Exercícios - Matemática Discreta 2021 2

24. Considere a seguinte relação de recorrência linear e heterogênea a_n = 2a_{n-1} + 2^n. a) Mostre que a_n = n2^n é uma solução dessa relação de recorrência. b) Use o Teorema 5 para encontrar todas as soluções dessa relação de recorrência. c) Encontre a solução para a_0 = 2. 25. Determine os valores das constantes A e B, tal que a_n = An + B é uma solução da relação de recorrência a_n = 2a_{n-1} + n + 5. a) Use o Teorema 5 para encontrar todas as soluções dessa relação de recorrência. b) Encontre a solução para essa relação de recorrência para a_0 = 4. 26. Qual é a forma geral de uma solução particular garantida pelo Teorema 6 para a relação de recorrência linear e hete- rogênea a_n = -12a_{n-2} + 8a_{n-3} + f(n), se a) F(n) = n b) F(n) = (2^n)? c) F(n) = n(2^n)? d) F(n) = n^3? 28. a) Encontre todas as soluções para a relação de recorrência a_1 = 0 e a_2 = 5. 35. Encontre a solução para a relação de recorrência a_n = 4a_{n-1} - 3a_{n-2} + 2^n + 3, com a_0 = 1 e a_1 = 4. 36. Considere e_n como a soma dos primeiros n quadrados per- feitos, ou seja, e_n = Σ^n_{k=1} k^2. Mostre que a sequência (a_n) satisfaz a relação de recorrência linear e heterogênea a_n = a_{n-1} + n^2 e a condição inicial a_1 = 1. Use o Teorema 5 para determinar uma fórmula para a_n, resolvendo esta re- lação de recorrência. 37. Considere e_n como a soma dos primeiros n números trian- gulares, ou seja, e_n = Σ^n_{k=1} (k(k + 1)/2). Mostre que (a_n) satisfaz a relação de recorrência linear e heterogênea a_n = a_{n-1} + n(n + 1)/2 e a condição inicial a_1 = 1. Use o Teorema 5 para determinar uma fórmula para a_n, resolvendo esta relação de recorrência. 38. a) Encontre as raízes características da relação de recor- rência linear e homogênea a_n = 2a_{n-1} - 2a_{n-2}. (Nota: Incluem números complexos) b) Encontre a solução da relação de recorrência do item (a), com a_0 = 1, a_1 = 0, a_2 = -1 e a_3 = 1. 39. a) Encontre as raízes características da relação de recor- rência linear e homogênea a_n = a_{n-1}. (Nota: Incluem números complexos.) b) Encontre a solução da relação de recorrência do item (a), com a_0 = 1, a_1 = 0. 40. Resolva as relações de recorrência simultâneas a_n = 3a_{n-1} + 2b_{n-1} b_n = a_{n-1} + 2b_{n-1} com a_0 = 1 e b_0 = 2. 41. a) Utilize a fórmula encontrada no Exemplo 4 para f_n, o n-ésimo número de Fibonacci, para mostrar que f_6 é o número inteiro mais próximo de