Slide - Probabilidade B1 - Matemática Discreta - 2023-2

B1 - Probabilidade Jeroen van de Graaf DCC/UFMG Tópicos Módulo B: Probabilidade 1. Axiomas e definições (6.1 e 6.2) ▶ Intro, Laplace (6.1) ▶ Exemplo importante: Monty’s Hall ▶ Axiomas; eventos; combinação de eventos (6.2) ▶ Exemplo importante: Paradoxo do aniversário 2. Probabilidade condicional, independência, teorema de Bayes 3. Váriaveis estocásticas 4. Distribuições princiais **5. *Comportamento asintótico das distribuições** Teoria da probabilidade: Introdução ▶ Todo ser vivo tem que lidar com incertezas e riscos para sobreviver. ▶ A lógica formal não é adequada para modelar o mundo. ▶ A teoria de probabilidade é uma extensão da lógica formal. ▶ A inteligência artificial usa probabilidade (redes bayesianas). ▶ A Teoria de Probabilidade nasceu junto com a Análise Combinatória, ambas aplicadas ao estudo dos jogos de azar. ▶ Aqui nos concentraremos na Teoria de Probabilidade Discreta, que define probabilidades (apenas) em conjuntos finitos e enumeráveis. Conjuntos enumeráveis ▶ Um conjunto é um conjunto enumerável se ele é finito, ou se existe uma bijeção entre seus elementos e o conjunto dos números naturais N. ▶ Um conjunto é enumerável se é possível enumerar seus elementos, ou seja, se é possível produzir uma lista (possivelmente infinita) que contenha todos seus elementos. Por exemplo: 1. São conjuntos enumeráveis os naturais N, os inteiros Z e os racionais Q. 2. São conjuntos não-enumeráveis: os reais R e qualquer intervalo contínuo de R. Probabilidade finita – intuição Imagine uma coleção S de objetos, da qual uma subcoleção E tem uma propriedade especifica. Escolha um objeto arbitrário da S. A probabilidade de escolher um objeto com propriedade E é dada por p(E) = |E| |S| = #objetos com propriedade E #total de objetos em S . Ou seja, a probabilidade de um elemento de E é a razão entre o número de objetos que têm propriedade E e o número total de objetos. Probabilidade finita – terminologia ▶ Um experimento ou ensaio é um procedimento que produz um resultado dentre vários resultados possíveis. ▶ O espaço amostral S de um experimento é o conjunto de todos osr esultados possíveis para o experimento. ▶ Um evento é um subconjunto do espaço amostral. Probabilidade finita – definição A definição de Laplace para probabilidade é como se segue. Definição Seja S um espaço amostral finito de resultados igualmente prováveis, e seja E ⊆ S um evento. A probabilidade (segundo Laplace) do evento E é dada por p(E) = |E| |S| = #possibilidades corretas #todas possibilidades . Ou seja, a probabilidade de um evento E é a razão entre o número de resultados que satisfazem E e o total de resultados possíveis. Dica Para entender o contexto do problema é mais fácil começar pelo denominador Probabilidade finita – definição A definição de Laplace para probabilidade é como se segue. Definição Seja S um espaço amostral finito de resultados igualmente prováveis, e seja E ⊆ S um evento. A probabilidade (segundo Laplace) do evento E é dada por p(E) = |E| |S| = #possibilidades corretas #todas possibilidades . Ou seja, a probabilidade de um evento E é a razão entre o número de resultados que satisfazem E e o total de resultados possíveis. Dica Para entender o contexto do problema é mais fácil começar