Introdução às Somas Finitas e Integrais Definidas

Preliminares somas finitas 1 2 Integral definida Essa parte é dedicada ao estudo de integral definida conceitos basicos significado geométrico propriedades elementares e varios métodos de integracgao dois métodos gerais mudanga de varidvel e integracaéo por partes e diversas técnicas especificas para diferentes classes de fungoes andlogas as estudadas na parte da integral indefinida 1 Preliminares somas finitas Definigao de soma finita Dada uma sequéncia finita um conjunto numerado sucessivamente de ntimeros reais Gm QAm414n NM n mn Z a sua soma é denotada da seguinte maneira em Gi Im Amy Os indices menor e maior m e n sao chamados de limites de somatorio nao tem nada a ver com o conceito do limite Exemplos 1 Sh 1 141 n vezes 2 Oe t mt mti140n 3 SP P 42 4n 4 ve og lqt4 Propriedades elementares de somas finitas 1 hem C4 C Vim U3 Aqui c é uma constante Demonstracao evidente fazer em casa Calculo de algumas somas finitas 1 SL ln 2 Vint ninth 3 SE 7 18 4 En Menyantn 5 Dh d a 4 const 1 Demonstracao 1 evidente 2 soma da progressao aritmética o método tradicional da demonstragéo é considerar duas somas iguais uma na ordem original crescente dos indices e a outra na ordem invertida dos indices escrever elementos da segunda abaixo dos elementos respectivos da primeira e somar em colunas observando que cada coluna vai dar n 1 e que tem n colunas no total 1 2 44n1 7 n nl1 2 1 n1n414 n41 n41 nn1 Como tinhamos somado duas somas iguais resta entao dividir 0 resultado por 2 Outro método de demonstracao é via inducgéo matematica treinar em casa 3 asoma S 7 i 1 73 um exemplo de soma telescépica isto 6 a soma cujos termos posteriores cancelam os anteriores exceto alguns primeiros e tltimos termos Nesse caso especifico temos 7 i 1 7 2218 3 23 n n1 n 1 n3 n411 4 para encontrar a soma S i observamos que i 1 i 317 3i 1 e portanto wr 18 2 Se 387 37 1 35430744 1 No lado direito as duas tiltimas somas ja estéo conhecidas e no lado esquerdo temos a soma telescépica que acabamos de calcular yer i 1 73 n 1 1 Assim em toda relacao entre somas somente o termo S ficou 2 Integral definida desconhecido e pode ser encontrado agora resolvendo essa relacao 35 n11 get n 2 2 2 84 n1 etV sn n1 en n14 4 n1 22 Finalmente dividindo por 3 encontramos o resultado enunciado Outro método de demonstracao é via inducgao matematica treinar em casa 5 soma da progresséo geométrica o método tradicional da demonstragao é considerar as duas somas a original S 3 q e a multiplicada por q gS 1 Sed Notamos que a diferenca das duas cancela quase todos os termos S gS q qg Resta resolver a ultima equacao para S e obter a formula procurada Outro método de demonstragao é via indugao matematica treinar em casa Algumas consequéncias das somas calculadas 1 t ntmnm1 aplicamos o mesmo procedimento da soma semelhante ou representamos essa soma via duas somas conhecidas 3i i Vi nlntt m1m 2 VEG 1 Vey VEL na UnGn fazemos a troca do indice i 1 7 com respectiva alteracaéo de limites de somatorio e aplicamos o resultado conhecido com n 1 em vez de n 3 See ye 1 ot Int Gn3 1 representamos a soma como diferenca da soma conhecida e uma constante e usamos o resultado conhecido com n 1 em vez de n 4 yg t iat g a q 01 colocamos o multiplicador i em evidéncia e reduzimos a soma ja conhecida i y1 n 5 eg 4 eG Wact q 01trocando parémetro q por a reduzimos a q soma conhecida e simplificamos o resultado 2 Integral definida conceitos 21 Problema da area Da geometria sabemos como calcular areas de algumas figuras planas como triangulo parale logramo quadrilatero poligono e circulo A questao que vamos considerar agora é como pode ser calculada a area de uma figura plana com uma parte ou varias partes da fronteira representada via curva mais geral que um segmento retilineo ou parte de uma circunferéncia Para isso vamos associar a parte curvilinea da fronteira com o grafico de uma fungao fx Por exemplo um trian gulo retangulo com os catetos medindo uma unidade pode ser posicionado no primeiro quadrante do plano cartesiano com um dos vértices da hipotenusa na origem e um dos catetos pertencendo ao eixo Ox veja Fig21 Entao os vértices terao as coordenadas A 00 B 10 C 11 e area desse triangulo pode ser definida como a area da figura compreendida entre eixo Ox e reta y x que contém a hipotenusa no intervalo de variagao de x de 0 até 1 Obviamente nesse caso simples isso 6 uma complicacaéo artificial do problema que tem resolucao simples Mas no caso mais geral de uma fronteira curvilinea a mesma consideracéo vai ser bastante natural e vai nos possibilitar definir a area dessa figura e efetuar o seu calculo Construgao da area um exemplo Para iniciar vamos considerar a figura que tem os mesmos dois catetos AB e BC mas a terceira parte da fronteira superior serA parte curvilfnea definida pela funcao y fx x Nesse caso nao sabemos qual é a area da figura ABC e nem sabemos como definir esse conceito embora intuitivamente fica claro que essa area deveria existir e ter um valor entre 0 e 5 Para chegar a um conceito da area e encontrar o seu valor vamos usar dois procedimentos alternativos Construgao 1 Integral definida conceitos ye 1 C A B 0 1 x Figura 21 Area do triangulo com fronteira superior definida pela fungao y zx Essa abordagem usa aproximacoes inferiores e superiores da suposta area da figura para mostrar que essa area existe e encontrar o seu valor Dividimos o intervalo 01 em n partes iguais cada uma com o comprimento 2 Os pontos usados nessa divisaéo extremidades de subintervalos tém coordenadas em ordem de crescimento a i 01n sendo que xo21 0 é 0 primeiro subintervalo 7122 2 é o segundo etc n1n 21 é 0 ultimo Esperamos que somando as areas de partes da nossa figura correspondentes a divisao feita obtemos a area total Obviamente como cada pequeno pedaco tem fronteira superior curvilinea definida pela mesma fungao 0 problema de calculo da area de um pedaco nao é mais simples que o problema do calculo da area total No entanto essa divisao particgao possibilita fazer aproximacoes razoaveis 4 area procurada Se tomamos todo o intervalo original 01 e aproximamos a figura original via retangulo inscrito sempre escolhemos 0 maior de todos inscritos e circunscrito sempre escolhemos o menor de todos circunscritos entao o primeiro vai ser uma figura singular com a altura 0 e portanto a area 0 e o segundo vai ser o retangulo com a altura 1 e a area 1 Essas avaliagdes sao muito grossas até piores que a observacao original que a area se existir deve ter valor entre 0 e 5 Usando agora a diviséo em dois subintervalos podemos fazer aproximacéo retangular em cada uma das duas partes separadamente Entao na primeira 2 parte o retangulo inscrito é singular com a area 0 e 0 circunscrito tem altura f 5 5 i o maior valor de fx em 0 ea area 57 na segunda parte o retangulo inscrito tem altura 2 1 1 1 1 111 f 4 o menor valor de fx em 51 ea area 57 5 0 circunscrito tem altura f1 1 1 0 maior valor de fx em 31 e a drea 1 Somando aproximacoes inferior e superior em duas partes obtemos a area inferior Sy 0 3 F e a superior Sy 5 5 3 Entao a area da figura original se existir 6 contida entre e 3 0 que 6 uma avaliagao melhor que no intervalo completo Veja Figs22 e 23 Continuamos dessa maneira aumentando o valor de n e esperamos que cada proximo passo vai melhorar a aproximagao da area da figura se essa existir Vamos ver a construgéo geral no nésimo passo e as avaliagdes correspondentes Dividindo o intervalo original em n subintervalos de igual comprimento temos a base de cada retangulo igual a 6 4 No iésimo subintervalo x1 x 0 2 2 retangulo inscrito tem altura h fxj1 27 51 ea area A bh i 3 enquanto 2 2 o retangulo circunscrito tem altura h fa 2 ea area A bh 2 4 Somando 12 aproximagoes de todas as partes temos a aproximacao inferior da area S 0 A ey ir aA TFT 52 e a superior S dj Ai LiL 43 Usando as formulas de somas finitas da segao anterior 1n2n1 12n1 podemos calcular as duas aproximagées na forma S 4 77i1 A fa DnQn oYCn 4 Integral definida Y y x I C A B 0 q 4 4 1 x Figura 22 Aproximacées superiores da figura definida pela funcao y x y y x I C A ZL B 0 4 4 3 1 x Figura 23 Aproximacoes inferiores da figura definida pela funcao y 2 eS a we 4 Met DGnt nt ient Se a area S existir entaéo esperamos naturalmente que ela satisfaz as avaliacgoes S eV S tient Podemos notar que a S é uma fungao sequéncia crescente do argumento n isto é S Syj41 e que a sequéncia S é decrescente isto é Si Sn41 Isso quer dizer que a avaliacao de S fica mais fina com cada proxima partigao Resta estabelecer 0 que vai acontecer se continuarmos esse processo de refinamento de parti cao infinitamente isto é se tendermos n a oo Lembrando resultados dos limites notamos que lim S lim nDGa representa uma indeterminacéo 2 mas ela é facilmente resolvida divi noo noo n oo 124 dindo numerador e denominador por n lim S lim QnGon O mesmo procedimento n00 noo 6 