Aplicações da Integral Definida: Cálculo de Área e Outros Conceitos

Area de uma figura plana 1 3 Aplicacgoes da integral definida Essa parte é dedicada a varias aplicacoes da integral definida calculo da area de uma figura plana calculo do comprimento do arco encontro do volume de sélido de revolugao e encontro de valor médio de uma grandeza Em toda essa parte vamos supor que as fungodes dadas sao integraveis de Riemann e na maioria dos casos continuas sem mencionar isso explicitamente 1 Area de uma figura plana Area de uma figura compreendida entre retas x a b y 0 e grafico de fx Esse problema ja foi considerado na secaéo 33 da parte da integral definida onde foi estabelecido que no caso geral quando o sinal de fx pode mudar em ab a Area se encontra pela formula A Af f fxdx Para poder abrir o médulo temos que especificar os intervalos onde f zx é positiva e onde ela é negativa Entao dividimos a integral em a b em integrais pelos subintervalos com sinal determinado de fz e tomamos as integrais de partes positivas com sinal positivo e as integrais de partes negativas com sinal negativo Alguns casos particulares séo os seguintes 1 Se fx 0 em ab entao A f fxdz 2 Se fx 0 em ab entaéo A Af ffadx f fx dz 3 Se fx 0 em ac e fx 0 em eb entao A f fx dx fe fxdx f fxdx Vamos considerar agora a situagao quando fx 0em ac e fx 0 em c b Entao a figura se divide naturalmente em duas partes abaixo de Ox em ac e acima de Ox em c b veja Fig Na parte negativa consideramos fx e na positiva a propria fx isto é consideramos f em ab As areas das figuras limitadas por fx e fx sao iguais e portanto A Af S fxdx Notamos que a integral f fxdx nao tem relacao direta com f fxdx no sentido que sabendo a segunda nao tem como saber a primeira e viceversa Para expressar a area A em termos de fx lembramos que a integrabilidade de fx em ab implica em integrabilidade de fzx nesse intervalo e a integrabilidade de fx em ab garante sua integrabilidade em ac e c Portanto podemos dividir a integral e a Area em duas partes A fadv Ajag Ajes Ie fade Je fa da ifade 2 flade ff flada J fade Area de uma figura compreendida entre retas a 1 b e graficos de fx e gz Consideremos primeiro alguns casos particulares e depois generalizamos o resultado 1 Caso fa gx em a dB Se fa gx 0 em fa b entao a area procurada pode ser obtida como a diferenga entre a area A da figura ligada com fx e a area Ay da figura ligada com gx veja Fig21 Entao A Ap Ay I flade f glade fo fx ga de Se fx 0 gx em a b entao a area procurada pode ser obtida como a soma da area A da figura ligada com fx e a area Ag da figura ligada com gx veja Fig22 Entao A Ap A 2 Flade gxde f2F2 gade Se 0 fx gx em ab entao a area procurada pode ser obtida como a diferenga entre a area A da figura ligada com gx e a area A da figura ligada com fx veja Fig23 Entao A Ay Ay 29x de f e de f gle de Assim em todos esses casos a formula da drea é a mesma em termos da intergral definida embora a expressao em termos das areas Ay e A é diferente Logo se uma das fungdes ou duas trocam sinal em ab mantendo a relagéo fx ga em a b a formula integral continua sendo valida A ff x gxdz O mesmo resultado pode ser deduzido realizando a construcéo completa da area dessa figura via retangulos aproximantes como era feito na parte 2 no caso gx 0 Como nao ha necessidade de 2 Aplicações da integral definida Figura 21 Área da figura plana entre x a x b y fx e y gx posição fx gx 0 Figura 22 Área da figura plana entre x a x b y fx e y gx posição fx 0 gx Figura 23 Área da figura plana entre x a x b y fx e y gx posição 0 fx gx mostrar a existência da área vamos aplicar só a Construção 2 veja Fig24 Primeiro introduzimos partição Pn xi a ba n i i 0 1 n de a b com distância ba n entre dois pontos próximos A figura então é dividida pelas retas x xi em n partes Area de uma figura plana 3 y FS FG Za 7 aK f k AN iN Jy KZ oYWN AXol G x X17 ae LA S ZO até ote gci Figura 24 Area da figura plana entre x a x b y fx e y gx posicaio fr 0 gx finas de espessura igual a A Em cada um dos subintervalos x1 x aproximamos a fatia pequena da figura original pelo retangulo com a base x12 e a altura h f 9 fi a ei1 vi Logo a area desse retaéngulo aproximante é A Ah A f gj A aproximacao da area da figura completa é encontrada somando aproximacdes em todos os subintervalos S S37 A ey boar f g A ultima soma é a soma de Riemann para a fungao fx gx Finalmente a drea da figura original é determinada como limite das somas de Riemann S lim Sn Se as fungdes fx e gx sao integraveis de Riemenn entaéo fx gx também é integravel isto é o ultimo limite existe e representa a integral de Riemann A lim Sy Inf 2 gade Observagao