Integral Imprópria do Primeiro Tipo: Estendendo o Conceito de Integração

Integral imprópria do primeiro tipo 1 4 Integral imprópria Essa parte é dedicada a extensão do conceito da integral definida na forma da integral imprópria do primeiro e segundo tipo o primeiro tipo trata de intervalos ilimitados e o segundo tipo de funções ilimitadas 1 Integral imprópria do primeiro tipo 11 Conceito Até o momento a integral de Riemann foi definida num intervalo limitado e para uma função limitada Vamos primeiro estender o conceito da integral para o caso dos intervalos ilimitados Para ver que essa extenção tem sentido e como ela pode ser feita vamos começar da consideração de um exemplo específico Vamos considerar a função fx 1 x2 no intervalo 1 veja Fig11 Nesse intervalo a função é contínua limitada e positiva A sua continuidade garante que em qualquer intervalo 1 b b 1 a função é integrável de Riemann Para tentar definir a integral dessa função no intervalo 1 usamos a seguinte abordagem Introduzimos a função de limite superior variável Ib b 1 fxdx e analisamos o seu comportamento quando b Para a função dada é fácil de simplificar a forma de Ib Ib b 1 1 x2dx 1 xb 1 1 1 b Agora fica claro que lim b 1 1 b 1 Esse valor podemos tomar como o valor da integral da função fx 1 x2 no intervalo 1 chamada da integral imprópria do primeiro tipo A notação usada é 1 1 x2dx lim b b 1 1 x2dx Figura 11 Gráfico e integral imprópria do primeiro tipo das funções y 1 x y 1 x2 y 1 x12 Geometricamente estamos verificando se pode ser definida a área da figura infinita entre o gráfico de fx 1 x2 e o eixo Ox no intervalo infinito 1 Naturalmente consideramos aproximações dessa pelas áreas de figuras finitas nos intervalos 1 b e descobrimos o que está acontecendo quando b Nesse exemplo ocorreu que o limite procurado a área da figura infinita existe no sentido finito e portanto é lógico chamar o limite obtido da área dessa figura Obviamente nem sempre vamos ter esse resultado mesmo trabalhando com funções contínuas limitadas e positivas Para ver isso vamos considerar um exemplo mais genêrico com função fx 1 xp no intervalo 1 onde p é um parâmetro real o exemplo já resolvido é o caso particular desse exemplo Para p 0 a função cresce estritamente e para p 0 ela é constante o que indica intuitivamente que a sua área não pode ser finita e a integral imprópria não pode ser definida Mas quando p 0 a função se comporta qualitativamente do mesmo jeito como fx 1 x2 veja 2 Integral imprópria Fig11 e portanto podemos esperar que a integral imprópria existe Vamos ver qual é a situação real efetuando os cálculos necessários Primeiro definimos a função de limite superior variável Ib b 1 fxdx e simplificamos a sua forma calculando a integral definida Ib b 1 1 xpdx x1p 1p p 1 ln x p 1 b 1 b1p1 1p p 1 ln b p 1 Usando essa forma simplificada podemos encontrar limite lim b Ib lim b b1p1 1p p 1 ln b p 1 1 p1 p 1 p 1 p 1 1 p1 p 1 p 1 Agora podemos concluir que quando p 1 então a integral Ib se comporta de modo semelhante ao exemplo com p 2 Nesse caso podemos definir a integral imprópria do primeiro tipo no intervalo 1 como limite 1 1 xpdx lim b b 1 1 xpdx p 1 Geometricamente isso significa que existe a área finita de uma figura infinita que fica entre fx e o eixo Ox Nesse caso é dito que a integral imprópria existe ou ainda que a integral imprópria converge No entanto para p 1 incluindo os casos p 0 quando fx se comporta de maneira análoga a 1 x2 o limite finito não existe e a integral imprópria não pode ser definida ou como também se diz a integral imprópria diverge Geometricamente isso significa que a área de uma figura infinita nesses casos também é infinita mesmo quando o gráfico de fx aproxima do eixo Ox Estes exemplos levam a seguinte definição da integral imprópria do primeiro tipo Definição da integral imprópria Vamos considerar uma função fx integrável de Riemann em qualquer intervalo a b b a Se existe o limite finito lim b b a fxdx então ele é chamado da integral imprópria do primeiro tipo e é denotado por a fxdx De modo equivalente nesse caso se diz que a integral imprópria a fxdx converge