3 nach or lim So lim tWnt yay Ctr Gtr 1 se aplica para aproximacgao superior mn Sy dim Sn im 5 5 Como S Sn Vn de propriedades de comparacaéo de limites segue que lim S lim S Nesse n00 n00 Integral definida conceitos 5 caso aconteceu que fim Ss fim S Como as sequéncias S e S sao aproximagoes inferiores N00 N 00 e superiores da area procurada S respectivamente entaéo é natural de chamar o seu limite conjunto da area da figura ou seja concluimos que a area da figura existe e é igual a Assim chegamos a seguinte definicao impulsionada pelo esse exemplo Definigao Se as sequéncias de aproximacoes inferiores S e superiores S da suposta area da figura original tém o mesmo limite S quando o numero n de subintervalos da particao tende a 00 entao é dito que a figura tem area e esse limite S é chamado da area dessa figura Uma generalizacao direta dessa definicdéo sera usada para definir a area de qualquer figura plana se essa Area existir Notamos que a definigaéo da area da figura considerada envolve implicita mente toda a construcgdo de aproximacgoes inferiores e superiores e sua comparacao embora na formulagao final constam somente os resultados dessas avaliagoes Diferentemente do exemplo considerado pode ocorrer que o limite de aproximacoes inferiores ou superiores nao existe ou ainda que os dois limites existem mas o primeiro 6 menor que o segundo Nesses casos dizemos que a area da figura nao pode ser definida Construgao 2 Nesse algoritmo alternativo usamos algumas aproximacoes da suposta area da figura nao ne cessariamente inferiores e superiores O procedimento é muito parecido com a Construcéo 1 a diferencga ocorre na escolha dos valores da fungao que representam altura Como os passos das duas construgdes sao bem semelhantes apresentamos a segunda na forma mais sucinta Como antes dividimos o intervalo 01 em n partes iguais cada uma com o comprimento 2 Os pontos dessa diviséo sao x 7 01n Em cada um dos subintervalos xx a base do retangulo aproximante é igual a b 4 e a altura desse retangulo sera determinada por algum valor da funcao f num dos pontos de x1 vi hi f Logo a Area desse retangulo aproximante 6 A bh 4 7 Entao a aproximacao da area da figura completa é encontrada somando aproximacoes em todos os subintervalos S O valor especifico de S depende da escolha de Para poder efetuar o cdlculo vamos escolher como o ponto médio de cada subintervalo x1 x isto é i1 t in ta waite Ste i 1 j Nesse caso temos 4t i Ze aproximagao Sn pode ser calculada usando os resultados da segao anterior S 2 x 30 i i 1 n 1 1 fnn12n1 nn1 n n12n1 n1 1 13 Duil i i4 ws Mee nee sone ne Ga Veja Fig24 y y a 1 C A B 0 q 4 3 1 x Figura 24 Aproximacoes centrais da figura definida pela funcao y 2 6 Integral definida Finalmente tomando limite quando n 00 obtemos lim S lim ogee nt 72 N00 N00 lim paket 2a 4 ie 005 n3boo 6 2 4n 6 3 Na Construcaéo 1 ja foi deduzido que a area da figura original existe e é igual a Entao era esperado que qualquer aproximacao natural em particular aquela que usa os pontos médios de cada subintervalo para determinar a altura deve dar o mesmo resultado Embora nao podemos calcular a aproximagao S com uma escolha aleatéria ou complicada de pontos a1 x mas podemos mostrar que dim Sy 7 qualquer que for a escolha desses pontos Realmente para cada area aproximante A bh 1 temos a avaliacao A A A pois h fhu f hi f Logo somando as aproximagoes mantemos o mesmo sinal da desigualdade dupla S S77 A Sn WL Ai Sn OT Ai Como lim S lim S S entao pelo teorema do confronto n00 n00 limite de S também existe e é igual ao mesmo numero dim Sy S Generalizagao da construgao da area para fungoes continuas Vamos agora generalizar a definicao da area de uma figura plana para o seguinte cenario Vamos supor que fa é uma fungao continua e nao negativa num intervalo ab e consideramos a figura plana delimitada horizontalmente pelas retas coordenadas x a e x b e verticalmente pelo eixo Ox y 0 o grafico de fx veja Fig Realizamos a generalizacao das duas construcoes feitas acima Construgao 1 O primeiro passo na definigéo e avaliagao da area da figura dada vai ser a determinagao de uma particéo P vamos chamar de partigéo P o conjunto dos pontos x que dividem ab em n subintervalos de igual comprimento Entao P 2 a pay j 01n sendo que o primeiro ponto zo a 0 tltimo ponto x b ea distancia entre dois pontos proximos comprimento do subintervalo z1 xi 6 A chamado do diémetro da partigéo Com essa divisao de a a figura é dividida em n partes fatias finas nas quais vamos efetuar as aproximacoes inferior e superior No segundo passo consideramos a iésima parte da figura cuja base de baixo é o subintervalo x1 vj e construimos suas aproximacoes inferior e superior usando retangulos inscritos e circuns critos Como fx é continua em x1x ela atinge seus valores minimo f e maximo f nesse intervalo Logo o maior retangulo inscrito tera a altura h f ea area A Ah boa fis enquanto o menor retangulo circunscrito tem altura h f ea area A Ah baa Fs Nao ha possibilidade de especificar a localizagao dos pontos minimo e maximo de fx em x1 7 como era no exemplo fx x7 uma vez que a forma especifica da fungao nao é conhecida Veja ilustracdo na Fig25 No terceiro passo somamos aproximacoes inferior e superior de todas as partes da divisao e obtemos a aproximagao inferior da area procurada S 3 A iy boa f superior Sy Ai 4 f De acordo com a construgao acreditamos que a area da figura original se existir é limitada pelas essas duas avaliagoes S S S Finalmente no quarto passo calculamos limites lim S lim do baa fF e lim S noo n0oo noo lim aa baa Fs Se esses limites existam e sejam iguais entao definimos a area da figura original como o valor conjunto desses dois limites Logo chegamos a mesma definigao dada para figura determinada pela funcao fa x7 mas num contexto bem mais amplo de funcées contnuas Definicao da area 1 Se as sequéncias de aproximacoes inferiores S e superiores S da suposta area da figura original tem o mesmo limite S quando o nimero n de subintervalos da partigéo tende a oo entao é dito que a figura tem area e esse limite S é chamado da area dessa figura Observagao A continuidade de fx era a condicgéo imposta para garantir a realizagéo do segundo passo desse procedimento quando precisamos usar os valores minimo e maximo de fz em cada um dos subintervalos para construcéo de aproximacoes inferiores e superiores Integral definida conceitos 7 Figura 25 Construção 1 da área de figura com fronteira superior definida pela função y fx A forma específica da função fx x2 no exemplo considerado possibilitou calcular os dois limites lim n Sn e lim n Sn e estabelecer a área da figura como o valor comum desses limites Obviamente não tem como calcular esses limites para uma função contínua qualquer o valor vai depender da sua forma específica mas ainda podemos mostrar que os dois limites existem e são iguais para qualquer função contínua o que siginifica que a área da figura original existe e é definida como valor conjunto desses dois limites Para chegar a esse resultado vamos primeiro comprovar dois resultados auxiliares expostos nos próximos dois Lemas que podem ser generalizados para classes de funções mais amplas que contínuas Lema 1 Seja fx contínua em a b Qualquer par de aproximação superior Sn e inferior Sk satisfaz a desigualdade Sn Sk para quaisquer n k Demonstração Consideremos o refinamento das duas partições Pn e Pk de n e k subintervalos que contém nk subintervalos Notamos que a partição Pnk contém todos os pontos da partição Pn e da Pk Consideremos subintervalo geral xi1 xi de Pn Na partição Pnk esse subintervalo será dividido em k partes xi1 xi1 xi1 xi2 xik1 xi A aproximação superior Sn tem somente um termo nf i que corresponde a xi1 xi enquanto a aproximação superior Snk tem k termos responsáveis pela aproximação em xi1 xi Tk nkf i1 nkf i2 nkf ik onde nk ba nk e os valores f i1 f i2 f ik são os máximos de fx nos subintervalos xi1 xi1 xi1 xi2 xik1 xi respectivamente Como esses máximos são menores ou iguais que o máximo f i de fx no subintervalo completo xi1 xi então é válida a seguinte avaliação Tk ba nk f i1 f i2 f ik ba nk f ik ba n f i Como isso é válido para qualquer subintervalo xi1 xi então temos que Snk Sn Da mesma maneira podemos mostrar que Snk Sn Naturalmente as mesmas avaliações são válidas na comparação de partições Pnk e Pk basta trocar o significado dos índices n e k Snk Sk e Snk Sk Lembramos adicionalmente que para qualquer índice a aproximação superior é maior que a inferior em particular para m nk temos Snk Snk Juntando essas desigualdades obtemos Sn Snk Snk Sk o que mostra que qualquer aproximação superior é maior ou igual a uma aproximação inferior Lema 2 Seja fx contínua em a b O supremo S das cotas inferiores da sequência Sn e o ínfimo S das cotas superiores da sequência Sn satisfazem a desigualdade S S Demonstração Como a sequência Sn é limitada inferiormente por exemplo pela constante S1 então