual à corrente para dentro iv a resposta depende do bri lho da lâmpada OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 251 O significado de corrente elétrica e como as cargas se movem em um condutor 252 O que significam a resistividade e a condutividade de uma substância 253 Como calcular a resistência de um condutor a partir de suas dimensões e de sua resistividade 254 Como uma força eletromotriz fem possibilita o fluxo de uma corrente em um circuito 255 Como fazer cálculos que envolvam energia e potência em circuitos 256 Como usar um modelo simples para compreender o fluxo de corrente em metais Revendo conceitos de 177 Condutividade térmica 232 Voltímetros campo elétrico e potencial elétrico 244 Ruptura dielétrica em isolantes 25 CORRENTE RESISTÊNCIA E FORÇA ELETROMOTRIZ N os quatro capítulos anteriores estudamos as interações de cargas elétricas em repouso agora estamos preparados para estudar as cargas em movimento Uma corrente elétrica é o movimento de cargas de uma região para outra Quando esse movimento ocorre ao longo de uma trajetória que forma um circuito fechado a trajetória denominase circuito elétrico Um circuito elétrico fornece basicamente um caminho para transferir ener gia de um local para outro À medida que as partículas carregadas fluem através do circuito a energia potencial elétrica é transferida de uma fonte como uma bateria ou um gerador até um dispositivo no qual essa energia é armazenada ou então convertida em outras formas de energia em som de um sistema estéreo em calor de uma torradeira ou em luz de uma lâmpada Os circuitos elétricos são úteis porque permitem que a energia seja transportada sem partes móveis além do movimento das próprias partículas carregadas Os circuitos elétricos são es senciais em computadores sistemas de transmissão e recepção de TV e sistemas domésticos e industriais de distribuição de energia elétrica Seu sistema nervoso é um circuito elétrico especializado que transmite sinais vitais de uma parte do corpo para outra No Capítulo 26 veremos como analisar os circuitos elétricos e examinaremos algumas aplicações práticas dos circuitos Antes disso porém devemos estudar as propriedades básicas dos circuitos elétricos apresentadas neste capítulo Para co meçar descreveremos as propriedades dos condutores e como elas dependem da temperatura Aprenderemos por que um fio de cobre curto grosso e frio é melhor condutor que um fio de aço longo fino e quente Estudaremos as propriedades das baterias e como elas produzem corrente e transferência de energia em um circuito Para essa análise usaremos os conceitos de corrente diferença de potencial ou voltagem resistência e força eletromotriz Finalmente faremos um estudo da corrente elétrica através de um material usando um ponto de vista microscópico BookSEARSVol3indb 145 101115 659 PM 26 Em um circuito complexo como o desta placa é pos sível conectar vários resistores com diferentes resistências de modo que todos eles possuam a mesma diferença de potencial i Sim e a corrente será igual através de todos os resistores ii sim porém a corrente pode ser diferente através de resis tores diferentes iii não iv a resposta depende do valor da diferença de potencial CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 261 Como analisar circuitos com múltiplos resistores em série ou em paralelo 262 Regras que podem ser aplicadas a qualquer circuito com mais de uma malha 263 Como usar amperímetro voltímetro ohmímetro ou potenciômetro em um circuito 264 Como analisar circuitos que possuem tanto um resistor quanto um capacitor 265 Como a energia elétrica é distribuída em uma residência Revendo conceitos de 242 Capacitores em série e em paralelo 254 Corrente elétrica amperímetros e voltímetros 255 Potência em um circuito S e você olhar o interior de um telefone celular um computador ou sob o capô de seu carro notará circuitos muito mais complexos que os circuitos simples estudados no Capítulo 25 Tanto os circuitos conectados por fios como os impressos integrados em um chip semicondutor todos geralmente incluem diversas fontes resistores e outros elementos interconectados em uma rede Neste capítulo estudaremos métodos para analisar essas redes incluindo como calcular correntes voltagens e outras propriedades desconhecidas dos elementos do circuito Vamos aprender a determinar a resistência equivalente para resistores conectados em série ou em paralelo Para circuitos mais gerais que formam redes precisamos usar duas regras conhecidas como leis de Kirchhoff Uma delas decorre do princípio da conservação da carga aplicada a uma junção a outra do princípio da conservação da energia aplicada a uma carga que se desloca em torno de um circuito fechado Discutiremos os instrumentos necessários para medir diversas grandezas elétricas Também analisaremos circuitos com resistores e capacitores para os quais a corrente varia com o tempo O principal assunto deste capítulo são os circuitos de corrente contínua cc nos quais o sentido da corrente não varia com o tempo As lanternas e o sistema elétrico de um automóvel são exemplos de circuitos de corrente contínua Os apa relhos eletrodomésticos são alimentados por corrente alternada ca na qual a corrente oscila alternando seu sentido para a frente e para trás O mesmo princípio de análise de circuitos pode ser aplicado para esses dois tipos de circuito elétrico e concluímos o capítulo analisando o sistema elétrico de uma casa Os circuitos com corrente alternada serão estudados em detalhes no Capítulo 31 261 RESISTORES EM SÉRIE E EM PARALELO Resistores existem em todos os tipos de circuito desde secadores de cabelos e aquecedores espaciais até circuitos que dividem ou limitam correntes e voltagens BookSEARSVol3indb 180 101115 700 PM Capítulo 26 Circuitos de corrente contínua 203 Figura 2625 a O excesso de corrente fundirá o fio delgado de liga de chumbo e estanho que percorre a extensão do fusível dentro da cápsula transparente b A mudança neste disjuntor do circuito ocorrerá se a corrente máxima permitida for excedente a b quando a corrente máxima superar o valor especificado Figura 2625b O disjuntor tem a vantagem de poder ser armado depois que tiver sido desarmado voltando posteriormente a funcionar ao passo que um fusível depois de queimado deve ser substituído ATENÇÃO Fusíveis Quando seu sistema possui um fusível e você usa muitos aparelhos elétricos na mesma tomada o fusível se queima Não substitua o fusível por outro com especificação de corrente mais elevada se fizer isso correse o risco de incêndio por superaquecimento A única solução mais segura consiste em distribuir os aparelhos elé tricos em diversos circuitos As cozinhas modernas geralmente possuem três ou quatro circuitos separados de 20 A O contato entre um fio neutro e outro com tensão produz um curtocircuito Esta situação que pode ser provocada pela perda de isolamento ou por uma série de falhas mecânicas permite um caminho com resistência baixa gerando uma corrente muito elevada que produz incêndio ou fusão dos fios quando o sistema não é protegido por um fusível ou disjuntor veja o Exemplo 2510 na Seção 255 Uma situação igualmente perigosa ocorre quando um fio se parte formando um circuito aberto Isso é perigoso por causa das centelhas que podem surgir no ponto de contato exposto Na prática aprovada um fusível ou disjuntor é colocado somente no fio que possui tensão nunca no fio neutro Se um fusível fosse instalado no fio neutro e surgisse uma corrente elevada produzida por perda de isolamento ou qualquer outro motivo ele se fundiria O fio com tensão continuaria ativo no circuito e você poderia levar um choque ao tocar no fio ou em uma torneira Por um motivo semelhante o interruptor de parede de uma lâmpada sempre deve ser instalado no fio com tensão e nunca no fio neutro Uma proteção adicional contra os perigos de choque é proporcionada pelo fio terra incluído nas instalações modernas Esse condutor geralmente é ligado ao terminal redondo ou em forma de U das tomadas de parede com três orifícios e dos plugues com três pinos de diversos aparelhos Ele é conectado ao fio neutro da linha no painel de entrada O fio terra geralmente não conduz nenhuma corrente porém ele conecta a caixa metálica o invólucro ou o gabinete do aparelho à terra Quando o fio que possui tensão entra em contato acidentalmente com a caixa ou com o invólucro o fio terra permite a passagem da corrente e o fusível se queima Sem a presença do fio terra a caixa ou o invólucro poderiam ficar com um potencial de 120 V acima da terra Então se você tocasse ao mesmo tempo no aparelho e em uma torneira ou até mesmo em um piso condutor poderia receber um choque perigoso Figura 2626 Em algumas situações especialmente no caso de tomadas Figura 2626 a Quando uma furadeira elétrica com algum defeito de isolamento é conectada a uma tomada comum de parede por meio de um plugue com dois pinos uma pessoa pode receber um choque b Quando a mesma furadeira elétrica com defeito é conectada por meio de um plugue com três pinos em uma tomada com três fios não há choque porque a carga elétrica em vez de fluir pelo seu corpo flui para a terra pelo terceiro fio Quando a corrente que flui para a terra é elevada o fusível se queima b Plugue com três pinos a Plugue com dois pinos BookSEARSVol3indb 203 101115 700 PM 27 CAMPO MAGNÉTICO E FORÇAS MAGNÉTICAS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 271 As propriedades dos ímãs e como eles interagem entre si 272 A natureza da força que um campo magnético exerce sobre uma partícula carregada em movimento 273 O quão diferentes são as linhas do campo magnético e as linhas do campo elétrico 274 Como analisar o movimento de uma partícula carregada em um campo magnético 275 Algumas aplicações práticas de campos magnéticos em química e física 276 Como analisar as forças magnéticas que atuam sobre condutores que conduzem correntes 277 Como os circuitos de corrente se comportam quando colocados em um campo magnético 278 Como funcionam os motores de corrente contínua 279 Como as forças magnéticas fazem surgir o efeito Hall Revendo conceitos de 110 Produto vetorial de dois vetores 34 54 Movimento circular uniforme 101 Torque 216 217 Linhas de campo elétrico e momento de dipolo elétrico 222 223 Fluxo elétrico e lei de Gauss 251 Corrente elétrica 263 Galvanômetros T odas as pessoas utilizam uma força magnética Ela está presente em motores elétricos em fornos de microondas em altofalantes nas impressoras de computadores e nas unidades de disco usadas em computadores Um dos aspectos mais familiares do magnetismo é o associado ao ímã permanente que atrai objetos de ferro não imantados e também atrai ou repele outro ímã A agulha de uma bússola alinhada ao campo magnético da Terra fornece um exemplo da interação mag nética Contudo a natureza fundamental do magnetismo é a interação produzida por cargas elétricas que se movem Diferentemente da força elétrica que atua sempre sobre uma carga quer ela esteja em movi mento quer esteja em repouso as forças magnéticas só atuam sobre cargas em movimento No Capítulo 21 estudamos que a força elétrica surge em duas etapas 1 uma carga produz um campo elétrico no espaço em sua vizinhança e 2 uma segunda carga reage a esse campo As forças magnéticas também surgem em duas etapas Em primeiro lugar uma carga em movimento ou um conjunto de cargas em movimento ou seja uma corrente elétrica produz um campo magnético A seguir uma segunda corrente ou carga em movimento reage a esse campo magnético e sofre a ação de uma força magnética Neste capítulo estudaremos a segunda etapa da interação magnética ou seja como as cargas em movimento reagem aos campos magnéti cos Estudaremos principalmente como calcular as forças magnéticas e os torques e descobriremos por que os ímãs conseguem atrair objetos metá licos como clipes de papel No Capítulo 28 completaremos a abordagem à interação magnética examinando como as cargas em movimento e as correntes produzem os campos magnéticos A agulha de uma bússola magnética aponta para o norte Esse alinhamento deve se a i uma força magnética na agulha ii um torque mag nético na agulha iii o campo magnético que a própria agulha produz iv as opções i e ii estão corretas v as opções i ii e iii estão corretas BookSEARSVol3indb 218 101115 701 PM Capítulo 27 Campo magnético e forças magnéticas 219 271 MAGNETISMO Os fenômenos magnéticos foram observados pela primeira vez há pelo menos cerca de 2500 anos em fragmentos de minério de ferro imantados nas proxi midades da antiga cidade de Magnésia agora chamada de Manisa no oeste da Turquia Esses fragmentos hoje são conhecidos como ímãs permanentes você provavelmente possui diversos ímãs permanentes presos na porta da geladeira de sua casa Verificouse que um ímã permanente exerce uma força sobre outro ímã ou sobre um pedaço de ferro não imantado Descobriuse que deixando uma haste de ferro em contato com um ímã natural ela se torna imantada Quando essa haste imantada flutua sobre a água ou é suspensa por um fio preso em seu centro ela tende a se alinhar com a direção nortesul A agulha de uma bússola comum nada mais é que um fragmento de ferro imantado como esse Antes de compreender a relação da interação magnética em termos de cargas em movimento as interações de ímãs permanentes e de agulhas de bússolas eram explicadas com base em polos magnéticos Quando um ímã permanente possui forma de barra podendo girar livremente uma de suas extremidades aponta para o norte Essa extremidade denominase polo norte ou polo N a outra extremidade é o polo sul ou polo S Os polos opostos