Caso contrário a integral imprópria do primeiro tipo não existe ou é dito que a integral imprópria a fxdx diverge As duas terminologias são comuns e equivalentes nesse contexto Observação Quando a antiderivada Fx de fx é conhecida a expressão a fxdx lim b b a fxdx lim b Fxb a que segue da definição pode ser escrita na forma abreviada a fxdx Fx a entendendo que o valor no infinito representa o limite F lim b Fb Nessa seção vamos considerar somente a integral imprópria do primeiro tipo e portanto não vamos mencionar isso mais 12 Propriedades Propriedades elementares 1 Se a integral imprópria a fxdx converge então para qualquer constante c a integral impró pria a cfxdx também converge e é válida a fórmula a cfxdx c a fxdx 2 Se as integrais impróprias a fxdx e a gxdx convergem então a integral imprópria a fx gxdx também converge e é válida a fórmula a fx gxdx a fxdx a gxdx 3 Se a integral imprópria a fxdx converge então para qualquer c a a integral imprópria c fxdx também converge e é válida a fórmula a fxdx c a fxdx c fxdx Demonstração 1 Usando propriedades da integral definida e do limite temos lim b b a cfxdx c lim b b a fxdx c a fxdx Isso prova tanto a existência da integral a cfxdx o limite do lado esquerdo como a fórmula da propriedade 2 Usando propriedades da integral definida e do limite temos lim b b afx gxdx Integral imprópria do primeiro tipo 3 lim b b a fxdx lim b b a gxdx a fxdx a gxdx Isso prova tanto a existência da integral a fx gxdx o limite do lado esquerdo como a fórmula da propriedade Observação Se as integrais impróprias a fxdx e a gxdx convergem então para quais quer constantes α e β a integral imprópria a αfx βgxdx também converge e é válida a fórmula a αfx βgxdx α a fxdx β a gxdx Em particular a fxdx a fxdx e a fx gxdx a fxdx a gxdx 3 Pelas propriedades da integral definida para qualquer c a b temos a igualdade b a fxdx c a fxdx b c fxdx ou b c fxdx b a fxdx c a fxdx Notando que c a fxdx é uma cons tante não depende de b usamos a propriedade do limite da diferença e obtemos c fxdx lim b b c fxdx lim b b a fxdx c a fxdx a fxdx c a fxdx Isso mostra tanto a convergência de c fxdx como a fórmula da propriedade Observação Da mesma maneira pode ser demonstrado que a convergência da integral imprópria c fxdx implica em convergência de a fxdx a c desde que fx é integrável de Riemann em a c A última condição usualmente é considerada satisfeita Propriedade de comparação Seja fx gx em a Se a fxdx e a gxdx convergem então a fxdx a gxdx Demonstração Pela propriedade da integral definida temos b a fxdx b a gxdx para b a Então pelas propriedades de limites a fxdx lim b b a fxdx lim b b a gxdx a gxdx Teste de comparação sem limite Seja fx gx 0 em a e sejam fx e gx integráveis de Riemann em qualquer intervalo a b b a Se a fxdx converge então a gxdx também converge Ou na forma equivalente se a gxdx diverge então a fxdx também diverge Demonstração opcional Como fx 0 em a então pelas propriedades da integral de Riemann a função Ifb b a fxdx é crescente em relação a variável b Por outro lado a convergência da integral a fxdx If significa pela definição que existe limite lim b Ifb If Logo pelas propriedades dos limites Ifb If para qualquer b a Da mesma maneira a condição fx gx 0 em a implica pelas propriedades da integral de Riemann que a função Igb b a gxdx é crescente em relação a variável b e que b a fxdx b a gxdx para qualquer b a Então Igb Ifb If para qualquer b a Como Igb é limitada superiormente existe o supremo Ig dos valores de Igb b a Vamos mostrar que o limite lim b Igb existe e é igual a Ig Realmente pela definição do supremo Igb Ig b a Por outro lado de novo pela definição do supremo para qualquer ε 0 existe d a tal que Igd Igε Mas como Igb é crescente então para todos b d temos que Igb Igε Juntando duas desigualdades temos que para qualquer ε 0 existe d a tal que Ig ε Igb Ig Ig ε para todos b d Isso significa pela definição do limite que lim b Igb Ig ou seja a gxdx converge e é igual a Ig Observação A ilustração geométrica desse resultado representada na Fig12 mostra claramente que esse resultado é bem natural sabendo que a área