pelo denominador Probabilidade finita – exemplo Exemplo: Quando dois dados de seis faces são rolados, qual a probabilidade da soma dos números de cada dado ser 8? Solução: O experimento consiste em rolar dois dados de seis faces. O espaço amostral S do experimento é o conjunto de todos os pares de dois números possíveis, sendo cada número do par o resultado de um dos dados. Há 6 possibilidades para o resultado de cada dado, enão há 6 · 6 = 36 possibilidades no total. Estamos interessados no evento E em que a soma dos números em cada dado é 8. Ou seja, E = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}. Pela definição de Laplace, a probabilidade de E é dada por P(E) = |E| |S| = 5 36. Probabilidade finita – exemplo Exemplo: Na Mega Sena, 6 dezenas são sorteadas aleatoriamente de um conjunto de dezenas de 01 a 60, e uma aposta é premiada se ela contiver as 6 dezenas sorteadas. Qual a probabilidade de uma aposta de 6 dezenas ser premiada? Solução: O experimento consiste em sortear 6 dezenas dentre 60. O espaço amostral S do experimento é o conjunto de todas combinações de 6 dezenas de um conjunto de 60, ou seja, |S| = C(60, 6) = 60! 6!(60 − 6)! = 50 063 860. Então, a probabilidade é P(E) = |E| |S| = 1 50 063 860 ≈ 0.00000002. Probabilidade finita – exemplo Exemplo: Qual a probabilidade de que uma mão de pôquer de 5 cartas seja um full house, ou seja, 3 cartas de um mesmo denominação e 2 cartas de um outro denominação? Solução: p(E) = |E| |S| = #mãos full house #todas mãos . ▶ Calcular |S|: O experimento consiste em retirar 5 cartas de um conjunto de 52 cartas do baralho. O espaço amostral S do experimento é o conjunto de todas combinações de 5 cartas retiradas de um conjunto de 52, ou seja, |S| = C(52, 5) = 52! 5!(52 − 5)! = 2 598 960. Probabilidade finita – exemplo continuado ▶ Calcular |E|: Um full house pode ser obtido através das seguintes etapas consecutivas: Escolhem-se os 2 tipos de cartas dentre os 13 possíveis. Já que a ordem dos tipos importa (2 rainhas e 3 azes é diferente de 3 rainhas e 2 azes), há P(13, 2) = 13! (13−2)! = 156 maneiras de se fazer isto. Escolhem-se 3 naipes do primeiro tipo entre os 4 possíveis. Há C(4, 3) = 4! (3!(4−3)!) = 4 maneiras de se fazer isto. Escolhem-se 2 naipes do segundo tipo entre os 4 possíveis. Há C(4, 2) = 4! (2!(4−2)!) = 6 maneiras de se fazer isto. Logo, pela regra da multiplicação, o número total de maneiras de se obter um full house é P(13, 2) · C(4, 3) · C(4, 2) = 3 744. Probabilidade finita – exemplo continuado ▶ Calcular |E| |S| : Assim, pela definição de Laplace, se todos os resultados do espaço amostral são igualmente prováveis, a probabilidade de E é dada por P(E) = |E| |S| = 3 744 2 598 960 ≈ 0.0014. Probabilidade finita – exemplo Exemplo: Uma urna contém 8 bolas vermelhas e 5 bolas azuis. Qual a probabilidade de uma bola retirada aleatoriamente da urna ser azul? Solução: O experimento consiste em retirar uma bola da urna. P(E) = |E| |S| = #possibilidades corretas #todas possibilidades = 5 13. Probabilidade finita – exemplo Exemplo: Uma urna contém 8 bolas vermelhas e 5 bolas azuis. Retirando 3 bolas da urna, qual a probabilidade de uma bola destas ser vermelha, e as outras duas azuis? Solução 1: ▶ |S| = 13 · 12 · 11 ▶ #(VAA) = 8 · 5 · 4 ▶ #(AVA) = 5 · 8 · 4 ▶ #(AAV) = 5 · 4 · 8 ▶ P(E) = |E| |S| = 160+160+160 1716 = 480 1716 Probabilidade finita – exemplo (*) Exemplo: Uma urna contém 8 bolas vermelhas e 5 bolas azuis. Retirando 3 bolas da urna, qual a probabilidade de uma bola destas ser vermelha, e as outras duas azuis? Solução 2: P(E) = |E| |S| = #possibilidades corretas #todas possibilidades = (8 1)(5 2) (13 3) . Probabilidade finita – exemplo Exemplo: (Ross 2.5d) Uma urna contém n bolas, das quais uma é especial. Se k bolas são retiradas da urna, uma a cada vez, com probabilidade igual entre as bolas restantes, qual é a probabilidade que a bola especial é selecionada? Solução: Colore a bola especial de preto, as outras, de branco. P(E) = |E| |S| = (1 1)(n−1 k−1) (n k) = (n−1)! (k−1)!(n−k)! n! k!(n−k)! = k n Probabilidade finita – exemplo Exemplo: (Ross 2.5d) Uma urna contém n bolas, das quais uma é especial. Se k bolas são retiradas da urna, uma a cada vez, com probabilidade igual entre as bolas restantes, qual é a probabilidade que a bola especial é selecionada? Solução: Colore a bola especial de preto, as outras, de branco. P(E) = |E| |S| = (1 1)(n−1 k−1) (n k) = (n−1)! (k−1)!(n−k)! n! k!(n−k)! = k n Probabilidade finita – exemplo Exemplo: (Ross 2.5j) Um baralho de 52 cartas é embaralhado e aberta, uma carta cada vez, até o primeiro ás aparece. A proxima carta (aquela seguindo o primeiro ás) é mais provável ser o ás de espadas ou o quatro de paus? ▶ S = # (maneiras de embaralhar 52 cartas) = 52!. ▶ Tirando o ás de espadas, existem 51! maneiras de ordenar as cartas restantes. ▶ Para inserir o ás de espadas existe apenas uma posição correta, a saber seguindo o primeiro ás. ▶ Então |E| = 51!, e p = 51! 52! = 1 52. ▶ Esse raciocínio se aplica também ao quatro de paus, ou qualquer outra carta. Probabilidade finita – exemplo Exemplo: (Ross 2.5j) Um baralho de 52 cartas é embaralhado e aberta, uma carta cada vez, até o primeiro ás aparece. A proxima carta (aquela seguindo o primeiro ás) é mais provável ser o ás de espadas ou o quatro de paus? ▶ S = # (maneiras de embaralhar 52 cartas) = 52!. ▶ Tirando o ás de espadas, existem 51! maneiras de ordenar as cartas restantes. ▶ Para inserir o ás de espadas existe apenas uma posição correta, a saber seguindo o primeiro ás. ▶ Então |E| = 51!, e p = 51! 52! = 1 52. ▶ Esse raciocínio se aplica também ao quatro de paus, ou qualquer outra carta. Probabilidade finita – exemplo Exemplo: (Ross 2.5j) Um baralho de 52 cartas é embaralhado e aberta, uma carta cada vez, até o primeiro ás aparece. A proxima carta (aquela seguindo o primeiro ás) é mais provável ser o ás de espadas ou o quatro de paus? ▶ S = # (maneiras de embaralhar 52 cartas) = 52!. ▶ Tirando o ás de espadas, existem 51! maneiras de ordenar as cartas restantes. ▶ Para inserir o ás de espadas existe apenas uma posição correta, a saber seguindo o primeiro ás. ▶ Então |E| = 51!, e p = 51! 52! = 1 52. ▶ Esse raciocínio se aplica também ao quatro de paus, ou qualquer outra carta. Probabilidade finita – exemplo Exemplo: (Ross 2.5j) Um baralho de 52 cartas é embaralhado e aberta, uma carta cada vez, até o primeiro ás aparece. A proxima carta (aquela seguindo o primeiro ás) é mais provável ser o ás de espadas ou o quatro de paus? ▶ S = # (maneiras de embaralhar 52 cartas) = 52!. ▶ Tirando o ás de espadas, existem 51! maneiras de ordenar as cartas restantes. ▶ Para inserir o ás de espadas existe apenas uma posição correta, a saber seguindo o primeiro ás. ▶ Então |E| = 51!, e p = 51! 