se atraem e os polos iguais se repelem Figura 271 Um objeto que contém ferro porém não imantado ou seja quando não possui nenhuma tendência a apontar para o norte ou para o sul é atraído por qualquer um dos polos de um ímã permanente Figura 272 Essa é a atração que ocorre entre um ímã e a porta de aço de uma geladeira Por analogia à interação elé trica podemos descrever as interações mostradas nas figuras 271 e 272 afirmando que o ímã cria um campo magnético no espaço em torno dele e um segundo corpo sofre a ação desse campo A agulha de uma bússola tende a se alinhar ao campo magnético do local onde ela está A própria Terra é um ímã Seu Polo Norte geográfico está próximo do polo sul magnético razão pela qual o polo norte da agulha de uma bússola aponta para o norte O eixo de simetria do campo magnético da Terra não é paralelo ao eixo geo gráfico ou eixo de rotação de modo que a direção indicada pela agulha da bússola é ligeiramente desviada da direção geográfica nortesul Esse desvio que varia de um local para outro denominase declinação magnética ou variação magnética Além disso o campo magnético não é horizontal na maior parte dos pontos da su perfície terrestre o ângulo para cima ou para baixo indica a inclinação magnética Sobre os polos magnéticos o campo magnético é vertical A Figura 273 mostra um esboço do campo magnético da Terra As curvas cha madas de linhas do campo magnético mostram a direção e o sentido indicados pelas agulhas das bússolas em cada ponto essas linhas serão discutidas com detalhes na Seção 273 A direção do campo em cada ponto é definida pela força que o campo exerceria sobre um polo norte magnético situado no respectivo ponto Na Seção 272 descreveremos um modo mais fundamental para a definição do módulo da direção e do sentido de um campo magnético Polos magnéticos versus carga elétrica O conceito de polo magnético pode parecer semelhante ao de carga elétrica o polo norte e o polo sul podem parecer análogos a uma carga positiva e uma nega tiva Porém essa analogia pode causar confusão Embora existam cargas negativas e positivas isoladas não existe nenhuma evidência experimental da existência de um polo magnético isolado os polos magnéticos sempre existem formando pares Quando uma barra imantada é partida ao meio cada extremidade de cada pedaço constitui um polo Figura 274 A existência de um polo magnético isolado ou monopolo magnético teria consequências importantes para a física teórica Pes quisas intensas com o propósito de detectar monopolos magnéticos têm sido reali zadas porém até o momento nenhuma obteve êxito Figura 271 a Quando os polos opostos N e S ou S e N de um ímã estão muito próximos ocorre atração entre os ímãs b Quando os polos iguais N e N ou S e S de um ímã estão muito próximos ocorre repulsão entre os ímãs F F a Polos opostos se atraem F F b Polos iguais se repelem F F F F N S N S N S N S N S N S N S N S Figura 272 a Qualquer polo de um ímã atrai um objeto não imantado que contenha ferro como um prego b Um exemplo real desse efeito F a F F F b N S N S BookSEARSVol3indb 219 101115 701 PM 230 Física III região partículas com velocidade suficientemente elevada descrevem uma espi ral de uma extremidade para outra e depois retornam para a extremidade inicial seguindo a mesma trajetória em sentido inverso Como as partículas carregadas podem ficar confinadas nesse tipo de campo magnético ele é chamado de garrafa magnética Essa técnica serve para confinar plasmas muito quentes com temperatu ras da ordem de 106 K De modo semelhante o campo magnético da Terra que não é uniforme confina partículas carregadas provenientes do Sol no interior de regiões em forma de rosquinha ao redor da Terra como indicado na Figura 2720 Essas regiões chamadas de cinturões de radiação de Van Allen foram descobertas em 1958 a partir dos dados obtidos pelos instrumentos a bordo do satélite Explorer I As forças magnéticas que atuam sobre partículas carregadas desempenham um papel importante nos estudos sobre partículas elementares A Figura 2721 mostra uma câmara cheia de hidrogênio líquido e com um campo magnético perpendicu lar ao plano da foto Um raio gama de energia elevada expele um elétron de um átomo de hidrogênio deslocandoo em alta velocidade e criando um traço visível no hidrogênio líquido O traço mostra um elétron se curvando de cima para baixo em razão da força magnética A energia da colisão também produz outro elétron e um pósitron um elétron com carga positiva Em virtude de suas cargas contrárias as trajetórias do elétron e do pósitron se curvam em sentidos opostos À medida que essas partículas se deslocam no interior do hidrogênio líquido elas colidem com outras partículas carregadas perdendo energia e velocidade Em consequência disso o raio de curvatura diminui conforme sugere a Equação 2711 A velocidade Figura 2720 a Cinturões de radiação de Van Allen em torno da Terra Nas proximidades dos polos partículas carregadas podem escapar desses cinturões e ingressar na atmosfera produzindo a aurora boreal luzes do Hemisfério Norte e a aurora austral luzes do Hemisfério Sul b Foto de uma aurora boreal a b Polo Sul Polo Norte Prótons confinados nos cinturões de radiação internos Elétrons confinados nos cinturões de radiação externos Partículas carregadas do Sol entram no campo magnético da Terra B S Pósitron se movimentando lentamente q 0 Início da trajetória de um raio gama Átomo de hidrogênio Elétron movimentando lentamente q 0 Elétron se movimentando rapidamente q 0 Figura 2721 Esta imagem obtida em uma câmara de bolhas é de um raio gama com energia elevada o qual não deixa nenhum traço que entra na câmara e colide com um elétron de um átomo de hidrogênio Esse elétron dispara em alta velocidade no sentido da direita Parte da energia da colisão é transferida para outro elétron e para um pósitron um elétron com carga positiva Um campo magnético é orientado para o plano da imagem fazendo com que as partículas positiva e negativa se curvem em sentidos diferentes v S B S v S B S F S v S B S F S F S I I Bobina 1 Bobina 2 Figura 2719 Uma garrafa magnética Partículas situadas próximo à extremidade da região sofrem a ação de uma força magnética orientada para o centro da região Isso fornece um método para confinar um gás ideal com temperatura da ordem de 106 K que poderia fundir qualquer material de um recipiente BookSEARSVol3indb 230 101115 701 PM 244 Física III útil não é exata um elétron não é na realidade uma esfera girando Uma expli cação completa da origem do momento magnético do elétron envolve a mecânica quântica que foge aos objetivos deste capítulo Em um átomo de ferro alguns momentos magnéticos dos elétrons alinhamse entre si e o átomo possui um mo mento magnético resultante Em contraste os átomos de quase todos os elemen tos possuem momento magnético pequeno ou igual a zero Em um fragmento de ferro não magnetizado não existe nenhum alinhamento global dos momentos magnéticos dos átomos a soma vetorial desses momentos magnéticos é igual a zero e o momento magnético resultante também é zero Figura 2737a Porém em uma barra imantada os momentos magnéticos de muitos átomos são paralelos e existe um momento magnético resultante apreciável Figura 2737b Quando o ímã fica paralelo a um campo magnético o campo exerce um torque dado pela Equação 2726 que tende a alinhar a Figura 2737c Uma barra imantada tende a alinhar seu eixo ao campo de tal modo que uma reta que liga o polo sul ao polo norte do ímã possua a mesma direção e o mesmo sentido de portanto o significado real do polo norte e do polo sul de um ímã é que eles representam respectivamente a parte dianteira e a traseira do momento de dipolo magnético O torque que atua sobre uma espira de corrente em um campo magnético também explica como um objeto de ferro semelhante ao indicado na Figura 2737a tornase imantado Quando um clipe de papel é colocado próximo a um ímã poderoso os momentos magnéticos dos átomos do clipe tendem a se alinhar ao campo magnético do ímã Quando o clipe é removido seus dipolos atômicos tendem a permanecer alinhados e o clipe adquire um momento magnético resultante O clipe pode perder sua magnetização se for aquecido a energia interna acrescentada pelo aquecimento faz seus dipolos ficarem orientados ao acaso e o momento resultante se anula A descrição do dipolo magnético de um ímã em forma de barra explica as forças de atração e repulsão entre os ímãs indicados na Figura 271 O momento magnético de um ímã em forma de barra aponta de seu polo sul para o polo norte portanto as espiras de corrente nas figuras 2736a e 2736b são equivalentes a um ímã em forma de barra com seu polo norte no lado esquerdo Logo a situação descrita na Figura 2736a é equivalente a dois ímãs em forma de barra com seus respectivos polos norte próximos um do outro a força resultante é repulsiva como na Figura 271b Na Figura 2736b novamente temos a equivalência entre dois ímãs em forma de barra porém agora com o polo sul do ímã da esquerda em frente ao polo norte do ímã da direita A força resultante é de atração como na Figura 271a Finalmente podemos explicar como um ímã consegue atrair um objeto de ferro não magnetizado Figura 272 Tratase de um processo com duas etapas Ini cialmente os momentos magnéticos atômicos do ferro tendem a se alinhar ao campo do ímã de modo que o ferro adquire um momento de dipolo magnético resultante paralelo ao campo A seguir o campo não uniforme do ímã atrai o dipolo magnético A Figura 2738a mostra um exemplo O polo norte do ímã está próximo do prego que contém ferro e o dipolo magnético produzido no prego é equivalente a uma espira de corrente que circula em sentido oposto ao indicado na Figura 2736a Portanto a força magnética resultante sobre o prego é oposta à força sobre a espira indicada na Figura 2736a e o prego é atraído pelo ímã Trocandose a polaridade do ímã como indicado na Figura 2738b ocorre inversão de ambos os sentidos dos vetores e A situação agora é equivalente à indicada na Figura 2736b analogamente ao caso da espira naquela figura o prego é atraído pelo ímã Portanto um objeto não magnetizado contendo ferro sempre é atraído por qualquer um dos polos de um ímã Em contraste objetos de cobre alumínio ou madeira não são atraídos por ímãs os momentos de dipolos magnéticos desses materiais caso não sejam nulos possuem uma tendência muito pequena a se alinharem ao campo magnético externo Nossa discussão sobre a interação entre ímãs e objetos de ferro foi apenas uma abordagem superficial de um assunto conhecido como propriedades magnéticas dos materiais Essas propriedades serão analisadas com maior profundidade na Seção 288 Figura 2737 a Uma barra de ferro não imantada Somente alguns momentos magnéticos atômicos representativos são indicados b Uma barra de ferro imantada ímã em forma de barra O momento magnético resultante do ímã aponta do polo sul para seu polo norte c Uma barra de ferro imantada em um campo magnético t S B S m S m S a Ferro não imantado os momentos magnéticos se orientam ao acaso b Em uma barra de ferro imantada os momentos magnéticos se alinham N S N S mátomo S c Um campo magnético cria um torque sobre a barra de ferro imantada que tende a alinhar seu momento dipolo ao campo B S B S m S m S a b N S N S B S Figura 2738 Um ímã em forma de barra atrai objetos de ferro não imantados em duas etapas Inicialmente o campo produz um momento magnético resultante no prego depois como o campo magnético do ímã não é uniforme o dipolo magnético resultante é atraído pelo ímã A atração é a mesma no caso de o prego estar próximo a do polo norte ou b do polo sul do ímã BookSEARSVol3indb 244 101115 702 PM OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 281 A natureza do campo magnético produzido por uma única partícula carregada em movimento 282 Como descrever o campo magnético produzido por um elemento de um condutor com corrente 283 Como calcular o campo magnético produzido por um fio longo e retilíneo que conduz uma corrente 284 Por que fios que conduzem correntes na mesma direção e sentido se atraem ao passo que fios que conduzem correntes contrárias se repelem 285 Como calcular o campo magnético produzido por um fio que conduz corrente e é curvado em forma de círculo 286 O que é a lei de Ampère e o que ela revela sobre campos magnéticos 287 Como usar a lei de Ampère para calcular o campo magnético de distribuições simétricas de corrente 288 Como as correntes microscópicas dentro dos materiais são responsáveis por suas propriedades magnéticas Revendo conceitos de 105 Momento angular de uma partícula 2132 15 Lei de Coulomb e cálculos do campo elétrico 224 Resolução de problemas com a lei de Gauss 2722 79 Campo magnético e força magnética N o Capítulo 27 estudamos as forças sobre cargas que se movem e sobre fios condutores de corrente em um campo magnético Não havíamos questionado como esses campos magnéticos eram produzidos simplesmente considera mos esses campos como sendo fatos conhecidos Mas como um campo magnético é criado Sabemos que ele pode ser produzido tanto por um ímã permanente quanto por uma corrente elétrica em um eletroímã Neste capítulo estudaremos essas fontes de campo magnético com mais detalhes Aprendemos que uma carga cria um campo elétrico e que este exerce força sobre uma carga Porém um campo magnético somente exerce força sobre uma carga quando ela está em movimento De modo semelhante veremos que somente cargas em movimento criam campos magnéticos Nossa análise começará com o campo magnético gerado por uma única carga puntiforme que está em movimento Poderemos usar essa análise para