da figura abaixo do gráfico da maior função fx é finita é natural de esperar que a área da figura abaixo do gráfico da menor função gx contida dentro da primeira figura também deve ser finita Teste de comparação com limite Seja fx gx 0 em a Se lim x fx gx k 0 então integrais impróprias a fxdx e a gxdx convergem ou divergem simultaneamente Demonstração Usar teste de comparação sem limite Dica abrir a definição do limite lim x fx gx k 0 escolhendo ε k 2 e obter a desigualdade dupla k 2 fx gx 3k 2 usar a pri meira desigualdade para implicância da integral imprópria de fx para gx e a segunda para implicância de gx para fx 4 Integral imprópria Figura 12 Ilustração do teste de comparação Observação Os testes de comparação não possibilitam especificar o valor da integral imprópria a gxdx somente fazer conclusão qualitativa que essa integral existe A única informação que temos sobre o valor de a gxdx é que ele fica entre 0 e a fxdx Propriedade do módulo Se a fxdx converge então a fxdx também converge Demonstração Da avaliação fx fx segue que 0 fx fx 2fx Como a fxdx converge a propriedade 1 garante que a 2fxdx também converge e do teste de comparação sem limite segue a convergência de a fx fxdx Como fx fx fxfx então da propriedade de combinação linear segue que a fxdx também converge Observação A recíproca não é válida Considere por exemplo fx sin x x em 1 13 Extensão para outros intervalos ilimitados A extensão para os intervalos b e é natural e não requer muitas explicações Definição da integral imprópria no intervalo b Vamos considerar uma função fx integrável de Riemann em qualquer intervalo a b b a Se existe o limite finito lim a b a fxdx então ele é chamado da integral imprópria do primeiro tipo em b e é denotado por b fxdx Caso contrário a integral imprópria b fxdx não existe Definição da integral imprópria no intervalo A integral imprópria fxdx é definida pela fórmula fxdx b fxdx b fxdx onde b é um número arbitrário fixo Dessa fórmula segue que a integral imprópria fxdx existe somente quando ambas as integrais impróprias b fxdx e b fxdx existem As propriedades análogas vistas para integral imprópria no intervalo a são válidas para os intervalos b e Exemplos Aqueles exemplos quando é possível estabelecer tanto a convergência da integral imprópria como encontrar o seu valor são bastante raros comparando com os casos quando é possível decidir sobre convergência da integral sem saber o seu valor Isso porque o encontro do valor da integral envolve a necessidade de efetuar integração e encontrar a antiderivada numa forma razoavelmente simples para poder posteriormente calcular o limite seguindo a definição Porém quando a única questão que interessa é o comportamento qualitativo da integral então além da definição podemos usar os testes de comparação que permitem deduzir a convergênciadivergência da integral a partir das propriedades das integrais impróprias mais simples usadas para comparação Integral imprópria do primeiro tipo 5 1 1 1 xpdx p N Primeiro definimos a função de limite inferior variável Ia 1 a 1 xpdx e simplificamos a sua forma calculando a integral definida Ia 1 a 1 xpdx x1p 1p p 1 ln x p 1 1 a 11pa1p 1p p 1 ln a p 1 Usando essa forma simplificada podemos encontrar limite lim a Ia lim a 11pa1p 1p p 1 ln a p 1 11p 1p p 1 p 1 Então a integral 1 1 xpdx converge quando p 1 e diverge quando p 1 2 0 xexdx De acordo com a definição encontramos a função de limite superior variável Ib b 0 xexdx xexb 0 b 0 exdx beb exb 0 beb eb 1 e calculamos o limite 0 xexdx lim b Ib lim b b 1eb 1 1 Então a integral 0 xexdx converge e seu valor é 1 3 1 1x2dx De acordo com a definição temos 1 1x2dx 0 1 1x2dx 0 1 1x2dx O limitedivisor 0 foi escolhido só por conveniência poderia ser usado um outro número também Para a primeira integral temos pela definição 0 1 1x2dx lim a 0 a 1 1x2dx lim a arctan x0 a lim a arctan a π 2 Analogamente para a segunda integral encontramos 0 1 1x2dx lim b b 0 1 1x2dx lim b arctan xb 0 lim b arctan b π 2 Juntando os dois resultados obtemos 1 1x2dx 0 1 1x2dx 0 1 1x2dx π 2 π 2 π ou seja a integral imprópria converge e é igual a π 4 0 