52! = 1 52. ▶ Esse raciocínio se aplica também ao quatro de paus, ou qualquer outra carta. Probabilidade finita – exemplo Exemplo: (Ross 2.5j) Um baralho de 52 cartas é embaralhado e aberta, uma carta cada vez, até o primeiro ás aparece. A proxima carta (aquela seguindo o primeiro ás) é mais provável ser o ás de espadas ou o quatro de paus? ▶ S = # (maneiras de embaralhar 52 cartas) = 52!. ▶ Tirando o ás de espadas, existem 51! maneiras de ordenar as cartas restantes. ▶ Para inserir o ás de espadas existe apenas uma posição correta, a saber seguindo o primeiro ás. ▶ Então |E| = 51!, e p = 51! 52! = 1 52. ▶ Esse raciocínio se aplica também ao quatro de paus, ou qualquer outra carta. Probabilidade finita – exemplo Exemplo: (Ross 2.5j) Um baralho de 52 cartas é embaralhado e aberta, uma carta cada vez, até o primeiro ás aparece. A proxima carta (aquela seguindo o primeiro ás) é mais provável ser o ás de espadas ou o quatro de paus? ▶ S = # (maneiras de embaralhar 52 cartas) = 52!. ▶ Tirando o ás de espadas, existem 51! maneiras de ordenar as cartas restantes. ▶ Para inserir o ás de espadas existe apenas uma posição correta, a saber seguindo o primeiro ás. ▶ Então |E| = 51!, e p = 51! 52! = 1 52. ▶ Esse raciocínio se aplica também ao quatro de paus, ou qualquer outra carta. Exemplo: Monty Hall ▶ (Rosen Exemplo 6.1.10) Você participa de um programa de televisão. ▶ O grande prêmio está escondido atrás de uma de 3 portas, A, B ou C. ▶ Você escolhe uma porta. Digamos Porta A. ▶ O apresentador, Sílvio Santos, que sabe onde fica o prêmio, abre uma porta onde não há um prêmio, e ele pergunta se vc quer trocar. Questão: você deve trocar, ou não faz diferença? Resposta 1: Inicialmente, a probabilidade do prêmio ficar atrás de Porta A é de 1 3. Esta não muda, quando SS abre a parta de B ou C. Então a porta que continua fechada (C ou D) tem agora uma probabilidade de 2 3, e você deve trocar. Abordagem alternativa: Imagine que haja 30 portas, você escolhe uma, e SS abre 28 portas, deixando apenas duas portas fechadas. Trocando, você aumenta a sua chance de 1 30 para 29 30. Exemplo: Monty Hall ▶ (Rosen Exemplo 6.1.10) Você participa de um programa de televisão. ▶ O grande prêmio está escondido atrás de uma de 3 portas, A, B ou C. ▶ Você escolhe uma porta. Digamos Porta A. ▶ O apresentador, Sílvio Santos, que sabe onde fica o prêmio, abre uma porta onde não há um prêmio, e ele pergunta se vc quer trocar. Questão: você deve trocar, ou não faz diferença? Resposta 1: Inicialmente, a probabilidade do prêmio ficar atrás de Porta A é de 1 3. Esta não muda, quando SS abre a parta de B ou C. Então a porta que continua fechada (C ou D) tem agora uma probabilidade de 2 3, e você deve trocar. Abordagem alternativa: Imagine que haja 30 portas, você escolhe uma, e SS abre 28 portas, deixando apenas duas portas fechadas. Trocando, você aumenta a sua chance de 1 30 para 29 30. Exemplo: Monty Hall ▶ (Rosen Exemplo 6.1.10) Você participa de um programa de televisão. ▶ O grande prêmio está escondido atrás de uma de 3 portas, A, B ou C. ▶ Você escolhe uma porta. Digamos Porta A. ▶ O apresentador, Sílvio