Previsão de Enchentes

HIDROLOGIA APLICADA CIV 226 20241 Prof Guilherme José Cunha Gomes Atividade avaliativa Previsão de enchentes Valor 30 pontos Obs fazer o upload do trabalho no moodle até as 12h do dia 24092024 Se forem constatadas cópias de trabalhos e planilhas estes serão avaliados com nota ZERO Questão 1 Cada estudante possui uma série histórica de vazões conforme Anexo 1 Tratase de uma série anual de vazões máximas diárias observadas 𝑄 em m3s referidas à seção de um curso dágua natural Com base nesses dados pedese a Estimar as magnitudes das cheias de 50 anos recorrência segundo as distribuições i Normal ii Lognormal iii Pearson Tipo III iv LogPearson Tipo III v Gumbel teórica e vi Gumbel finita 1 b Simular vazões 𝑄 utilizando as frequências de nãoexcedência ou períodos de retorno dos dados da série histórica para as seis distribuições estatísticas da letra a Justificar com base na métrica estatística RMSE raíz do erro médio quadrático 2 a escolha do melhor modelo estatístico para a sua série histórica A equação para o RMSE é RMSE 1 𝑛 𝑄𝑖 𝑄𝑖 2 𝑛 𝑖1 Onde 𝑛 é o número de anos da série histórica 𝑄𝑖 e 𝑄𝑖 são valores de vazão observados e simulados respectivamente 1 No anexo 2 encontramse soluções analíticas para o cálculo do fator de frequência de cada distribuição 2 O RMSE é uma métrica estatística comum para a comparação entre modelos e observações Porém muitas outras métricas existem para a avaliação da aderência dos dados de vazão às distribuições estatísticas Anexo 1 Séries históricas de vazões ano 2021073 2221962 2021409 2021005 2011256 1821480 1721685 1921055 2021262 2021236 1 134 157 148 143 173 156 156 159 143 152 2 182 189 190 194 185 195 204 177 182 194 3 165 155 161 162 154 158 175 160 146 162 4 150 146 166 155 148 153 156 142 154 147 5 174 182 170 181 170 155 166 147 179 167 6 120 118 117 116 118 97 101 119 123 123 7 171 188 187 155 205 182 195 177 174 192 8 173 153 169 171 160 184 176 169 191 171 9 136 106 126 112 112 113 130 116 98 120 10 150 187 187 165 157 170 168 169 162 172 11 178 191 171 165 181 171 167 174 177 182 12 164 162 127 141 142 145 153 151 146 151 13 230 232 242 250 233 230 243 241 247 242 14 129 136 123 131 128 124 128 119 133 126 15 109 117 94 117 97 95 93 111 94 105 16 204 199 208 188 201 209 205 198 204 199 17 171 150 157 168 154 167 177 154 160 170 18 144 140 156 151 143 165 149 129 152 158 19 151 159 153 151 137 139 129 133 138 148 20 268 263 255 260 260 243 255 261 254 257 21 181 168 165 190 198 169 174 182 184 189 22 132 142 137 142 152 159 152 128 162 163 23 183 183 197 196 174 179 181 170 195 198 24 184 190 188 182 187 194 191 193 168 202 25 225 214 216 198 225 212 202 205 222 201 26 181 174 163 178 168 170 171 180 179 188 27 188 186 177 178 188 184 183 191 185 172 28 140 142 132 129 141 142 122 135 129 141 ano 2021031 1821334 1921187 2021180 1811231 