ex2dx Nesse caso não há possibilidade de aplicar a definição porque ex2dx não pode ser encontrada em termos de funções elementares Mas podemos usar o teste de comparação na forma sem limite É simples de ver que 0 exdx converge 0 exdx lim b b 0 exdx lim bexb 0 lim b1 eb 1 A comparação mostra que 0 ex2 ex x 1 Como 0 exdx converge então 1 exdx também converge pelas propriedades elementares da con vergênvcia de 1 exdx segue a convergência de 1 ex2dx pelo teste de comparação e final mente a convergência da útlima implica em convergência da integral original pelas propriedades elementares 5 1 1ex x dx A integral 1ex x dx não se calcula em termos de funções elementares Portanto vamos aplicar o teste de comparação sem limite Já foi mostrado que 1 1 xdx diverge Ao mesmo tempo 1ex x 1 x x 1 Logo pelo teste de comparação a integral original também diverge 6 2 x 3x52x1dx A integral x 3x52x1dx não pode ser encontrada em termos de funções elementares Portanto vamos aplicar o teste de comparação na forma com limite Para escolher a função para comparação notamos que para x bastante grandes o termo principal no denomina dor é 3x5 Desconsiderando constante que não influi na convergênciadivergência temos então a função x x5 1 x32 para comparar com o integrando original Essa função é bastante simples para estudo na integral imprópria e já foi demonstrado na forma mais geral para funções 1 xp que a integral imprópria 1 1 x32dx converge Calculando limite lim x x 3x52x1 1 x32 lim x x52 3x52x1 lim x 1 32x4x5 1 3 certificamos que estamos nas condições do teste de comparação e por isso a convergência de 1 1 x32dx garante a convergência 1 x 3x52x1dx e a convergência da última equivale pelas propriedades elementares à convergência da integral original 7 0 x1 3 x4x21dx A integral x1 3 x4x21dx não se calcula em termos de funções elementa res Portanto vamos aplicar o teste de comparação na forma com limite Para escolher a função para comparação notamos que para x bastante grandes o termo principal do numerador é x e do denominador é x4 Então temos a função x 3 x4 1 x13 para comparar com o integrando ori ginal Essa função é bastante simples para estudo na integral imprópria e já foi mostrado que a integral semelhante 1 1 x13dx diverge O mesmo procedimento pode ser usado para limites nega tivos 1 1 x13dx lim a 1 a 1 x13dx lim a x23 23 1 a 3 2 lim a1 a23 Assim a integral 6 Integral imprópria 1 1 x13dx diverge Calculando limite lim x x1 3 x4x21 1 x13 lim x x43x13 3 x4x21 lim x 1x1 3 1x2x4 1 certificamos que estamos nas condições do teste de comparação e por isso a divergência de 1 1 x13dx implica em divergência de 1 x1 3 x4x21dx e a divergência da última equivale pelas propriedades elementares à divergência da integral original 8 0 cos xdx Encontrar a antiderivada do integrando é simples cos xdx sin x C Por isso podemos usar a definição da integral imprópria 0 cos xdx lim b b 0 cos xdx lim b sin xb 0 lim b sin b Resta lembrar do Cálculo I que esse limite não existe para concluir que a integral im própria diverge Para mostrar que limite lim b sin b não existe basta tomar dois caminhos de tendência a bn nπ n N e bk π 2 2kπ k N e notar que sin bn 0 enquanto sin bk 1 2 Integral imprópria do segundo tipo 21 Conceito Nessa seção vamos estender o conceito da integral para o caso de funções ilimitadas num intervalo limitado Como no caso da integral do primeiro tipo vamos começar de um exemplo específico Vamos considerar a função fx 1 x no intervalo 0 1 veja Fig13 Nesse intervalo a função é contínua e positiva exceto o ponto 0 onde ela tem descontinuidade essencial ela tende a quando x tende a 0 e portanto fx é ilimitada em 0 1 A continuidade de fx em 0 1 garante que em qualquer intervalo α 1 0 α 1 a função é integrável de Riemann Para tentar definir a integral dessa função no intervalo 0 1 usamos a seguinte abordagem Introduzimos a função integral de limite inferior variável Iα 1 α 1 xdx e analisamos o seu comportamento quando α 0 Para a função dada é fácil de simplificar a integral à forma Iα 1 α 1 xdx 2x1 α 21 α Agora fica claro que lim α0 21 α 2 Esse valor podemos tomar como o valor