existe a maior das suas cotas inferiores supremo das cotas inferiores que denotamos 8 Integral definida por S Analogamente existe a menor das cotas superiores de S nfimo das cotas superiores que denotamos por S Mostramos que S S Realmente pela definicdéo do supremo e infimo para qualquer 0 existe uma soma superior S tal que S S e uma soma inferior S ko tal que S 3e Entao se fosse S S poderiamos calcular a distancia d S S 0 e tomar g para determinar somas S e S ko Nesse caso Sing S g S g S isto é existiria um par de somas superior e inferior tal que S S 0 que contradiz ao resultado demonstrado no Lema 1 Logo a suposicao S 9 é falsa Formulamos agora o Teorema principal nas condigdes mais rigidas sobre fx 0 que permite usar as técnicas tradicionais de Calculos na sua demonstragéo Em Observagao ao esse Teorema formulamos o resultado mais geral para qualquer fungao continua e oferecemos a sua demonstragao que exige técnicas mais refinadas Teorema da existéncia da area Se fx é nao negativa e tem derivada limitada em a entao as sequéncias de aproximacoes inferiores S e superiores 5 da figura limitada por x a xrbyO0ey fx tém o mesmo limite S quando o nimero n de subintervalos da partigao tende a 00 Demonstracéo Mostramos primeiro que a diferenca entre S e S fica menor que qualquer 0 para n bastante grande Pela suposicao existe constante M tal que fx M Va ab Além disso pelo teorema de Lagrange para quaisquer dois pontos a b do subintervalo x1 7 existe ponto c entre a e b tal que fb fa fcb a Usando esses resultados e denotando a distancia entre ponto minimo e maximo de fx em x1 x por 6 para qualquer n podemos efetuar a seguinte avaliagao S S CL Af DL AS G2 Vai 1 S St Dea fi 1 baa rf 8 2 f Al yn Me ra Ny Como tim ue 0 entao do teorema do confronto e propriedade do mdédulo segue que lim Sn S0 Segundo mostramos que para o supremo S das cotas inferiores da sequéncia S e o infimo 3 das cotas superiores da sequéncia S é valida a relacao S S Realmente se fosse S 5 entao para qualquer n deveria ser valida a desigualdade S S S S d onde d é uma constante positiva No entanto ja foi demonstrado no primeiro passo que S S para todos n bastante grandes Isso leva a contradicao e portanto a suposicao S S é falsa Finalmente vamos provar que limite das duas sequéncias de aproximacées existe e é igual a SS 8 Da desigualdade S S S segue que0 SS S S Como no primeiro passo foi demonstrado que lim Sn S 0 entao do teorema do confronto segue que tim 5 S 0 isto 6 dn S S Da mesma maneira a desigualdade S S S implica em 0S5 SS e do fato que lim Sn S 0 segue que pelo teorema do confronto lim SS0 isto é lim SS noo n00 Observagao opcional Uma demonstracao semelhante pode ser realizada para funcoes continuas em ab Nesse caso a primeira parte a prova que fim Sn S 0 deve ser feita de outra maneira usando a continuidade uniforme em a b Como esse tépico usualmente nao é considerado em Calculos era necessdrio impor as restrigdes mais fortes sobre fungaéo fx na demonstracgao acima No entanto aqueles familiarizados com o conceito de continuidade uniforme e o teorema de Cantor num intervalo fechado podem modificar a primeira parte da demonstracgao sem maiores dificuldades Isso pode ser feito da seguinte maneira Notamos primeiro que a continuidade de fx num intervalo a b implica pelo teorema de Cantor em continuidade uniforme nesse intervalo isto 6 para Ve 0 existe 6 0 tal que para qualquer par dos pontos 2 x satisfazendo 2 6 segue que fx fx Tomando entaéo 5 temos a seguinte avaliacao S S Sa AS Ui AS 2 Vienlfi S oy IfiL ra ie o4 ne baye Isso mostra que pela definicao fim Sn S 0 O resto da demonstragéo permanece sem qualquer modificagao Integral definida conceitos 9 Construgao 2 Generalizamos agora o segundo algoritmo da construgcao do conceito da area De novo os passos sao bem semelhantes a Construcao 1 e por isso faremos uma apresentacao mais sucinta Primeiro introduzimos partigao P x a nay 01n de ab com distancia A bea entre dois pontos préximos A figura entao é dividida em n partes finas de espessura igual a A Em cada um dos subintervalos 71x a base do retangulo aproximante é igual a A boa e a altura h desse retangulo sera determinada por f onde 6 um dos pontos arbitrario de vi1 vi Logo a area desse retaéngulo aproximante é A Ah bra f Veja ilustragao na Fig26 Entao a aproximacao da area da figura completa é encontrada somando aproximacoes em todos os subintervalos S iL Ai WL f Finalmente para determinar a area da figura original tomamos limite quando n tende a 00 lim Sy n00 NF 1 y fx LE V 1 gi n a 0 axr0 2X1 Vi1 Xi Ln1 Lnb Figura 26 Construcao 2 da area de figura com fronteira superior definida pela fungao y fz Definigao da area 2 Se o limite S dim S existe e nao depende da escolha dos pontos entao é dito que a figura original tem area e esse limite S é chamado da area dessa figura Teorema de equivaléncia Definigoes 1 e 2 da area da figura sao equivalentes Demonstracao 1 Vamos supor que a Definicgao 1 esta satisfeita e mostramos que a Definigéo 2 também é valida A demonstracgéo se faz da mesma maneira como no caso do exemplo de fx x em 01 Realmente para cada area do retaéngulo aproximante A Ah boa f temos a avaliagao A A A pois h f hi FE h f Logo somando as aproximacdes mantemos o mesmo sinal da desigualdade dupla S 74 Sn 0 A Sn XL Ai Como lim Ss im S S entdo pelo teorema do confronto limite de S também existe e é igual ao mesmo nimero dim Sn 8S 2 Vamos supor que a Definicaéo 2 esta satisfeita e mostramos que a Definicao 1 também é valida Nesse caso simplesmente notamos que as somas S e 9 sao casos particulares de somas gerais S a primeira quando o ponto escolhido em cada subintervalo x1x 6 0 ponto minimo de fz nesse subintervalo e o segundo quando cada 0 ponto maximo em x1 7 Como o limite nao depende da escolha de entaéo as aproximacoes inferiores S e superiores S tém o mesmo limite Se portanto a Definicao 1 esta satisfeita 10 Integral definida Dois exemplos elementares Com a introducao do novo conceito mais geral da area de uma figura plana esperamos que os resultados para areas de figuras elementares seréo naturalmente mantidos Para ver que isso realmente é assim vamos considerar dois exemplos simples um retangulo e um triangulo retangulo Para inserir o retangulo no esquema da definicéo geral colocamos ele no primeiro quadrante do plano cartesiano com um dos vértices na origem e um dos lados ao longo do eixo Ox Se o lado no eixo Ox tem comprimento b e o outro ao longo de Oy tem comprimento c entéo a sua descrigao vai ser a seguinte a figura limitada pelas retas x 0 x b yOey fx c Logo para qualquer particao P temos os mesmos valores de mesmas aproximacoes inferiores e superiores Ss was ye yc2enbee 8 2 f 2c 2 cn be Portanto S lim S lim S bc como era esperado n00 nN 00 Um triangulo retangulo posicionamos no primeiro quadrante do plano cartesiano com um dos vértices da hipotenusa na origem e um dos catetos pertencendo ao eixo Ox Se o cateto no eixo Ox tem comprimento 6 e o outro tem comprimento c entéo a sua descricéo vai ser a seguinte a figura compreendida entre retas x 0 7 b yOe y fx a fungao fx com de x de 0 até b descreve a hipotenusa Logo para qualquer particao P temos as seguintes aproximagées inferiores e superiores S ws 2S ga 2yn 01 SYE i 1 peg bets e By Dia Fi RDM fei Lt bal Le eg beg Como lim 2 lim 1 i entéoS lim S lim S como era esperado No N00 n00 n00 N00 caso particular fa x c b temos entao S ve 22 Integral definida Assim como na construcao do conceito da 4rea de uma figura curvilinea existem duas abordagens equivalentes na construgéo da integral definida integral de Riemann As duas sao generalizagdes diretas dos dois procedimentos da determinacaéo da area de uma figura plana omitindo a condigao de nao negatividade da funcao e consequentemente impedindo a interpretacao direta em termos da area de uma figura Construgao 1 A Construcao 1 feita para definir 4rea de uma figura curvilinea pode ser generalizada para uma fungéo que néo mantém o sinal positivo no intervalo ab Nesse caso a interpretacao direta em termos de area ja nao é valida mas os conceitos introduzidos sao importantes e levam a definicgao da integral definida Entao vamos seguir as construgdes da secao anterior impondo a tnica res trigao sobre fx que ela é continua em ab e fixando ao longo da construcao alguns términos tradicionais em Andalise e Calculos Primeiro introduzimos uma particao P do intervalo ab do mesmo modo como antes P q at pany 4 01 sendo que o primeiro ponto x a o ultimo ponto z bea distancia entre dois pontos préximos comprimento do subintervalo xx é A bea chamado do diametro da particgao No segundo passo consideramos o iésimo subintervalo x1 7 encontramos os valores maximo fe minimo f de fx nesse subintervalo isso 6 possivel porque fa é continua e calculamos as grandezas fA e fA Em seguida somamos os termos encontrados no passo anterior em todos os subintervalos e obtemos S S71 fA Via poe f eS 