estudar o campo magnético criado por um pe queno segmento de um condutor com corrente Depois de fazer isso seremos capazes de encontrar o campo magnético produzido por um condutor que possua qualquer forma A seguir introduziremos a lei de Ampère análoga à lei de Gauss da eletrostática A lei de Ampère nos permitirá relacionar as propriedades de simetria do campo magnético às da fonte do campo As cargas que se movem no interior de um átomo respondem a campos magnéti cos e também podem agir como fontes de campos magnéticos Essas ideias ajudarão a entender como alguns materiais magnéticos podem ser usados para intensificar campos magnéticos assim como compreender por que certos materiais como o ferro podem ser transformados em ímãs permanentes O imenso cilindro nesta fo tografia é uma bobina con dutora de carga ou solenoide que gera um campo magnético uniforme em seu interior e faz parte de uma experiência do CERN o centro europeu de pes quisas nucleares Se dois des ses solenoides fossem unidos pelas extremidades o campo magnético ao longo de seu eixo comum i se tornaria quatro vezes mais forte ii dobraria de intensidade iii se tornaria 2 vezes mais forte iv não mudaria v seria enfraquecido FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO 28 BookSEARSVol3indb 263 101115 702 PM 268 Física III Elemento de corrente linhas do campo magnético Como indicado na Figura 283 os vetores d e as linhas do campo magnético de um elemento de corrente são exatamente iguais aos vetores produzidos por uma carga positiva dQ que se desloca no sentido da velocidade de arraste a As linhas do campo magnético são circunferências situadas em planos perpendicu lares a d e centralizadas na linha de d As direções e os sentidos desses vetores obedecem à mesma regra da mão direita que aplicamos para cargas puntiformes na Seção 281 Não há como verificar a Equação 285 ou a 286 diretamente porque nunca po deremos fazer uma experiência com um segmento de fio isolado O que medimos experimentalmente é o campo magnético total produzido por uma corrente que flui em um circuito completo Contudo podemos verificar essas equações indi retamente calculando para diversas configurações usando a Equação 287 e comparando os resultados com medidas experimentais Caso exista algum material no espaço que circunde um fio que conduz uma corrente o campo magnético em um ponto P em suas vizinhanças terá uma contri buição adicional resultante da magnetização do material Voltaremos a esse assunto na Seção 288 Contudo exceto no caso de o material ser ferro ou qualquer outro material ferromagnético esse campo magnético adicional é muito pequeno e ge ralmente desprezível Uma complicação adicional surge quando existem campos magnéticos e elétricos que variam com o tempo ou quando o material é supercon dutor Discutiremos esses tópicos mais tarde Terra Lua Aplicação Correntes e magnetismo planetário O campo magnético da Terra é causado por correntes que circulam dentro de seu interior derretido condutor Essas correntes são agitadas pelo spin relativamente rápido do nosso planeta uma rotação a cada 24 horas As correntes internas da Lua são muito mais fracas ela é muito menor que a Terra possui um interior predominantemente sólido e gira lentamente uma rotação a cada 273 dias Logo o campo magnético da Lua tem apenas cerca de 104 da intensidade do campo da Terra ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 281 CÁLCULOS ENVOLVENDO CAMPOS MAGNÉTICOS IDENTIFICAR os conceitos relevantes a lei de Biot e Savart equações 285 e 286 permite calcular o campo magnético em um ponto do campo P em função de um fio de qualquer formato que conduz corrente A ideia é calcular o elemento de campo d em P em função de um elemento de corrente repre sentativo no fio e então combinar as contribuições de todos esses elementos para determinar o campo em P PREPARAR o problema por meio das seguintes etapas 1 Faça um diagrama de um elemento de corrente representa tivo e do ponto do campo P 2 Desenhe o elemento de corrente d percebendo que ele sempre aponta no mesmo sentido da corrente 3 Desenhe o vetor unitário r sempre apontando no sentido do elemento de corrente o ponto da fonte para o ponto P 4 Identifique a variávelalvo normalmente EXECUTAR a solução conforme segue 1 Use a Equação 285 ou a 286 para expressar o campo mag nético d no ponto P do elemento de corrente representativo 2 Some todos os d para calcular o campo total no ponto P Em algumas situações cada elemento d para diversos elementos de corrente pode ter a mesma direção para todos os elementos de corrente então o módulo do campo total é a soma dos módulos dos d Contudo em geral cada elemento d possui uma direção diferente para cada ele mento de corrente Então você deve escolher um sistema de coordenadas e decompor d com base em seus compo nentes A integral para o campo magnético resultante é então expressa em termos de uma integral para cada componente 3 Em alguns casos você pode concluir por simetria que um dado componente de se anula Considere sempre a possibilidade do uso da simetria para simplificar problemas 4 Procure meios para usar o princípio de superposição dos campos magnéticos Mais adiante neste capítulo determi naremos os campos produzidos por condutores que pos suem uma forma simples Quando encontrar um condutor de forma complexa que possa ser decomposto em uma combinação desses condutores com forma simples você poderá usar o princípio de superposição para calcular o campo desse condutor de forma complexa Como exem plos citamos uma espira retangular ou uma combinação com dois segmentos retilíneos ligados nas extremidades de um condutor formando uma semicircunferência AVALIAR sua resposta frequentemente sua resposta será uma expressão matemática para em função da posição do ponto do campo Confira a resposta examinando seu comportamento no máximo de limites disponível BookSEARSVol3indb 268 101115 702 PM Capítulo 28 Fontes de campo magnético 289 magnético 0 produzido por correntes externas os domínios tendem a se orien tar paralelamente ao campo As fronteiras dos domínios também se deslocam os domínios magnetizados no sentido do campo magnético aplicado aumentam de tamanho e os magnetizados em outras direções se encolhem Como o momento magnético total no interior de um domínio pode ser da ordem de alguns milhares de magnetons de Bohr os torques que tendem a alinhar os domínios ao campo magnético externo são muito maiores que os existentes no caso de um material paramagnético A permeabilidade relativa Km é muito maior que 1 em geral da ordem de 1000 até 100000 Por conseguinte um objeto composto por um mate rial ferromagnético como ferro é fortemente magnetizado pelo campo de um ímã permanente e atraído pelo ímã veja a Figura 2738 Um material paramagnético como o alumínio também é atraído por um ímã permanente mas o valor de Km para materiais paramagnéticos é muito menor que para materiais ferromagnéticos o que torna a atração muito mais fraca Portanto um ímã pode coletar pregos de ferro mas não latas de alumínio À medida que o campo magnético externo aumenta atingese um ponto para o qual quase todos os momentos magnéticos do material ferromagnético estão alinhados ao campo magnético externo Essa condição é chamada de magnetiza ção de saturação depois de atingido esse ponto um aumento posterior do campo magnético externo não produz mais nenhum aumento da magnetização A Figura 2828 mostra uma curva de magnetização um gráfico da magne tização M em função do campo magnético externo B0 para o ferro doce Uma descrição alternativa do comportamento ilustrado consiste em afirmar que Km não é constante porém diminui à medida que B0 aumenta Um material paramagnético também exibe saturação para campos suficientemente fortes Porém os campos magnéticos necessários são tão elevados que o desvio de uma relação linear entre M e B0 nesses materiais só pode ser observado em temperaturas muito baixas da ordem de 1 K Para muitos materiais ferromagnéticos a relação entre a magnetização e o campo magnético externo quando o campo magnético aumenta é diferente da relação obtida quando ele diminui A Figura 2829a mostra esse tipo de compor tamento para esse tipo de material Quando o material é magnetizado até atingir a saturação e a seguir o campo magnético é reduzido até zero alguma magne tização persiste Esse comportamento é característico de um ímã que mantém a maior parte de sua magnetização de saturação quando o campo magnético é removido Para reduzir a magnetização até zero é necessário aplicar um campo magnético em sentido contrário Figura 2829 Ciclos de histerese Os materiais a e b permanecem fortemente magnetizados quando B0 se reduz a zero Visto que o material a dificilmente se desmagnetiza ele seria bom para a fabricação de ímãs permanentes Como o material b se magnetiza e se desmagnetiza com mais facilidade ele seria indicado como material para a memória de um computador O material do tipo c seria útil no núcleo de transformadores e outros dispositivos que usam corrente alternada para os quais uma histerese zero seria ideal a b c B0 M B0 M Campo externo aplicado B0 Magnetização M O material é magnetizado até a saturação por um campo externo 1 Esses materiais podem ser magnetizados até a saturação e desmagnetizados por campos externos menores que o mostrado em a Aumentar o campo externo no sentido original novamente reduz a magnetização a zero 6 O campo externo é reduzido a zero a magnetização permanece 2 É necessário um grande campo externo no sentido contrário para reduzir a magnetização a zero 3 Aumentar o campo externo inverso fornece ao material uma magnetização no sentido contrário 4 Esta magnetização permanece caso o campo externo seja reduzido a zero 5 M Msat B0 O Figura 2828 Uma curva de magnetização para um material ferromagnético A magnetização M tende à saturação Msat à medida que o campo magnético B0 produzido por correntes externas se torna mais elevado BookSEARSVol3indb 289 101115 703 PM 29 A leitora de cartões de um caixa eletrônico lê as informações contidas em uma configuração magnética codificada na tarja magnética existente em cartões sem chip Por que nesse tipo de leitora você precisa passar o cartão rapidamente em vez de segurá lo estaticamente na fenda do dispositivo de leitura i Para maximizar a força magnética no cartão ii para maximizar a força magnética nas cargas móveis na leitora de cartões iii para gerar uma força elétrica no cartão iv para gerar uma força elétrica nas cargas móveis na leitora de cartões INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 291 A evidência empírica de que a variação de um campo magnético induz uma fem 292 Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira à variação no fluxo magnético através da espira 293 Como determinar o sentido de uma fem induzida 294 Como calcular a fem induzida em um condutor que se move através de um campo magnético 295 Como uma variação no fluxo magnético gera um campo elétrico circulante 296 Como surgem as correntes de Foucault em um metal que se move em um campo magnético 297 As quatro equações fundamentais que descrevem integralmente a eletricidade e o magnetismo 298 As notáveis propriedades elétricas e magnéticas dos supercondutores Revendo conceitos de 231 Campos elétricos conservativos 254 Força eletromotriz fem 273 2 78 279 Fluxo magnético motores de corrente contínua efeito Hall 2852 87 Campo magnético de uma espira de corrente e solenoide lei de Ampère Q uase todos os aparelhos e dispositivos modernos desde computadores até máquinas de lavar e furadeiras elétricas possuem circuitos elétricos em suas partes internas Aprendemos no Capítulo 25 que uma força eletromotriz fem é necessária para produzir uma corrente em um circuito nos capítulos 25 e 26 quase sempre tomamos uma bateria como a fonte de fem Contudo para a maior parte dos dispositivos elétricos que você liga a uma tomada de parede a fonte de fem não é uma bateria mas uma usina geradora de energia elétrica A usina produz energia elétrica mediante a conversão de outras formas de energia energia potencial gravitacional em uma usina hidrelétrica energia química em uma usina termelétrica que queima carvão ou óleo e energia nuclear em uma usina nuclear Mas como ocorre essa conversão de energia A resposta é um fenômeno chamado indução eletromagnética quando o fluxo magnético varia através de um circuito ocorre indução de uma fem e de uma cor rente no circuito Em uma usina geradora de energia elétrica o movimento de um ímã em relação a uma bobina produz um fluxo magnético que varia através das bobinas e portanto surge uma fem O princípio central da indução eletromagnética é a lei de Faraday Essa lei relaciona a fem ao fluxo magnético variável em qualquer tipo de espira incluindo um circuito fechado Discutiremos também a lei de Lenz que ajuda a prever o sentido de uma corrente e de uma fem induzidas Esses princípios nos permitirão entender qualquer dispositivo em que ocorram conversões de energia elétrica como motores geradores e transformadores Segundo a indução eletromagnética um campo magnético que varia em função do tempo pode atuar como uma fonte de campo elétrico Também veremos como um campo elétrico que varia em função do tempo pode atuar como uma fonte de campo magnético Esses notáveis resultados fazem parte de um conjunto de fórmulas chamadas de equações de Maxwell que descrevem o comportamento BookSEARSVol3indb 304 101115 704 PM 306 Física III 3 Quando se mantém fixo em um dado nível a corrente cai para zero 4 Mantendo a bobina em um plano horizontal comprimimos as espiras para