da integral da função fx 1 x no intervalo 0 1 chamada da integral imprópria do segundo tipo A notação usada é igual à da integral de Riemann 1 0 1 xdx lim α0 1 α 1 xdx Figura 13 Gráfico e integral imprópria do segundo tipo das funções y 1 x y 1 x2 y 1 x12 Integral imprópria do primeiro tipo 7 Geometricamente estamos tentando definir a área da figura infinita entre o gráfico de fx 1 x e o eixo Ox no intervalo 0 1 Naturalmente consideramos aproximações dessa pelas áreas de figuras finitas nos intervalos α 1 e analisamos o que está acontecendo quando α 0 Nesse exemplo ocorreu que o limite procurado a área da figura infinita existe no sentido finito e portanto é lógico chamar o limite obtido da área dessa figura Obviamente nem sempre vamos ter esse resultado mesmo trabalhando com funções contínuas e positivas com excessão de um único ponto Para ver isso vamos considerar um exemplo mais genêrico com função fx 1 xp no intervalo 0 1 onde p é um parâmetro real o exemplo já resolvido é o caso particular desse exemplo Para p 0 a função é continua em 0 1 e portanto existe a integral de Riemann Então a seguir vamos considerar só os valores p 0 quando a função se comporta qualitativamente do mesmo jeito como fx 1 x veja Fig13 e portanto podemos esperar que a integral imprópria existe Vamos ver qual é a situação real efetuando os cálculos necessários A continuidade de fx em 0 1 garante que em qualquer intervalo α 1 0 α 1 a função é in tegrável de Riemann Definimos a função de limite inferior variável Iα 1 α 1 xpdx e simplificamolá calculando a integral Iα 1 α 1 xpdx x1p 1p p 1 ln x p 1 1 α 1α1p 1p p 1 ln α p 1 Usando essa forma simplificada podemos encontrar limite lim α0 Iα lim α0 1α1p 1p p 1 ln α p 1 1 1p p 1 p 1 Agora podemos concluir que quando p 1 então a integral Iα se comporta de modo semelhante ao exemplo com p 1 2 Nesse caso podemos definir a integral imprópria do segundo tipo no intervalo 0 1 como limite 1 0 1 xpdx lim α0 1 α 1 xpdx p 1 Geometricamente isso significa que existe a área finita de uma figura infinita que fica entre fx e o eixo Ox Nesse caso é dito que a integral imprópria existe ou que a integral imprópria converge Para p 1 o limite finito não existe e a integral imprópria não pode ser definida ou como também se diz a integral imprópria diverge Geometricamente isso significa que a área de uma figura infinita nesses casos também é infinita Estes exemplos levam a seguinte definição da integral do segundo tipo Definição da integral imprópria Vamos considerar uma função fx integrável de Riemann em qualquer intervalo α b a α b e ilimitada em a b Se existe o limite finito lim αa b α fxdx então ele é chamado da integral imprópria do segundo tipo e é denotado por b a fxdx da mesma maneira como a integral definida De modo equivalente nesse caso se diz que a integral imprópria b a fxdx converge Caso contrário a integral imprópria do segundo tipo não existe ou é dito que a integral imprópria diverge As duas terminologias são comuns e equivalentes nesse contexto Observação Quando a antiderivada Fx de fx é conhecida a expressão b a fxdx lim αa b α fxdx lim αa Fxb α que segue da definição se escreve muitas vezes na forma abreviada b a fxdx Fxb a entendendo implicitamente que o valor na extremidade inferior a representa o limite Fa lim αa Fα De maneira semelhante pode ser definida a integral impropria de uma função ilimitada na ex tremidade direita do intervalo Definição da integral imprópria Vamos considerar uma função fx integrável de Riemann em qualquer intervalo a β a β b e ilimitada em a b Se existe o limite finito lim βb β a fxdx então ele é chamado da integral imprópria do segundo tipo e é denotado por b a fxdx Nesse caso também é dito que a integral imprópria b a fxdx converge Caso contrário a integral imprópria do segundo tipo não existe ou é dito que a integral imprópria b a fxdx diverge No caso quando tem comportamento ilimitado nas duas extremidades do intervalo a b a defi nição reduz o problema para os dois casos anteriores 8 Integral imprópria Definição da integral imprópria Vamos considerar uma função fx integrável de Riemann em