Santos, que sabe onde fica o prêmio, abre uma porta onde não há um prêmio, e ele pergunta se vc quer trocar. Questão: você deve trocar, ou não faz diferença? Resposta 1: Inicialmente, a probabilidade do prêmio ficar atrás de Porta A é de 1 3. Esta não muda, quando SS abre a parta de B ou C. Então a porta que continua fechada (C ou D) tem agora uma probabilidade de 2 3, e você deve trocar. Abordagem alternativa: Imagine que haja 30 portas, você escolhe uma, e SS abre 28 portas, deixando apenas duas portas fechadas. Trocando, você aumenta a sua chance de 1 30 para 29 30. Combinação de eventos ▶ Segundo a definição de Laplace, um evento nada mais é que um subconjunto do espaço amostral. ▶ Portanto, é natural que a probabilidade da combinação de eventos possa ser calculada utilizando operações sobre conjuntos (união, interseção, complemento, etc.). Combinação de eventos Teorema (a) Seja E um evento de um espaço amostral S. A probabilidade do evento E, o complemento do evento E, é dada por p(E) = 1 − p(E). (b) Sejam E1 e E2 eventos de um espaço amostral S. Então p(E1 ∪ E2) = p(E1) + p(E2) − p(E1 ∩ E2). Combinação de eventos Prova a). Note que |E| = |S| − |E|. Logo p(E) = |E| |S| = |S|−|E| |S| = 1 − |E| |S| = = 1 − p(E). ▶ Portanto, se E é um evento num espaço amostral S, então p(E) + p(E) =1. Combinação de eventos Prova b). Note que |E1 ∪ E2| = |E1| + |E2| − |E1 ∩ E2|. Logo p(E1 ∪ E2) = |E1∪E2| |S| = |E1|+|E2|−|E1∩E2| |S| = |E1| |S| + |E2| |S| − |E1∩E2| |S| = p(E1) + p(E2) − p(E1 ∩ E2). Combinação de eventos – exemplo Exemplo: Qual a probabilidade de um inteiro selecionado aleatoriamente entre os 100 primeiros inteiros ser divisível por 2 ou por 5? Solução: O espaço amostral S consiste no conjunto dos inteiros positivos menores ou iguais a 100, logo |S| = 100. Estamos interessados no evento E em que um inteiro é divisível por 2 ou por 5. Podemos escrever E = E1 ∪ E2, onde E1 representa o evento em que o número é divisível por 2, e E2 representa o evento em que o número é divisível por 5. É fácil calcular que ▶ |E1| = 50 (pois há 50 números divisíveis por 2 no intervalo), e ▶ |E2| = 20 (pois há 20 números divisíveis por 5 no intervalo). Combinação de eventos – exemplo (c) Note que, nesse caso, E1 ∩ E2 representa o evento em que o número é divisível por 2 e por 5 ao mesmo tempo, ou seja, o evento em que o número é divisível por 10. É fácil calcular que ▶ |E1 ∩ E2| = 10 (pois há 10 números divisíveis por 10 no intervalo). Logo, podemos calcular P(E) como P(E) = P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) − P(E1 ∩ E2) = 50 100 + 20 100 − 10 100 = 3 5. Tópicos 1. Axiomas e definições (6.1 e 6.2) ▶ Intro, Laplace (6.1) ▶ Exemplo importante: Monty’s Hall ▶ Axiomas; eventos; combinação de eventos (6.2) ▶ Exemplo importante: Paradoxo do aniversário Teoria de probabilidade ▶ A definição de Laplace tém várias restrições: ▶ assume que os resultados de um experimento são todos igualmente prováveis; ▶ não permite modelar uma moeda com vies ou dado falso; ▶ ela só funciona quando o espaço amostral é finito. ▶ Nesta seção vamos estender essa definição, definindo probabilidades em situações em que os resultados de um evento não são todos igualmente prováveis. Exemplo: dado justo Exemplo: Um dado justo (não-viciado) de 6 faces é rolado. Qual a distribuição probabilidade devemos atribuir aos possíveis resultados do experimento? Solução: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se o dado não está viciado, espera-se que, se rolarmos o dado infinitas vezes, obtenhamos cada uma das face em 1/6 das vezes. Logo, atribuímos a distribuição de probabilidade uniforme aos resultados do experimento: p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(6) = 1 6. 