Slide - Empuxo Lateral de Terra - Mecânica dos Solos 2 2022-2

CAPÍTULO 6 EMPUXO LATERAL DE TERRA • Informações gerais • Empuxo de terra em repouso • Empuxo ativo • Empuxo passivo • Teoria de Rankine • Teoria de Coulomb 2 • Tensão lateral total gerada pelo peso do solo, da água (’h + u) e de estruturas sobrejacentes (sobrecarga - q), agindo sobre a contenção. Empuxo de Terra EMPUXO LATERAL DE TERRA 3 Fatores Intervenientes • propriedades físicas do solo • dependência da resistência do solo em relação ao tempo • interação na interface solo-estrutura • características gerais da deformação solo-estrutura • carga imposta EMPUXO LATERAL DE TERRA 4 EMPUXO EM REPOUSO Fonte: Das (2007) 𝝈𝒉 = 𝝈′𝒉 = 𝑲𝟎𝝈′𝒗 • Sem deslocamento do muro (solo seco) 𝜺𝒉 = 𝟎 𝑲𝟎 = 𝜎′ℎ 𝜎′𝑣 SOLO SECO 5 EMPUXO EM REPOUSO • Sem deslocamento do muro (solo saturado) 𝝈𝒉 = 𝑲𝟎𝝈′𝒗 + 𝒖 𝝈𝒉 = 𝝈′𝒉 + 𝒖 SOLO SATURADO 𝑲𝟎 = 𝜎′ℎ 𝜎′𝑣 6 EMPUXO EM REPOUSO • Determinação de K0  - ensaios triaxiais (d = 3) - relações empíricas • Aplicação: - Escavações escoradas - Muros de subsolos - Bueiros e galerias - Muros de contenção em balanço - Ombreiras de pórticos rígidos de pontes 𝜺𝒉 = 𝟎 7 EMPUXO DE TERRA EM RESPOUSO Areias compactas (Fang & Sherif, 1984) Solos sobreadensados (todas as granulometrias, Mayne & Kulhawy, 1982) Argilas N.A. (Massarsch, 1979) 𝐾0 = 1 − 𝑠𝑒𝑛∅’ Areias fofas NA (Jaky, 1944) • Relações Empíricas – Ko 𝐾𝑜 = 1 − 𝑠𝑒𝑛∅′ 𝑂𝐶𝑅𝑠𝑒𝑛∅′ 8 VALORES TÍPICOS Fonte: Bodó & Jones (2017) Solo Ko Areia Compacta 0,4 – 0,6 Areia Fofa 0,45 – 0,5 Argila Norm. Adensada 0,5 – 0,75 Argila Sobreadensada 1,0 - 4,0 EMPUXO DE TERRA EM REPOUSO 9 EMPUXO DE TERRA EM REPOUSO Empuxo Total → P0 = força p/unidade de comprimento do muro [kN/m] • SOLO SECO Área do triângulo centroide Fonte: Das (2007) 𝑷𝟎 = 𝟏 𝟐 𝑲𝟎𝝈′𝒗𝑯 𝑷𝟎 = 𝟏 𝟐 𝑲𝟎𝜸𝑯𝟐 𝑷𝟎 = 𝑬𝟏 𝑬𝟏 (𝝈𝒗= 𝝈′𝒗) 𝑷𝟎 = 𝟏 𝟐 𝑲𝟎𝜸𝑯𝑯 𝑷𝟎 = න 𝟎 𝒉 𝝈′𝒉𝒅𝑯 = 𝟏 𝟐 𝝈′𝒉𝑯 10 EMPUXO DE TERRA EM REPOUSO 𝑬𝒎 𝑩 𝝈𝒉 = 𝝈′𝒉 + 𝒖 = 𝑲𝟎 𝜸𝑯𝟏 + 𝜸𝒔𝒖𝒃𝑯𝟐 + 𝜸𝒘𝑯𝟐 • SOLO PARCIALMENTE SATURADO 10 Fonte: Das (2007) 11 EMPUXO DE TERRA EM REPOUSO • Areia parcialmente submersa ; muro estável a) Calcular o empuxo total por metro de muro b) Localizar a resultante em relação à base do muro NA 12 Resposta: Acima do N.A. • ℎ = 0 → 𝜎′𝑣 = 0 → 𝜎′ℎ = 0 (𝑠𝑒𝑚 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎) • ℎ = 3,5 𝑚 𝜎𝑣 = 𝜎′𝑣 = 𝛾ℎ = 15,72 × 3,5 = 55,02 𝑘𝑃𝑎 𝜎′ℎ = 𝑘𝑜𝜎′𝑣 = 0,707 × 55,02 = 38,9 𝑘𝑃𝑎 • ℎ = 4,6 𝑚 𝜎′𝑣 = 15,72 × 3,5 + 9,24 × 1,1 = 65,18 