Transformação de Tensões e Critérios de Falhas em Resistência dos Materiais II

Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Capítulo 6 Transformação de tensões e critérios de falhas Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias O estado geral de tensão em um ponto é caracterizado por seis componentes independentes da tensão normal e de cisalhamento O estado de tensão a não é encontrado com frequência na prática da engenharia Aproximações ou simplificações das cargas sobre o corpo a fim de que a tensão produzida em um sistema estrutural ou mecânico seja analisado em um único plano Quando isso ocorre o material está sujeito a tensões no plano 61 Tensões principais no plano Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias A viga mostrada está sujeita ao carregamento distribuído w 120 kNm Determine o estado de tensões na viga no ponto P que se encontra na parte superior da alma I674106m4 Exemplo 1 Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 30 6 kNm 84 kN M V O equilíbrio da viga selecionada é mostrado onde No ponto P Portanto o resultado é o seguinte MPa m m m N It VQ MPa m m Nm I y M 35 2 0 01 4 10 67 0 015 0175 01075 10 84 45 4 4 10 67 10 6 10 30 4 6 3 3 4 6 3 Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias A figura abaixo mostra as relações de tensões para dois pontos da viga em balanço abaixo Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias DEC DMF Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Entre as cargas os pontos estão submetidos somente ao momento fletor Já entre o apoio e o carregamento os pontos estão submetidos a combinação do momento fletor e do esforço cortante Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Ponto a Tensões no sistema xy Tensões principais Ponto b Ponto c Ponto d Tensões no sistema xy Tensões principais Tensões no sistema xy Tensões principais Tensões no sistema xy Tensões principais Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Evolução da fissuração de uma viga T para vários estágios do carregamento Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Evolução da fissuração de uma viga T para vários estágios do carregamento Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Componentes de tensão podem se transformar em um elemento caso tenha uma orientação diferente Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias A tensão normal positiva age para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento positiva age para cima na face direita do elemento Para determinar basta substituir θ por θ90 na equação 1 cos2 sen2 1 2 2 sen2 cos2 2 2 x y x y x xy x y x y xy 62 Equações gerais de transformação de tensão no plano y cos2 sen2 3 2 2 x y x y y xy Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Convenção de sinais Sentido antihorário Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento mostrado na figura Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30 no sentido horário em relação à posição mostrada Exemplo 2 Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Pela convenção de sinal temos Para obter as componentes de tensão no plano CD 80 MPa 50 MPa 25 MPa 30 x y xy cos2 sen2 2 2 80 50 80 50cos2 30 25sen2 30 258 MPa 2 2 sen2 cos2 2 80 50 2 30 25cos2 30 688 MPa 2 x y x y x xy x x y x y xy x y sen Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Para obter os componentes de tensão no plano BC cos2 sen2 2 2 80 50 80 50cos2 30 25sen2 30 2 2 415 MPa x y x y y xy y Os resultados são mostrados na figura Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 1O estado plano de tensão equivalente em um elemento se ele estiver orientado a 30 em sentido antihorário em relação ao elemento mostrado Respostas Exercício de fixação cos2 sen2 1 2 2 sen2 cos2 2 2 x y x y x xy x y x y xy cos2 sen2 3 2 2 x y x y y xy Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 2O As fibras de uma barra de madeira formam um ângulo de 15 com a vertical Determine para os estados de tensões indicados abaixo a a tensão de cisalhamento paralela às fibras b a tensão normal às fibras Respostas Exercício de fixação a 06 b 384 x y x MPa MPa cos2 sen2 1 2 2 sen2 cos2 2 2 x y x y x xy x y x y xy cos2 sen2 3 2 2 x y x y y xy Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Tensões principais no plano Tensões principais ocorrem nos planos de tensão principais com tensão de cisalhamento igual a zero 2 2 tg y x xy p 2 1 2 2 1 2 onde 2 2 xy y x y x 63 Tensões principais e tensões de cisalhamento máximo sen2 cos2 0 2 2 x y x y xy Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Tensão de cisalhamento máxima no plano A orientação de um elemento irá determinar a máxima e a mínima da tensão de cisalhamento Nós temos tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média xy y x s 2 tg2 2 2 no plano máx 2 xy y x méd 2 x y Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 3O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é representado no elemento mostrado na figura abaixo a Represente esse estado de tensão em termos das tensões principais b Represente esse estado de tensão como a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada Exercício de fixação Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Respostas a b Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 4O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento Determine a as tensões principais e b a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto Especifique a orientação do elemento em cada caso Exercício de fixação Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 64 Círculo de Mohr Tensão no plano A transformação da tensão no plano tem uma solução gráfica que é fácil de lembrar desenvolvida por Christian Otto Mohr 1835 Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Construção 1Defina um sistema de coordenadas tal que a abcissa represente a tensão