1 2 3 4 5 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 Exemplo: dado justo Exemplo: Um dado justo (não-viciado) de 6 faces é rolado. Qual a distribuição probabilidade devemos atribuir aos possíveis resultados do experimento? Solução: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se o dado não está viciado, espera-se que, se rolarmos o dado infinitas vezes, obtenhamos cada uma das face em 1/6 das vezes. Logo, atribuímos a distribuição de probabilidade uniforme aos resultados do experimento: p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(6) = 1 6. 1 2 3 4 5 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 Exemplo: dado viciado Exemplo: Um dado viciado de 6 faces é rolado. Neste dado, a probabilidade da face de número 3 cair para cima é o dobro da probabilidade de qualquer outra face cair para cima. Qual a distribuição probabilidade devemos atribuir aos possíveis resultados do experimento? Solução: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Para se atribuir probabilidade a cada evento, notamos que a face 3 ocorre com o dobro da frequência que qualquer outra face, ou seja: p(1) = p(2) = p(4) = p(5) = p(6) = 1 2p(3). Exemplo: dado viciado Exemplo: Como a distribuição de probabilidade deve satisfazer \( \sum_{s \in S} p(s) = 1, \) obtemos a seguinte distribuição: 1 2 3 4 5 6 1/7 1/7 2/7 1/7 1/7 1/7 Os axiomas de probabilidade (Rosen Definição 6.2.0) Se \( S = \{s_1, s_2, ...s_k\} \) é um espaço amostral finito ou contável \((k = \infty)\). ► Atribuímos um peso \( p(s_i) \in \mathbb{R} \) a cada resultado \( s_i \in S \). ► Impomos duas condições: (i) \( 0 \leq p(s_i) \leq 1 \) (peso entre 0 e 1) (ii) \( \sum_{i=1}^{k} p(s_i) = 1 \) (a soma é 1) ► A função \[ p: S \rightarrow [0, 1] \] \[ s \rightarrow p(s) \] é chamada de distribuição de probabilidade. Exemplo: moeda Exemplo: (Rosen Exemplo 6.2.1) Moeda: p(cara) = p(Heads) = p(H) = r. Então p(coroa) = p(Tails) = p(T) = 1 − r. Se p(H) = p(T) então p(H) = p(T) = 1 2. Se p(H) = 2p(T) então p(H) = 2 3; p(T) 1 3. A distribuição uniforme Seja \( S \) um conjunto de \( n \) elementos. A distribuição uniforme de probabilidade atribui probabilidade \( \frac{1}{n} \) para cada elemento de \( S \). Ela descreve a situação onde temos menos informação. ► Observe que esta é a generalização da definição de Laplace, com \( p(s) = \frac{1}{|S|} \): se o evento \( E \) tem \( m \) resultados, \[ p(E) = \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{n} = \frac{m}{n} = \frac{|E|}{|S|} \] Exemplo: S infinito mas enumerável Exemplo: Defina S = {1, 2, 3, ...