𝑘𝑃𝑎 𝜎′ℎ = 𝑘𝑜𝜎′𝑣 = 0,707 × 65,18 = 46, 1𝑘𝑃𝑎 𝑢 = 𝛾𝑤ℎ𝑝 = 10 × 1,1 = 11 𝑘𝑃𝑎 𝜎ℎ = 𝜎′ℎ + 𝑢 = 46,08 + 11 = 57,08 𝑘𝑃𝑎 Tensão horizontal no muro Abaixo do N.A. 3,5 m 1,1 m 13 𝑎) 𝑃0 = 𝐸1 + 𝐸2 + 𝐸3 + 𝐸4 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4 𝐸1 = 0,5𝜎′ℎℎ = 0,5 × 38,9 × 3,5 = 68,07 𝑘𝑁/𝑚 𝐸2 = 𝜎′ℎℎ = 38,9 × 1,1 = 42,8 𝑘𝑁/𝑚 𝐸3 = 0,5𝜎′ℎℎ = 0,5 × 7,2 × 1,1 = 3,96 𝑘𝑁/𝑚 𝐸4 = 0,5𝑢ℎ = 0,5 × 11 × 1,1 = 6,05 𝑘𝑁/𝑚 𝑃0 = 68,07 + 42,8 + 3,96 + 6,05 = 120,88 𝑘𝑁/𝑚 3,5 m 1,1 m 14 3,5 m 1,1 m b) Resultante em z = 4,6 m തℎ = σ 𝐸𝑖ℎ𝑖 σ 𝐸𝑖 = 𝐸1ℎ1 + 𝐸2ℎ2 + 𝐸3ℎ3 + 𝐸4ℎ4 𝐸1 + 𝐸2 + 𝐸3 + 𝐸4 തℎ = 68,07 3,5 5 + 1,1 + 42,08 1,1 2 + 3,96 1,1 3 + 6,05 1,1 3 120,88 തℎ = 1,501 𝑚 15 CONDIÇÃO ATIVA X PASSIVA 𝟒𝟓𝒐 + ∅′ 𝟐 𝟒𝟓𝒐 − ∅′ 𝟐 ’v constante ’h redução (tração) ’v constante ’h aumento (compressão) 16 EMPUXO ATIVO Afastamento do muro em relação ao maciço de solo: • Rotação de pé • Translação Fonte: Das (2007) 𝟒𝟓𝒐 + ∅′ 𝟐 𝑲 = 𝑲𝒂 = 𝝈′𝒉 𝝈′𝒗 = 𝝈′𝒂 𝝈′𝒗 17 EMPUXO PASSIVO Deslocamento do muro contra o maciço de solo: • Rotação de pé • Translação Fonte: Das (2007) 𝟒𝟓𝒐 − ∅′ 𝟐 𝑲 = 𝑲𝒑 = 𝝈′𝒉 𝝈′𝒗 = 𝝈′𝒑 𝝈′𝒗 18 EMPUXOS DE TERRA • Condição de Repouso (sem movimentação do muro) K0 = coeficiente de empuxo em repouso ’v = tensão efetiva vertical ’h = tensão efetiva horizontal • Condição Ativa (movimentação do muro para longe maciço) Ka = coeficiente de empuxo ativo ’v = tensão efetiva vertical ’a = tensão horizontal ativa • Condição Passiva (movimentação do muro para dentro do maciço) Kp = coeficiente de empuxo passivo ’v = tensão efetiva vertical ’p = tensão horizontal passiva VALORES TÍPICOS (Rotação de Pé) EMPUXOS ATIVO E PASSIVO H = ALTURA DO MURO EM RELAÇÃO AO SOLO = DIST. AB 19 Equilíbrio Limite Fonte: Das (2007) 20 EMPUXOS ATIVO E PASSIVO Gerscovich (2010) Estado Limite: deformações mínimas para mobilização do estado plástico 21 EMPUXOS DE TERRA Fonte: Das (2007) Pressão no muro TEORIA DE RANKINE (1857) Hipóteses Simplificadoras • Solo isotrópico e homogêneo; • Superfície do terreno plana; • A ruptura ocorre sob o estado plano de deformação em estado de equilíbrio plástico (eminência da ruptura); • Muro perfeitamente liso (atrito solo-muro: δ = 0) e de prof. infinita; • Os empuxos de terra atuam paralelamente à superfície do terreno; • A parede da estrutura em contato com o solo é vertical. 