2021175 2221989 2111289 1921480 1921481 1 148 151 151 155 152 164 154 145 144 161 2 197 186 179 187 190 173 198 199 178 211 3 168 174 164 152 145 174 142 173 155 167 4 151 167 155 159 155 173 149 163 153 153 5 178 168 176 166 190 164 180 176 163 152 6 117 116 133 92 123 104 102 100 118 119 7 175 183 197 187 191 198 192 192 183 203 8 170 163 177 160 184 172 178 184 189 168 9 105 117 116 139 123 119 90 111 116 105 10 165 165 171 165 175 177 162 173 156 179 11 194 188 150 185 179 187 164 170 178 170 12 156 142 153 149 143 136 147 152 156 156 13 235 248 237 226 230 242 231 238 242 240 14 121 133 106 132 114 121 128 134 122 121 15 95 91 107 100 98 104 124 120 101 92 16 185 196 185 195 197 217 189 194 192 186 17 157 150 172 184 177 166 156 145 166 155 18 150 159 147 154 148 160 143 144 131 142 19 160 159 132 152 160 165 160 144 133 152 20 260 269 273 271 265 274 257 261 268 265 21 186 185 175 196 182 176 174 178 188 176 22 148 139 149 141 151 131 128 133 137 139 23 182 192 191 208 197 198 186 181 201 187 24 181 189 177 170 198 191 179 189 194 186 25 215 200 202 218 220 193 219 206 222 191 26 181 171 186 176 172 175 174 185 170 184 27 163 186 189 187 180 162 186 160 190 179 28 133 132 131 133 134 126 138 145 138 150 Anexo 2 Fatores de frequência A magnitude 𝑥𝑇 de um evento hidrológico pode ser representada pela sua média 𝑥 mais um desvio da sua média dado pelo produto do desvio padrão 𝜎 da série histórica e um fator de frequência 𝐾𝑇 𝑥𝑇 𝑥 𝜎 𝐾𝑇 1 Se o evento analisado for a vazão então a vazão simulada 𝑄 pode ser expressa da seguinte forma 𝑄 𝑄 𝑠 𝐾𝑇 2 Onde 𝑄 e 𝑠 correspondem à média e ao desviopadrão da série histórica Se o evento hidrológico for analisado em termos do seu logaritmo isto é 𝑦 log 𝑥 o mesmo método pode ser aplicado para as estatísticas dos logaritmos dos dados usando 𝑦𝑇 𝑦 𝑠𝑦 𝐾𝑇 3 Onde 𝑦 e 𝑠𝑦 correspondem à média e ao desviopadrão dos logaritmos da série histórica O valor da variável hidrológica 𝑥𝑇 pode ser obtido tomandose o antilog de 𝑦𝑇 ou seja 𝑥𝑇 10𝑦𝑇 Valores de 𝐾𝑇 para cada distribuição estatística podem ser obtidos em tabelas ou através de soluções analíticas que facilitam a implementação em planilha eletrônicas como descrito a seguir 1 Distribuição normal O fator de frequência da distribuição normal que também corresponde à variável normal padrão reduzida 𝑧 para uma determinada frequência de excedência 𝐹 𝐹 1𝑇𝑅 pode ser calculado por meio de uma variável intermediária 𝑤 𝑤 ln 1 𝐹2 12 0 𝐹 05 4 E 𝑧 é calculado usando a aproximação 𝑧 𝑤 2515517 0802853𝑤 0010328𝑤2 1 1432788𝑤 0189269𝑤2 0001308𝑤3 5 Para valores de 𝐹 05 1 𝐹 é substiduído por 𝐹 na equação 4 e com isso o valor de 𝑧 calculado pela equação 5 será negativo Conforme mencionado acima numa distribuição normal o valor de 𝑧 corresponde ao fator de frequência 𝐾𝑇 Alternativamente ao procedimento acima mostrado o valor do fator de frequência 