diminuir a área da seção reta da bobina O galvanômetro indica uma corrente somente durante a deformação e não antes ou depois dela Quando fazemos a área voltar ao tamanho original surge uma corrente induzida em sentido con trário ao anterior porém somente enquanto a área da bobina estiver variando 5 Quando giramos a bobina alguns graus em torno de um eixo horizontal o galvanômetro indica uma corrente durante a rotação no mesmo sentido da corrente indicada durante a diminuição da área Quando giramos a bobina de volta para a posição original surge uma corrente induzida em sentido contrário ao da rotação anterior 6 Quando retiramos subitamente a bobina de dentro do campo magnético surge uma corrente induzida no mesmo sentido da corrente indicada durante a di minuição da área 7 Quando diminuímos o número de espiras da bobina desenrolando uma ou mais espiras surge uma corrente induzida no mesmo sentido da corrente indicada durante a diminuição da área Quando enrolamos mais espiras na bobina surge uma corrente induzida em sentido contrário ao da corrente obtida durante a diminuição do número de espiras 8 Se desligarmos o eletroímã momentaneamente surge uma corrente induzida em sentido contrário ao da corrente obtida quando ligamos o eletroímã 9 Quanto mais rápido fazemos qualquer uma das ações descritas nos itens ante riores maior é o módulo da corrente induzida 10 Se repetirmos todas as experiências descritas nos itens anteriores com outra bobina de outro material com a mesma forma porém com outra resistência verificaremos que a corrente em cada caso será inversamente proporcional à resistência total do circuito Isso mostra que a fem induzida não depende do material da bobina mas apenas de sua forma e da variação do fluxo magnético O fenômeno comum a todas essas experiências descritas anteriormente é a va riação do fluxo magnético FB através da bobina conectada ao galvanômetro Em cada um dos casos analisados o fluxo magnético varia porque existe um campo magnético variável em função do tempo ou porque a bobina se move através de um campo magnético não uniforme Mais do que isso em todas as situações anteriores a fem induzida é proporcional à taxa de variação do fluxo magnético FB através da bobina O sentido da fem induzida depende do aumento ou da diminuição do fluxo magnético Se o fluxo for constante não existe fem induzida As fems induzidas possuem um grande número de aplicações práticas Se você estiver lendo estas palavras em um ambiente fechado provavelmente estará usando as fems induzidas neste exato momento Na estação de força que abastece seu bairro um gerador elétrico produz uma fem através do fluxo magnético que per corre as bobinas Na próxima seção veremos em detalhes como isso ocorre Essa fem fornece a voltagem entre os terminais das tomadas na parede da sua casa e essa voltagem fornece energia para a sua luminária A fem induzida magneticamente assim como a fem discutida na Seção 254 resulta sempre da ação de forças não eletrostáticas Devemos distinguir claramente um campo elétrico produzido por cargas de acordo com a lei de Coulomb de um campo elétrico produzido por um campo magnético variável Voltaremos a comen tar essa distinção mais adiante neste capítulo bem como no próximo 292 LEI DE FARADAY O fenômeno comum em todos os efeitos de indução é a variação do fluxo magné tico através de um circuito Antes de enunciar a lei física simples que sintetiza todas as experiências descritas na Seção 291 inicialmente vamos fazer uma revisão do Figura 292 Uma bobina em um campo magnético Quando o campo magnético é constante não existe nenhuma corrente induzida e a forma a orientação e a posição da bobina permanecem constantes Quando alteramos qualquer um desses três fatores surge uma corrente induzida B S 0 S N 0 BookSEARSVol3indb 306 101115 704 PM 316 Física III Lei de Lenz e resposta a variações do fluxo magnético Uma vez que uma corrente induzida sempre se opõe a qualquer variação de fluxo magnético através de um circuito como pode ocorrer alguma variação do fluxo A resposta é que a lei de Lenz fornece apenas o sentido da corrente induzida o módulo depende da resistência do circuito Quanto maior a resistência do circuito menor é a corrente induzida que se opõe a qualquer variação de fluxo e mais facilmente a variação do fluxo magnético pode ocorrer Se a espira da Figura 2914 fosse de madeira um isolante não existiria quase nenhuma corrente induzida em resposta à variação do fluxo através da espira Reciprocamente quanto menor a resistência do circuito maior é a corrente induzida e mais difícil se torna a variação do fluxo magnético através do circuito Supondo que a espira da Figura 2914 seja feita com um bom condutor surge uma corrente induzida toda vez que ocorre um movimento relativo entre o ímã e a espira Quando o movimento relativo termina a corrente induzida diminui rapidamente até zero pois a resistência da espira não é nula Um caso extremo ocorre quando a resistência do circuito é igual a zero Então a corrente induzida na Figura 2914 continuará a circular até mesmo depois que já não há mais fem induzida ou seja mesmo depois de cessado o movimento relativo Graças a essa corrente persistente verificase que o fluxo magnético através da espira é igual ao fluxo que existia antes do movimento relativo o que nos permite concluir que o fluxo magnético através de uma espira com resistência nula nunca varia Um material exótico chamado de supercondutor possui resistência igual a zero discutiremos as propriedades desse tipo de material na Seção 298 TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 293 a Suponha que o ímã na Figura 2914a estivesse em repouso e a espira se movesse de baixo para cima A corrente induzida na de cima para baixo opondose à variação do fluxo Usando a regra da mão direita descrita na Seção 285 para o sentido do campo magnético gerado por uma espira circular induzido terá o sentido desejado se a corrente induzida tiver o sentido indicado na Figura 2913 A Figura 2914 mostra diversas aplicações da lei de Lenz para o caso semelhante de um ímã se movendo próximo de uma espira condutora circular Em cada um dos quatro casos indicados a corrente induzida produz um campo magnético adicional que se opõe à variação do fluxo através da espira produzida pelo movimento do ímã Figura 2913 A corrente induzida produzida pela variação de possui sentido horário se observada de cima para baixo O campo adicional induzido criado por ela é orientado de cima para baixo opondose à variação do campo B de baixo para cima I Binduzido Variação em B E S B aumentando S S Continuação Figura 2914 Sentidos das correntes induzidas quando um ímã se desloca ao longo do eixo de uma espira condutora Quando o ímã está em repouso não existe nenhuma corrente induzida v S S N I I I I a O movimento do ímã causa fluxo crescente de cima para baixo através da espira b O movimento do ímã causa fluxo decrescente de baixo para cima através da espira c O movimento do ímã causa fluxo decrescente de cima para baixo através da espira d O movimento do ímã causa fluxo crescente de baixo para cima através da espira O campo magnético induzido está orientado de baixo para cima para se opor à variação no fluxo Para produzir esse campo induzido a corrente induzida deve estar no sentido antihorário se observado de cima para baixo em relação à espira S N N S N S Binduzido S B S v S B S v S B S Binduzido S Binduzido S v S B S Binduzido S O campo magnético induzido está orientado de cima para baixo para se opor à variação no fluxo Para produzir esse campo induzido a corrente induzida deve estar em sentido horário se observado de cima para baixo em relação à espira BookSEARSVol3indb 316 101115 704 PM 326 Física III fora da região entre as placas ou seja para r R é o mesmo caso o fio fosse contínuo e as placas não existissem Quando medimos o campo magnético nessa região identificamos que ele re almente existe e que se comporta como prevê a Equação 2917 Isso confirma o papel da corrente de deslocamento como fonte de campo magnético Sem dúvida fica estabelecido então que a corrente de deslocamento de Maxwell longe de ser apenas um artifício constituise em um fato fundamental da natureza Equações de Maxwell para o eletromagnetismo Agora estamos em condições de enunciar de modo unificado um conjunto completo que reúne todas as equações estudadas anteriormente e que envolve todas as relações entre campos elétricos e campos magnéticos e suas respectivas fontes Esse conjunto é constituído por quatro equações conhecidas como equa ções de Maxwell Maxwell não descobriu todas essas quatro equações embora tenha desenvolvido o conceito da corrente de deslocamento porém ele as reuniu e explicou o significado delas particularmente ao prever a existência de ondas eletromagnéticas Por enquanto formularemos as equações de Maxwell na forma mais simples considerando cargas e correntes no vácuo No Capítulo 32 discutiremos as modi ficações dessas equações quando um dielétrico ou um material magnético estiver presente Duas das equações de Maxwell envolvem integrais de e de sobre uma su perfície fechada A primeira é simplesmente a lei de Gauss para o campo elétrico Equação 228 2918 Fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada Carga delimitada pela superfície Constante elétrica SE dA C P0 Qinte S Lei de Gauss para E S A segunda é a relação análoga para o campo magnético Equação 278 2919 O fluxo do campo magnético através de uma superfície fechada é igual a zero Lei de Gauss para B S B dA 0 C S S O enunciado anterior equivale a dizer entre outras coisas que não existem monopolos magnéticos cargas magnéticas isoladas que funcionem como fontes de campos magnéticos A terceira e a quarta equações envolvem uma integral de linha de ou em torno de um percurso fechado A lei de Faraday declara que um fluxo magnético variável atua como uma fonte de campo elétrico 2920 Integral de linha do campo elétrico ao longo da curva Negativo da taxa de variação em função do tempo do fluxo magnético através da curva Lei de Faraday para uma curva de integração estática SE dl C dt dFB S Se houver um campo magnético variável a integral de linha na Equação 2920 que deve ser executada sobre uma curva fechada estática não é igual a zero Assim o campo produzido por um campo variável não é conservativo BookSEARSVol3indb 326 101115 705 PM Capítulo 29 Indução eletromagnética 329 O efeito Meissner Vejamos agora outro aspecto do comportamento magnético de um supercon dutor Colocamos uma esfera homogênea de um material supercondutor em um campo magnético externo 0 a uma temperatura T superior a Tc Ou seja o ma terial está em sua fase condutora normal e não na fase supercondutora Figura 2926a Agora diminuímos a temperatura até que ocorra a transição para a fase supercondutora Estamos supondo que 0 não seja grande o suficiente para impedir a transição de fase O que ocorre com o campo Medidas do campo magnético fora da esfera mostram que as linhas de campo tornamse distorcidas como ilustra a Figura 2926b Não existe mais nenhum campo no interior do material exceto em uma fina película na superfície do ma terial com espessura da ordem de cem átomos Se enrolarmos um fio condutor em torno da esfera a fem induzida na bobina mostrará que o fluxo magnético diminui de seu valor inicial até zero durante a transição para a fase supercondutora isso é consistente com a ausência do campo dentro do material Finalmente quando o campo magnético externo é removido mantendo o material na fase supercondutora nenhuma fem é induzida na bobina e as medidas mostram que não existe nenhum campo fora da esfera Figura 2926c Concluímos que durante a transição para a fase supercondutora na presença de 0 todo fluxo magnético é expelido do volume da esfera supercondutora e o fluxo magnético FB através da bobina é igual a zero Essa expulsão do fluxo magnético denominase efeito Meissner Conforme indica a Figura 2926b essa expulsão faz com que as linhas de campo fiquem mais próximas entre si em volta da esfera aumentando o campo nessa região Levitação supercondutora e outras aplicações A natureza diamagnética de um supercondutor possui algumas consequências mecânicas interessantes Um material paramagnético ou ferromagnético é atra ído por um ímã porque os dipolos magnéticos do material se alinham ao campo magnético não uniforme do ímã esse efeito foi discutido na Seção 277 Para um material diamagnético a magnetização ocorre em sentido oposto e o material é repelido pelo ímã De acordo com a terceira lei de Newton o ímã também é repelido pelo material diamagnético A Figura 2927 ilustra a repulsão entre um ímã e um bloco de supercondutor com temperatura crítica elevada o ímã é sustentado no ar levita pela força magnética repulsiva O comportamento que descrevemos anteriormente é característico dos materiais chamados supercondutores do tipo I Existe outra classe desses materiais os super condutores do tipo II Quando esse tipo de material é colocado em um campo mag nético o volume do material permanece supercondutor contudo alguns filamentos finos do material distribuídos paralelamente ao campo externo podem voltar para a fase normal Há correntes circulando na periferia desses filamentos o que indica que existe um fluxo magnético no interior desses filamentos Os supercondutores do tipo II são usados em eletroímãs por geralmente possuírem valores de Bc muito maiores que os referentes a materiais do tipo I possibilitando a produção de campos magnéticos muito elevados sem destruir o estado supercondutor Um supercondutor do tipo II possui dois campos