22 23 TEORIA DE RANKINE • Estado ativo de tensões (equilíbrio plástico do solo) – Solo coesivo Fonte: Das (2007)  ’h (afast. muro) 24 𝑠𝑒𝑛∅′ = 𝐶𝐷 𝐴𝐶 = 𝐶𝐷 𝐴𝑂 + 𝑂𝐶 𝐶𝐷 = 𝜎′𝑣𝑜 − 𝜎′𝑎 2 𝐴𝑂 = 𝑐′𝑐𝑜𝑡𝑔∅′ 𝑂𝐶 = 𝜎′𝑣𝑜 + 𝜎′𝑎 2 𝑠𝑒𝑛∅′ = 𝜎′𝑣𝑜 − 𝜎′𝑎 2 𝑐′𝑐𝑜𝑡𝑔∅′ + 𝜎′𝑣𝑜 + 𝜎′𝑎 2 𝜎′𝑎 = 𝜎′𝑣𝑜 1 − 𝑠𝑒𝑛∅′ 1 + 𝑠𝑒𝑛∅′ − 2𝑐′ 𝑐𝑜𝑠∅′ 1 + 𝑠𝑒𝑛∅′ • Estado ativo de tensões (Solo Coesivo) 𝝈′𝒂 = 𝝈′𝒗𝒐𝒕𝒈𝟐 𝟒𝟓𝒐 − ∅′ 𝟐 − 𝟐𝒄′𝒕𝒈 𝟒𝟓𝒐 − ∅′ 𝟐 25 𝝈′𝒂 = 𝝈′𝒗𝒐𝒕𝒈𝟐 𝟒𝟓𝒐 − ∅′ 𝟐 − 𝟐𝒄′𝒕𝒈 𝟒𝟓𝒐 − ∅′ 𝟐 • Solos Coesivos 𝑲𝒂 = 𝒕𝒈𝟐 𝟒𝟓𝒐 − ∅′ 𝟐 𝝈′𝒂 = 𝝈′𝒗𝒐𝑲𝒂 − 𝟐𝒄′√𝒌𝒂 • Solos Não Coesivos 𝝈′𝒂 = 𝝈′𝒗𝒐𝑲𝒂 26 • Estado passivo de tensões (Solo Coesivo) TEORIA DE RANKINE Fonte: Das (2007)  ’p (muro contra o solo) 27 TEORIA DE RANKINE • Estado passivo de tensões: muro de altura limitada: =Lp/Lp para qql. H Fonte: Das (2007) • Coeficiente de empuxo passivo de Rankine 𝑘𝑝 = 1+𝑠𝑒𝑛∅ 1−𝑠𝑒𝑛∅′ ′ = 𝑡𝑔2 45𝑜 + ∅′ 2 𝑲𝒂 = ൗ 𝟏 𝑲𝒑 28 • Solos Coesivos 𝝈′𝒑 = 𝝈′𝒗𝒕𝒈𝟐 𝟒𝟓° + ∅′ 𝟐 − 𝟐𝒄′𝒕𝒈 𝟒𝟓 + ∅′ 𝟐 • Solos Não Coesivos 𝝈′𝒑 = 𝝈′𝒗𝒕𝒈𝟐 𝟒𝟓° + ∅′ 𝟐 TEORIA DE RANKINE Empuxo passivo de Rankine (’a) [FL-2] 𝝈′𝒑 = 𝝈′𝒗𝑲𝒑 − 𝟐𝒄′√𝒌𝒑 𝝈′𝒑 = 𝝈′𝒗𝒐𝑲𝒑 − 𝟐𝒄′√𝒌𝒑 29 TEORIA DE RANKINE 𝑃 = න 0 ℎ 𝜎′ℎ𝑑𝐻 = 1 2 𝜎′ℎ𝐻 • Caso ativo em solos coesivos (diagrama triangular): 𝑃𝑎 = 1 2 𝜎𝑣′𝐾𝑎𝐻 − 2𝑐′𝐻 𝐾𝑎 𝑜𝑢 𝑃𝑎 = 1 2 𝛾𝐻2𝐾𝑎 − 2𝑐′𝐻 𝐾𝑎 • Caso passivo em solos coesivos (diagrama triangular): 𝑃𝑝 = 1 2 𝜎𝑣′𝐾𝑝𝐻 + 2𝑐′𝐻 𝐾𝑝 𝑜𝑢 𝑃𝑝 = 1 2 𝛾𝐻2𝐾𝑝 + 2𝑐′𝐻 𝐾𝑝 ’a ’p Empuxo total → Força total por unidade de comprimento do muro (P) Diagrama Triangular Diagrama Quadrático 𝑃𝑎 = 𝜎′ℎ𝐻 30 TEORIA DE RANKINE Casos específicos apresentados no quadro: 1. Empuxo total ativo para muro liso em maciço horizontal não coesivo, estratificado e parcialmente submerso; 2. Empuxo total ativo para muro liso em maciço horizontal coesivo, com sobrecarga; 3. Empuxos totais ativo e passivo para muro liso em maciço horizontal coesivo, com balanço e sobrecarga ; 4. Empuxo total ativo em argila sob condições não drenadas; 5. Rankine: muro liso; solo coesivo antes e após as fendas de tração 31 1) Rankine: muro liso, solo não coesivo, maciço estratificado, parcialmente submerso a) Calcular o empuxo total ativo por metro de muro (Pa); b) Localizar o ponto de aplicação a partir da base do muro. 32 1) Rankine: muro liso, solo não coesivo, maciço estratificado, parcialmente submerso • ℎ = 0 𝑚 → 𝜎′𝑣 = 0 → 𝜎′ℎ = 0 𝑘𝑃𝑎 • ℎ = 3 𝑚 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝐴 𝜎′𝑣 = 𝛾ℎ = 16 × 3 = 48 𝑘𝑃𝑎 𝐾𝑎 = 𝑡𝑔2 45 − ∅′ 2 = 𝑡𝑔2 45 − 30𝑜 2 = 0,33 𝜎′𝑎 = 𝑘𝑎𝜎′𝑣 = 0,271 × 48 = 13 𝑘𝑃𝑎 • ℎ = 3 𝑚 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝐵 𝐾𝑎 = 𝑡𝑔2 45 − ∅′ 2 = 