qualquer intervalo α β a α β b e ilimitada nas duas extremidades de a b Então a integral imprópria se defina pela fórmula b a fxdx c a fxdx b c fxdx onde c é um número arbitrário fixo em a b Dessa fórmula segue que a integral imprópria b a fxdx existe somente quando ambas as integrais impróprias c a fxdx e b c fxdx existem A teoria da integral imprópia do segundo tipo é análoga a do primeiro Portanto apresentamos a seguir as propriedades numa forma abreviada sem demonstração e resolvemos alguns exemplos Nessa seção vamos considerar somente a integral imprópria do segundo tipo e portanto não vamos mencionar isso mais 22 Propriedades Propriedades elementares Vamos formular as propriedades para integral imprópria com ilimitação na extremidade esquerda limite inferior de integração Outras situações sao semelhantes 1 Se a integral imprópria b a fxdx converge então para qualquer constante c a integral imprópria b a cfxdx também converge e é válida a fórmula b a cfxdx c b a fxdx 2 Se as integrais impróprias b a fxdx e b a gxdx convergem então a integral imprópria b afx gxdx também converge e é válida a fórmula b afx gxdx b a fxdx b a gxdx 3 Se a integral imprópria b a fxdx converge então para qualquer a c b a integral imprópria c a fxdx também converge e é válida a fórmula b a fxdx c a fxdx b c fxdx Propriedade de comparação Seja fx gx em a b Se b a fxdx e b a gxdx convergem então b a fxdx b a gxdx Teste de comparação sem limite Seja fx gx 0 em a b Se b a fxdx converge então b a gxdx também converge Ou na forma equivalente se b a gxdx diverge então b a fxdx também diverge Teste de comparação com limite Seja fx gx 0 em a b Se lim xa fx gx k 0 então integrais impróprias b a fxdx e b a gxdx convergem ou divergem simultaneamente Propriedade do módulo Se b a fxdx converge então b a fxdx também converge Observação A recíproca não é válida Exemplos Aqueles exemplos quando é possível estabelecer tanto a convergência da integral imprópria como encontrar o seu valor são bastante raros comparando com os casos quando é possível decidir sobre convergência da integral sem saber o seu valor Isso porque o encontro do valor da integral envolve a necessidade de efetuar integração e encontrar a antiderivada numa forma razoavelmente simples para poder posteriormente calcular o limite seguindo a definição Porém quando a única questão que interessa é o comportamento qualitativa da integral então além da definição podemos usar os testes de comparação que permitem deduzir a convergênciadivergência da integral a partir das propriedades das integrais impróprias mais simples usadas para comparação 1 2 1 1 3x2dx O integrando é uma função contínua em 2 que tende a quando x aproxima de 2 Portanto a integral dada é a imprópria não é de Riemann Consideramos a integral de limite superior variável Iβ β 1 1 3x2dx 3 2x 223β 1 3 2 β 223 323 e calculamos seu limite lim β2 Iβ lim β2 3 2 β 223 323 3 2323 Então a integral imprópria converge a 3 2323 Integral imprópria do primeiro tipo 9 2 1 1 1 1x2dx O integrando é uma função contínua em 1 1 que tende a quando x apro xima de 1 e de 1 Portanto a integral dada é a imprópria não é de Riemann e tem ilimitação nas ambas as extremidades Pela definição separamos as duas ilimitações por algum ponto c do intervalo 1 1 por exemplo tomamos c 0 1 1 1 1x2dx 0 1 1 1x2dx 1 0 1 1x2dx Conside ramos primeiro a integral 1 0 1 1x2dx Para aplicar o teste de comparação devemos ter uma idéia de como se comporta o integrando perto de 1 em outras palavras com qual velocidade o integrando tende a Representando 1 1x2 1 1x1x notamos que somente o primeiro fator tende a enquanto o segundo tende a 1 2 sem gerar qualquer dificuldade Logo é natural comparar esse integrando com a função 1 1x na forma sem ou com limite Escolhendo a comparação sem limite temos para x 0 1 x2 x 1 x2 1 x 1 1x2 1 1x A integral imprópria 1 0 1 1xdx é de simples avaliação ela é do mesmo tipo que 1 0 1 xdx e até pode ser reduzida a última via mudança de variável t 1 x 1 0 1 1xdx 21 x1 0 20 1 2 Como a integral 1 0 1 1xdx converge então pelo teste de comparação a integral 1 0 1 1x2dx também converge