2 fAvn fi Definigao As somas S 77 bra fe S v bea fF sao chamadas somas inferior e superior de Darboux as vezes somas inferior e superior de Riemann No ultimo passo calculamos limites J lim S lim feT lim S lim f n00 noo 4 no0o noo Definigao O limite J dim S chamado da integral inferior de Darboux e o limite Integral definida conceitos 11 I lim S 6 chamado da integral superior de Darboux as vezes interais inferior e superior de Riemann Definicao da integral de Riemann 1 Se os limites J e J existam e sejam iguais entao o valor conjunto desses dois limites é chamado da integral de Riemann J da fungao fx no intervalo a b e se usa a seguinte notagao I f fxdx A funcdo fx é chamada integravel de Riemann em a DJ Teorema da existéncia da integral de Riemann Se fx tem derivada limitada em a entao fx é integravel de Riemann em a Demonstracao A mesma usada no Teorema da existéncia da area de figura Observagao opcional Se fx é continua em a b entao fa é integravel de Riemann em a A demonstragaéo é a mesma proposta na Observacao ao Teorema da existéncia da area Construgao 2 Uma construcao alternativa do mesmo conceito da integral de Riemann de fx em a b repre senta generalizagéo da Construgao 2 do conceito da area Primeiro introduzimos uma particao P do intervalo ab do mesmo modo como antes P x a aay j 01n com distancia entre dois pontos préximos A se Segundo consideramos o iésimo subintervalo x1x e escolhemos nele qualquer ponto v1 vj para calcular valor da fungao f e encontrar o termo fA Em seguida somamos todos os termos encontrados no passo anterior e obtemos S 37 fA vn Af Gi Definigao As somas S 7 fA sao chamadas somas de Riemann No ultimo passo calculamos limite J lim Sn lim we f Definigéo da integral de Riemann 2 Se o limite J lim wh f existe e nado N00 depende da escolha dos pontos ele 6 chamado da integral de Riemann da fungao f no intervalo ab e se usa a seguinte notagao I fxdx A funcdo fx é chamada integravel de Riemann em a DJ Teorema de equivaléncia Definigdes 1 e 2 da integral de Riemann sao equivalentes Demonstracao A mesma usada no Teorema de equivaléncia das Definicdes 1 e 2 da area de uma figura Exemplos elementares Os resultados dos dois exemplos elementares resolvidos na segao anterior podem ser agora expressos em termos da integral de Riemann Para y f c no intervalo 0b temos lS Se cdz bc e para y fx Fx no intervalo 0b temos S W pudx be Em particular para y f x no intervalo 06 temos J S fe rdx ee Usando definicao da integral definida é facil de generalizar esses resultados a forma cdx cb 2 2 2 2 2 2 oon a fo adx yw e f cxdx c 5 Elaboremos aqui a integral fe adx r Pela Definigdo 1 para qualquer particao P temos as seguintes somas inferiores e superiores S bra Vint Pt Dh tin 8D a S81 8 Chat He DEE 1 8 na Ge SGM baaba eS 8 Lf HeLa By a Si 8 Chat 8 Oj boa na boa mnt baa b a Como im oe lim oh 5 entéo jj ij CO 21 ba b vb a I tm Sn tim Sn bajat ba5 5 Assim J cdx Resolver os exemplos restantes em casa Exemplos nao tao elementares Vamos mostrar a formula ih sin cdx cosacosb usando a definigao da integral definida Como fx sin x é uma funcao continua em ab ela é integravel em ab e as suas somas de Riemann 12 Integral definida tém o mesmo limite qualquer que for a escolha dos pontos x12 Podemos escolher entao 2x e obtemos S 7 fA bua S sin x Usando formulas trigonométricas consegui mos simplificar a soma A forma A sina AS YP sinasinA 4 YP 4cosxi A cosx A 45 4 cos z41 c08 ti41 44cosxq COS LZ COS Lp COS Ly41 Quando n 00 entao A 0 portanto o limite do primeiro quociente é praticamente o pri meiro limite notavel Os pontos 79 ae x b sao fixos e nao dependem de n e os pontos X 7 A e Lay In A tendem a xr ae Ly I respectivamente quando n o Portanto aplicando limite na expresséo obtida da soma de Riemann obtemos J lim Sy tim 4cos 2 COS 11 COS Xn COS Ly41 1 42 cosa 2cosb cosa cosb Vamos mostrar ainda a formula f2dx np 2 2 seguindo o raciocinio semelhante com os detalhes técnicos diferentes Como fx 2 é uma fungao continua em ab ela é inte gravel em ab e as suas somas de Riemann tém o mesmo limite qualquer que for a escolha dos pontos x1x Podemos escolher entao x e obtemos S 3 fA Ay 2 Ay 27t4 A27 24 Notamos que a tiltima soma é a da progressdo geo métrica com o quociente q 24 Aplicando a férmula respectiva simplificamos a soma a forma 9Ayn a Sp A2 ym 24 Age gQAE gagA al 2490 94 4 Quando n 00 en tao A 0 e consequentemente 2 1 O ultimo quociente representa uma indeterminacdo 3 que pode ser resolvida usando a regra de LH6spital iim x iim a Aplicando todos esses resultados e regras aritméticas de limites encontramos I lim Sn lim 2224 4 2 21 4 2 2 Em casa encontrar usando definicgaio cos adxr 2dx e f eda 23 Generalizacao da construcao da integral de Riemann Exemplo introdut6rio Em geral a condicgao de continuidade de fx em a b 6 a condigao suficiente mas nao necessaria para possibilidade de definir tanto a 4rea como a integral de Riemann de fa em a b Um exemplo trivial da fungaéo nao continua mas cuja area e integral de Riemann podem ser definidas da mesma 1 z0 maneira como antes é a funcdo fx Hx 1 S 9 considerada no intervalo 1 1 Obviamente a area dessa figura é igual a soma das areas dos dois retangulos que compoem a figura veja Fig27 A A Ag 1 2 3 Como o conceito da area introduzido na secgao anterior é uma generalizacao de formulas de figuras elemenatares entao usando Construcéo 1 ou 2 para fx Hx1 temos que chegar ao mesmo resultado Além disso como a fungaéo fx é positiva entao a area deve coincidir com a integral de Riemann Vamos realizar a Construgao 1 do conceito da Area Introduzimos a partigao P x7 1 241 01n de 1 1 com comprimento A 2 de cada subintervalo a1 x Consideremos dois casos que geram formulas diferentes para aproximacoes inferiores e superiores Primeiro se n é par entao o ponto 72 0 é o ponto da particgao e o subintervalo 21 n2 0 Ultimo a esquerda de 0 enquanto 2n241 0 primeiro a direita de 0 ou seja temos 5 intervalos a esquerda e a direita da origem Notamos que em 2p21n2 0 valor minimo de fx é 1 mas o maximo é 2 na origem Entaéo a aproximacgéo inferior vem na forma S 2 f 2 f2 Chou t 2 1 23 92 1423 A aproximagao superior é a seguinte Sy 200 fis PEER Dhyaa f EO 2 242 ho 2 2 P 1H BEE Segundo se n é impar entao o ponto 0 fica no meio do subintervalo 12 n412 onde o valor minimo de fz é 1 e o valor maximo é 2 Entao a aproximagao inferior vem na forma n n12 n n12 n n n Sn 2 f 2 v f3 Den41241 f 2 a 1 Dnt1241 2 apt yap 2 3 A aproximacdo superior é a seguinte S 22 f 2m ve f 2 Uhayeli Integral definida conceitos 13 y 2 fz Hax 1 Ap 1 0 1 x Figura 27 Funcao discontinua f2 Hx 1 com a area bem definida n12 n n n 21 2 Dhyne 2 28514 28H 2348 Notamos que em qualquer um dos dois casos as aproximacoes inferiores satisfazem a avaliagao 3 4 S 3 eas superiores 3 4 S 3 2 Como 2 converge a 0 pelo teorema do confronto ambas aproximacdes tendem a 3 Logo o valor lim S lim Sn 3 chamado da area da figura conforme a Construcéo 1 Como era esperado o valor obtido é igual ao calculo elementar dessa area Esse exemplo mostra que os conceitos da area e da integral de Riemann podem ser estendidos para uma classe de fungdes mais ampla que as continuas Contudo a Construcao 2 pode ficar sem alteracdes mas a Construcao 1 precisa de alguns ajustes pois para fungdes nao continuas nao ha garantia de existéncia de extremos Realizamos as generalizacoes das duas construgdes para 0 caso da integral de Riemann uma vez que a area de uma figura é um caso particular quando a funcao é nao negativa A seguir vamos considerar uma fungao fx limitada no intervalo a Construgao 1 Primeiro introduzimos uma partigao P do intervalo ab P xj a bay j 01n com distancia A boa entre dois pontos préximos Segundo em cada subintervalo z1 x encontramos o supremo f e o infimo f de fx isso é possivel porque fx é limitada e calculamos as grandezas fA e fA Em seguida calculamos as somas inferior e superior de Darboux S S774 fA Cy boa f e Sn i fA Ui m4 fi Finalmente calculamos integrais inferior e superior de Darboux J lim Ss lim aan boa f T lim S li nm bma el um Sn 7 un dil n fi Definigaéo da integral de Riemann 1 Se as integrais de Darboux J e J existam e sejam iguais entéo o valor conjunto delas é chamado da integral de Riemann J re fxdx da fungao fx no intervalo ab A fungéo fx é chamada integravel de Riemann em a Construgao 2 Primeiro introduzimos a mesma partigao P do intervalo ab P a a pany j 01n com distancia entre dois pontos proximos A oe Segundo em cada subintervalo x1x escolhemos qualquer ponto x1 x para calcular valor da fungao f e encontrar o termo fA Em seguida calculamos a soma de Riemann S 7 fA Dh f 14 Integral definida No ultimo passo calculamos limite J im Sp lim wi 2 f Ei Definigao da integral de Riemann 2 Se o limite J lim et P F existe e nao depende da escolha dos pontos ele 6 chamado da integral de Riemann J pe fxdx da fungao fx no intervalo ab A fungéo fx é chamada integravel de Riemann em a Teorema