𝑡𝑔2 45 − 35𝑜 2 = 0,271 • ℎ = 6 𝑚 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝐵 𝜎′𝑎 = 𝑘𝑎𝜎′𝑣 = 0,271 × 72 = 19,5 𝑘𝑃𝑎 𝜎′𝑣 = 18 − 10 3 + 16 × 3 = 72 𝑘𝑃𝑎 𝑢 = 𝛾𝑤ℎ𝑝 = 10 × 3 = 30 𝑘𝑃𝑎 𝜎′𝑎 = 𝑘𝑎𝜎′𝑣 = 0,33 × 48 = 16 𝑘𝑃𝑎 33 𝐸1 = 0,5 × 16 × 3 = 24 𝑘𝑁/𝑚 𝐸2 = 13 × 3 = 39 𝑘𝑁/𝑚 𝐸3 = 0,5 × 6,5 × 3 = 9,75 𝑘𝑁/𝑚 𝐸4 = 0,5 × 30 × 3 = 45 𝑘𝑁/𝑚 𝑷𝒂 = 𝑬𝟏 + 𝑬𝟐 + 𝑬𝟑 + 𝑬𝟒 = 𝟏𝟏𝟕, 𝟕𝟓 𝒌𝑵/𝒎 1) Rankine: muro liso, solo não coesivo, maciço estratificado, parcialmente submerso a) 34 1) Rankine: muro liso, solo não coesivo, maciço estratificado, parcialmente submerso തℎ = σ 𝐸𝑖ℎ𝑖 σ 𝐸𝑖 = 𝐸1ℎ1 + 𝐸2ℎ2 + 𝐸3ℎ3 + 𝐸4ℎ4 𝐸1 + 𝐸2 + 𝐸3 + 𝐸4 തℎ = 24 3 3 + 3 + 39 3 2 + 9,75 3 3 + 45 3 3 117,75 = 1,8 𝑚 b) 35 2) Rankine: muro liso, solo coesivo, com sobrecarga a) Estimar Pa por metro de muro abaixo das fendas de tração; b) Estimar Pp por metro de muro. 𝑘𝑎 = 𝑡𝑔2 45 − ∅′ 2 = 𝑡𝑔2 45 − 26 2 = 0,39 𝑘𝑝 = 𝑡𝑔2 45 + ∅′ 2 = 𝑡𝑔2 45 + 26 2 = 2,56 • Camada única 36 2) Rankine: muro liso, solo coesivo, com sobrecarga Ho = profundidade das fendas de tração ??? • ℎ = 0 𝑚 → 𝜎′𝑣 = 𝜎𝑣 = 𝑞 = 10 𝑘𝑃𝑎 𝜎′𝑎 = 𝑘𝑎𝜎′𝑣 − 2𝑐′ 𝑘𝑎 = (0,39 × 10) − (2 × 8 × 0,39) = −6,09 • ℎ = 4𝑚 𝜎′𝑎 = 0,39 10 + (15 × 4) − 2 × 8 × 0,39 = 17,31 𝑘𝑃𝑎 37 • Estimativa da prof. das fendas de tração (Ho) 𝜎′𝑎 = 𝑘𝑎 𝛾𝐻𝑜 + 𝑞 − 2𝑐′ 𝑘𝑎 = 0 𝑘𝑎𝛾𝐻𝑜 + 𝑘𝑎𝑞 = 2𝑐′ 𝑘𝑎 𝐻𝑜 = 2𝑐′ 𝑘𝑎 − 𝑘𝑎𝑞 𝑘𝑎𝛾 = 2𝑐′ 𝑘𝑎 𝑘𝑎 𝑘𝑎𝛾 𝑘𝑎 − 𝑘𝑎𝑞 𝑘𝑎𝛾 𝐻𝑜 = 2𝑐′ 𝛾 𝑘𝑎 − 𝑞 𝛾 = 1 𝛾 2𝑐′ 𝑘𝑎 − 𝑞 𝐻𝑜 = 1 𝛾 2𝑐′ 𝑘𝑎 − 𝑞 = 1 15 2 × 8 0,39 − 10 = 1,04 𝑚 𝐻1 = 4 − 𝐻0 = 4 − 1,04 = 2,96 m 𝒂) 𝑷𝒂 = 𝟎, 𝟓 × 𝝈′𝒂 × 𝑯𝟏 = 𝟎, 𝟓 × 𝟏𝟕, 𝟑𝟏 × 𝟐, 𝟗𝟔 = 25,62 𝑘𝑁/𝑚 38 2) Rankine: muro liso, solo coesivo, com sobrecarga b) Estimar Pp por metro de muro • ℎ = 0 𝑚 → 𝜎′𝑣 = 𝜎𝑣 = 𝑞 = 10 𝑘𝑃𝑎 𝜎′𝑝 = 𝑘𝑝𝜎′𝑣 + 2𝑐′ 𝑘𝑝 = (2,56 × 10) + 2 × 8 × 2,56 𝜎′𝑝 = 51,2 𝑘𝑃𝑎 • ℎ = 4 𝑚 𝜎′𝑣 = 15 × 4 + 10 = 70 kPa 𝜎′𝑝 = 𝑘𝑝𝜎′𝑣 + 2𝑐′ 𝑘𝑝 = (2,56 × 70) + (2 × 8 × 2,56) 𝜎′𝑝 = 204,8 𝑘𝑃𝑎 𝑃𝑝 = 𝐸1 + 𝐸2 = 51,2 × 4 + 153,6 × 4 2 = 512 𝑘𝑁/𝑚 39 3) Rankine: muro liso em balanço; solo coesivo; com sobrecarga; Ka e Kp a) Estimar Pa por metro de muro e sua resultante a partir da base do muro. b) Estimar Pp por metro de muro e sua resultante a partir da base do muro. 𝑘𝑎 = 𝑡𝑔2 45 − ∅′ 2 = 𝑡𝑔2 45 − 25𝑜 2 = 0,406 𝑘𝑝 = 𝑡𝑔2 45 + ∅′ 2 = 𝑡𝑔2 45 + 25𝑜 2 = 2,464 40 9m 3,2 m a) • ℎ = 0 𝑚 → 𝜎′𝑣 = 𝜎𝑣 = 𝑞 = 35 kPa 𝑷𝒂 = 𝐸1 + 𝐸2 = 5,3 × 9 + 0,5 × 69,4 × 9 = 360 𝑘𝑁/𝑚 𝜎′𝑎 = 𝑘𝑎𝜎′𝑣 − 2𝑐′ 𝑘𝑎 = 0,406 × 35 − 2 × 7 × 0,406 = 5,3 𝑘𝑃𝑎 • ℎ = 9 𝑚 𝜎′𝑎 = 0,406 19 × 9 + 35 − 2 × 7 × 0,406 = 74,7 𝑘𝑃𝑎 ഥ𝒉 = 47,7 9 2 + 312,3 9 3 360 = 3,2 𝑚 41 𝐻𝑜 = 1 𝛾 2𝑐′ 𝑘𝑎 − 𝑞 = 1 19 2 × 7 0,406 − 35 = −0,68 𝑚 Observação: Acima da superfície ??? • Conclusão: o aumento de q reduz Ho !! 