𝐾𝑇 para a distribuição normal também pode ser obtido usando a função INVNORMPN do excel onde o único parâmetro de entrada é a frequência de nãoexcedência 𝑃𝑋 𝑥 ou 𝐹𝑥 1 1𝑇𝑅 2 Distribuição lognormal O procedimento é mesmo do descrito acima para a distribuição normal exceto pelo fato de que se utilizam os logarítimos das variáveis hidrológicas bem como a média e desviopadrão conforme equação 3 3 Distribuição Pearson Tipo III O fator de frequência depende do período de retorno 𝑇𝑅 e do coeficiente de assimetria 𝐶𝑆 Assim 𝐾𝑇 𝑧 𝑧2 1𝑘 1 3 𝑧3 6𝑧𝑘2 𝑧2 1𝑘3 𝑧𝑘4 1 3 𝑘5 6 Onde 𝑧 corresponde à variável normal padrão reduzida 𝑧 conforme calculado pela equação 5 e 𝑘 𝑔6 sendo o coeficiente de assimetria da distribuição estatística obtido por 𝑔 𝑛 𝑛 1 𝑛 2 𝑥i 𝑥3 𝑛 𝑖1 𝑠3 7 Onde 𝑛 é o número de anos da série histórica e 𝑥 e 𝑠 já definidos anteriormente são a média e o desvio padrão da série histórica respectivamente Alternativamente o coeficiente de assimetria 𝑔 pode ser obtido usando a função DISTORÇÃO do excel onde o único parâmetro de entrada é a série histórica Observando a equação 6 note que quando a distribuição é simétrica 𝑔 0 o fator de frequência da distribuição Pearson Tipo III é o mesmo da distribuição normal 4 Distribuição logPearson Tipo III O procedimento é mesmo do descrito acima para a distribuição Pearson Tipo III exceto pelo fato de que se utilizam os logarítimos das variáveis hidrológicas bem como a média desvio padrão conforme equação 3 e coeficiente de assimetria na equação 7 5 Distribuição Gumbel teórica O fator de frequência da distribuição Gumbel teórica 𝐾𝐺𝑇 depende do período de retorno 𝑇𝑅 𝐾𝐺𝑇 07797𝑦 045 8 Onde 𝑦 ln ln 𝐹 9 e 𝐹 corresponde à probabilidade de não excedência 𝐹𝑥 1 1𝑇𝑅 6 Distribuição Gumbel finita O fator de frequência da distribuição Gumbel finital 𝐾𝐺𝐹 também depende do período de retorno 𝑇𝑅 𝐾𝐺𝐹 𝑦 𝑌𝑁 𝜎𝑁 10 Onde 𝑦 é dado pela equação 9 e 𝑌𝑁 e 𝜎𝑁 são determinados por 𝑌𝑁 𝑦m 𝑛 𝑚1 𝑛 11 𝜎𝑁 𝑛 𝑦m 2 𝑦m 𝑛 𝑚1 2 𝑛 𝑚1 𝑛2 12 onde 𝑚 corresponde à ordem do evento na série histórica conforme o método de Weibull e 𝑛 é o número de anos da série histórica Distribuição Normal Passo a Passo dos Cálculos para a Distribuição Normal 1 Média 𝑄 e Desvio padrão 𝑠 Para a coluna 1921481 os valores foram Média 𝑄 161211167159183167203199117194203246107106180154150 142266188161194150222190167190150 28 17596 m³s Desvio padrão 𝑠 3720 m³s Σ𝑄𝑖 𝑄² 𝑛 1 2 Período de Retorno T Para um período de 50 anos a frequência de excedência F é F 1 T 1 50 002 3 Cálculo de w variável intermediária w 2797 𝑙𝑛1 𝐹² 12 𝑙𝑛1 0 02² 12 7 824 12 4 Cálculo de z ou 𝐾𝑇 z w 2515517 0802853w 0010328w² 1 1432788w 0189269w² 0001308w³ Substituindo w 2797 z 2797 2515517 224407 008058 1 400576 148347 002868 205 5 Cálculo da magnitude da cheia 𝑥𝑇 Q s 𝐾𝑇 17596 3720 205 25239 m³s 𝑥𝑇 Resultado final Magnitude da cheia de 50 anos 𝑥𝑇 25239 m³s Distribuição