Provavelmente 0 jeito mais simples e natural de deducéo das formulas é 0 geomé trico o segundo e nao algébrico o primeiro considerar retangulos aproximantes determinar a formula da sua altura reconhecer que a soma das aproximacoes de partes elementares é a soma de Riemann e lembrar que o limite dessa soma é integral de Riemann 2 Caso fx gx em a O Nesse caso é s6 trocar o sentido de fx e gx e usar o resultado do primeiro caso para obter a formula A fgx fxdz 3 Caso fx ga numa parte de ab e fx gx na outra parte Naturalmente nesse caso mais geral precisamos considerar a integral de fx gx na parte de ab onde fx gx e a integral de gx fx na parte onde fx gx Juntando tudo numa formula obtemos A f fx gxdx Area de uma figura compreendida entre retas y c y d e graficos de x fy e x gly Nesse caso 0 sentido de varidveis x e y é trocado comparando com a situacao anterior e portanto a formula para d4rea segue do caso anterior com a troca de varidvel A fe lfy gydy 4 Aplicagées da integral definida 2 Volume de um solido de revolucao 21 Definicoes Definigao Sdlido de revolugao Um sélido de revolucao de rotagao é uma figura tri dimensional obtida na rotacao de uma regiao plana em torno de uma reta chamada eixo de rotacao que fica no mesmo plano da regiao Definigao Sdélido original Consideremos inicialmente 0 caso quando a regiéo plana é limitada pelas retas x a x b y 0 pelo grafico de uma fungao y fx e quando o eixo de rotacao coincide com a fronteira y 0 da regiao plana Chamamos esse solido de revolugao de solido original Definigao Corte de uma figura tridimensional Chamamos corte segao de uma figura tridimensional a intersegéo dela com um plano Definigao Corte transversal de sélido original Um corte perpendicular secaéo trans versal de um solido original é a sua intersegéo com o plano coordenado perpendicular ao eixo de rotagao eixo Ox Normalmente sao considerados cortes pelos planos xz c onde c a b aqueles que tém intersegao nao vazia com o sélido A seguir sempre usamos cortes transversais e portanto nao mencionamos isso de novo Como ocorre em varias aplicagdes geométricas o modo mais simples e natural de deduzir en tender e lembrar as formulas do volume de um soélido é geométrico e nao algébrico 22 Método do disco Sodlido original Consideremos um solido original obtido na rotacéo da regiao plana FR limitada pelas retas x7 a x b y0e pelo grafico de fungao y fx 0 em torno do eixo Oz Notamos que qualquer corte transversal x c c a b representa um circulo Efetuamos os seguintes passos que correspondem a Construcaéo 2 na determinacéo da area de uma figura Primeiro introduzimos partigaéo P x a pany i 01n de ab com distancia A boa entre dois pontos préximos e passamos cortes x 71 01n que dividem o sdlido em n partes fatias finas de espessura igual a A Com isso a regiao plana R também é dividida em n partes finas veja Fig25 Segundo consideramos reténgulos elementares com a base x12 e a altura h f fi x1x que aproximam uma fatia fina de R entre x1 e x A rotacao desses retaéngulos aproximantes em torno de Ox vai gerar um solido que aproxima a figura original veja Fig26 Encontrar o volume desse sélido de aproximacao é simples A rotacaéo de cada retangulo vai gerar um cilindro disco perpendicular ao eixo Ox cuja base é 0 circulo com centro no eixo Oz raio igual ar h fi e cuja altura é igual a espessura A da fatia O volume desse cilindro aproximante é igual a V mr7A 7f7A Logo a aproximacao do volume da figura completa é encontrada somando aproximacg6es de todas as partes em todos os subintervalos S V 3 Anf Notamos que a ultima soma é a soma de Riemann para a fungao 7 fzx Finalmente o volume do soélido original é determinado como limite das somas de Riemann S V tim S Sea funcao fx é integravel de Riemann entéo 7 fx também é integravel isto é o ultimo limite existe é a integral de Riemann V ti Sn foafeade r f fxda A generalizagao para o caso do sinal arbitrario de fx é direta e leva ao mesmo resultado uma vez que a formula obtida nao depende do sinal de fx Assim para qualquer sdlido original 0 seu volume se encontra pela formula V 7 f fadx sob a condigo de integrabilidade de fx em a 6 Volume de um sólido de revolução 5 Figura 25 Sólido obtido na rotação da região plana limitada por x a x b y 0 e y fx 0 em torno do eixo y 0 aproximação de uma parte Figura 26 Sólido obtido na rotação da região plana limitada por x a x b y 0 e y fx 0 em torno do eixo y 0 aproximação geral Observação 1 Destacamos os passos desse método geométrico que são comuns para maioria de aplicações geométricas da integral dividir a figura original o sólido original em partes pequenas elementares fatias