} e p(s = i) = \frac{1}{2^i}. Então, a distribuição é 1 2 3 4 5 ... \frac{1}{2} \frac{1}{4} \frac{1}{8} \frac{1}{16} \frac{1}{32} ... e verificamos que p(S) = \sum_{s \in S} p(s) = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = 1 Existe uma distribuição uniforma para N ??? Seja S = N um conjunto de ∞ elementos. Qual é a distribução uniforme sobre N? NÃO EXISTE Existe uma distribuição uniforma para N ??? Seja S = N um conjunto de ∞ elementos. Qual é a distribução uniforme sobre N? NÃO EXISTE Probabilidade de um evento (Rosen Definição 6.1.2) Seja E um subconjunto qualquer de S. Então a probabilidade de um evento E é a soma das probabilidades dos resultados em E: p(E) = \sum_{s \in E} p(s). ► Então, os eventos são os resultados ‘agrupados’. Exemplo Exemplo: Qual a probabilidade de obtermos um número par ao rolar um dado de 6 faces não-viciado? Solução: 1 2 3 4 5 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 =⇒ 3 6 = 1 2 Exemplo Exemplo: Um dado viciado de 6 faces é rolado. Neste dado, a probabilidade da face de número 3 cair para cima é o dobro da probabilidade de qualquer outra face cair para cima. Qual a probabilidade de obtermos um número primo no lançamento deste dado? Solução: 1 2 3 4 5 6 1 7 1 7 2 7 1 7 1 7 1 7 =⇒ 4 7 Exemplo: S infinito mas enumerável Exemplo: E = { resultado ímpar } = {1, 3, 5, 7, · · · } 1 2 3 4 5 . . . 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 . . . p(E) = p(1) + p(3) + p(5) + p(7) + · · · = 1 2 + 1 8 + 1 32 + · · · = 2 3 Combinação de eventos A combinação de eventos segue os mesmos princípios que a na abordagem de Laplace: ▶ Seja E um evento de um espaço amostral S. A probabilidade do evento E, o complemento do evento E, é dada por p(E) = 1 − p(E). ▶ Sejam E1 e E2 eventos de um espaço amostral S. A probabilidade do evento E1 ∪ E2 é dada por p(E1 ∪ E2) = p(E1) + p(E2) − p(E1 ∩ E2). As provas deste teoremas são parecidas ao caso de probabilidade infinita, mas a cada resultado (elemento) está associado uma probabilidade diferente, ela não é mais uniforme Combinação de eventos A combinação de eventos segue os mesmos princípios que a na abordagem de Laplace: ▶ Seja E um evento de um espaço amostral S. A probabilidade do evento E, o complemento do evento E, é dada por p(E) = 1 − p(E). ▶ Sejam E1 e E2 eventos de um espaço amostral S. A probabilidade do evento E1 ∪ E2 é dada por p(E1 ∪ E2) = p(E1) + p(E2) − p(E1 ∩ E2). As provas deste teoremas são parecidas ao caso de probabilidade infinita, mas a cada resultado (elemento) está associado uma probabilidade diferente, ela não é mais uniforme Combinação de eventos ► Seja E um evento de um espaço amostral S. A probabilidade do evento \overline{E}, o complemento do evento E, é dada por p(\overline{E}) = 1 - p(E) Prova. Sabemos que \sum_{s \in S} p(s) = 1. Como cada resultado s \in S ou pertence a E ou pertence a \overline{E}, temos que \sum_{s \in E} p(s) + \sum_{s \in \overline{E}} p(s) = 1 \quad \Rightarrow \quad p(E) + p(\overline{E}) = 1, Combinação de eventos ▶ Sejam E1 e E2 eventos de um espaço amostral S. A probabilidade do evento E1 ∪ E2 é dada por p(E1 ∪ E2) = p(E1) + p(E2) − p(E1 ∩ E2) Prova. Para calcular p(E1 ∪ E2) devemos somar p(s) para todo s ∈ E1 ∪ E2. Mas sabemos que cada elemento s ∈ E1 ∪ E2 satisfaz exatamente uma das três seguintes propriedades: Combinação de eventos ▶ s ∈ E1 e s /∈ E2, ▶ s /∈ E1 e s ∈ E2, ou ▶ s ∈ E1 e s ∈ E2. Logo, para calcular p(E1 ∪ E2) podemos somar p(E1) + p(E2), e depois subtrair do resultado p(E1 ∩ E2), uma vez que os elemento da interseção de E1 e E2 foram contados duas vezes. Combinação