de equivaléncia Definicoes 1 e 2 da integral de Riemann sao equivalentes Demonstracao A mesma usada no Teorema de equivaléncia das Definicoes 1 e 2 da integral de Riemann de fungoes continuas 24 Classes de funcoes Nessa secéo comparamos a classe de fungdes integraveis de Riemann com outras classes ja co nhecidas das partes anteriores de Calculos Quando vai ficar claro do contexto vamos abreviar integraveis de Riemann para integraveis Fungoes integraveis e continuas Primeiro lembramos que de acordo com o Teorema da existéncia da integral de Riemann qualquer fungao continua em ab é integravel em ab Observagaéo ao esse Teorema Em outras palavras a classe de funcoes continuas esta contida dentro da classe de funcoes integraveis Podemos chamar esse resultado de Teorema da condigao suficiente de integrabilidade Teorema da condigaéo suficiente de integrabilidade Se fx é continua em ab entao fx é integravel em a 0 Notamos que a reciproca nao é valida como ja foi mostrado com exemplo da fungao fx Ha 1 no intervalo 1 1 Funcoes integraveis e limitadas Segundo lembramos que a definigéo da integral de Riemann foi dada para funcgoes limitadas em ab Notamos que essa restrigéo é obrigatéria para realizagéo da Construgao 1 mas nao para Construcao 2 Entao pode aparecer pergunta se a mesma definigao da Construcgao 2 pode ser estendida para funcoes nao limitadas A resposta é negativa como mostra o préximo teorema Teorema da condigao necessaria de integrabilidade Se fx é ilimitada em a b entao fx nao é integrével em ab Em outras palavras a definicao de integral de Riemann nao pode ser estendida para o caso de fungoes ilimitadas Demonstracdo Vamos supor que a definicéo da Construcaéo 2 apresentada para funcoes limi tadas foi estendida para funcoes ilimitadas formalmente todos os passos dessa definigéo podem ser realizados para qualquer funcdo definida em ab Vamos mostrar que nesse caso o limite lim aa bua f nao existe sob certa escolha de pontos isto é a definigdéo de integrabilidade nao esta satisfeita Basta considerar a situagéo quando fx é ilimitada superiormente em a porque a ilimitacao inferior tem a mesma demonstragao Tomamos uma partigao P do intervalo ab P x a bay j 01n e desta camos aquele subintervalo x1x7 onde fx é ilimitada superiormente como fx é ilimitada superiormente em a b existe pelo menos um subintervalo com essa propriedade Vamos compor a soma de Riemann S bra yo f da seguinte maneira em todos os subintervalos diferentes de x1 x fazemos uma escolha arbitraria de pontos mas no subintervalo 71 7 escolaemos de um modo especifico que torna S maior que n Para determinar esse representamos S na forma S boa LL iek f b4 FE e resolvemos a desigualdade S n Entao temos a seguinte condigao para Pa f E n pa ieigk fEi ou f Ex if Vier f A ultima desigualdade tem intmeras solugdes porque fx é ilimitada em x1 rg e portanto pode superar qualquer constante dada previamente inclusive aquela que consta na parte direita da desigualdade Assim para qualquer particao P conseguimos construir a soma de Riemann que Integral definida conceitos 15 satisfaz a avaliagao S n Como isso é valido para qualquer n N e o lado direito tende a 00 entao S também tende a 00 ou seja essas somas de Riemann nao tém limite finito e portanto a definicéo da integral de Riemann nao esta satisfeita O mesmo resultado pode ser formulado também da seguinte maneira Teorema da condigaéo necessaria de integrabilidade Se fx é integravel em a b entao fx é limitada em a Esse resultado quer dizer que a classe de fungoes limitadas contém a classe de funcoes integraveis Notamos que a reciproca nao é valida isto é existem funcoes limitadas que nao sao integraveis a 1xEQ Consideremos um exemplo classico da fungao de Dirichlet fx Dx 02 ETRO no intervalo 01 Para qualquer particao P em qualquer subintervalo x1 7 existem tanto pontos racionais como irracionais Portanto as somas inferiores de Riemann sao S S7i fA i 0 A Oeassuperiores S 1 fA 0 1A 1 Logo a sequéncia S tem limite 0 enquanto S tem limite 1 Portanto Dx nao é integravel em 0 1 e em qualquer outro intervalo embora ela é uma fungéo limitada com cota superior 1 e a inferior 0 Generalizagao da condigaéao suficiente de integrabilidade O exemplo simples da fungao fx Hx 1 que nao é uma fungao continua em 1 1 leva a procura de uma condigao de integrabilidade mais geral que a continuidade que poderia envolver fungdes como fx Hx 1 Esse resultado é dado abaixo Teorema geral de integrabilidade Se fx é limitada em ab e é continua em a b exceto um ntimero finito de pontos entao fx é integraével em a Demonstracao opcional Vamos dar demonstracgéo para um ponto de descontinuidade porque a mesma abordagem pode ser usada para um nimero finito dos pontos de descontinuidade A idéia principal é separar os subintervalos no maximo dois que contém o ponto de descontinuidade e escolher a particao com didmetro A tal pequeno que a contribuicao dos termos que correspondem a esses subintervalos nas somas de Riemann seja desprezivel Primeiro voltamos a demonstragao do Teorema da existéncia da area para o Teorema da existéncia da integral é usado 0 mesmo procedimento e notamos que somente o primeiro passo dessa demonstracao utiliza a continuidade na forma mais forte limitagao da derivada de fx Os passos restantes inclusive os Lemas preliminares 1 e 2 sao validos para qualquer fungao limitada com a tinica corregao de que os valores f representam infimos em vez de mfnimos e os valores f representam supremos em vez de méximos Portanto é necessdrio modificar a demonstracéo que lim Sn S 0 realizada no primeiro passo O resto pode ser mantido sem alteracoes Em vista disso vamos realizar a seguinte construcéo Primeiro tomamos uma particao P com diametro A boa e fixamos ela no momento Como tem somente um ponto de descontinuidade Za ele pode ser relacionado com um ou no maximo dois intervalos da particgaéo se coincidir com um ponto da particgaéo Vamos destacar os dois subintervalos 7127 e vjvj41 que contém xq a situagao quando xq fica dentro de um deles esta coberta pela essa consideragao Para esses dois subintervalos os dois termos correspondentes das somas superiores e inferiores de Riemann satisfazem a seguinte avaliacao S S IAF finIAE FF 41 Alf jth ffyals brea 4M Aqui levamos em conta que fx é limitada em a b ou seja existe uma constante M tal que fx M para Va ab Notamos que a divisao adicional de cada um dos subintervalos vj12 e vj2j41 em m partes com os valores respectivos ff f4em zj12 e fays fh em xUj41 nado altera essa avaliacgao So s4 AinFi h 4 Fou t Fon AmfS weet fi fo 4 fs 44mM 4M Escolhemos agora n bastante grande tal que boa 4M e fixamos ele Com esse n garantimos que So St para qualquer 0 dado Com n agora fixo os dois subintervalos especiais x12 e 41 considerados anterior mente ficam fixos assim como as duas partes restantes a 71 e v16 Em cada um desses dois 16 Integral definida ultimos intervalos a funcgao fx é continua e portanto é continua uniformemente isto é para Ve 0 tomamos por conveniéncia ba existe 6 0 tal que para qualquer par dos pontos x 2 satisfazendo x x 6 segue que fx fx e Usando entao a propria particdo P ou se for necessario seu refinamento P k nmm N que tem o didmetro bastante pequeno tal que A ba 0 temos a seguinte avaliacao das somas de Riemann Si e Si em a 21 notamos que o ntmero k de subintervalos em a x 6 menor que o nimero total de subintervalos em a Si Si e Ai fi Sy Axf be ey If f bea wey Ey okey baé1 Da mesma maneira no intervalo x41 6 temos a avaliacao S Sl e Assim separamos os subintervalos gerados pela a particaéo construida P em trés partes a primeira cobre o intervalo x1241 que contém o ponto xq dentro dele a segunda é de a x1 e a terceira é de x41b De modo correspondente representamos a soma superior S em trés termos S Ss Si S onde Ss é a parte relativa a vj1 vj 1 Si corresponde a a x1 Si corresponde a 241 6 E o mesmo fazemos com a soma inferior S Para cada uma das trés partes as avaliacdes j4 foram obtidas e entao resta sé juntar esses trés resultados S S 5 Sal 4 Sy Si Ss S eee3e Isso mostra que lim Si S 0 Corolario Se fx é continua em ab exceto um nimero finito de pontos onde ela tem descontinuidade removivel ou de salto entéo fx é integravel em a J Demonstracao As condigoes dessa afirmacaéo é um caso particular das condigdes do Teorema demonstrado Observagao 1 As condigdes do Teorema sao mais gerais que as do Coroldrio Por exemplo a fungao fx Sina A 0 é limitada em R e é continua em qualquer ponto exceto a origem onde c ela tem descontinuidade essencial Portanto no intervalo 1 1 essa fungao satisfaz as condigdes do Teorema mas nao do Corolario Observacao 2 As condigdes do Coroldrio sao exatamente aquelas que abrangem as funcoes simples por partes por exemplo constantes por partes do tipo Hx 1 sgnz e similares cuja integral de Riemann intuitivamente deve existir Observacao 3 As condigdes do Teorema ainda sao suficientes mas nao necessdrias 