magnéticos críticos O primeiro Bc1 é o campo para o qual o fluxo magnético começa a penetrar no supercondutor passando a formar os filamentos mencionados o segundo Bc2 é o campo para o qual o material passa para a fase normal Os eletroímãs com supercondutores já são empregados não só no cotidiano de laboratórios de pesquisa mas também nos dispositivos de ressonância magnética RM médica Conforme descrevemos na Seção 277 a varredura de um paciente por meio de RM exige um campo magnético forte para alinhar os dipolos mag néticos dos núcleos atômicos do paciente É necessário um campo constante de Figura 2926 Um material supercondutor a acima da temperatura crítica e b e c abaixo da temperatura crítica O campo no interior do material é aproximadamente igual a B0 S S S B S a Um material supercondutor em um campo magnético externo B0 a T 7 Tc S b Quando diminuímos a temperatura até um valor T 6 Tc o material se torna supercondutor c Quando o campo magnético externo é removido T 6 Tc o campo magnético é igual a zero em todos os pontos B0 B0 O fluxo magnético é expelido do material e o campo magnético interno tornase igual a zero efeito Meissner Não existe nenhuma variação no fluxo magnético do material B 0 S B 0 S B 0 S Figura 2927 Um supercondutor exerce uma força magnética repulsiva sobre uma ímã sustentandoo em equilíbrio no ar Ímã Supercondutor BookSEARSVol3indb 329 101115 705 PM Muitos semáforos mudam quando um carro se apro xima de um cruzamento Esse processo funciona porque o carro contém i material con dutor ii material isolante que transporta uma carga elé trica resultante iii material ferromagnético iv material ferromagnético que já está magnetizado OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 301 Como a corrente de uma bobina que varia no tempo pode induzir uma fem em outra bobina desconectada 302 Como relacionar a fem induzida em um circuito à taxa de variação de corrente no mesmo circuito 303 Como calcular a energia armazenada em um campo magnético 304 Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quanto um indutor bobina 305 Por que ocorrem oscilações elétricas em circuitos que possuem tanto um indutor quanto um capacitor 306 Por que as oscilações diminuem em circuitos com um indutor um resistor e um capacitor Revendo conceitos de 142 143 147 Movimento harmônico simples oscilações amortecidas 241 243 Capacitância energia do campo elétrico 262 264 Regras de Kirchhoff circuitos RC 284 287 288 Forças magnéticas entre condutores campo de um solenoide permeabilidade 292 293 297 Lei de Faraday lei de Lenz campos elétricos conservativos e não conservativos E nrole um pedaço de fio de cobre em volta de um lápis para formar uma bobina Se você colocar essa bobina em um circuito ela se comportará de forma bem diferente de um pedaço retilíneo de fio Em um carro comum movido a gasolina esse tipo de bobina torna possível que a bateria de 12 V produza os milhares de volts necessários para gerar a centelha no espaço entre os eletrodos da vela de ignição do motor e colocálo em funcionamento Outras bobinas desse tipo são usadas para manter as lâmpadas fluorescentes acesas Bobinas maiores instaladas sob as ruas da cidade são usadas para controlar o funcionamento dos semáforos Todas essas aplicações entre muitas outras envolvem os efeitos de indução que estudamos no Capítulo 29 Uma corrente variável em uma bobina induz uma fem em outra bobina adjacente O acoplamento entre as duas bobinas é descrito pela indutância mútua Uma corrente variável em uma bobina também induz uma fem na própria bobina Essa bobina denominase indutor a relação entre a fem e a corrente depende da indutância também chamada de autoindutância da bobina Quando existe inicialmente uma corrente em uma bobina a energia é liberada quando a corrente diminui esse princípio é usado nos sistemas de ignição dos automóveis Verificaremos que a energia liberada estava arma zenada no campo magnético produzido pela corrente que circulava inicial mente na bobina e examinaremos algumas aplicações práticas da energia do campo magnético Faremos também um estudo inicial do fenômeno que ocorre quando um indutor é parte de um circuito No Capítulo 31 estudaremos como um indutor se comporta em circuitos de corrente alternada e aprenderemos por que os indutores desempenham um papel essencial na eletrônica moderna 30 INDUTÂNCIA BookSEARSVol3indb 343 101115 705 PM 31 As ondas de uma estação de radiodifusão produzem corrente alternada nos circui tos de um rádio como o deste carro antigo Quando um rádio é sintonizado a uma frequên cia de 1000 kHz ele também detecta as transmissões de uma estação que transmite a i 600 kHz ii 800 kHz iii 1200 kHz iv todas essas fre quências v nenhuma delas CORRENTE ALTERNADA OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 311 Como os fasores facilitam a descrição senoidal das grandezas variantes 312 Como usar a reatância para descrever a voltagem através de um elemento de circuito que transporta uma corrente alternada 313 Como analisar um circuito LRC em série com uma fem senoidal 314 O que determina a quantidade de potência que entra ou sai de um circuito de corrente alternada 315 Como um circuito LRC em série responde a fems senoidais de frequências diferentes 316 Por que os transformadores são úteis e como eles funcionam Revendo conceitos de 142 148 Movimento harmônico simples ressonância 167 Ressonância e som 183 Valor quadrático médio qm 253 Diodos 263 Galvanômetros 288 Histerese em materiais magnéticos 292 2 96 297 Geradores de corrente alternada correntes de Foucault corrente de deslocamento 301 3 02 305 306 Indutância mútua voltagem em um indutor circuitos LC circuitos LRC em série D urante a década de 1880 ocorreu nos Estados Unidos um caloroso debate entre dois inventores sobre qual deveria ser o melhor método para a distribuição de energia elétrica Thomas Edison defendia que a melhor solução seria usar a corrente contínua cc ou seja a corrente que não varia com o tempo George Westinghouse afirmava que o melhor método consistia em usar a corrente alternada ca ou seja voltagens e correntes que variam senoidalmente Ele afirmava que o transformador que estudaremos neste capítulo funciona somente quando estimulado por uma voltagem ca e não por voltagem cc as baixas voltagens são mais seguras para os consumidores porém é necessário usar uma voltagem muito elevada com baixa corrente correspondente para minimizar as perdas i2R nos cabos Por fim as ideias de Westinghouse prevaleceram e quase todos os sis temas atuais de distribuição de energia elétrica funcionam com corrente alternada Qualquer eletrodoméstico que você ligar na tomada da parede usa ca Circuitos modernos usados em dispositivos de comunicação também empregam muito a corrente alternada Neste capítulo aprenderemos como os resistores os indutores e os ca pacitores se comportam com correntes e voltagens que variam senoidal mente Muitos princípios que consideramos úteis no Capítulo 30 podem ser aplicados com diversos conceitos novos relacionados ao comportamento de circuitos com capacitores e indutores Um conceito fundamental neste estudo é a ressonância que vimos no Capítulo 13 para sistemas mecânicos 311 FASOR E CORRENTE ALTERNADA Para fornecer uma corrente alternada a um circuito é necessária uma fonte de voltagem ou fem Um exemplo desse tipo de fonte é uma espira BookSEARSVol3indb 376 101115 707 PM 398 Física III ficar confinadas quase completamente no interior do núcleo Portanto quase todas as linhas de campo passam através do outro enrolamento maximizando a indutân cia mútua dos dois enrolamentos veja a Seção 301 O primário é o enrolamento conectado com a fonte de tensão denominase secundário o enrolamento cujos terminais fornecem a tensão transformada O símbolo de circuito para um trans formador com núcleo de ferro é Vejamos então como funciona um transformador A fonte ca produz uma cor rente alternada no primário que dá origem a um fluxo magnético alternado no núcleo isso gera uma fem induzida em cada enrolamento de acordo com a lei de Faraday A fem induzida no secundário dá origem a uma corrente alternada no se cundário que fornece energia elétrica para o dispositivo conectado ao secundário Todas as correntes e fems produzidas possuem a mesma frequência da fonte de tensão ca Vejamos como a tensão no secundário pode ser maior ou menor que a tensão aplicada no primário Vamos desprezar a resistência dos enrolamentos e supor que todas as linhas do campo magnético fiquem confinadas no núcleo de ferro de modo que em todos os instantes o fluxo magnético FB seja o mesmo em todas as espiras do enrolamento primário e do secundário O enrolamento primário possui N1 espiras e o secundário N2 espiras Quando o fluxo magnético varia porque as correntes variam nas duas bobinas as fems induzidas resultantes são E1 N1 dΦB dt e E2 N2 dΦB dt 3133 O fluxo por espira FB é o mesmo tanto no primário quanto no secundário de modo que a Equação 3133 mostra que a fem induzida por espira é a mesma nas duas bobinas Portanto a razão entre a fem do secundário E2 e a fem do primário E1 é igual a cada instante à razão entre o número de espiras do secundário e do primário E2 E1 N2 N1 3134 Como E1 e E2 oscilam com a mesma frequência da fonte ca a Equação 3134 também fornece a razão entre as amplitudes ou entre os valores eficazes de cada fem induzida Como estamos supondo a resistência do enrolamento igual a zero cada fem E1 ou E2 deve ser igual à respectiva voltagem através do primário e do secundário portanto 3135 Amplitude de voltagem ou valor eficaz no secundário Número de espiras no secundário Número de espiras no primário Voltagens nos terminais de um transformador V1 V2 N1 N2 Amplitude de voltagem ou valor eficaz no primário Escolhendose uma razão apropriada N2N1 podemos obter qualquer valor dese jado para a tensão no secundário a partir de uma dada tensão no primário Quando N2 N1 como na Figura 3121 então V2 V1 e dizemos que o transformador eleva a tensão quando N2 N1 então V2 V1 e obtemos um transformador que abaixa a tensão Nas usinas geradoras de energia elétrica existem transformadores que elevam a tensão o primário é ligado ao gerador e o secundário é ligado à linha Figura 3121 Diagrama esquemático de um transformador ideal para elevar uma tensão O primário é conectado a uma fonte de tensão ca o secundário é conectado a um dispositivo com resistência R A fem induzida por espira é a mesma em ambas as bobinas de modo que ajustamos a razão das voltagens nos terminais ajustando a razão das espiras R N2 V2 N1 I1 Enrolamento primário Enrolamento secundário Núcleo de ferro Fonte de corrente alternada FB V1 N2 N1 V2 V1 BIO Aplicação Riscos da tensão ca versus cc A corrente alternada em alta voltagem acima de 500 V é mais perigosa que a corrente contínua na mesma voltagem Quando uma pessoa toca em uma fonte cc de alta voltagem isso normalmente causa uma única contração de músculo que pode ser forte o suficiente para empurrála para fora da fonte Ao contrário tocar uma fonte de ca de alta voltagem pode causar uma contração contínua do músculo impedindo que a vítima solte a fonte A redução da voltagem ca com um transformador reduz o risco de danos à saúde BookSEARSVol3indb 398 101115 709 PM 32 Objetos metálicos refletem não só a luz visível mas também as ondas de rádio Isso acontece porque na superfície de um metal i o componente do campo elétrico paralelo à superfície deve ser zero ii o componente do campo elétrico perpendicular à superfície deve ser zero iii o componente do campo magnético paralelo à superfície deve ser zero iv o componente do campo magné tico perpendicular à superfície deve ser zero v mais de uma dessas respostas é possível ONDAS ELETROMAGNÉTICAS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao estudar este capítulo você aprenderá 321 Como são geradas as ondas eletromagnéticas 322 Como e por que a velocidade da luz está relacionada às constantes fundamentais da eletricidade e do magnetismo 323 Como descrever a propagação de uma onda eletromagnética senoidal 324 O que determina a quantidade de energia e momento linear transportada por uma onda eletromagnética 325 Como descrever as ondas eletromagnéticas estacionárias Revendo conceitos de 81 Momento linear 153 1 57 Ondas progressivas e ondas estacionárias em uma corda 164 Ondas de som estacionárias 234 Campo elétrico em um condutor 243 2 44 Densidade da energia elétrica permissividade de um dielétrico 281 2 88 Campo magnético de uma carga em movimento permeabilidade de um dielétrico 292 2 97 Lei de Faraday e equações de Maxwell 303 3 05 Densidade de energia magnética circuitos LC O que é a luz Por séculos essa pergunta foi feita pelos seres humanos sem que houvesse nenhuma resposta até a unificação da eletricidade com o magnetismo em uma única teoria conhecida como eletromag netismo cuja descrição é dada pelas equações de Maxwell Essas equações mostram que um campo magnético variável funciona como fonte de campo elétrico e que um campo elétrico variável funciona como fonte de campo magnético Esses campos e podem se sustentar mutuamente formando uma onda eletromagnética que se propaga através do espaço A luz visível emitida por um filamento de lâmpada incandescente é um exemplo de onda eletromagnética outros tipos de ondas eletromagnéticas são produzidos por estaçõesbase de wifi aparelhos de raios X e núcleos radioativos Neste capítulo usaremos as equações de Maxwell como a base teórica para o entendimento das ondas eletromagnéticas Mostraremos que essas ondas transportam energia e movimento linear Em ondas eletromagnéticas