finas considerar aproximação de cada parte via figura cuja característica pro curada volume se encontra de modo simples nesse caso volume de cilindros aproximantes somar aproximações de todas as partes elementares e reconhecer que a soma obtida é a soma de Riemann de uma função para o volume do sólido é πf 2x e lembrar que o limite dessa soma é integral de 6 Aplicagées da integral definida Riemann na condigao de integrabilidade da fungaéo obtida Observagado 2 Na formula encontrada V 7 ih fxdz é til pensar na interpretacao geo métrica dos elementos dessa formula que sao originados pela sua dedugao fx é a altura do retangulo elementar a ser rotacionado em torno do eixo Ox ou seja a distancia do grafico até o eixo de rotagao e dx é a espessura largura desse retaéngulo Para o cilindro gerado na rotagao do retangulo elementar esses elementos sao fx 0 raio do cilindro e dx é a sua espessura altura Notamos que os retangulos elementares sao perpendiculares ao eixo de rotacao Sdlido com rotagao em torno de Oy Consideremos um solido obtido na rotacdéo da regiéo plana limitada pelas retas y c y d x 0 e pelo grafico de fungao x gy em torno do eixo Oy Essa situacao difere da anterior pela troca de sentido de varidveis x e y Portanto a formula correspondente do volume é V x 4 9ydy Sdélido com furo dentro rotagao da regiao plana com duas fronteiras curvilineas Consideremos um solido obtido na rotacao da regiao plana limitada pelas retas 7 a x b y 0e pelos graficos de fungées fx e gx em torno do eixo Oz Primeiro notamos que a situagaéo quando fx e gx tém sinal diferente em todo o intervalo a b ou em sua parte é mal definida porque os mesmos pontos do espago estéo descritos duas vezes uma vez na rotacao de fx e outra na rotagao de gx Entao a seguir consideramos casos quando fx e gx tém o mesmo sinal em qualquer parte de a Para comegar consideremos a situagdo simples quando fz gx 0 em ab Entao a rotagéo de fx determina a fronteira externa do sdlido enquanto a rotagao de gx determina a fronteira interna o grafico de fx fica mais distante do eixo de rotagao que o de gx A ilustragao é mostrada na Fig27 Naturalmente o volume se encontra como a diferenga entre o volume V do sdlido externo e o volume V da lacuna de dentro V VVy a Jf fxda 2 J gxdx Jfx gx dz y Co f Figura 27 Sdlido obtido na rotacao da regiao plana limitada por x a x b y gx 0e y fx gx em torno do eixo y 0 Observagao De novo é ttil pensar na interpretacéo geométrica dos elementos dessa formula Os médulos f e gx sao raios dos dois retangulos elementares a serem rotacionados em torno do Volume de um solido de revolucao 7 eixo Ox O primeiro maior representa a distancia do eixo de rotacao até o grafico mais afastado que vai gerar a superficie externa do sdlido na rotagao O segundo menor representa a distancia do eixo de rotacgao até o grafico mais préximo que vai gerar a superficie interna do sdlido superficie do furo na rotagao A rotagaéo dos dois retangulos gera um anel cujo volume é a diferenga entre volumes do cilindro externo obtido na rotagao do retangulo maior e do cilindro interno obtido na rotacao do retangulo menor O elemento dz é a espessura dos dois retaéngulos elementares que sao posicionados perpendicularmente ao eixo de rotacao Se 0 fx gx em ab entao o grafico de fx fica mais préximo do eixo de rotagao que o de gx Logo V Vg Vp 7 fg a f2a de Essa situagao tem uma generalizagaéo simples para 0 caso quando a relacao entre fx e gx é distinta em diferentes partes de ab V a J fx gadx As formulas semelhantes sao usadas quando a rotacao é realizada em torno do eixo Oy Sdlido com furo dentro rotagao da regiao plana em torno de eixo diferente Consideremos um sodlido obtido na rotacao da regiao plana R limitada pelas retas x a x b y 0e pelo grafico da fungao fx em torno do eixo y c Primeiro notamos que a situagéo quando a reta y c passa por dentro de R é mal definida porque os mesmos pontos do espaco estao descritos duas vezes uma vez na rotacgao da parte fz acima de y c e outra na rotacao da parte inferior Entao a seguir consideramos somente casos quando fx c ou fa c em todo o intervalo a b veja Fig28 No caso quando fx 0 c em ab a aproximacao de uma parte elementar é um anel aro que representa o resultado da extragdéo de um cilindro maior um cilindro menor coaxial com o primeiro O cilindro maior é encontrado na rotagdo do retangulo elementar de raio f c a distancia entre a fronteira superior de R o grafico de fx e 0 eixo de rotacao em torno de y c e o menor é obtido na rotagao do retangulo elementar de raio 0 c a distancia entre a fronteira inferior de R eixo Oz e 0 eixo de rotacao f fG f er ie A0 he 0 Ss