A segunda integral 0 1 1 1x2dx se reduz a primeira via mudança de variável t x 0 1 1 1x2dx 1 0 1 1t2dt Ou alternativamente sua convergência pode ser estabelecida via comparação com a integral convergente 0 1 1 1xdx cuja avaliação é simples Assim a convergência das duas partes implica na convergência da integral original 1 1 1 1x2dx Outro jeito de resolver esse problema é depois da separação em duas integrais impróprias aplicar direto a definição da integral 1 0 1 1x2dx cujo integrando admite antiderivada na forma simples da tabela 1 1x2dx arcsin x C Então 1 0 1 1x2dx arcsin x1 0 π 2 Da mesma maneira 0 1 1 1x2dx arcsin x0 1 π 2 Logo 1 1 1 1x2dx 0 1 1 1x2dx 1 0 1 1x2dx π 2 π 2 π Nesse exemplo essa abordagem é mais simples e além de indicar a convergência da integral ela oferece o seu valor π 3 1 0 1 4 x33x2xdx Aqui o integrando é uma função contínua em 0 1 e é ilimimitada numa vizinhança de 0 Logo essa integral é imprópria e não é de Riemann O integrando não possibilita o encontro da antiderivada e portanto temos que usar o teste de comparação Para identificar a função para comparação vamos esclarecer que o termo principal dentro da raiz aquele que determina o comportamento de todo o integrando é x lim x0 x33x2x x lim x0x2 3x 1 1 Logo a função de comparação deve ser 1 4x Para usar comparação na forma sem limite notamos que a integral imprópria 1 0 1 4xdx converge do exemplo 1 0 1 xpdx com p 1 4 considerado antes ou verificando de novo Portanto a comparação deve ser feita na forma 1 4 x33x2x 1 4x x 0 1 o que mostra que a integral original também converge Podemos usar comparação com limite lim x0 1 4x 1 4 x33x2x lim x0 4 x33x2x 4x lim x0 4 x2 3x 1 1 De novo conferimos que a integral original converge 4 1 0 1 3 2x4x5dx Aqui o integrando é uma função contínua em 0 1 e é ilimimitada numa vizinhança de 0 Logo essa integral é imprópria e não é de Riemann O integrando não possibilita o encontro da antiderivada e portanto temos que usar o teste de comparação Para identificar a função para comparação vamos esclarecer que o termo principal dentro da raiz aquele que determina o comportamento de todo o integrando é x4 pode ser com multiplicador 2 ou sem lim x0 2x4x5 x4 lim x02x 2 Logo a função de comparação deve ser 1 3 x4 ou seu múltiplo Para usar comparação na forma sem limite notamos que a integral imprópria 1 0 1 3 3x4dx diverge do exemplo 1 0 1 xpdx com p 4 3 considerado antes ou verificando de novo Portanto a comparação deve ser feita na forma 1 3 2x4x5 1 3 3x4 x 0 1 o que mostra que a integral original também diverge Podemos usar comparação com limite lim x0 1 3 x4 1 3 2x4x5 lim x0 3 2x4x5 3 x4 lim x0 32 x 3 2 De novo conferimos que a integral original diverge 10 Integral imprópria 5 1 0 1 x2 cos 1 xdx Aqui o integrando é uma função contínua em 0 1 e é ilimimitada numa vizinhança de 0 Logo essa integral é imprópria e não é de Riemann O integrando tem antide rivada simples sin 1 x e por isso podemos usar a definição da integral imprópria 1 0 1 x2 cos 1 xdx lim α0 sin 1 x1 α sin 1 lim α0 sin 1 α Resta lembrar do Cálculo I que o último limite não existe para concluir que a integral imprópria diverge Para mostrar que limite lim α0 sin 1 α não existe basta tomar dois caminhos de tendência a 0 αn 1 nπ n N e αk 2 π4kπ k N e notar que sin αn 0 enquanto sin αk 1 3 Integrais impróprias mistas Pode acontecer que uma integral imprópria é considerada num intervalo ilimitado e o integrando também é ilimitado numa vizinhança de um dos pontos do intervalo de integração Nesse caso temos a integral imprópria dos dois tipos juntos integral imprópria mista e ela é tratada da mesma maneira como era no caso da integral imprópria de um tipo específico mas com ilimitações em diferentes partes da região Por exemplo se a integral a fxdx tem a função fx contínua em a e é ilimimitada numa vizinhança de a então essa é a integral imprópria mista tanto o intervalo como a função são ilimitados Para definir a sua convergência separamos dois problemas usando um dos pontos do intervalo a a fxdx c a fxdx c fxdx Dessa maneira cada uma das integrais no lado direito tem um tipo específico