senoi dais os campos e variam senoidalmente com o tempo e com a posição com uma dada frequência e um dado comprimento de onda Os diversos tipos de ondas eletromagnéticas a luz visível o rádio os raios X e outras on das diferem entre si apenas pela frequência e pelo comprimento de onda Nosso estudo de óptica nos capítulos posteriores será baseado parcialmente na natureza eletromagnética da luz Diferentemente das ondas em uma corda ou do som se propagando em um fluido as ondas eletromagnéticas não precisam de um meio material para se propagar a luz de uma estrela que você vê em uma noite clara viajou sem nenhuma dificuldade por dezenas de anosluz através do espaço aproxima damente vazio Apesar dessa diferença as ondas eletromagnéticas e as ondas mecânicas possuem muitas características comuns e são descritas com base na mesma linguagem Antes de ler este capítulo seria conveniente fazer uma revisão das propriedades das ondas mecânicas discutidas nos capítulos 15 e 16 BookSEARSVol3indb 410 101115 709 PM BookSEARSVol3indb 442 101115 711 PM BookSEARSVol3indb 452 101115 712 PM BookSEARSVol3indb 458 101115 713 PM Sobre a capa do livro O projeto arquitetônico exibido na capa deste livro foi baseado em um desenho feito por Leonardo da Vinci em 1502 para ser uma ponte de pedra na Turquia As anotações de Leonardo da Vinci permaneceram cerca de 500 anos na obscuridade Finalmente em 2001 o artista norueguês Vebjörn Sand em colaboração com a Administração de Estra das da Noruega transformou em realidade aquele desenho de Leonardo da Vinci e projetou esta elegante ponte que foi cons truída nas proximidades de Oslo O caminho para pedestres na parte superior da ponte é sustentado por três arcos parabólicos Capítulo 21 Abertura Mikael DamkierShutterstock 215 Clayton StalterJournalCourierThe Image Works 218a Richard MegnaFundamental Photographs Appl p 690 KnapeGetty Images Appl p 695 Matt9122Shutterstock 2129a Richard MegnaFundamental Photographs 2130b OtnaYdurShutterstock Appl p 709 Mark SmithScience Source PP2198101 Dados de Detection and Learning of Floral Electric Fields by Bumblebees Dominic Clarke et al Science April 5 2013 Vol 340 no 6128 pp 6669 http wwwsciencemagorg Capítulo 22 Abertura U S Department of Energy Appl p 726 Oxford ScientificGetty Images 2210 Akgima ges Appl p 738 David Furness Keele UniversityScience Source 2227b Peter TerrenTesladownunder Appl p 741 Yevgeniy11Shutterstock Capítulo 23 Abertura Ted Kurihara PhotographyThe Image BankGetty Images 239 John F KennedyNASA 2311 Vladyslav DanilinFotolia Appl p 760 StockLiteShutters tock Appl p 762 BSIPNewscom 2317 KeystoneHulton ArchiveGetty Images 2322 USGS Appl p 773 3d4Medi calcomMotifCorbis Capítulo 24 Abertura Damir SagoljReuters 243 Nejron PhotoShutterstock 244 Andrew Lambert Photography Science Source 247 Eric SchraderPearson Education Appl p 791 OtnaYdurShutterstock 2411 Sandia National Labo ratories Appl p 800 Ernest PrimGetty Images Appl p 802 Pearson Science Capítulo 25 Abertura JGITom GrillGetty Images 254 Eric SchraderPearson Education 255 StockbyteStockbyteGetty Images Appl p 822 Dr David Furness Keele University Science Source 258 TFoxFotoShutterstock 2512 Lau rence GoughShutterstock Appl p 828 Andrew J Martinez Science Source 2515 Richard MegnaFundamental Photo graphs p 847 tabela Fonte Based on F Vollrath e D Ed monds Consequences of electrical conductivity in an orb spiders capture web Naturwissenschaften Dezembro de 2013 10012 pp 116369 Capítulo 26 Abertura 06photoShutterstock 262 Claro Cor tesReuters 265 John P Surey 2613 John P Surey Appl p 859 Gary OmblerDorling Kindersley 2618 Richard Megna Fundamental Photographs Appl p 864 Science Source 2625a Vladimir ArndtShutterstock 2625b Evgeny Tomeev Shutterstock Capítulo 27 Abertura Michael FlippoFotolia 272b Fotolia Appl p 884 Robert Smithage fotostockGetty Images Appl p 885 luminaimagesShutterstock 2714ab Richard Megna Fundamental Photographs 2717b Richard MegnaFunda mental Photographs 2720a NASA 2720b Roman Krochuk Shutterstock 2721 Lawrence Berkeley National Laboratory Appl p 901 Simon FraserScience Source 2740 Jeremy BurgessScience Source Capítulo 28 Abertura CERNEuropean Organization for Nu clear Research Appl p 925 Terra NASA Appl p 925 Lua GodrickShutterstock 288 Pearson Education 2811 Jeremy WalkerScience Source Appl p 932 James SteidlFo tolia Appl p 939 Pearson Education Appl p 944 Dr Ken neth Scarberry Capítulo 29 Abertura JabejonEGetty Images Appl p 956 Simon FraserUniversity of DurhamScience Source 299 Ma ximilian Stock LtdScience Source 2919a Kim KulishCor bis NewsCorbis 2919b Susan Allan ParkerAlamy Appl p 973 NASAJPLCaltech 2927 Richard MegnaFundamen tal Photographs Capítulo 30 Abertura EschCollectionPhotonicaGetty Ima ges 302 Shutterstock Appl p 994 Ron ChappleThe Image BankGetty Images 307 TurleytFotolia Appl p 999 SOHONASA 3010 Science Source Capítulo 31 Abertura Roger A Freedman 315 Rubberball Mike KempGetty Images 3114 Lawrence MigdaleScience Source Appl p 1030 Mauro FermarielloScience Source Appl p 1039 Katharina WittfeldShutterstock 3122 Tho mas BarratShutterstock 3123 Roger A Freedman Capítulo 32 Abertura JLImagesAlamy 321 citação Fonte Albert Einstein in James Clerk Maxwell A Commemoration Volume Nova York The Macmillan Company 1931 p 71 321 BettmannCorbis 322a Daniel LaflorVettaGetty Ima ges 322b sss78Fotolia Appl p 1054 Ted KinsmanScience Source 3216 Dudarev MikhailShutterstock 3218 Craig Holmes PremiumAlamy Appl p 1065 Alexander Tsiaras Science Source 3220 NASA 3223 grzymkiewiczGetty Images PP325456 Dados de ICNIRP Guidelines For Limi ting Exposure To TimeVarying Electric Magnetic and Elec tromagnetic Fields up to 300 Ghz Health Physics 74 4 494522 1998 CRÉDITOS BookSEARSVol3indb 459 101115 713 PM BookSEARSVol3indb 460 101115 713 PM Nota os números de página seguidos de f indicam figuras aqueles seguidos de t indicam tabelas 1 newton por coulomb 14 A Aceleração da gravidade 15 Aceleradores de partículas cíclotrons 229 253 Alternadores 311312 376377 Altofalantes 237 386 Ampère 9 10 147 273274 Ampère André 220 Amperímetros 159 192193 voltímetros e 159 193194 Amplitude de ondas eletromagnéticas 422 Amplitude de corrente 377 Amplitude de tensão 379 382 Análise de isótopos estáveis 257 Ângulo de fase 382 388389 Aparelhos sistemas de distribuição de potência em 201205 Ar ionização 9091 rigidez dielétrica do 130 90 Armazenamento de energia em capacitores 786 112113 120124 Ver também Capacitores Aston Francis 234 Autoindutância 347351 Ver também Indutância Automóveis sistemas de distribuição de potência 201 204 sistemas de ignição 354 B Bactéria 295 Baterias carregando 164 como fonte de corrente 159 potência em 162 Bednorz Johannes 152 Biot e Savart lei de 267 Blindagem 63 Blindagem eletrostática 63 Bobina de ignição 354 Bobinas campos magnéticos de 274277 de exploração 333 Helmholtz 299 indutância de Ver Indutância Tesla 346 torque magnético em 241242 Bobinas de exploração 333 Buracos em semicondutores 147 C Cabo coaxial 284 Cadeias atenuadoras 216 Câmeras unidade de flash 121122 Campo gravitacional 15 Campo vetorial 16 Campos elétricos 1318 armazenamento de energia em 112 campos magnéticos e 323326 carga de teste para 14 como grandeza vetorial 98 corrente e 146147 da carga puntiforme 1517 da esfera condutora carregada 5657 da esfera oca 60 da Terra 6465 de carga de linha uniforme 5758 de distribuições de carga simétricas 66t de esfera carregada uniformemente 5960 de ondas eletromagnéticas 412 421422 431432 de placas condutoras paralelas 5859 113 determinação do 1824 98 dipolo elétrico e 2530 direção de 16 24 distribuição de carga e 4346 5354 6t Ver também Lei de Gauss do capacitor 112 113 em condutores 16 6465 fluxo de 4346 4749 Ver também Fluxo elétrico forças elétricas e 1318 induzidos 320322 integral de linha de 280 lei de Gauss para 4365 277 411 412 módulo de 16 24 não eletrostáticos 321322 327 no vácuo 122 orientação molecular em 130132 placas paralelas carregadas 5859 planos nodaisantinodais 432 potencial elétrico e 83 8486 9699 resistividade e 150 superposição de 19 trabalho realizado por 7679 Ver também Energia potencial elétrica unidades para 14 85 uniformes 25 Campos elétricos induzidos 320322 Campos magnéticos 219 221224 cálculo de 267 cargas de teste para 223224 críticos 328 da Terra 219 223 de carga móvel 221223 264266 de condutor cilíndrico longo 282 292t de condutor reto conduzindo corrente 269272 de condutor reto longo 271 278 292t de espiras circulares 274277 de motores 235 de ondas eletromagnéticas 421422 431432 de solenoide 283 284 292t do corpo humano 223 do elemento de corrente 266269 efeito Hall e 247249 fontes de 263290 325328 integral de linha de 280 lei de Gauss para 277 411412 415 medição de 223224 329 módulo de 222223 228 movimento em 228232 no eixo do indutor 275276 notação para 222 planos nodaisantinodais de 432 sentido de 221222 superposição de 266267 vetor 221 264 Campos magnéticos críticos 328 Campos não eletrostáticos 306 321 Câncer 86f 290f Capacitância 111 112 cálculo de 113116 equivalente 117 unidades 112 114 versus coulombs 113 Capacitância equivalente 117 Capacitores 111124 aplicações 111 armazenamento de carga em 120121 armazenamento de energia em 112 120124 capacitância 111 112 Ver também Capacitância ÍNDICE REMISSIVO BookSEARSVol3indb 461 101115 713 PM 462 Física III carregando 196198 324325 cilíndrico 116 circuito com 120 com placas paralelas 113 124130 descarregando 199201 dielétricos em 125 eletrolítico de duas camadas 127 em circuitos ca 383385 393 em paralelo 118120 183 em série 116118 119 182 energia do campo elétrico e 122 123 esféricos 115 no vácuo 113114 122 reatância capacitiva 384 símbolos para 112 versus resistores 182 183 Capacitores de placas paralelas 113 dielétrico em 124130 Capacitores eletrolíticos de duas camadas 127 Carga de teste 1415 para campos magnéticos 223224 Carga elétrica 25 atração e repulsão e 23 campo elétrico e 4346 5354 Ver também Lei de Gauss conservação de 45 186 densidade de 19 dipolo elétrico e 2530 distribuição de Ver Distribuição de carga e abelhas 41 em capacitores 112 Ver também Capacitores em condutores 55 6165 estrutura da matéria e 34 fluxo e 4346 Ver também Fluxo elétrico força magnética na 221223 induzida 6 7 130132 ligadas 131132 livre 131 módulo da 9 na superfície fechada 44 nas células nervosas 68 173 negativa 2 notação para 196 pontual Ver Cargas puntiformes positiva 2 quantizada 5 superposição de forças e 11 valores típicos para 10 variações no tempo 196 versus polos magnéticos 219220 Carga por indução 67 polarização e 7 Cargas induzidas 7 modelo molecular de 130132 polarização e 7 126127 Cargas ligadas 131 Cargas livres 131 Cargas puntiformes 8 campos elétricos de 1517 Ver também Carga elétrica dentro da superfície esférica 51 dentro da superfície fechada 44 dentro da superfície não esférica 5152 dipolo elétrico e 2530 energia potencial elétrica de 7881 força entre 12 linhas de campo magnético para 265266 ondas eletromagnéticas de 412 superposição de 11 Carros Ver Automóveis Células nervosas 61f 151f 216 Ciclos de histerese 290 Cíclotron 229 253 Circuito retificador de onda completa 378 Circuitos abertos 203 autoindutância e 347351 completos 149 156162 constantes de tempo para 198199 357 corrente alternada Ver Circuitos de corrente alternada corrente contínua Ver Circuitos de corrente contínua criticamente amortecidos 364 curtocircuito 161 202204 diagramas de 159 energia em 162164 força eletromotriz e 156158 incompletos 156 indutores em 347350 Ver também Indutância junções nó em 186 LC 356363 LRC em série 363366 386389 malhas em 186 oscilações dos 359363 ponte 186191 potência em 162166 RC 196201 regras de Kirchhoff para 186191 RL 354359 sobrecargas dos 202204 subamortecidos 364365 superamortecidos 364 tempo de relaxação de 199 variações de potencial em torno de 161162 Circuitos ponte 186 Circuitos abertos 203 Circuitos cc Ver Circuitos de corrente contínua Circuitos completos 149 156160 Circuitos criticamente amortecidos 364 Circuitos de corrente alternada 149 180 ângulo de fase e 382 388389 capacitores em 383385 fasores e 377 impedância de 388389 indutores em 381382 386 potência em 391394 resistência e reatância em 380386 resistores em 380381 386 ressonância em 395397 séries LRC 386391 transformadores e 397400 Circuitos de corrente contínua 149 180205 em automóveis 201 em sistemas de distribuição de potência 201205 instrumentos de medidas para 191196 leis de Kirchhoff para 186191 RC 196201 resistores em série e em paralelo nos 180185 Circuitos elétricos Ver Circuitos Circuitos superamortecidos 365 Coeficiente de temperatura da resistividade 151 Comprimentos de onda da luz 413414 frequência e 421 Comutadores 245246 312 Concentração de partículas na corrente 148 Condução metálica 167169 Condução por buracos 248 Condutividade base microscópica da 167169 elétrica 151 178 térmica 151 Condutividade elétrica 151 Condutor conduzindo uma corrente forças magnéticas sobre 235238 Condutores 58 buracos em 248 campos elétricos em 16 6465 campos magnéticos de 269272 carga elétrica em 55 6165 concentração de partículas em 147148 condutividade 151 densidade de corrente em 147149 diodos de 155 em capacitores 112 fluxo de corrente em 146147 força de interação entre 272274 força magnética de 272274 forças magnéticas sobre 235238 metálicos 167169 movimento de elétrons em 146147 não ôhmicos não lineares 151 ôhmicos lineares 151 resistência de 152156 158 resistividade de 150152 semicondutores 151 155 249 supercondutores 152 316 superfícies equipotenciais e 9596 Condutores lineares 151 Condutores não lineares 151 