oi 0c x ee ae J i Figura 28 Sdlido obtido na rotagao da regiao plana limitada por x ax b yOey fx 0 em torno do eixo y c 0 8 Aplicagées da integral definida Lembrando que a espessura do anel elementar é A o seu volume é V 1fc A1cA mfi c JA Somando todas as aproximagées encontramos S i Vi NL afi 0 7JA que éa soma de Riemann para a fungao 7f x c c Finalmente 0 volumo do soélido original 6 determinado como limite das somas de Riemann S o que leva a integral de Riemann V lim S nt fx Aldz Notamos que caso c 0 voltamos a férmula mais simples do volume do solido original Observagao De novo é util pensar na interpretacéo geométrica dos elementos dessa férmula oriundos da sua dedugéo Os médulos fx c e c so raios dos dois reténgulos elementares a serem rotacionados em torno do eixo y c O primeiro maior representa a distancia do eixo de rotacéo até o grafico da funcgao que vai gerar a superficie externa do sdlido na rotacgao O segundo menor representa a distancia do eixo de rotacao até o eixo Ox que vai gerar a superficie interna do sélido superficie do furo na rotagao A rotacao dos dois retaéngulos gera um anel cujo volume é a diferenga entre volumes do cilindro externo obtido na rotagao do retangulo maior e do cilindro interno obtido na rotagao do reténgulo menor O elemento dx é a espessura dos dois reténgulos elementares que sao posicionados perpendicularmente ao eixo de rotacao Essa dedugao geométrica tem generalizacgao natural para outras relacoes entre o grafico de fz e o eixo de rotagao y c Para rotacéo em torno de um eixo paralelo ao eixo Oy sao validas as formulas andlogas Sdlido com furo dentro situagao geral Se um solido é obtido na rotacaéo da regiéo plana R limitada pelas retas x a x b e pelos graficos de fungdes fx e gx em torno do eixo y c entao é preciso juntar consideracoes feitas nos dois casos anteriores mais simples Para exemplificar consideremos a situacgao quando fx gx 0 c em ab Nesse caso a aproximacao de uma parte elementar é um anel aro que representa o resultado da extracao de um cilindro maior um cilindro menor coaxial com o primeiro O cilindro maior é encontrado na rotagao do retangulo elementar de raio f c a distancia entre a fronteira externa de R o grafico de fx e o eixo de rotagao em torno de y ce o menor é obtido na rotagao do retangulo elementar de raio g c a distancia entre a fronteira interna de R o grafico de gx e o eixo de rotagao A ilustragao é mostrada na Fig29 y f fe ee fr t Figura 29 Sdlido obtido na rotagao da regiao plana limitada por x a x b y gx Oe y fx gx em torno do eixo y c 0 Volume de um solido de revolucao 9 Lembrando que a espessura do anel elementar é A 0 seu volume é V 7fc A1gcA Tfi 0 gi JA Somando todas as aproximacées encontramos S V Se alfi 0 95 07 JA que 6 a soma de Riemann para a funcao mf x c gx c Finalmente 0 volumo do soélido original 6 determinado como limite das somas de Riemann S o que leva a integral de Riemann V im Sn a ff x gx dz Essa dedugéo geométrica tem generalizacéo natural para outras relagdes entre os graficos de fx gx 0 eixo de rotagao y c Para rotacéo em torno de uma reta paralela ao eixo Oy sdo validas as formulas andlogas Exemplos Primeiro calculamos volumes de algumas figuras para os quais o resultado é bem conhecido da geometria sO para ver que esse método mais geral oferece os mesmos resultados nos casos elementares 1 Para chegar ao volume de uma bola de raio r pensamos que ela foi obtida na rotagaéo de um semicirculo de raio r em torno do eixo que coincide com a parte retilinea da fronteira desse semicirculo Para simplificar consideracoes colocamos a parte retilinea da fronteira no eixo Ox e posicionamos o centro do semicirculo na origem Entao a fronteira superior é descrita pela fungao fx Vr 2 x rr Usando a formula do sélido original obtemos V z J fxdz tf r 2dx 7 r2x 7 2r 2 Ant Como era esperado chegamos ao resultado conhecido da escola 2 Para calcular o volume de um cilindro de raio r e altura h consideramos que ele voi obtido na rotagao do retangulo dos lados r e h em torno do eixo que coincide com o lado h Colocamos o lado h no eixo Ox e posicionamos ele de 0 até h Entao a fronteira superior é descrita pela fungao fx r x 0 h e usando a formula do sdlido original obtemos V 7 ft fadx n fe r2dx n r2zx b rh Como era esperado chegamos ao resultado conhecido da escola 3 Em casa calcular o volume de um cone reto de raio r e altura h comparar com o resultado conhecido Agora efetuamos calculos de volumes de sdlidos de revolucaéo em diferentes situagoes 4 Calcular o volume do sdélido obtido na rotacéo da regiao plana compreendida entre curvas y x e y em torno do eixo Oz Como os