LogNormal Passo a Passo dos Cálculos para a Distribuição LogNormal 1 Calcular o logaritmo das vazões Utilizando os dados da coluna 1921481 aplicamos o logaritmo natural ln logvazões ln161 211 167 159 183 167 203 199 117 194 203 246 107 106 180 154 150 142 266 188 161 194 150 222 190 167 190 150 Os valores resultantes são 5081 5351 5117 5068 5209 5117 5313 5293 4762 5267 5313 5505 4673 4664 5198 5041 5011 4955 5583 5236 5081 5267 5011 5407 5247 5117 5247 5011 2 Calcular a média e o desvio padrão dos logaritmos Média dos logaritmos y 5081 5351 5117 5068 5209 5117 5313 5293 4762 5267 5313 5505 4673 4664 5198 5041 5011 4955 5583 5236 5081 5267 5011 5407 5247 5117 5247 5011 28 515 Desvio padrão dos logaritmos 𝑠𝑦 Σ𝑦𝑖 𝑦² 𝑛 1 0 22 3 Período de Retorno T Para um período de 50 anos a frequência de excedência F é F 1 T 1 50 002 4 Cálculo de w variável intermediária w 2797 𝑙𝑛1 𝐹² 12 𝑙𝑛1 0 02² 12 7 824 12 5 Cálculo de z ou KT z w 2515517 0802853w 0010328w² 1 1432788w 0189269w² 0001308w³ Substituindo w 2797 z 2797 2515517 224407 008058 1 400576 148347 002868 205 6 Cálculo da magnitude da cheia logarítmica y 𝑦𝑇 𝑠𝑦 𝐾𝑇 515 022 205 5601 𝑦𝑇 7 Reverter o logaritmo para obter a magnitude da cheia original 26980 m³s 𝑥𝑇 𝑒 𝑦𝑇 𝑒 5601 Resultado final Magnitude da cheia de 50 anos 26980 m³s 𝑥𝑇 Distribuição Pearson Tipo III Passo a Passo dos Cálculos para a Distribuição Pearson Tipo III 1 Média 𝑄 e Desvio padrão 𝑠 Média 𝑄 17596 m³s Desvio padrão 𝑠 3720 m³s 2 Cálculo do Coeficiente de Assimetria 𝑔 g n n1n2 Σ𝑥𝑖 𝑄³ 𝑠³ Substituindo os valores g 28 27 26 Σ𝑥𝑖 17596³ 3720³ 0227 3 Cálculo de k k g 6 0227 6 0038 4 Cálculo do Fator de Frequência 𝐾𝑇 𝑧 𝑧² 1𝑘 13𝑧³ 𝑧𝑘² 𝑧𝑘⁴ 13𝑘⁵ 𝐾𝑇 Substituindo 𝑧 205 e 𝑘 0038 218 𝐾𝑇 5 Cálculo da magnitude da cheia 𝐾𝑇 𝑥𝑇 𝑄 𝑠 𝐾𝑇 17596 3720 218 25704 m³s 𝑥𝑇 Resultado final Magnitude da cheia de 50 anos 25704 m³s 𝑥𝑇 Distribuição LogPearson Tipo III Passo a Passo dos Cálculos para a Distribuição LogPearson Tipo III 1 Cálculo do logaritmo das vazões logvazões ln161 211 167 159 183 167 203 199 117 194 203 246 107 106 180 154 150 142 266 188 161 194 150 222 190 167 190 150 Os valores logaritmados resultantes são 5081 5351 5117 5068 5209 5117 5313 5293 4762 5267 5313 5505 4673 4664 5198 5041 5011 4955 5583 5236 5081 5267 5011 5407 5247 5117 5247 5011 2 Média 𝑦 e Desvio padrão 𝑠𝑦 Média dos logaritmos 𝑦 515 Desvio padrão dos logaritmos 022 𝑠𝑦 3 Cálculo do Coeficiente de Assimetria 𝑔 para os logaritmos g n n1n2 Σlog𝑥𝑖 𝑦³ ³ 047 𝑠𝑦 4 Cálculo de k k g 6 0078 5 Cálculo do Fator de Frequência 𝐾𝑇 𝑧 𝑧² 1𝑘 13𝑧³ 𝑧𝑘² 𝑧𝑘⁴ 13𝑘⁵ 182 𝐾𝑇 6 Cálculo da magnitude da cheia 𝑦𝑇 𝑦 515 022 182 555 𝑦𝑇 𝑠𝑦 𝐾𝑇 7 Reversão do logaritmo para obter a magnitude da cheia original 25606 m³s 𝑥𝑇 𝑒 𝑦𝑇 𝑒 555 Resultado final Magnitude da cheia de 50 anos 25606 m³s 𝑥𝑇 Distribuição Gumbel Teórica Passo a Passo dos Cálculos para a Distribuição Gumbel Teórica 1 