0 que quer dizer que ha fungoes integraveis que tém descontinuidades em um nimero infinito de pontos Um 1 exemplo desse tipo é a fungao fx oe as t0 em 1 1 que tem descontinuidade tipo c salto em todos os pontos x k Z0 e ainda descontinuidade essencial no ponto 0 Andlise desse exemplo e a formulacao do resultado ainda mais geral fica fora do nosso alcance Teorema de alteragao de valores O valor da integral definida nao depende da especificacgao dos valores da fungaéo em um numero finito de pontos Em outras palavras a integral mantém o mesmo valor se a fungao alterou valores em um nimero finito de pontos Demonstragao opcional De novo faremos demonstragao para um ponto porque a generalizacao é direta A idéia é a mesma do Teorema anterior separar os subintervalos da partigao no maximo dois que contém o ponto de alteragao c e escolher a partigéo com diémetro A tal pequeno que a contribuicéo dos termos que correspondem a esses subintervalos nas somas de Riemann seja desprezivel Consideremos uma fungao fa integrdvel em ab e outra gx tal que gx fx Va a bx Ac gc flo c ab Tomamos uma particéo P com diametro A bra e fixamos ela no momento O ponto c pode ser relacionado com um ou no maximo dois intervalos da partigao se coincidir com um ponto da partigao Vamos destacar os dois subintervalos x1 vj e x 741 que contém c a situacao quando c fica dentro de um deles esta coberta pela essa consideracao Separamos os subintervalos gerados pela particaéo em trés partes a primeira é 0 grupo de o 71 até vj2vj1 a segunda é o grupo de 541242 até 12 e a terceira dois intervalos especiais x12 e 2j41 contendo c De modo correspondente representamos a soma de Integral definida conceitos 17 Riemann para fx em trés termos Sf S1f S2f Sf onde Sif AX fi S2f Ave fie SEf ACH fi41 O mesmo fazemos com a soma de Riemann Sing de gx Entao temos a seguinte avaliagao 5Sf Sg Al a fi gi Rolf 91 fj fir 9j G41 210404 fj 9 fig S2f g0 Para n bastante grande a parte direita fica menor que qualquer 0 o que quer dizer que lim Sf Srg 0 Como é dado que fx é integravel isto é I lim Sinf existe e nao depende da escolha dos pontos entao lim Srlg lim Snf lim S9 Snf Ip 0 Ip ou seja o limite n co n co n oo das somas de Riemann de ga existe e nao depende da escolha dos pontos o que significa que gx é integravel e sua integral é igual a de fz Funcoes integraveis de Riemann e monotonas Formulamos mais um resultado da relacgdo entre classes de funcées Teorema Se fx é mondétona em ab entao ela é integravel de Riemann em a Demonstracao opcional Notamos primeiro que a condicéo necessaria de integrabilidade esta satisfeita todos os valores de uma funcéo monotona estao contidos entre fa e fb Para espe cificar situagéo vamos supor que fx é crescente em ab De novo voltamos a demonstragéo do Teorema da existéncia da area e da integral de Riemann e notamos que os resultados dos Lemas 1 e 2 e dos segundo e terceiro passos da demonstragao sao validos para fungoes mondtonas com a tunica corregao de que os valores f representam infimos em vez de minimos e os valores f repre sentam supremos em vez de mdximos Entéo resta demonstrar o resultado do primeiro passo que fim S S 0 para fungdes monétonas Para fazer isso notamos que para funcao crescente N0o0 f fla e f fxi1 portanto obtemos a seguinte avaliagao valida para qualquer n 0 SnSy Dy AFD AL S8 DE Fi fF 8 Sa Fe Fa F0 Fa Como lim fb fa 0 entao do teorema do confronto segue que lim S S 0 N0o0 n CO Observagao O resultado desse Teorema permite construir mais uma fungéo além do exemplo na Observagao 3 ao Teorema geral de integrabilidade que tem numero infinito de pontos descon 1 11 oo a xEnEN tinuidade mas é integravel A fungao fx pe ori nh é crescente em 01 e portanto é integravel em 01 Ao mesmo tempo ela tem descontinuidade de salto em todos os pontos 2 an EN n 1 Fungoes integraveis de Riemann e integraveis de integral indefinida Embora os nomes sao muito proximos as duas propriedades da integrabilidade sao garantidas pela continuidade da funcao e como veremos em seguida existe relacao intima em formula entre dois tipos de integrais mas os dois conceitos da integrabilidade sao diferentes e existem funcdes pertencendo a uma classe e nao pertencendo a outra 2x sin 2 cos4 0 Primeiro a funcao fx 0 oo p OOS ga A possui integral indefinida em R mas nao é integravel de Riemann em qualquer intervalo contendo 0 Pode ser notado que essa fungao é semelhante aquela usada na secao 13 da integral indefinida e a verificagéo da existéncia da sua antiderivada podemos fazer da mesma maneira Primeiro enunciamos que a proposta para Qarn 1 oy 0 antiderivada é Fx i an ve Derivando Fx em qualquer ponto x 0 pelas regras da derivagdo obtemos Fx 2xsin5 x cos 2xsin4 2cos4 fx Vx F 0 x2 sin Na origem temos que apelar a definigao da derivada F0 lim FFO lim arene lim 2 sin Jy 0 f0 0 tltimo limite é calculado usando o Teorema de confronto Assim w Fx fx Vx R ou seja f fdz Fx C em R Consequentemente fx é integravel no sentido da integral indefinida em qualquer intervalo ab em particular em 1 1 No entanto fx nao é integravel de Riemann em qualquer intervalo contendo 0 por exemplo 18 Integral definida em 11 porque ela nao é limitada em tal intervalo Para mostrar isso basta tomar os pon tos Tae k N notar que x botoo e calcular fx Jae sin 2kn 2 2kr cos 2kt 2V2kr 2 oo Portanto os valores de fx sao ilimitados inferiormente numa vizinhanga de 00 0 O mesmo é valido para ilimitacgao superior e para aproximacéo de 0 a esquerda Logo a fungao é ilimitada em qualquer intervalo ab contendo 0 e por isso ela nao é integravel de Riemann 120 Segundo a fungao sinal fx sgnzx 4 0 x0 nao tem integral indefinida em qualquer 1z0 intervalo contendo 0 em particular em 11 Isso foi demonstrado na segaéo 13 da parte de integrais indefinidas No entanto ela é integravel de Riemann em qualquer intervalo a b incluindo aqueles que contém 0 por exemplo 11 Realmente em qualquer intervalo ab que contém 0 a funcao satisfaz as hipéteses do Teorema geral de integrabilidade fx é limitada em ab e é continua em ab exceto um tnico ponto 0 Para visualizar alguns resultados dessa secao ilustramos na Fig28 a relacéo entre classes de fungodes integraveis de Riemann limitadas e continuas Figura 28 Relacao entre algumas classes de fungoes 3 Integral definida propriedades elementares Em todas as propriedades a seguir a integrabilidade é considerada no sentido de Riemann sem mencionar isso 31 Propriedades aritméticas 1 Se c é uma constante entao cdr cb a 2 Se fx e gx so integravies em ab entao fx gxdx f fxdx f gadx 3 Se fx é integravel em ab e c é uma constante entao cfxdx f fxdz 4 Se fx é integravel em a b e cd C ab entao fx é integravel em c d 5 Se fx é integravel em ab e c ab entao f fxdx f fxdx f fx da 6 Se fx é integrdvel em ab entao fx e fx também sao integraveis em a 7 Se fx e gx so integraveis em ab entao fxgx também é integravel em a 0 Demonstracao 1 Para qualquer partigao P temos as mesmas somas de Riemann independente da escolha dos pontos S 3 fG rh c cncba Logo S lim S cba Integral definida propriedades elementares 19 2 Pelas propriedades das somas finitas para qualquer particaéo P e qualquer escolha de temos Spf 9 Ei f 9 G8 Fi SO g Snf Sng Como fx e gx sao integravies em a b entao pelas propriedades de limites tim Srf 9 tim Snf Srg tim Snf im Sig J fladx f gxda Isso significa que fx gx é integravel em ab e ffx gadx f fada f gxdzx 3 A validade dessa formula é provada pela definicaéo da integral definida assim como a propri edade 2 Deixamos isso para realizar em casa Observagao 1 Das propriedades 2 e 3 segue a propriedade da combinagao linear se fx e gx sao integrévies em ab e a e 2 séo constantes entao afx 8gx também é integravel em a ble I2af a 8gada a ff fxde8 J gadx Em particular ffde J fdx Fa gadx f faax f gdz 4 opcional Em geral nao ha possibilidade de construir partigao de um intervalo como refina mento de outro considere por exemplo ab 0 V2 e cd 01 Portanto o tratamento dessa propriedade é bastante delicado A idéia principal consiste em usar a particao bem fina Q de cd que permite inserir a maior parte dos seus subintervalos dentro dos subintervalos individuais da particao P de ab e nessa parte aproveitar as avaliagdes de somas de Darboux conhecidas para Py a parte restante dos subintervalos de que nao se encaixa dentro de um dos subintervalos de P nao permite aproveitar avaliacéo de P mas por ser uma parte cujo comprimento é muito pequeno ainda é possivel obter avaliacaéo desejada usando a limitacao da funcao Agora passamos aos detalhes Como fx é integravel em ab entao ela é limitada nesse intervalo isto é existem constantes Ae B tais que A fx B A integrabilidade em ab também garante que para qualquer 0 existe particao P com diametro bastante pequeno A 4 tal que S S Sempre podemos escolher n tal grande que além da avaliacaéo indicada das somas de Darboux seja satisfeita a desigualdade A bea Fixamos agora esse n e o valor correspondente