limites de variagaéo de x nao estao indicados isso significa que as duas curvas formam uma fronteira natural que determina esses limites de variagéo Para encontralos achamos os pontos de intersecaéo das duas curvas os quais sao x O0ex1 A rotagao vai gerar um sélido com furo dentro A superficie externa do sdlido é definida pela curva mais afastada do eixo Ox no intervalo 0 1 isto é por y x e a superficie interior do furo é determinada pela curva mais préxima do eixo Oz isto é por y x Entao o volume procurado é a diferenga entre volume do sdlido externo gerado pela rotagao de y x e sdlido interno gerado pela rotagao de y a V 7 Jy a a dx 1 Jb7 5 Calcular o volume do sélido obtido na rotagaéo da regiao plana compreendida entre curvas y x ey em torno do eixo Oy Ja sabemos que as duas curvas formam uma fronteira natural da regiao plana e que as abscissas dos pontos de intersecéo sao x 0 e x 1 As ordenadas correspondentes também sao y 0 e y 1 Como a rotacao é realizada em torno de Oy o método do disco requer as fungoes de varidvel y Invertendo as duas fungées dadas temos 4 y e x y com y 0 1 A rotagao vai gerar um sélido com furo dentro A superficie externa do sdlido é definida pela curva mais afastada do eixo Oy no intervalo 01 isto é por s y e a superficie interior do furo é determinada pela curva mais proéxima do eixo Oy isto é por x y Entao o volume procurado é a diferenga entre volume do sdlido externo gerado pela rotagao de x y e sdlido interno gerado pela rotagao de x y V7 fo va y dy 4 o b 7 10 Aplicagées da integral definida 6 Calcular o volume do sélido obtido na rotagdéo da regiéo plana compreendida entre curvas y x ey2 em torno do eixo y 2 Ja sabemos que as duas curvas formam uma fronteira natural da regiao plana e que as abscissas dos pontos de intersegao sao x 0 e x 1 Como a rotagao é realizada em torno de y 2 o método do disco requer as fungoes de varidvel x assim como esta dado nas condigdes do problema A rotagao vai gerar um sélido com furo dentro A superficie externa do sdlido é definida pela curva mais afastada do eixo y 2 no intervalo 01 isto é por y x e a superficie interior do furo é determinada pela curva mais proxima do eixo y 2 isto é por y x note que ambas as curvas ficam abaixo do eixo de rotacao A distancia da curva mais afastada até y 26227 ea distancia da curva mais préxima até y 2 6 2 x Entao o volume procurado é a diferencga entre volume do sélido externo gerado pela rotagéo de y x e sdlido interno gerado pela rotagao de ya2 Ver fy 227 22 dx 7 fj 5a 44 4 42de 7 53 20 me 7 Calcular o volume do sdlido obtido na rotagao da regiao plana compreendida entre curvas y x ey2 em torno do eixo x 1 Ja sabemos que as duas curvas formam uma fronteira natural da regiao plana e que as ordenadas dos pontos de intersecao sao y 0 e y 1 Como a rotagao é realizada em torno de Oy o método do disco requer as fungoes de variavel y x y ex y com y 01 A rotagao vai gerar um sélido com furo dentro A superficie externa do sdlido é definida pela curva mais afastada da reta x 1 no intervalo 0 1 isto é por x y e a superficie interior do furo é determinada pela curva mais proxima a reta x 1 isto é por x y A distancia da curva mais afastada até 1 6 y1 ea distancia da curva mais proxima até x 1 é y 1 Entao o volume procurado é a diferenga entre volume do sdlido externo gerado pela rotagao de solido interno gerado pela rotagaéo de y V 7 fy a 1 y 1 dy t y29 y ydy m 245 FE ah 23 Método do invélucro cilindrico da casca cilindrica Esse método é uma alternativa ao método do disco especialmente nos casos quando o trabalho técnico envolvido na execucao do segundo é complicado Consideramos o sdlido obtido na rotacao da regiado plana R limitada pelas retas x a 0 x b y0e pelo grafico de fungao y fx 0 em torno do eixo Oy Para aplicar o método do disco precisamos encontrar a funcdéo inversa e determinar os limites da variacaéo do seu argumento 0 que pode ser um problema complicado mesmo se a inversa existir Em vez disso podemos trabalhar com a fungao dada y fx e limites jé definidos de variagao de x Para isso como sempre introduzimos partigao P x a pany 4 01n de a com distancia A brea entre dois pontos préximos e consideramos reténgulos elementares com a base x1 x ea altura h f fi wi1 vi que aproximam uma fatia fina de R entre x1 e x Notamos que esses retangulos aproximantes sao os mesmos usados na resolucao do problema do sélido original mas salientamos que agora esses retangulos sao paralelos e nao perpendiculares ao eixo de rotacgao que agora é Oy e nao Oz A rotacaéo desses retangulos aproximantes em torno de Oy vai gerar um sdlido que aproxima a figura original veja