Cálculo de F F 1 1 TR 1 1 50 098 2 Cálculo de y y lnlnF lnln098 390 3 Cálculo do Fator de Frequência 𝐾𝐺𝑇 07797 y 045 07797 390 045 259 𝐾𝐺𝑇 4 Cálculo da magnitude da cheia 𝑥𝑇 𝑥𝑇 𝑄 𝑠 𝐾𝐺𝑇 17596 3720 259 27241 m³s 𝑥𝑇 Resultado final Magnitude da cheia de 50 anos 27241 m³s 𝑥𝑇 Distribuição Gumbel Finita Passo a Passo dos Cálculos para a Distribuição Gumbel Finita 1 Cálculo de F F 1 1 TR 1 1 50 098 2 Cálculo de y y lnlnF lnln098 390 3 Cálculo de Média dos ym 𝑌𝑛 Σym n 0562 𝑌𝑛 4 Cálculo do Desvio Padrão 𝜎𝑌 5 𝜎𝑌 𝑛Σ𝑦𝑚 2 Σ𝑦𝑚² 𝑛² 1 211 Cálculo do Fator de Frequência 𝐾𝐺𝐹 y Yn 𝜎Y 390 0562 1211 276 𝐾𝐺𝐹 6 Cálculo da magnitude da cheia 𝑥𝑇 𝑥𝑇 𝑄 𝑠 𝐾𝐺𝐹 17596 3720 276 27861 m³s 𝑥𝑇 Resultado final Magnitude da cheia de 50 anos 27861 m³s 𝑥𝑇 Cálculos Detalhados para RMSE de Cada Distribuição Este documento contém os cálculos detalhados do RMSE Raiz do Erro Médio Quadrático para as seis distribuições estatísticas aplicadas aos dados históricos de vazão 1 Distribuição Normal RMSE 1 28 Σ𝑄𝑖 252 39² Vazões simuladas 25239 m³s Subtração 25239 9139 4139 8539 9339 6939 8539 4939 5339 𝑄𝑖 13539 10239 Elevação ao quadrado 835213 171313 729145 872169 481497 729145 243937 285049 1833045 1048371 Soma dos quadrados 20091388 RMSE 8471 200913 88 28 2 Distribuição LogNormal RMSE 1 28 Σ𝑄𝑖 269 80² Vazões simuladas 26980 m³s Subtração 26980 1088 588 1028 1108 868 1028 668 708 1528 𝑄𝑖 1198 Elevação ao quadrado 1183744 345744 1056784 1227664 753424 1056784 446224 501264 23347841435204 Soma dos quadrados 28391292 RMSE 10070 283912 92 28 3 Distribuição Pearson Tipo III RMSE 1 28 Σ𝑄𝑖 257 04² Vazões simuladas 25704 m³s Subtração 25704 9604 4604 9004 9804 7404 9004 5404 5804 𝑄𝑖 14004 10704 Elevação ao quadrado 922368 211968 810720 961184 548192 810720 292032 336864 1961120 1145756 Soma dos quadrados 22142056 RMSE 8893 221420 56 28 4 Distribuição LogPearson Tipo III RMSE 1 28 Σ𝑄𝑖 256 06² Vazões simuladas 25606 m³s Subtração 25606 9506 4506 8906 9706 7306 8906 5306 5706 𝑄𝑖 13906 10606 Elevação ao quadrado 903640 203040 793168 942064 533776 793168 281536 325584 1933768 1124872 Soma dos quadrados 21699802 RMSE 8803 216998 02 28 5 Distribuição Gumbel Teórica RMSE 1 28 Σ𝑄𝑖 272 41² Vazões simuladas 27241 m³s Subtração 27241 11141 6141 10541 11341 8941 10541 6941 7341 𝑄𝑖 15541 12241 Elevação ao quadrado 1241219 377119 1111127 1286183 799415 1111127 481775 538903 2415227 1498421 Soma dos quadrados 29781869 RMSE 10313 297818 69 28 6 Distribuição Gumbel Finita RMSE 1 28 Σ𝑄𝑖 278 61² Vazões simuladas 27861 m³s Subtração 27861 11761 6761 11161 11961 9561 11161 7561 7961 𝑄𝑖 16161 12861 Elevação ao quadrado 1383211 457111 1245679 1430655 914127 1245679 571687 633775 2611779 1654053 Soma dos quadrados 33238096 RMSE 332380 96 28 10895 Conclusão O modelo com o menor RMSE é a Distribuição Normal com RMSE 8471 indicando o melhor ajuste para os dados históricos de vazão