Conservação de carga elétrica 45 regra dos nós de Kirchhoff e 186 Conservação de energia com força elétrica 7980 Conservação de energia mecânica 76 Conservação de força eletrostática 187 Constante dielétrica 125 Constantes elétricas fundamentais 910 versus constante dielétrica 126 Constantes elétricas fundamentais 910 Contador Geiger 106 Corrente 145 146149 alternada 149 atraso 393 campo elétrico e 146147 capacitor 383385 386t BookSEARSVol3indb 462 101115 713 PM Índice remissivo 463 carga elétrica na 146147 concentração de partículas na 148 condução 324 consumindo 158 contínua 149 180 Ver também Circuitos de corrente contínua convencional 147 deslocamento 323326 direção da 146147 153 236 em circuitos 156159 força eletromotriz e Ver Indutância indutância e 343 Ver também Indutância indutor 381382 386t induzida 305 322323 399400 lei de Ohm e 150 153 leis de Kirchhoff para 186191 medição 191192 movimento de elétrons 146147 notação para 196 resistência e 152156 resistor 380381 386t retificada média 378 retificador de onda completa 378 senoidal 378379 Ver também Corrente alternada unidades 910 147 valor quadrático médio 378379 variação no tempo 196 velocidade de arraste e 146 147149 versus densidade de corrente 149 Corrente alternada 149 180 376402 aplicações 201205 medição 377379 retificada média 378 retificada 378 riscos 398 valor quadrático médio 378379 Corrente alternada retificada 378 Corrente atrasada 393 Corrente contínua 149 180 perigos da 398 Corrente convencional 147 Corrente de condução 324 Corrente de deslocamento 323326 Corrente elétrica Ver Corrente Corrente induzida 305306 módulo da 316 sentido da 315316 318 Corrente quadrática média 378379 Corrente retificada média 378 Corrente senoidal 378 Ver também Corrente alternada Correntes parasitas 322323 em transformadores 400 Coulomb 112113 versus capacitância 113 Curie constante 287 Curie lei de 287 Curie Pierre 287 Curtocircuito 149 203 Curva de magnetização 289 Curvas de magnetização 289 de ressonância 396 resposta 396 Curvas de resposta 396 Curvas de ressonância 396 D dArsonval galvanômetro de 191 195 242 378 Declinação magnética 219 Densidade de corrente de deslocamento 325 de corrente 148 de energia magnética 352354 de energia 122 425426 de fluxo magnético 228 linear de carga 19 superficial de carga 19 volumétrica de carga 19 Densidade de corrente do vetor 147149 Densidade de corrente 148 resistividade e 150 versus corrente 149 vetor 148 Densidade de energia 122 425426 Densidade de energia magnética 352354 Densidade de fluxo magnético 228 Densidade linear de carga 19 Densidade superficial de carga 19 Densidade volumétrica de carga 19 Descarga de corona 9091 Diagramas de circuitos 159 Diagramas de fasor 377 Diamagnetismo 285 288 329 Dielétricos 124130 lei de Gauss e 132134 ondas eletromagnéticas em 424425 permissividade de 127 polarização de 126127 130132 Diferença de potencial 85 Ver também Voltagem capacitância e 112 medição da 192 notação para 196 resistência e 182183 variável no tempo 196 Diodos 155 Dipolos elétricos 2530 130 241 Ver também Dipolos elétricos magnéticos 240 241 Dipolos elétricos 2530 130 241 campo de 2930 energia potencial de 2729 força em 2627 torque em 2627 241 Dipolos magnéticos 240 243244 de ímãs 243244 em campos magnéticos não uniformes 243 energia potencial para 241 força e torque em 238244 Disco fluxo elétrico através de 49 Disjuntores 202203 Distribuição de carga 1819 campos elétricos e 4346 5354 66t Ver também Lei de Gauss estática 81 DNA pareamento de base no 34 102 Domínios magnéticos 288 E Edison Thomas 376 Elementos isótopos do 234 Eletrocardiograma 84f Eletromagnetismo 1 220 Eletrômetro 125 Eletromiografia 193f Elétrons momento angular dos 285286 relação cargamassa para 233234 descoberta de 234 em campos magnéticos 230 massa dos 3 234 movimento orbital dos 146 spin dos 286 carga dos 34 10 Ver também Carga elétrica Elétronvolts 86 Eletrostática 1 2 Energia campo elétrico 122 campo magnético 351354 custos da 204 em circuitos elétricos 162164 em circuitos LC 362 em ondas eletromagnéticas 425430 potência e 162166 unidades para 86 Energia do campo magnético 351354 Energia mecânica conservação da 7576 Energia potencial 76 do capacitor 120124 do dipolo elétrico 2729 elétrica 7599 Ver também Energia potencial elétrica em torno dos circuitos 161162 para dipolos magnéticos 241 trabalho e 76 Energia potencial elétrica 7599 com diversas cargas puntiformes 8081 conceitos alternativos da 8182 de duas cargas puntiformes 7879 energia do campo elétrico e 122 no campo uniforme 7678 nos capacitores 112113 Ver também Capacitores potencial elétrico e 86 versus força elétrica 79 Enrolamento primário 398 Enrolamentos 397398 Equação de onda eletromagnética 418420 Equação de onda para ondas eletromagnéticas 418420 Equações de Maxwell Ver Equações de Maxwell onda eletromagnética 418420 onda Ver Equação de onda Equações de Maxwell 220 304 323328 411414 BookSEARSVol3indb 463 101115 713 PM 464 Física III ondas eletromagnéticas e 411414 Esferas campo elétrico de 5657 5960 carga puntiforme dentro 51 fluxo elétrico por 51 Espectômetro de massa de Bainbridge 234 Espectro eletromagnético 413414 Espectrômetro de massa 234 257 Espiras secundárias 398 Estimulação magnética transcraniana 305f 341 Estrutura atômica 3 Experimento do balde de gelo de Faraday 63 F Farad 112 Faraday dínamo de disco 319 Faraday experimento de balde de gelo 63 Faraday lei da indução 304 306314 318 ondas eletromagnéticas e 411 412 415 424 Ver também Equações de Maxwell Faraday Michael 24 63 220 Faraday número 143 Fasor 376380 Fator de potência 393 Fem Ver Força eletromotriz fem Fem alternada senoidal 376377 Fem autoinduzida reatância indutiva e 347 Fem induzida 246 305306 Ver também Indução eletromagnética aplicação da 305 fluxo magnético e 306 309 sentido da 308310 Ferromagnetismo 288290 Fibrose cística 8f Filtros passaalta 385 passabaixa 383 Filtros passabaixa 383 Fios campo magnético de 269272 278280 281282 força de interação entre 273274 lei de Ampère para 278280 281282 Fios de aterramento 204 Fluxo Ver Fluxo elétrico Fluxo magnético Fluxo de corrente direção do 146147 Fluxo de energia eletromagnética 426428 Fluxo de energia eletromagnética 426428 Fluxo do momento linear eletromagnético 429430 Fluxo elétrico analogia de fluxo de fluido para 4647 carga e 4346 carga englobada e 4446 determinação de 4650 do campo elétrico não uniforme 4849 do campo elétrico uniforme 4748 lei de Gauss para 4365 para fora versus para dentro 4445 48 Fluxo magnético 22528 cálculo do 306307 campos elétricos induzidos e 320322 efeito Meissner e 329 em transformadores 329 fem induzida e 306 309 lei de Faraday e 306314 lei de Gauss para magnetismo e 225228 lei de Lenz e 315316 supercondutividade e 328330 unidades para 227 Fonte ca 377 Ver também Circuitos de corrente alternada Fonte de fem 157 energia potencial para dentro 163 energia potencial para fora 162 resistência interna da 158159 Força elétrica conservação de energia com 7980 campo elétrico e 1318 soma vetorial de 11 versus energia potencial elétrica 79 trabalho realizado por 7680 83 em partículas não carregadas 78 lei de Coulomb e 813 direção da 89 unidades de 910 versus força gravitacional 1011 Força eletromotriz fem 156158 alternada senoidal 376377 autoinduzida 347 383 corrente e Ver Indutância de motor elétrico 246 de realimentação 246 do movimento 317319 em transformadores 398 Hall 247248 induzida 246 305306 medição de 195196 origem da 157 159 163164 Força eletromotriz do movimento 317319 Força eletrostática conservação de 187 integral de linha para 76 280 Força gravitacional por unidade de massa 15 versus força elétrica 10 Forças elétricas Ver Força elétrica eletromotrizes 156158 eletrostáticas 187 magnéticas 221223 Forças conservativas trabalho realizado por 76 Forças magnéticas efeito Hall e 247249 em altofalantes 237 em condutores com corrente 235238 em espiras de corrente 238244 em motores elétricos 245 entre condutores paralelos 272274 módulo de 222 sentido das 221223 unidades para 223 Fotografia Ver Câmeras Franklin Benjamin 2 Frequência angular de ondas eletromagnéticas 421422 Frequência angular de ressonância 395 Frequência ciclotrônica 229 Frequência de ressonância 395 Função de onda para ondas eletromagnéticas 421 Número de onda 422 Função dielétrica 424 Fusível 202203 G Gaiola de Faraday 63 Galvanômetro de dArsonval 191 195 242 378 Garrafas magnéticas 230 Gauss 223 Gauss Carl Friedrich 51 Geradores com haste deslizante 313314 315 conversão de energia em 314 corrente alternada 376377 corrente contínua 312313 homopolares 319 Geradores com haste deslizante 313314 319 Geradores de corrente contínua 312313 Geradores homopolares 319 Gradiente de potencial 9699 H h constante de Planck 285 Hall efeito 247249 Helmholtz bobinas 299 Henry 345 Henry Joseph 220 Hertz 412 Hertz Heinrich 412 433 Histerese 290 I Imagens por ressonância magnética RM 240f 261 276f 374 Ímãs atraindo objetos não magnetizados 244 barra 243244 dipolos magnéticos dos 243244 momento magnético dos 243244 permanentes 219 285 Ímãs em barra 243244 Ímãs permanentes 219 285 Impedância 388389 Impressoras a laser 3 91 Inclinação magnética 219 Índice de refração 424 Índice refrativo Ver Índice de refração Indução eletromagnética 304330 alteração do fluxo magnético e 305306 campos elétricos induzidos e 320322 BookSEARSVol3indb 464 101115 714 PM Índice remissivo 465 correntes parasitas e 322323 equações de Maxwell e 304 323328 experiências com 305306 força eletromotriz produzida pelo movimento e 317319 lei de Faraday e 304 306314 lei de Lenz e 309 315316 supercondutores e 316 328330 Indutância 343366 autoindutância 347351 circuitos RL e 354359 energia de campo magnético e 351354 mútua 343347 Indutância mútua 344347 Indutores 347351 em circuitos ca 381383 386t 392 energia armazenada em 351354 reatância indutiva de 382 versus resistores 352 Integral de linha 76 de campos elétricos 280 de campos magnéticos 280 de força eletrostática 76 280 Integral de superfície 49 Intensidade da radiação eletromagnética 427 Interruptores de falta de terra 204 Ionização 4 efeito corona e 9091 Íons 4 Íons negativos 4 Íons positivos 4 Isolantes 58 Isótopos 234 J Joule por coulomb 83 K Kirchhoff leis de 186191 325 L Lado neutro da linha 201202 Lado quente da linha 201202 Lâmpadas fluorescentes 350 LC circuitos 359363 Lei de Ampère 277284 Ver também Equações de Maxwell aplicações da 281284 corrente de deslocamento e 324325 enunciado geral da 280 generalização 324325 ondas eletromagnéticas e 411 417 424 para um condutor longo e retilíneo 278279 Lei de Biot e Savart 267 Lei de conservação universal 5 Lei de Coulomb 1 813 constante de proporcionalidade na 9 enunciado da 9 lei de Gauss e 51 superposição de forças e 11 Lei de Gauss 4365 aplicações da 5561 carga e fluxo elétrico e 4346 carga puntiforme no interior de uma superfície esférica e 51 carga puntiforme no interior de uma superfície não esférica e 5152 condutores com cavidades e 6162 96 condutores sólidos e 5560 dielétricos e 132134 forma geral da 5354 formulação qualitativa da 46 para campos elétricos 4365 277 411 412 Ver também Equações de Maxwell para campos magnéticos 277 411412 415 Ver também Equações de Maxwell para magnetismo 227 teste experimental da 6264 visão geral 5154 Leis de conservação universais 5 Lenz lei de 309 315316 318 Ligação em paralelo 118 Ligação em série 116117 181 Linha de corrente 24 Linhas de campo Ver Linhas de campo elétrico Linhas de campo elétrico 9495 cargas puntiformes e 5354 412 ondas eletromagnéticas e 412 superfícies equipotenciais e 9394 Linhas de força magnéticas 227 Linhas do campo magnético 219 225228 extremidade 230 fluxo magnético e 225228 para carga móvel 265266 para elemento de corrente 268 sentido de 265266 versus linhas de força magnéticas 227 Linhas elétricas domésticas 204205 lado ligado 201202 lado neutro 201202 LRC circuitos em série 363366 ângulo de fase e 388389 com fonte de ca 386391 impedância em 388389 395 potência em 391394 ressonância em 394397 LRC ressonância em circuitos paralelos 396 Luz comprimentos de onda da 413414 velocidade da 411 414420 visível 413 Luz laser 414 Luz monocromática 414 Luz visível 413 M Magnetismo 219220 lei de Gauss para 227 movimento de elétrons e 220 Magnetização de saturação 289 Magnetização 243244 268 286290 diamagnetismo e 288 ferromagnetismo e 288290 magnéton de Bohr e 285286 paramagnetismo e 286288 saturação 289 Magnétons Bohr 285286 Magnéton de Bohr 285286 Magnetron 229 Malhas de corrente Ver também Dipolos magnéticos campos magnéticos de 274277 força e torque em 238242 momento magnético de 240 276 no magnetismo 285286 Marcapassos 198f Marconi Guglielmo 413 Massa da molécula 234 do átomo 3 234 do elétron 3 233234 do nêutron 3 do próton 3 Massa atômica medida da 234 Massa de teste 15 Massa molecular medição da 234 Materiais magnéticos 284290 diamagnéticos 288 ferromagnéticos 288290 magnéton de Bohr 285286 paramagnéticos 286288 permeabilidade relativa de 287 Maxwell James Clerk 325 411 Maxwell teoria ondulatória 411414 Medição da gordura 389f Megaohm 154 Meissner efeito de 329 Membrana celular 9698 130f 140 Microcoulomb 10 Microfarad 114 Microfone condensador 113 Miliampère 147 Millikan experimento de gota de óleo de 109 Millikan Robert 234 Moléculas polares 130131 Moléculas polares 130131 Momento angular de elétrons 285286 Momento de dipolo magnético Ver Momento magnético Momento do dipolo elétrico 26 Momento magnético 240 243244 alinhamento do 284290 da espira de corrente 240 276 módulo do 286 notação para 286 sentido do 240 vetor 241 Monopolos magnéticos 219220 