42 • ℎ = 0 𝑚 → 𝜎′𝑣 = 𝜎𝑣 = 0 𝑘𝑃𝑎 b) 𝜎′𝑝 = 𝑘𝑝𝜎′𝑣 + 2𝑐′ 𝑘𝑝 = 2,464 × 0 + 2 × 7 × 2,464 = 22 𝑘𝑃𝑎 • ℎ = 1,5 𝑚 → 𝜎′𝑣 = 19,0 × 1,5 = 28,5 𝑘𝑃𝑎 𝜎′𝑝 = 2,464 × 28,5 + 22 = 92,24 𝑘𝑃𝑎 𝐸1 = 22 × 1,5 = 33 𝑘𝑁/𝑚 𝐸2 = 0,5 × 70,24 × 1,5 = 52,7 𝑘𝑁/𝑚 𝑷𝒑 = 𝐸1 + 𝐸2 = 33 + 52,7 = 85,7 𝑘𝑁/𝑚 ഥ𝒉 = σ 𝐸𝑖ℎ𝑖 σ 𝐸𝑖 = 33 1,5 2 + 52,7 1,5 3 85,7 = 0,6 𝑚 4) Rankine: muro liso; argila normalmente adensada, não drenada. Estimar Pa por metro de muro após a fenda de tração. 43 ∅ = 0 → 𝑘𝑎 = 𝑡𝑔2 45 − ∅ 2 = 𝑡𝑔245𝑜 = 1 𝜎𝑎 = 𝑘𝑎𝜎𝑣 − 2𝑐 𝑘𝑎 = 𝜎𝑣 − 2𝑆𝑢 𝐻𝑜 = 1 𝛾 2𝑐 𝑘𝑎 − 𝑞 = 2𝑆𝑢 𝛾 = 2 × 16,7 15,7 = 2,13 𝑚 𝐻1 = 𝐻 − 𝐻𝑜 = 6,1 − 2,13 = 3,97 𝑚 44 4) Estimar Pa por metro de muro após a fenda de tração. • ℎ = 0 𝑚 𝜎𝑎 = 0 − 2𝑆𝑢 = 0 − 2 × 16,7 = −33,4 𝑘𝑃𝑎 • ℎ = 6,1 𝑚 𝜎𝑎 = 1 15,7 × 6,1 − 33,4 = 62,37 𝑘𝑃𝑎 𝑷𝒂 = 𝐸1 = 62,37 × 3,97 × 0,5 = 123,8 𝑘𝑁/𝑚 5) Rankine: muro liso; solo coesivo (a) Estimar Pa por m de muro e a resultante antes da ocorrência das fendas de tração; (b) Estimar Pa por m de muro e a resultante após a ocorrência das fendas de tração. 45 • ℎ = 0 𝑚 → 𝜎′𝑣 = 𝜎𝑣 = 0 𝑘𝑃𝑎 𝑘𝑎 = 𝑡𝑔2 45 − ∅′ 2 = 𝑡𝑔2 45 − 26𝑜 2 = 0,39 𝜎′𝑎 = 𝜎′𝑣𝑘𝑎 − 2𝑐′ 𝑘𝑎 = 0 − 2 × 14,34 × 0,625 = −17,95 𝑘𝑃𝑎 • ℎ = 6 𝑚 → 𝜎′𝑣 = 𝜎𝑣 = 17,4 × 6 = 104,4 𝑘𝑃𝑎 𝜎′𝑎 = 𝜎′𝑣𝑘𝑎 − 2𝑐′ 𝑘𝑎 = 104,4 × 0,39 − 2 × 14,36 × 0,625 = 22,77 𝑘𝑃𝑎 46 Diagramas ’vKa(6m) 𝟐𝒄′ 𝑲𝒂 ’a (6m) 47 (a) Estimar Pa por m de muro e a resultante antes da ocorrência das fendas de tração; 𝑃𝑎 = 𝐸1 − 𝐸2 𝐸1 = 1 2 𝜎′𝑎ℎ = 0,5 × 40,72 × 6 = 122,15 𝑘𝑁/𝑚 𝐸2 = 𝜎′𝑎ℎ = 17,95 × 6 = 107,7 𝑘𝑁/𝑚 𝑷𝒂 = 14,45 𝑘𝑁/𝑚 തℎ = 122,15 6 3 − 107,7 6 2 14,45 = −5,45 𝑚 48 (b) Estimar Pa por m de muro e a resultante após a ocorrência das fendas de tração. E1 𝐻𝑜 = 2𝑐′ 𝛾 𝑘𝑎 = 2 × 14,36 17,4 × 0,625 = 2,64 𝑚 𝐻1 = 𝐻 − 𝐻𝑜 = 6 − 2,64 = 3,36 𝑚 𝑷𝒂 = 1 2 𝜎′𝑎𝐻1 = 0,5 × 22,77 × 3,36 = 38,25 𝑘𝑁/𝑚 ഥ𝒉 = 3,36 3 = 1,12 𝑚 49 TEORIA DE RANKINE • Caso Específico: muro liso em talude inclinado e solo não coesivo 𝑲𝒂 = 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝟐∅′ 𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝟐∅′ • Estado Ativo 𝑲𝒑 = 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝟐∅′ 𝒄𝒐𝒔𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝟐∅′ • Estado Passivo 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒔𝒔𝒂 → 𝜶 < ∅′ 𝑷𝒂 = 𝟏 𝟐 ′ 𝒂𝑯 = 𝟏 𝟐 𝑲𝒂𝜸𝒉𝟐 𝑷𝒑 = 𝟏 𝟐 ′ 𝒑𝑯 = 𝟏 𝟐 𝑲𝒑𝜸𝒉𝟐 50 6) Rankine: muro liso em talude inclinado; solo não coesivo (a) Estimar o Empuxo Ativo (Pa) por metro de muro. (b) Estimar Empuxo Passivo (Pp) por metro de muro. 