normal σ como positiva para a direita e a ordenada represente a tensão de cisalhamento τ como positiva para baixo Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 2Usando a convenção de sinais marque o centro do círculo C que está localizado no eixo σ a uma distância de σmédσx σy2 da origem 3Marque o ponto de referência A cujas coordenadas são Aσxτxy 4Ligue o ponto A ao centro C e determine CA por trigonometria Essa distância representa o raio R do círculo 5Desenhe o círculo Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 6 As tensões principais σ1 e σ2 σ1maior ou igual a σ2 são apresentadas pelos dois pontos B e D onde o círculo intercepta o eixo σ isto é onde τ0 7As tensões principais agem nos planos definidos por 2θp1 e 2θp2 sentido antihorário neste caso da linha CA até a linha do CB Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 8 As componentes de tensão de cisalhamento máxima e de tensão normal média são determinados pelo círculo como as coordenadas do ponto E e F 9 O ângulo 2 θs1 é determinado por trigonometria Aqui a rotação é em sentido horário 10 As tensões em um ponto P arbitrário também podem ser conhecidas assim como o θ de CA até CP Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Para a viga mostrada no exemplo 1 determine as tensões principais na viga no ponto P Exemplo 1 64 6 MPa 419 7 22 19 2 MPa 419 7 22 2 1 22 7 2 0 45 4 O centro do círculo é e o ponto A é 454 352 Portanto o raio é 419 O ângulo em sentido antihorário é 28 6 57 2 2 2 2 p p Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 5O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na figura abaixo Determine a as tensões principais e a orientação do elemento sobre o qual elas agem e b a tensão de cisalhamento máxima no plano e a orientação do elemento sobre a qual ela age Exercício de fixação Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 6O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na figura abaixo Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e as tensões principais e a orientação do elemento sobre o qual elas agem Exercício de fixação Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 7Resolva o exercício de fixação 3 usando o Círculo de Mohr Exercício de fixação Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias O estado plano de tensão em um ponto é mostrado abaixo Represente este estado de tensão em um elemento orientado a 30 em sentido antihorário em relação a posição mostrada na figura Exemplo 2 22 7 2 0 45 4 Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 8 O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento mostrado na figura Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30 no sentido horário em relação à posição mostrada usando o Círculo de Mohr Exercício de fixação Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Falha de um elemento submetido a um estado plano de tensão não pode ser diretamente previsto a partir de um ensaio uniaxial É conveniente determinar as tensões principais e basear os critérios de falha a partir do estado de tensão biaxial do elemento Critérios de falha existentes são baseados nos mecanismo de falha existentes Eles permitem a comparação das condições de falha de um ensaio de tensão uniaxial e um carregamento biaxial Falha para material dúctil falha pelo escoamento ao passo que se for frágil isso ocorrerá pela ruptura 65 Critério de falha Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Discutiremos teorias frequentemente utilizadas na prática da engenharia para prever a falha de uma material sujeito a um estado multiaxial Estas teorias são utilizadas para determinar as tensões admissíveis informadas em muitos manuais normas e códigos de projetos Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima ou critério de escoamento de Tresca Henri Tresca 1868 é usada para prever a tensão de falha de um material dúctil sujeito a qualquer tipo de carga Em referência a tensão do plano a teoria da tensão de cisalhamento máxima para tensão do plano podem ser expressadas pelas duas tensões principais 651 Critério de escoamento de Tresca Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Teoria de energia de distorção máxima ou critério de von Mises é usada para prever a tensão de falha de um material dúctil 752 Critério de von Mises Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Teoria da tensão normal máxima ou critério de Coulomb Charles Augustin de Coulomb 17361806 afirma que materiais frágeis tendem a falhar repentinamente por ruptura quando ocorre a tensão de tração máxima Material com diagramas tensãodeformação similares para tração e compressão 653 Critério de Coulomb Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Se um material frágil tiver diagramas tensãodeformação diferentes sob tração e sob compressão então se aplica o critério de falha de Mohr 654 Critério de Falha de Mohr Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 9 O eixo maciço mostrado na figura abaixo tem raio de 05 cm e é feito de aço com tensão de escoamento de σe 360 MPa Determine se as cargas provocam a falha do eixo de acordo com o critério de Tresca e von Mises Respostas a falha b não falha Exercício de fixação Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 10 Um componente de máquina construído em aço está submetido ao estado de tensões indicado O aço utilizado tem σe 331 MPa Determine se vai ocorrer escoamento de acordo com o critério de Tresca a considerar σo 210 MPa b considerar σo 294 MPa Respostas a não falha b falha Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 11 O eixo maciço de ferro fundido está sujeito ao torque T400lb ft Determinar o menor raio de modo que não ocorra falha de acordo com a teoria da tensão normal máxima Um corpo de prova de ferro fundido testado sob tração tem limite de resistência σrt 20ksi Resposta r0535in