de A Consideremos agora uma particgao Q de cd com diametro A fe tal que A ae e An ats qualquer que for A sempre pode ser encontrado m bastante grande para satisfazer essas desigualdades Os subintervalos p1p i 1n da partigaéo P vao cobrir todos os subintervalos g1q j 1m da particao Q Fixando no momento o subintervalo pi1 pi notamos que alguns subintervalos g1 q digamos k deles vao ficar em p1 p os dois no maximo vao ter uma parte em p1p e a outra no subintervalo adjacente a esquerda em pi2 Pi1 a direita em p pii e os restantes vao ficar fora de p1 p veja Fig29 Avaliamos separadamente os termos das somas de Darboux da particéo Q que tem intersecao com p1 pi Para nao confundir com a partigéo completa denotamos temporariamente esses in tervalos de a1 9 na fronteira esquerda de p1 p o 71 We1 Ve dentro de p1 pil e vx Te41 na fronteira direita de p1 p Veja Fig210 Os valores da fungaéo fx no intervalo v1 e41 denotamos temporariamente por gx enquanto os mesmos valores em p1 p denota mos por fx Notamos que 29 xx C pi1 pi C e1 Ye41 Entao a parte das somas de Darboux da particao Q relativa a esses subintervalos pode ser avaliada da seguinte maneira Para os subin tervalos dentro de p1 pj temos 74 9 g Am Sa fi f Am Fi Di Am f fpi Pi1 f f An Note que os infimos g da fungao fx em cada um dos subintervalos xo x1 1 SAo maiores ou iguais que o infimo f de fx em pi1 pil e para os supremos tem a relacdo contraria Para os subintervalos x1 Xo e x Z41 podemos usar a mesma avaliagao J gy Am B A Am Geri Ipy Am S B A Am Desfixamos agora i e somamos avaliagdes para todas as partes obtidas Para todos q1 q que ficam dentro de p1 pi temos 77 SiG 9 Am Dhifi f An Sn Sy Para todas as partes nas fronteiras de p1 p existe n 1 dessas partes obtemos 727 941 Gj41Am Dia B A Am BAnAm BAngtis BAngataaa E ba AQ e 20 Integral definida Juntando as duas partes das somas de Darboux da particaéo Q obtemos sed gle 20 que garante a integrabilidade de fx em c d ee pgs ed Om apo Pl p2 Pi1 Pi Pitl s Pn1 Pnb P Figura 29 Relacao entre particdes P Qm Z1 20 21 Lee LI1 2 ors Lk1 Zk Tk1 Qm Pi1 Pi Pr Figura 210 Cobertura do subintervalo p1p pelos pontos de Qn 5 opcional Como ja foi demonstrado na propriedade 4 se fx é integravel em ab e c ab entao fx também é integravel em ac e c b Resta demonstrar a validade da formula Se existe uma partigéo P de ab tal que um dos seus pontos coincide com c entaéo as partes da mesma particgao representam particdes de ac e cb A integrabilidade de fx em todos os trés intervalos garante que na construcao de somas de Riemann podem ser usados quaisquer pontos Nesse caso escolhendo nas somas de Riemann S e si dos intervalos ac e c b os mesmos pontos usados na soma de Riemann S do intervalo ab temos S Sled gto nmt A mesma propriedade é valida para somas com indices kn k N Como lim S i fxdz lim Sled f fxdx e tim gil f fxdzx entaio tomando na relacéo Skn sed sil limite quando k 00 obtemos a formula desejada Caso nao existe uma particgao P de ab tal que um dos seus pontos coincide com c efetuamos a seguinte construcao semelhante a usada na propriedade 4 Notamos que a integrabilidade de fz em ab garante que fx é limitada nesse intervalo isto é existe constante B tal que fx B Fazemos uma partigao Q de ac com diametro A tal pequeno com m tal grande que sled glee Introduzimos a particgéo P de ab com diaémetro A boa que satisfaz as condigoes A Ae e A 3Blezay Sm 3pm quaisquer que forem e A sempre pode ser encontrado n bastante grande para satisfazer essas condigdes Dividimos a soma de Riemann S da particao P em duas partes a primeira S é aquela cujos subintervalos tem intersecao nao nula com ac ea segunda S é a parte restante n ru Obviamente a primeira tem os subintervalos pi1 pi 7 1r 1 contidos dentro de ac e somente o ultimo p1 p vai ter uma parte fora de ac veja Fig211 Consideremos agora a diferenga entre S e a soma de Riemann S da particéo Qm em a cl Para isso fixamos no momento um subintervalo q1 de Qm e notamos que alguns subinter valos p1 pi digamos k deles vao ficar em qj1 qj 08 dois no maximo vao ter uma parte em q1q a outra no subintervalo adjacente a esquerda em qj2q1 e a direita em q 41 e os restantes vao ficar fora de q1q Avaliamos separadamente a diferenga entre os termos de S que correspondem aos intervalos que ficam dentro de qj1q mais um intervalo a di reita e o termo imnico da soma S que corresponde ao intervalo lqj19 Para nao confun dir as denotacoes dos pontos de P com a particaéo completa denotamos temporariamente es ses intervalos de x 21 ve1 2 dentro de qj1q e r41 na fronteira direita de gj19 Veja Fig212 O valor da fungao fx no intervalo q1q na soma S denotamos como usual por fx enquanto os valores em x12 i 14 1 denotamos tempora riamente por gx Obtemos entao a seguinte avaliagéo Shy mAn gr1An fy An Diag fiAn 9n41An fj o Y1 fi G r wh lan FAn grzil An fil 0 451 fil qj ee DEAF An gesal 21f5 On Fj m 3Bn Integral definida propriedades elementares 21 Desfixamos agora j e somamos avaliagdes para todas os subintervalos g1 qj S S4 Ti F i Am DIL BBA Fn Sl 3BAym ee 2e De maneira andloga podemos mostrar que S ster 2e onde go é a soma de Riemann no intervalo c b Logo Sn Shel S S Sh Su SP 1S SH Su SP de Devido a arbitrariedade de 0 na Ultima desigualdade isso significa que lim S Sled sie 0 Finalmente usando a integrabilidade de fx em cada um dos intervalos concluimos que J flxde f fwdx fade 0 aPoP1P2P3P4 vee DPrPr Dn1Prb aqo ql q2 dm1 ImC b Figura 211 Relagao entre partigoes P e Qm E120 21 se LI1 I om Lk1 Lk Lk1 Pr qj1 qd Qm Figura 212 Cobertura do subintervalo g1 q pelos pontos de P 6 opcional Primeiro provamos que fx integravel em ab Para isso mostramos a parte principal primeiro passo do Teorema da existéncia Notamos que em qualquer intervalo é valida a desigualdade sup f inf sup f inf f o mesmo é valido para maximos e minimos Entao para qualquer partigao P 6 valida a seguinte avaliagao 0 Sf Sf oa Vall fl 8 URafiL SnfSnf Como fx integravel entao lim Sf3f 0 Logo do teorema do confronto segue que lim Sf Sf 0 Portanto a funcao fx é integravel em a Usando o primeiro resultado vamos mostrar que f2 também é integrdvel em ab Nota mos que devido a positividade de fx entre infimos e supremos de fx e fx fx existe a segunte relacéo inffx inf fx e supfx sup fx o mesmo é va lido para minimos e maximos Além disso da integrabilidade de fx segue a sua limitagao fx M em ab Entao para qualquer particao P é valida a seguinte avaliacao 0 Sf Sf via 7 f visi 1 f1 visi 71 fl IF fl S ia Ife Ll 2M 2M SnflSnlfl Como fa 6 integravel entao a a 2 2 im S1fI 5f Logo do teorema do confronto segue que tin Sif Sf 0 Portanto a funcao fx é integravel em a D Observagao 2 A reciproca das duas afirmagdes da propriedade 5 nao é valida O mesmo ayy J 1xEQ exemplo pode servir para as duas operagées a funcao fx Dx 121RO fungao modificada de Dirichlet nao é integraével no intervalo 01 pelas mesmas razOes que a propria funcao de Dirichlet considerada na secdo 24 mas a funcao fx fx 1 é integravel 7 Representamos fxgx na forma 4fxgx fx 9x fz ga Da integrabi lidade de fx e gx segue a integrabilidade de fx gx e fx gx propriedades 2 e 3 Da integrabilidade das duas ttlimas segue a integrabilidade dos seus quadrados propriedade 5 Fi nalmente a integrabilidade dos quadrados garante a integrabilidade da sua diferenga propriedades 2 e 3 o que mostra a integrabilidade de fxgz Observagdo 3 A reciproca da propriedade 6 nao é valida basta tomar as fung6es nao integraveis fx gx Dx cujo produto fxga 1 é integravel Mesmo quando todas trés fungdes 22 Integral definida fx gx e fxgx sao integraveis nao existe a igualdade entre integral do produto e produto das integrais Por exemplo para fx x e gx sgnx em 11 temos f rdx f sgnadr 000 mas f1asgnadz f xdx fxdx fy dv 41 32 Propriedades de comparagao 1 Se fx é integravel e fx 0 em ab entao f fxdx 0 2 Se fx e gx so integravies e fx gx em ab entao f fadx f gada 3 Se fx é integravel em ab entéo mb a f fxdx Mba onde me M sao cotas inferior e supeior de fx em a b 4 Se fx é continua em ab entao finba f fxdx fuba onde fim e fry sio minimo e maximo de fa em a 5 Se fa é integravel em a b entao é valida a seguinte desigualdade Ie f xde fada 6 Se fx é continua e nao muda sinal em a b e se existe um ponto c ab tal que fc 0 entao f fxdx 0 Demonstracao Entre as primeiras quatro propriedades a propriedade 1 é a principal embora simples e as demais sao consequéncias dela 1 Para qualquer particgéo P temos a seguinte avaliagaéo das somas de Riemann independente da escolha dos pontos S boa 3 f 0 Entao pelas propriedades de limites fadr lim 5S 0 n00 2 Consideremos a fungao hx fx gx Como fx e gx sao integravies entao pela propriedade aritmética ha também é intergavel e hadx f fxdx f gxdx Além disso hx 0 em ab e da propriedade 1 segue que hxdx 0 Logo f fxdx f gxdx 0 0 que comprova a desigualdade enunciada 3 Como fx é integravel em a b entao ela é limitada em a b e denotamos suas cotas inferior e superior