ilustracaéo na Fig210 Encontrar o volume desse sdlido de aproximacao é simples A rotacao de cada reténgulo vai gerar um involucro cilindrico casca cilindrica cujo volume é igual a diferenga entre o volume do cilindro maior de raio x e o volume menor de raio j1 Vi 1272h w2xhy x xf veja ilustracdo na Fig210 Logo a aproximacao do volume da figura completa é encontrada somando aproximacg6es de todas as partes S iL Vj Ct wa x fi Para poder usar a representacao via integral de Riemann depois de tomar limite quando n 00 a ultima soma deve ser reescrita na forma de soma de Riemann Isso pode ser feito se aplicamos a seguinte representagao x 77 a Uj1a 41 A Qe Se usarmos os pontos médios med a17 em cada Volume de um solido de revolucao 11 y SL LLALLL fF Ea JN Nf yas a Mi St b Figura 210 Sdlido obtido na rotacgao da regido plana limitada por x a x by O0e y fx 0 em torno do eixo x 0 intervalo x12 para avaliacgéo de valores da fungéo alturas de retaéngulos entaéo a soma S assume a forma S 07 V iL 7A gate fi 0 TA 26 f que 6 a soma de Riemann para fungdo 27a fx Chegando a somas de Riemann sabemos que caso 272f x é integravel o que é garantido pela integrabilidade de fx entao o limite das somas S é a integral de Riemann e portanto a formula para o volume é a seguinte V tim Sy f 2nafaxdx 20 fx fxda Observagao Na formula encontrada V 27 pe xfxdx é util pensar na interpretacgao geo métrica dos elementos dessa f6rmula que sao originados pela sua dedugao fx é a altura do retangulo elementar a ser rotacionado em torno do eixo Oy ou seja a distancia do grafico até a base da regiao plana R x é distancia média do reténgulo até o exio de rotagao e dx é a espessura desse retangulo Notamos que nesse método os retangulos elementares sao paralelos ao eixo de rotagao A generalizacao desse método para diversas posicdes da regiao plana e do eixo de rotacao é bastante natural Exemplos Resolvemos alguns exemplos quando a aplicacéo técnica do método do disco gera certas compli cagoes 1 Calcular 0 volume do sdlido obtido na rotagéo da regiao plana limitada pela curva fx xx 1 e pelo eixo Ox em torno do eixo Oy Como os limites de variacgéo de x nao estado especificados isso significa que as duas fronteiras formam um contorno fechado que determina unicamente a regiao plana Procurando intersecdes de fx com o eixo Ox encontramos x 0 e x 1 0 que indica a variagao de variavel x Usando a formula do involucro cilfndrico encontramos o volume do sdlido V 2m fo 2 a2 1dxr Qn fy a 203 2 dx 2n SE 2 la 2n 4343 3 2 Calcular o volume do sdlido obtido na rotagao da regiao plana compreendida entre curva fx sina e eixo Ox x 07 em torno do eixo Oy Usando a formula do involucro cilindrico encontramos o volume do solido V 27 fy xsin xdx 2m xcosx sin x 277 3 Calcular o volume do sdlido obtido na rotagao da regiao plana compreendida entre curva y 3x x e eixo Ox em torno do eixo x 1 Como os limites de variacgéo de x nao estado especificados isso significa que as duas fronteiras formam um contorno fechado que determina unicamente a regido plana Procurando intersecdes da parabola y 3x x com a reta y 0 encontramos x 0 e x 3 0 que determina a variacao de 12 Aplicagées da integral definida variavel x No método do invélucro rotacionamos retangulos elementares paralelos ao eixo de rotacao Por tanto a sua posicao é determinada pela escolha de x e essa deve ser a varidvel de integracéo Para compor a formula do volume temos que encontrar a altura dos retangulos elementares e a sua distancia média até o eixo de rotacao A altura é igual a distancia entre parabola y 3x2 v7 ea reta y 0 isto 6 3x 2 0 A distancia até 0 eixo é igual a x 1 Susbstituindo esses ele mentos na formula do volume obtemos V 27 fa1 32 2dax 2n fe 3a 2x x3 dr Om 3 2 In 33 42 8 an Completamos com exemplos ja resolvidos pelo método do disco para poder comparar a execucao e efetividade dos dois métodos 4 Calcular o volume do sdélido obtido na rotacéo da regiao plana compreendida entre curvas y x ey2 em torno do eixo Oz No método do invélucro os retangulos rotacionados sao paralelos ao eixo de rotacao e portanto a sua posicaéo é determinada em fungao de varidvel y Logo precisamos das funcdes de variavel y r yery com y 01 A rotagao vai gerar um solido com furo dentro O préprio sélido tanto sua parte externa como o furo dentro esta completamente definido pela rotagao de retangulos elementares cuja altura é igual a distancia entre duas curvas y y e cuja distancia média até o eixo de rotagao é igual a y Entao o volume procurado se encontra pela férmula V 27 Jy y y ydy 2n fo GP ydy Om 2 20 24 2rd 5 Calcular o volume do sélido obtido na rotagdéo da regiéo plana