𝑲𝒂 = 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝟐∅′ 𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝟐∅′ 𝑲𝒑 = 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝟐∅′ 𝒄𝒐𝒔𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝒄𝒐𝒔𝟐∅′ = 𝟏 𝑲𝒂 𝑲𝒂 = 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓𝒐 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟏𝟓𝒐 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝟑𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓𝒐 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟏𝟓𝒐 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝟑𝒐 = 𝟎, 𝟑𝟒 𝑲𝒑 = 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓𝒐 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟏𝟓𝒐 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝟑𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓𝒐 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟏𝟓𝒐 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝟑𝒐 = 𝟐, 𝟗𝟒 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒔𝒔𝒂 → 𝜶 < ∅′ 51 (a) Estimar o Empuxo Ativo (Pa) por metro de muro. (b) Estimar Empuxo Passivo (Pp) por metro de muro. 𝑷𝒂 = 𝟏 𝟐 𝝈′𝒂𝒉 = 𝟏 𝟐 𝑲𝒂𝜸𝒉𝟐 = 𝟎, 𝟓 × 𝟎, 𝟑𝟒 × 𝟏𝟔 × 𝟑𝟔 = 𝟗𝟕, 𝟗𝟐 𝒌𝑵/𝒎 𝑷𝒑 = 𝟏 𝟐 ′ 𝒑𝒉 = 𝟏 𝟐 𝑲𝒑𝜸𝒉𝟐 = 𝟎, 𝟓 × 𝟐, 𝟗𝟒 × 𝟏𝟔 × 𝟑𝟔 = 𝟖𝟒𝟔, 𝟕𝟐 𝒌𝑵/𝒎 52 TEORIA DE RANKINE (Mazidrani e Ganjali, 1997) • Caso Específico: muro liso em talude inclinado e solo coesivo 𝝈′𝒂 = 𝜸𝒉𝑲′𝒂𝒄𝒐𝒔𝜶 𝑲′𝒂 = 𝑲𝒂 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝝈′𝒑 = 𝜸𝒉𝑲′𝒑𝒄𝒐𝒔𝜶 𝑲′𝒑 = 𝑲𝒑 𝒄𝒐𝒔𝜶 53 TEORIA DE RANKINE (Mazidrani e Ganjali, 1997) • Caso Específico: muro liso em talude inclinado e solo coesivo Caso “ativo”  sinal - Caso “passivo”  sinal + 𝑯𝒐 = 𝟐𝒄′ 𝜸 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏∅′ 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏∅′ 54 Ábaco de Mazidrani e Ganjali ( 1997) 55 7) Rankine: muro liso em talude inclinado; solo coesivo • Estimar o Empuxo Ativo (Pa) por metro de muro após a ocorrência das fendas de tração 𝑯𝒐 = 𝟐𝒄′ 𝜸 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏∅′ 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏∅′ 𝐻𝑜 = 2 × 10 16,5 1 + 𝑠𝑒𝑛20𝑜 1 − 𝑠𝑒𝑛20𝑜 = 1,73 𝑚 Fonte: Das (2007) • ℎ = 0 𝑚 → 𝜎𝑣 = 𝜎′𝑣 = 𝜎′𝑎 = 0 𝑘𝑃𝑎 • ℎ = 6,1 𝑚 → 𝜎′𝑎 = 