de eventos Sejam E₁, E₂, ... uma sequência de eventos mutuamente disjuntos em um espaço amostral S. Então p(\bigcup_i E_i) = \sum_i p(E_i). (Note que o teorema é válido quando E₁, E₂, ... consiste em um número contável de eventos, mesmo que infinito.) Prova. Exercício para o aluno! Combinação de eventos – exemplo Exemplo: (Ross 2.5d) Uma urna contém n bolas, das quais uma é especial. Se k bolas são retiradas da urna, uma a cada vez, com probabilidade igual entre as bolas restantes, qual é a probabilidade que a bola especial é selecionada? Solução 2 Define E_i como o evento que a i-ésima bola é a bola especial. Pelas escolhas equiprováveis, é claro que P(E_i) = \frac{1}{n}. Já que os eventos se excluem mutuamente, temos que p(bola especial) = p(\bigcup_{i=1}^{k} E_i) = \sum_{i=1}^{k} p(E_i) = \frac{k}{n}. O ‘paradox’ do aniversário Rosen Exemplo 6.2.13 ▶ Com k > 1 pessoas na mesma sala existe uma chance que duas (ou mais) pessoas têm o mesmo dia de aniversário. Quão grande deveria ser k tal que p ≈ 1 2? ▶ Resposta: k = 1 Pr[sem colisao|1 pessoa] = 1 k = 2 Pr[sem colisao|2 pessoas] = 364 365 k = 3 Pr[sem colisao|3 pessoas] = 364 365 · 363 365 k = 4 Pr[sem colisao|4 pessoas] = 364 365 · 363 365 · 362 365 ... k = k Pr[sem colisao|k pessoas] = 364 365 · 363 365 · 362 365 · · · 365−k+1 365 Para k = 23 temos que Pr[sem colisao|k pessoas] < 1 2 ⇐⇒ Pr[colisao] > 1 2 ▶ A probabilidade de colisão converge para 1 rapidamente. ▶ Não há nenhum paradoxo; a nossa intuição que está errada. O ‘paradox’ do aniversário Rosen Exemplo 6.2.13 ▶ Com k > 1 pessoas na mesma sala existe uma chance que duas (ou mais) pessoas têm o mesmo dia de aniversário. Quão grande deveria ser k tal que p ≈ 1 2? ▶ Resposta: k = 1 Pr[sem colisao|1 pessoa] = 1 k = 2 Pr[sem colisao|2 pessoas] = 364 365 k = 3 Pr[sem colisao|3 pessoas] = 364 365 · 363 365 k = 4 Pr[sem colisao|4 pessoas] = 364 365 · 363 365 · 362 365 ... k = k Pr[sem colisao|k pessoas] = 364 365 · 363 365 · 362 365 · · · 365−k+1 365 Para k = 23 temos que Pr[sem colisao|k pessoas] < 1 2 ⇐⇒ Pr[colisao] > 1 2 ▶ A probabilidade de colisão converge para 1 rapidamente. ▶ Não há nenhum paradoxo; a nossa intuição que está errada. O ‘paradox’ do aniversário Probability of a pair Number of people 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 23 30 40 50 60 70 80 90 100 O ‘paradox’ do aniversário Rosen Exemplo 6.2.14: formulações alternativas: ► amostrar de uma urna (conjunto) finita com reposição – prob de sortear a mesma bola (elemento) duas vezes; ► probabilidade de colisão de funções de hash (cuja imagem é (pseudo)aleatória). Formula geral mudando n: ► n = tamanho da urna/população (n = 365); ► k = número de pessoas/bolas/elementos (k = 23); ► para Pr[colisao] > 1/2 , precisamos k = √2 ln(2) · n ≈ 1.17√n *O ‘paradox’ do aniversário Essa probabilidade pode ser aproximada com precisão: Pr[colisao|k pessoas] = 1 − ∏1≤i≤k−1(1 − i/n) ≈ 1 − ∏1≤i≤k−1(e−i/n) = 1 − e∑1≤i≤k−1 −i = 1 − e−k · (k−1)/2n Para ela ser 1/2 substituimos: 1/2 = 1 − e−k · (k−1)/2n 1/2 = e−k · (k−1)/2n ln 2 = k · (k−1)/2n ln 2 ≈ k2/2n k = √2 ln(2) · n k ≈ 1.17√n *O ‘paradox’ do aniversário Generalizando para uma probabilidade p arbitrária: k2 = 2 ln( 1 1 − p )n ≈ 2pn Defina k = 2K; n = 2N; p = 2−P . Então 2K ≈ N − P Veja a tabela no wikipedia.