compreendida entre curvas y x ey2 em torno do eixo Oy No método do invélucro os retangulos rotacionados sao paralelos ao eixo de rotacao e portanto a sua posicao é determinada em funcao de varidvel x Logo trabalhamos com as funcdes y x e yxcom x 01 A rotagao vai gerar um solido com furo dentro O proprio sdlido tanto sua parte externa como o furo dentro esta completamente definido pela rotacgao de retaéngulos elementares cuja altura é igual a distancia entre duas curvas x x e cuja distancia média até 0 eixo de rotacao é igual a x 1 3 4 Entao o volume procurado se encontra pela formula V 27 fo x x xdx 2r 5 ls 20 4 Qn 6 Calcular o volume do sélido obtido na rotagdéo da regiéo plana compreendida entre curvas y x ey2 em torno do eixo y 2 Como vamos usar os retaéngulos elementares paralelos ao eixo de rotacéo a sua posicao é deter minada em fungao de variavel y Logo precisamos das fungoes de varidvel y x y e x y com y 0 1 A rotagao vai gerar um solido com furo dentro O préprio sdlido tanto sua parte externa como o furo dentro esta completamente definido pela rotacgao de retaéngulos elementares cuja altura é igual a distancia entre duas curvas y y e cuja distancia média até o eixo de rotagao é igual a 2y Entao o volume procurado se encontra pela formula V 27 fj 2 y y ydy Om fj 29 2y yP ydy In QHS yP HE L Ig 20 412442 2s 7 Calcular o volume do sdlido obtido na rotagao da regiao plana compreendida entre curvas y x ey2 em torno do eixo x 1 Como vamos usar os retaéngulos elementares paralelos ao eixo de rotacéo a sua posicao é deter minada em fungao de varidvel x Logo trabalhamos com as fungdes y 2 e y x com zx 0 1 A rotagao vai gerar um solido com furo dentro O préprio sdlido tanto sua parte externa como o furo dentro esta completamente definido pela rotacgao de retaéngulos elementares cuja altura é igual a distancia entre duas curvas x x e cuja distancia média até o eixo de rotacdo é igual a a 1 Entao o volume procurado se encontra pela formula V 2m fy 1 a 2dx on 82 2e 1 20h Comprimento do arco 13 3 Comprimento do arco Curva definida na forma explicita y fz Vamos encontrar a formula para calculo do comprimento do arco de uma curva representada por grafico de uma fungao y fx x ab No decorrer da dedugao dessa f6rmula vamos especificar as condigdes que garantem a sua validade Introduzimos uma particgao P xj a pany j 01n de ab com distancia A boa entre dois pontos préximos A cada ponto x da partigao corresponde o ponto Q x fx do grafico da fungao e dessa maneira o grafico esta dividido em n arcos elementares veja ilustracao na Fig211 Em cada um dos subintervalos x12 aproximamos o arco elementar pelo segmento retilineo entre os pontos Q1 e Q cujo comprimento é conhecido C aj1 xi fai1 fa veja ilustragéo na Fig211 A aproximagao do grafico completo é encontrada somando aproximagoes em todos os arcos S Gi SE VV ain vi Ff ai1 fxi Por enquanto a estrutura da tltima soma nao é ade uma soma de Riemann mas ha possibilidade de transformala a forma desejada Vamos supor que fa é derivavel em ab Entao em cada subintervalo x1x podemos aplicar o teorema de Lagrange para diferencga fx1 fx e obtemos S 0 ai1 fai1 fai Dien Vf iva Bi Fi i1 Bi Vy V FG te Bina Vi VE FG A Lembrando que x1 x pelo teorema de Lagrange notamos que a ultima soma é a soma de Riemann para fungao 1 fx Para garantir a integrabilidade de 1 fx podemos supor que fx é continuamente derivavel em ab Sob essa condigao o limite das somas S existe e é igual a integral de Riemann e ele 6 chamado do comprimento do arco de fx C lim Sn Jo Vit fiadz Definigéo de uma curva suave Uma curva que representa o grafico de fx x ab é chamada suave se fa é continuamente derivavel em a P f Pry Pi P P Pol LAY LAL LAL a Xo x Xi1 Xj Xn Xnb x Figura 211 Comprimento do arco da curva y fx x a Curva definida na forma explicita em relagaéo a y x gy Caso a curva representa grafico de uma fungdéo x gy y cd o mesmo raciocinio leva a formula semelhante do comprimento do arco C 7 1 gy2dy sob a condigaéo que gy é continuamente derivavel em c d Curva definida na forma paramétrica 14 Aplicacées da integral definida Ls x ft Caso a curva é 0 grafico de uma fungao paramétrica y gt t a 8 o seu compri mento se encontra pela formula C fit gt2dt sob a condigéo que ft e gt sao continuamente derivaveis em a J Evidentemente essa é a f6rmula mais geral que inclui os dois casos anteriores como particulares Exemplos Usualmente a aplicagao da foérmula do comprimento do arco nao gera problemas principais O unico obstaculo é a realizacaéo técnica da integracéo que envolve uma funcaéo irracional 1 Encontrar o comprimento do arco da parabola y x entre os pontos 00 e 5 