de integral imprópria A integral original é considerada convergente somente quando dois integrais do lado direito convergem Se a integral a fxdx tem a função fx contínua em a c e c e é ilimimitada numa vizinhança de c e de c então essa é a integral imprópria mista tanto o intervalo como a função são ilimitados Para definir a sua convergência separamos três problemas em c c e usando representação via três integrais cada uma contendo somente um problema específico a fxdx c a fxdx b c fxdx b fxdx onde b é um ponto arbitrário em c A integral original é considerada convergente somente quando três integrais do lado direito convergem Da mesma maneira são resolvidos outros casos de diferentes ilimitações presentes na mesma integral imprópria Exemplos 1 2 1 x2x2dx Aqui o integrando é uma função contínua em 2 e é ilimitada numa vizi nhança de 2 Logo essa integral é imprópria do primeiro e segundo tipo tanto o intervalo como a função são ilimitados Nesse caso pela definição a integral imprópria é separada em duas integrais cada uma com o tipo específico de integral imprópria 2 1 x2x2dx 3 2 1 x2x2dx 3 1 x2x2dx o ponto 3 foi escolhido por conveniência poderia ser usado qualquer ponto maior que 2 O inte grando possibilita a integração bastante simples e por isso vamos usar a sua antiderivada para veri ficar a convergência das duas partes 1 x2x2dx 1 3 1 x2 1 x1 dx 1 3 lnx 2 lnx 1 C 1 3 ln x2 x1 C Então 3 2 1 x2x2dx 1 3 ln x2 x13 2 Como uma das duas integrais diverge então a integral original também diverge Só por curiosidade podemos ver que a segunda integral converge 3 1 x2x2dx 1 3 ln x2 x1 3 1 30 ln 1 4 mas isso não influi na divergência da integral original A mesma conclusão pode ser obtida usando os testes de comparação fazer em casa 2 0 1 1x3dx Aqui o integrando é uma função contínua em 0 11 e é ilimitada numa vizinhança de 1 Logo essa integral é imprópria do primeiro e segundo tipo tanto o intervalo como a função são ilimitados e o problema do segundo tipo ocorre tanto em 1 como em 1 Então separamos a integral imprópria dada em três integrais cada uma com o único tipo do problema 0 1 1x3dx 1 0 1 1x3dx 2 1 1 1x3dx 2 1 1x3dx o ponto 2 foi escolhido por conveniência poderia ser usado qualquer ponto maior que 1 Na integral imprópria 1 0 1 1x3dx o integrando pode ser escrito na forma 1 1x3 1 1x1xx2 que mostra que a ilimitação no ponto 1 é gerada pelo termo 1 1x Portanto podemos usar o teste de Integral imprópria do primeiro tipo 11 comparação na forma com limite lim x1 1 1x 1 1x3 lim x1 1x3 1x lim x11 x x2 3 A avaliação da integral imprópria 1 0 1 1xdx é simples 1 0 1 1xdx ln1 x1 0 e mostra que essa integral diverge Logo a integral original também diverge Só por curiosidade notamos que a segunda integral 2 1 2 1x3dx também diverge e a terceira 2 1 1x3dx converge mostrar em casa 3 0 ex x dx O integrando é uma função contínua em 0 e é ilimitada numa vizinhança de 0 Logo essa integral é imprópria mista Para verificar sua convergência separamos a integral imprópria em duas integrais cada uma com o tipo específico do problema 0 ex x dx 1 0 ex x dx 1 ex x dx o ponto 1 foi escolhido por conveniência poderia ser usado qualquer ponto maior que 0 O integrando não tem antiderivada em termos de funções elementares e por isso precisamos usar testes de comparação Na integral imprópria 1 0 ex x dx o termo que gera ilimitação em 0 é 1 x enquanto ex tende a 1 Portanto é natural comparar essa integral com 1 0 1 xdx cuja avaliação é simples 1 0 1 xdx 2x1 0 2 Como a última integral converge e lim x0 ex x 1 x lim x0 ex 1 então a integral 1 0 ex x dx também converge A segunda integral imprópria 1 ex x dx pode ser comparada com a simples integral convergente 1 exdx Realmente a última integral converge porque 1 exdx ex 1 e1 Ao mesmo tempo ex x ex x 1 Logo pelo teste de comparação a integral 1 ex x dx também converge Como as duas partes 1 0 ex x dx e 1 ex x dx convergem então a integral original também con verge Leitura adicional de integral imprópria Stewart J Cálculo Vol1 tradução da 7a edição seção 78 integrais impróprias p470478 Exercícios p477478 N 2356101315323334354950 End