𝛾ℎ𝐾′𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 56 𝑐′ 𝛾ℎ = 10 16,5 × 6,1 ≈ 0,1 Ábaco de Mazidrani e Ganjali ( 1997)  K’a = 0,3565 𝜎′𝑎 = 𝛾ℎ𝐾′𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 = 16,5 × 6,1 × 0,3565 × 𝑐𝑜𝑠5𝑜 = 35,75 𝑘𝑁/𝑚2 𝑃𝑎 = 0,5 × 6,1 − 1,73 × 35,75 = 78,1 𝑘𝑁/𝑚 𝐻𝑜 = 2𝑐′ 𝛾 1 + 𝑠𝑒𝑛∅′ 1 − 𝑠𝑒𝑛∅′ = 2 × 10 16,5 1 + 𝑠𝑒𝑛 20𝑜 1 − 𝑠𝑒𝑛20𝑜 = 1,73 𝑚 57 Hipóteses Simplificadoras • Solo homogêneo e isotrópico; • A ruptura ocorre sob o estado plano de deformação; • Pode existir atrito solo-muro (δ), isto é, em qualquer ponto da parede haverá a mobilização de resistência ao cisalhamento, por unidade de área, e uma componente de adesão na parede; • Uma pequena deformação da parede é suficiente para mobilizar o estado limite; • Adota condição de equilíbrio limite, e o estado plástico desenvolve-se numa cunha (como um bloco rígido). TEORIA DE COULOMB (1776) TEORIA DE COULOMB Empuxo Ativo Empuxo Passivo TEORIA DE COULOMB ativo passivo (a) Active case (b) Passive case TEORIA DE COULOMB • Superfície plana de ruptura ; atrito muro/solo é considerado; solo não coesivo • Empuxo Ativo • W = peso da cunha de solo • F = resultante da normal e cisalhante ao plano de ruptura • Pa = empuxo ativo por unidade de comprimento do muro • ’ = ângulo de atrito solo-muro Fonte: Das (2007) 60 61 TEORIA DE COULOMB 𝑾 𝒔𝒆𝒏 𝟗𝟎𝒐 + 𝜽 + 𝜹′ − 𝜷 + ∅′ = 𝑷𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝜷 − ∅′ 𝑷𝒂 = 𝟏 𝟐 𝜸𝑯𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜽 − 𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜽 − 𝜶 𝒔𝒆𝒏 𝜷 − ∅′ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒔𝒆𝒏 𝜷 − 𝜶 𝒔𝒆𝒏 𝟗𝟎𝒐 + 𝜽 + 𝜹′ − 𝜷 + ∅′ = 𝟏 𝟐 𝑲𝒂𝜸𝑯𝟐 • Lei dos Senos: • Empuxo: •  para Pa máximo: 𝒅𝑷𝒂 𝒅𝜷 = 𝟎 𝑷𝒂 = 𝟏 𝟐 ′ 𝒂𝑯 = 𝟏 𝟐 𝑲𝒂𝜸𝑯𝟐 62 𝑲𝒂 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 ∅′ − 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒄𝒐𝒔 𝜹′ + 𝜽 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝜹′ + ∅′ 𝒔𝒆𝒏 ∅′ − 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜹′ + 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 − 𝜶 𝟐 • Para  = 0o ;  = 0o ; ’ = 0o → 𝑲𝒂 = 𝒕𝒈𝟐 𝟒𝟓 − ൗ ∅′ 𝟐 TEORIA DE COULOMB • Coeficiente de Empuxo Ativo (Ka) Rankine • Para um dado valor de ’ e para  = 0o e  = 0o  ’  Ka 63 TEORIA DE COULOMB • Empuxo Passivo • W = peso da cunha de solo • F = resultante da normal e cisalhante ao plano de ruptura • Pa = empuxo ativo por unidade de comprimento do muro •  = ângulo de atrito solo muro Fonte: Das (2007) 64 𝑲𝒑 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 ∅′ + 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒄𝒐𝒔 𝜹′ − 𝜽 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏 𝜹′ + ∅′ 𝒔𝒆𝒏 ∅′ + 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜹′ − 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜶 − 𝜽 𝟐 • Para  = 0o ;  = 0o ; ’ = 0o → 𝑲𝒑 = 𝒕𝒈𝟐 𝟒𝟓 + ൗ ∅′ 𝟐 • Coeficiente de Empuxo Passivo (Kp) TEORIA DE COULOMB 𝑷𝒑 = 𝟏 𝟐 𝑲𝒑𝜸𝑯𝟐 Rankine • Para um dado valor de ’ e para  = 0o e  = 0o  ’  Kp 65 Exercício: Determinar Pa e Pp e a resultante (Coulomb) 𝑲𝒂 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟑𝟎𝟎 − 𝟖𝟎 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟖𝟎𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟎𝟎 + 𝟖𝟎 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝟎𝟎 + 𝟑𝟎𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟎𝟎 + 𝟖𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝟖𝟎 − 𝟐𝟎𝟎 𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟐 𝑷𝒂 = 𝟏 𝟐 𝑲𝒂𝜸𝑯𝟐 = 𝟏 𝟐 × 𝟎, 𝟓𝟐 × 𝟏𝟖, 𝟐 × 𝟒, 𝟐 𝟐 = 𝟖𝟑, 𝟓 𝒌𝑵/𝒎 𝑲𝒂 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 ∅′ − 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒄𝒐𝒔 𝜹′ + 𝜽 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝜹′ + ∅′ 𝒔𝒆𝒏 ∅′ − 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜹′ + 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 − 𝜶 𝟐 ഥ𝒉 = 𝟒, 𝟐 𝟑 = 𝟏. 𝟒 𝒎 (𝟐𝟎𝟎 𝒂𝒃𝒂𝒊𝒙𝒐 𝒅𝒂 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒂𝒐 𝒎𝒖𝒓𝒐) 66 𝑲𝒑 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 ∅′ + 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒄𝒐𝒔 𝜹′ − 𝜽 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏 𝜹′ + ∅′ 𝒔𝒆𝒏 ∅′ + 𝜶 𝒄𝒐𝒔 𝜹′ − 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜶 − 𝜽 𝟐 𝑲𝒑 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟑𝟎𝒐 + 𝟖𝒐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟖𝒐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟎𝒐 − 𝟖𝒐 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝟎𝒐 + 𝟑𝟎𝒐 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎𝒐 + 𝟐𝟎𝒐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟎𝒐 − 𝟖𝒐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟎𝒐 − 𝟖𝒐 𝟐 = 𝟏𝟑, 𝟎𝟒 𝑷𝒑 = 𝟏 𝟐 𝑲𝒑𝜸𝑯𝟐 = 𝟎, 𝟓 × 𝟏𝟑, 𝟎𝟒 × 𝟏𝟖, 𝟐 × 𝟒, 𝟐 𝟐 = 𝟐. 𝟎𝟗𝟑, 𝟐 𝒌𝑵/𝒎 ഥ𝒉 = 𝟒, 𝟐 𝟑 = 𝟏. 𝟒 𝒎 (𝟐𝟎𝟎 𝒂𝒄𝒊𝒎𝒂 𝒅𝒂 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒂𝒐 𝒎𝒖𝒓𝒐)