4 Vamos usar a forma da funcéo dada na formulacdo Entao obtemos C fy Ply ydx 12 n4 n4 dsin d d 1pp Io Vi4ede fo Josthe Sle Sp tate Gea 2 d d d 12 d 12 ale sae ate de 5 Ue ed t J pated 5 le pede t pr sale Je coed 1rd1 d 1 1 Jit V22 1 17 1Vv22 v22 1 Ue coedp ald 5 ain e oe b 2 Gn Rae a Como podemos ver até uma funcgao bastante simples pode levar a uma integracaéo extensa O mesmo problema pode ser resolvido usando fungao y fazer em casa 2 Encontrar 0 comprimento do arco da curva y x entre os pontos 1 1 e 84 Nesse caso é mais simples usar a funcio x y Entaéo obtemos C se 1 2dy 4 9 8 932 14 8 32 133 fi 1 2ydy 1 8y t 208 8 3 Encontrar o comprimento do arco da curva y no intervalo a 12 Expressar x em termos de y é praticamente invidvel portanto usamos a forma dada da fun x x 2 2m 2 a 17 2 oe 1 la cao Entaéo obtemos C fy 14 ydx f 1 ss dx fp 1 4 qaq735dt 2 x 2 2 a x Sr 3 a dx f 5 ge de 5 t f i x acost x 4 Encontrar o comprimento do arco da curva astroide y asin t a0t 0 5 Vamos usar a formula para uma curva paramétrica Co f22y2dt Ie 3a cos t sin t 3a sin t cos t2dt o 9a2 cos t sin tcos t sin tdt fe 3a cost sin tdt sa fe sin 2tdt sot cos 2tdt7 3a 2 4 Valor médio Consideremos primeiro a situagaéo simples quando tem dois valores f e fo de certa quantidade por exemplo duas medidas da temperatura em dois instantes de tempo e queremos saber o valor médio das duas medidas supondo que as duas tém o peso igual Nesse caso a formula do valor médio é simples e natural m Deh Generalizando para o caso de n medidas f i 1n de pesos iguais obtemos a formula m ty fi Generalizamos agora a situagao para uma funcgaéo medida continua em vez de discreta por exemplo a temperatura do termometro gravada continuamente durante um certo intervalo do tempo Vamos denotar a grandeza medida de fx e o intervalo da medigao de ab Nesse caso no primeiro instante reduzimos o problema do encontro do valor médio de fx em a ao problema aproximado discreto que ja foi resolvido Para isso dividimos o intervalo dado em partes iguais usando a particgéo P x at pany j 01n com distancia A ba entre dois pontos préximos e em cada subintervalo x17 escoluaemos o valor representativo f de fx num dos pontos interiores 12 Supomos no momento que esse valor caracteriza o Valor médio 15 conjunto dos valores de fa no ingervalo x1 xj 0 que de fato pode acontecer se o subintervalo é bastante pequeno Entao no lugar de uma medida fungao continua temos conjunto de valores discretos f7 1n os quais tém o mesmo peso uma vez que representam a variacéo da fun cao original nos subintervalos do comprimento igual Logo o valor médio desse conjunto discreto é encontrado pela formula m 0 f Vi fA Imediatamente reconhecemos na ultima soma a soma de Riemann da fungao fx Naturalmente esperamos que o problema discreto aproxima cada vez melhor o problema original continuo quando n tende a infinito Por tanto tomando limite quando n oo e lembrando a definicao da integral de Riemann obtemos m jim Mn ps jim VA AGA f fzdx Obviamente a ultima passagem 6 rea lizada sob a suposigaéo que fx é uma fungao integravel em ab por exemplo que fx é uma fungao continua em a Exemplos 1 Encontrar o valor médio de fx 4 x no intervalo 13 Aplicando direto a férmula deduzida encontramos m fadx a 42dr 4s 2 4 8948 4 2 Numa cidade no mes de marco a medida da temperatura durante o dia satisfaz a relacao Tt 186sin m onde t é medido em horas e t 0 corresponde as 8 horas do horario geografico Encontrar o valor médio da temperatura durante o dia 24 horas e as horas geograficas quando essa temperatura se observa Como a fungao tem periodo 24 horas entaéo conforme propriedades de gungées periddicas a integragaéo em qualquer intervalo do comprimento 24 vai dar o mesmo resultado Como a fungao sinx oscila em torno de 0 entéo de antemaéo podemos prever que o valor médio deve ser 18 De fato escolhendo intervalo de integragao 024 obtemos m Ttdt a fe 4 18 6sin dt or 181 6 cos a 18 24621 1 18 Igualando a férmula da temperatura ao valor médio temos Tt 18 6sin mt 24 ou simplificando sin a donde segue que t 0 e tg 12 dentro do intervalo 024 Transformando em hordrio geografico temos 8 horas e 20 horas correspondentemente Leitura adicional de aplicagdes da integral definida Stewart J Calculo Vol1 traducdo da 7a edicao secao 61 Areas entre as curvas p382387 Exercicios p386387 N 58111220232627 secao 62 volumes método do disco p389398 Exercicios p397398 N 125611121416 secao 63 volumes método do involucro cilfndrico p399403 Exercicios p403 N 46111215161920 secao 65 valor médio p409411 Exercicios p411 N 34591017 secao 81 comprimento de arco p488493 Exercicios p493 N 78911181920 41 End sek