Motores de corrente contínua 245247 Motores elétricos corrente contínua 245247 força magnética em 235 BookSEARSVol3indb 465 101115 714 PM 466 Física III Motores elétricos 235 245247 Motores em série 246 Motores shunt 246 Movimento harmônico amortecido 364 Movimento harmônico simples MHS versus oscilação elétrica 362 Müller Karl 152 Multímetros digitais 195 N Nanopartículas 290f Nêutrons massa de 3 Nó em circuitos 186 Núcleo atômico 3 4 O Ondas eletromagnéticas 410434 polarização de Ver Polarização rádio 410 413414 transversais 415 421 Ondas de rádio 410 413414 Ondas eletromagnéticas 410434 amplitude de 422 aplicações de 413414 campos elétricos de 412 421422 431432 campos magnéticos de 421422 431432 direção 418 e segurança 440 em dielétricos 424 energia em 425430 equações de Maxwell e 411414 estacionárias 412 431434 frequência angular de 422 frequência de 421 funções de onda 421422 geração de 412413 intensidade de 427428 módulos de 416 momento linear de 429430 na matéria 424425 número de onda para 422 planas 414417 polarização de 418 Ver também Polarização pressão de radiação e 430 propriedades das 417418 refletidas 431433 regra da mão direita para 418 senoidais 421425 superposição de 431432 transversais 415 418 unidades para 412 velocidade 411412 414420 433 vetor de Poynting das 426428 Ondas eletromagnéticas planas 414417 Ondas eletromagnéticas senoidais 421425 Ondas estacionárias eletromagnéticas 412 431434 Distribuição de cargas estáticas 81 Ondas transversais eletromagnéticas 415 Onnes Heike Kamerlingh 152 Oscilação elétrica 359360 em circuitos LC 360361 P Paramagnetismo 286288 Pararaios 91 Partículas atômicas 34 Ver também Elétrons Nêutrons Prótons Partículas carregadas movimento em campos magnéticos 228231 Passaalta filtros 385 Permeabilidade 287 Permeabilidade relativa 287 Permissividade do dielétrico 127 Picoampère 147 Picofarad 114 Planck constante de 285 Plano antinodal 432 Planos nodais 432 Poeira cósmica 439 Polaridade de célula 408 Polarização 7 25 111 126127 cargas induzidas e 7 126127 corpos carregados e 7 131 de dielétricos 126127 130132 de ondas eletromagnéticas 418 linear 418 linhas do campo elétrico e 25 Polarização linear 418 de onda eletromagnética 418 Polo norte N 219 Polo sul S 219 Polos magnéticos 219 versus carga elétrica 219220 Ponto da fonte 1517 264 Ponto do campo 1415 264 Pósitrons movimento em campos magnéticos 230 Potência em circuitos elétricos 162166 391394 energia e 204 medição de 193194 para motores elétricos 246 Potenciais de ação 216 341 Potencial Ver Potencial elétrico Potencial de membrana 9698 143 Potencial elétrico 8289 cálculo de 84 campo elétrico e 83 8486 9699 circuitos elétricos e 162166 como grandeza escalar 83 98 de a com relação a b 83 energia potencial elétrica e 7582 linhas de campo e 9495 máximo 9091 superfícies equipotenciais e 9396 trabalho realizado por 83 unidades de 83 86 Potenciômetros 195196 Precipitadores eletrostáticos 107 Pressão da radiação 429430 Pressão radiação 429430 Problemas de eletrostática 10 Propriedades de simetria dos sistemas 43 Prótons carga 10 massa 4 Q Quarks 3 259 Quiloohm 154 Quilowatthora 204 R Radiação eletromagnética 412413 Ver também Ondas eletromagnéticas Radiação câncer e 86f 290f Rádios sintonia 396 transmissores e receptores de 413 RC circuitos 196201 216 Reatância capacitiva 384 Reatância indutiva 382 Reator magnético 350 Reatores 347351 Redes de circuitos 186 Reflexão de ondas eletromagnéticas 433 Resistência 152156 equivalente 181 182 interna 158159 162 medição da 191196 193194 Resistência de acesso 408 Resistência equivalente 181 182 Resistência interna 158159 Resistividade 150152 do metal 167169 temperatura e 151152 Resistores 154155 dissipação de energia em 164 em circuitos ca 380381 386t 391392 em circuitos cc 180185 em paralelo 182183 em série 181182 entrada de potência 163 potência em 391392 resistência equivalente e 181183 shunt 192 taxa de potência em 163 versus capacitores 182 versus indutores 352 Resistores paralelos 182183 Resistores shunt 192 Ressonância magnética RM 240f 261 276f 374 Ressonância 395 em circuitos ca 394394 Retificadores 378 BookSEARSVol3indb 466 101115 714 PM Índice remissivo 467 Rigidez dielétrica 130 do ar 90 130 RL circuitos 354359 diminuição da corrente em 358 Rotores 245246 Ruptura dielétrica 124125 129130 Rutherford espectrometria 109 S Seletor de velocidade 232 Semicondutores 248 buracos em 248 cargas em movimento nos 146147 condução em 147 diodos de 155 resistividade de 150151 Sensores de semáforo 350 Série resistores em 181182 Sistemas de distribuição de potência 201205 Sistemas de fiação automóvel 201 204 domésticos 201204 Sistemas de fiação domésticos 201205 398399 Sistemas de GPS 439 Sistemas propriedades de simetria dos 43 Sobrecargas do circuito 202204 Sol 353f Solenoide toroidal campo magnético da 284 292t Solenoides 242 243 283 284 292t Spin elétron 286 Spin do elétron 286 SQUIDs Superconducting Quantum Interference Devices 330 Subamortecimento 364365 Superconducting Quantum Interference Devices SQUIDs 330 Supercondutores 152 316 328330 Superfície fechada fluxo elétrico por 44 Superfície Gaussiana 53 versus superfície equipotencial 96 Superfícies equipotenciais 9396 condutores e 9596 versus Superfície gaussianas 96 Superposição de campos elétricos 19 de campos magnéticos 266267 de forças 11 princípio da 11 19 Suscetibilidade magnética 287 T Temperatura crítica 328 resistividade e 151152 Temperatura crítica 328 Tempo de relaxação 199 Tempo livre médio 167 Tempo livre médio 67 Constante de tempo para circuito 198199 357 Teorema do trabalhoenergia 76 Termistores 152 Terra campos magnéticos da 219 223 Tesla indutores 346 Tesla Nikola 223 Thomson experimento em de 233234 Thomson J J 7172 233234 Thomson modelo para o átomo de 7172 Torque magnético 238344 no dipolo elétrico 241 sobre espiras de corrente 238344 Torque magnético 238244 Trabalho energia potencial e 7678 realizado para carregar capacitor 120121 realizado por campos elétricos 7678 Ver também Energia potencial elétrica realizado por força conservativa 7576 realizado por força elétrica 7679 83 realizado por força eletromotriz 157158 realizado por potencial elétrico 83 Transformador para abaixar a tensão 397399 Transformador para elevar a tensão 397399 Transformadores 346 397400 Tubos de raios catódicos para medição do campo magnético 223224 U Unidade de flash da câmera 121122 Unidades de medida para capacitância 112 114 para campo elétrico 14 85 para potencial elétrico 83 86 para ondas eletromagnéticas 412 para fluxo magnético 227 para força magnética 223 para indutância mútua 345 para resistência 154 para corrente elétrica 910 147 para força elétrica 910 V Vacâncias 147 Vácuo campos elétricos no 122 capacitores no 113114 122 energia do campo elétrico no 122 permissividade do 127 Valor quadrático médio da tensão 202 Van Allen cinturões de radiação 230 Van de Graaff gerador eletrostático 63 Variação magnética 219 Velocidade de arraste 146 corrente e 147148 efeito de Hall e 247248 Velocidade de arraste 146 147149 Velocidade escalar da luz 411 414420 de ondas eletromagnéticas 411412 433 Vetor de Poynting 426427 Visão ultravioleta 414f Volt 83 elétron 86 Volt por metro 86 Voltagem 83 Ver também Diferença de potencial capacitor 383385 corrente e 153155 doméstica 202 em circuitos ac 394397 Hall 247249 indutor 381382 medição de 193 nos terminais 158159 resistor 380381 386t senoidal 379 transformadores e 397400 valor quadrático médio da 202 Voltagem nos terminais 158 Voltímetros 83 159 193 amperímetros e 193194 379 digitais 195 Volume equipotencial 9596 W Weber 227 Westinghouse George 376 Wheatstone ponte de 214 Z Z máquina 122 BookSEARSVol3indb 467 101115 714 PM BookSEARSVol3indb 468 101115 714 PM SOBRE OS AUTORES Roger A Freedman é conferencista de física na Universidade da Califórnia em Santa Bárbara UCSB Ele fez a graduação no campus da Universidade da Califór nia em San Diego e Los Angeles e as pesquisas para sua tese de doutorado versaram sobre teoria nuclear na Universidade de Stanford sob a orientação do professor J Dirk Walecka O dr Freedman ingressou na UCSB em 1981 depois de ter trabalhado por três anos em pesquisa e ensino de física na Universidade de Washington Na UCSB lecionou no Departamento de Física bem como no College of Creative Studies um setor da universidade destinado a alunos de graduação altamente moti vados e competentes Ele publicou trabalhos de pesquisa em física nuclear física das partículas elementares e física do laser Ultimamente tem lutado para tornar as aulas de física uma experiência mais interativa com o uso de sistemas de resposta em sala de aula e vídeos préaula Nos anos 1970 o dr Freedman trabalhou como letrista de revistas de quadrinhos e ajudou a organizar a San Diego ComicCon atualmente a maior convenção de cultura popular do mundo durante seus primeiros anos Hoje quando não está le cionando ou debruçado sobre um computador dr Freedman está voando ele tem licença de piloto comercial ou com sua esposa Caroline animando os remadores da equipe masculina e feminina da UCSB À MEMÓRIA DE HUGH YOUNG 19302013 Hugh D Young foi professor emérito de física na Universidade Carnegie Mellon em Pittsburgh Pennsylvania Ele estudou na CarnegieMellon tanto na graduação quanto na pósgraduação obtendo o título de PhD na teoria de par tículas fundamentais sob a orientação do professor Richard Cutkosky Young começou a trabalhar na Carnegie Mellon em 1956 e aposentouse em 2004 Ele também atuou duas vezes como professor visitante na Universidade da Califórnia em Berkeley A carreira do professor Young girou inteiramente em torno do ensino de graduação Ele escreveu diversos livros de física em nível de graduação e em 1973 foi coautor com Francis Sears e Mark Zemansky dos famosos livros de introdução à física Além de sua participação no livro University Physics de Sears e Zemansky ele foi autor de College Physics dos mesmos autores O professor Young obteve o título de bacharel em performance de órgão pela Carnegie Mellon em 1972 e foi organista associado por vários anos na Catedral de St Paul em Pittsburgh Ele frequentemente se aventurava no deserto para caminhar escalar ou explorar cavernas com os alunos do Explorers Club da Carnegie Mellon que fundou como aluno de graduação e depois assessorou O professor Young e sua esposa Alice hospedavam até 50 alunos a cada ano para jantares de Ação de Graças em sua casa Sempre generoso dr Young expressava sua admiração de forma ardente Estendo meus cordiais agradecimentos aos meus colegas da Carnegie Mellon em especial aos professores Robert Kraemer Bruce Sherwood Ruth Chabay Helmut Vogel e Brian Quinn por discussões estimulantes sobre pedagogia da Física e por seu apoio e incentivo du rante a elaboração das sucessivas edições deste livro Agradeço também às muitas gerações de estudantes da Carnegie Mellon por me ajudarem a entender o que é ser um bom professor e um bom escritor e por me mostrarem o que fun ciona ou não É sempre um prazer e um privilégio expressar minha gratidão à minha esposa Alice e minhas filhas Gretchen e Rebecca pelo amor apoio e amparo emocional durante a elaboração das sucessivas edições deste livro Quem dera todos os homens e mulheres fossem abençoados com o amor que elas me dedicam Nós da Pearson apre ciamos seu profissionalismo boa índole e cooperação Sentiremos falta dele BookSEARSVol3indb 469 101115 714 PM 470 Física III A Lewis Ford é professor de física na Universidade AM do Texas Ele recebeu o grau de Bachelor of Arts BA na Universidade Rice em 1968 e o título de PhD em físicoquí mica na Universidade do Texas em Austin em 1972 Depois de um pósdoutorado de um ano na Universidade de Harvard ele começou a trabalhar na faculdade de física da Universidade AM do Texas em 1973 e ali permanece até hoje Suas pesquisas versam sobre física atômica teórica particularmente em colisões atômicas Na Universidade AM do Texas lecionou em diversos cursos de graduação e de pósgraduação porém se dedicou mais à física básica BookSEARSVol3indb 470 101115 714 PM ISBN 9788543015910 Engenharia w w w p e a r s o n c o m b r Física w w w p e a r s o n c o m b r svpearsoncombr A Sala Virtual oferece para professores apresentações em PowerPoint manual de soluções e exercícios adicionais em inglês Para estudantes exercícios adicionais Este livro também está disponível para compra em formato ebook Para adquirilo acesse nosso site 14e ELETROMAGNETISMO YOUNG FREEDMAN III FÍSICA Desde sua primeira edição esta obra tem sido referência por sua ênfase nos princípios fundamentais de física e em como aplicálos Estruturado de maneira clara e com uma didática minuciosa aliada a uma extensa gama de exercícios e exemplos explicativos este livro permite que os alunos desenvolvam habilidades de identificação estabele cimento execução e avaliação de problemas Fundamental para estudantes dos cursos de graduação em matemática física e para todos os ramos da engenharia esta 14a edição foi totalmente atualizada e revisada para oferecer um aprendizado eficaz por meio de uma abordagem mais explicativa somada a uma quantidade maior de figuras fotos e exercícios E todo esse conteúdo é complementado por notas explicativas nas principais equações quadros com os erros mais comuns conteúdo atualizado da física moderna e aplicações de biociência o que o torna a grande referência para os estudiosos da área SEARS ZEMANSKY 14e YOUNG FREEDMAN SEARS ZEMANSKY FÍSICA III ELETROMAGNETISMO ELETROMAGNETISMO III FÍSICA 14e YOUNG FREEDMAN SEARS ZEMANSKY VIRA VIRA VIRA VIRA 9788543015910SEARSFÍSICA IIIindd 1 18122015 102746