por me M m fx M Vx ab Logo da propriedade 2 com gx m e da propriedade aritmética 1 segue que f fxdxz f mdz mb a e da mesma maneira In fadx J Mdx Mba 4 Como fz é continua em a b entaéo ela atinge seus minimo f e maximo fi nesse intervalo de acordo com o teorema de Weierstrass Entaéo estamos nas condigdes da propriedade 3 com m fneM fm Observagao 1 A reciproca na desigualdade da propriedade 1 nao é valida isto é a desigualdade f fxdx 0 nao garante que fx 0 em ab Considere por exemplo a funcgdo fr Hz em 1 1 cuja integral é facil de calcular Hx 5 dx fi Hade ft gdv 13 5 Da mesma maneira a desigualdade na propriedade 2 nao é reversivel 5 A integrabilidade de fa j4 foi provada nas propriedades aritméticas Agora vamos mostrar a desigualdade da propriedade Como fx fx fx entaéo estamos nas condigoes da propriedade 2 e portanto a desigualdade entre fungdes pode ser transferida para as integrais ffxldx f fadx ffxdx Resta observar que a ultima desigualdade equivale a Ie Fader J f de 6 Das condigdes da propriedade segue que fx 0 em ab Notamos que caso c coincide com uma das extremidades de ab entaéo existem pontos dentro de ab onde fa é positiva caso contrario fx nao fosse continua Portanto vamos supor desde inicio que c ab e denotamos fc A 0 Entao devido a continuidade existe um intervalo c dc d C ab onde fz 4 Aplicando a propriedade aritmética 5 temos entao fo fwdx fo fx dx Sod Fade fo4 fzdx Como fx 0 em ab a primeira e terceira integrais sao nao negativas pela propriedade 1 de comparacao e como fx 4 em c dc d para a segunda integral temos 04 fxdx 42d 0 Entao conclufmos que f fxdx 0 Integral definida propriedades elementares 23 Observagao 2 Todas as condigdes da propriedade 6 sao importantes Se omitimos a condigéo que fc 0 em algum ponto do intervalo ento a fungao fx 0 em ab vai dar fxdx 0 Se omitimos a condicao do sinal entao fa x em 11 vai dar f fxdr 0 e a mesma fx x em 31 vai dar f fxdx 4 Finalmente sem a condicao de continuidade podemos usar a fungao H2 no intervalo 10 Ha néo muda sinal Hx 0 em qualquer intervalo e H0 1 mas mesmo assim Haxdx 0 Observagao 3 Uma afirmagao reciproca a propriedade 6 é a seguinte se fx é continua e nao muda sinal em ab e se f fxdx 0 entéo fx 0 em ab Ela mostra quantas condigdes sao necessdrias para passar a igualdade a 0 da integral para fungao obviamente basta a condicao fz 0 em ab para garantir que iM fxdx 0 Demonstrar em casa 33 Relacao entre a area e a integral definida Consideremos uma fungao fx integravel de Riemann em a a figura respectiva compreen dida entre as retas x a x b y0 0 grafico de fz Como ja tinhamos visto 0 conceito da area é 0 caso particular da integral de Riemann quando fz 0 em ab Portanto a 4rea A é simplesmete integral de Riemann A f fxdz Se fz 0 em ab entao fx 0 em ab A figura limitada por fx que fica acima do eixo Og é a reflexdo simétrica em relagao a Ox da figura limitada por fx Logo as duas areas sio iguais Para Area de fx temos Af ffxdz e de acordo com as propriedades da integral fxda f fxdx Portanto a drea A 6 integral de Riemann de fx com sinal oposto ou integral de Riemann de fx A Af ffxdx f fxdz Vamos considerar agora a situacao quando fx 0 em ac e fx 0 em cd Entao a figura se divide naturalmente em duas partes abaixo de Oz em ac e acima de Ox em c b veja Fig213 Na parte negativa consideramos fz e na positiva a propria fx isto é consideramos fx em ab As areas das figuras limitadas por fx e fx sao iguais e portanto A Af f fxdx lembramos que a integrabilidade de fx em ab garante a integrabilidade de fx nesse intervalo Notamos que a integral f da nao tem relagao direta com f fdx no sentido que sabendo a segunda nao tem como saber a primeira e viceversa Para expressar a area A em termos de fa lembramos que a integrabilidade de fa em a b implica em integrabilidade de fz em a c e c 6 e o mesmo é vadlido para fx Portanto podemos dividir a integral e a area em duas partes A fadx AjaqtAjes S fx deJ fadx fofxdxf fadx i flada fe fade y f 2 x a c b x Figura 213 Relagao entre area e integral de Riemann Finalmente se fz muda sinal varias vezes em ab entéo generalizando a consideragéo an 24 Integral definida terior consideramos a figura com a mesma drea determinada por fx Usando a integral de Riemann para a ultima temos A Af fxdx Para poder abrir o médulo temos que especificar os intervalos onde fa é positiva e onde ela é negativa Entaéo dividimos a integral em ab em integrais pelos subintervalos com sinal determinado de fx e tomamos as integrais de partes positivas com sinal positivo e as integrais de partes negativas com sinal negativo 34 Teorema do valor médio para integrais Teorema do valor médio Se fx é continua em ab entéo existe c ab tal que f flade feba Demonstragao Como fx é continua em a b ela atinge seus minimo f e maximo fiy nesse intervalo Entao pela propriedade 4 de comparacio fimba f fadx fysb a ou equivalentemente fin f fxdx fi o que mostra que o ntimero A f fxdx pertence ao intervalo fm fiz Aplicando agora a propriedade do valor intermediario de uma funcao continua concluimos que existe ponto c ab tal que fc A Multiplicando a Ultima relagao por b a encontramos fxdx fcba Observagao Se fa 0 em ab esse resultado tem a interpretacgéo geométrica simples sob as condigées do teorema existe ponto c ab tal que a area da figura abaixo de fx é igual a area do retaéngulo com base ab e altura fc veja Fig214 y fx fe ON a c b Figura 214 Retangulo da area igual no teorema do valor médio Este resultado pode ser generalizado a seguinte forma Teorema geral do valor médio Se fx e gx séo continuas em ab e gx mantém o mesmo sinal gx 0 em ab ou gx 0 em a b entio existe c a b tal que fxgxdx fle Ie gadx Demonstracao opcional Essa demonstracao segua a mesma linha do Teorema anterior Vamos descartar desde inicio a situacao trivial quando gz 0 em ab Para precisar consideragaéo vamos supor que gx 0 em ab Notamos que quando gx nao é identicamente nula entao ih gxdx 0 conforme propriedade 6 de comparacao e Observagao a essa propriedade Primeiro a continuidade de fa em ab garante que ela atinge seus minimo f e maximo fi nesse intervalo Como gx 0 em ab entao a desigualdade f fx fi implica na seguinte desigualdade fingx fxgx figx valida em ab Logo pela propriedade 4 de comparagao fin gxdx f faxgxdx fur f gxdx A mesma podemos reescrever na Integral definida propriedades elementares 25 J fgde forma fy A cyte fu 0 que mostra que o nimero A pertence ao intervalo fin fiv ag ghudx Aplicando agora a propriedade do valor intermedidrio de uma fungéo continua concluimos que existe ponto c ab tal que fc A Multiplicando a tltima relacao por gxdx encontramos o resultado enunciado 35 Extensao da integral para limites de integracao nao convencionais Estendemos o conceito da integral de Riemann no intervalo ab para os casos quando b a e ba Definigao Se b a entao f fxdr 0 Se b a entao f fxdx ff fxdz Notamos que as propriedades aritméticas continuam sendo validas para os limites b aeba mas as de comparacao nao Mostrar em casa 4 Teorema fundamental do Calculo 41 Integral com limite superior variavel Consideremos uma fungao fx integravel em ab e tomamos qualquer x a b Entao existe integral f ftdt cujo valor depende de x Dessa maneira esté definida uma nova fungao gaz em a 6 Definigao Seja fx integravel em ab e x ab A fungao gx f ftdt x ab é chamada da integral com limite superior varidvel Consideremos alguns casos elementares com ajuda dos exemplos resolvidos nas segdes 21 e 22 Se fx 1 entao a sua integral com limite superior varidvel no intervalo 0b é gx Jo ldt a x x2 Se fx x entado a sua integral com limite superior variavel no intervalo 0 b 6 gx Jy tdt Nesses casos integral com limite superior varidvel é s6 uma forma alternativa de definir a fungao conhecida embora a forma tradicional explicita 6 mais conveniente Notamos duas propriedades ébvias da integral com limite superior varidvel se x a entao ga f ftdt 0e se x b entao gb f ftdt 42 Teorema fundamental parte 1 Teorema Se fx é continua em ab entao gz J ftdt é differencidvel em ab e gx fx Vx ab Demonstracao Vamos usar a definigao da derivada para demonstrar ao mesmo tempo a diferen ciabilidade de gx e a formula para a sua derivada Fixamos um ponto 29 em a b e consideramos incremento h bastante pequeno tal que x h fica em ab Entao ga esta definida nos pontos othgleo Oe rar f79 pepe LO Fat entre a 9 h e podemos considerar 0 quociente 5 0 fa Sa tg Como fx é continua em a b pelo teorema do valor médio existe ponto c entre xp e to h tal que peor ftdt fch Notamos que quando h 0 1 h 29 entao c xo Tomando agora limite quando h 0 na expressao do quociente obtemos gx9 lim aeohar0 lim Lor lim fc fa Como esse resultado é vadlido para qualquer x em ab entaéo gx fx Va a 0 43 Teorema fundamental parte 2 Teorema Se fx é continua em ab entao ftdt Fb Fa onde Fx é uma das antiderivadas de fa em a 26 Integral definida Demonstragao Na parte 1 do Teorema fundamental foi estabelecido que gx J ftdt é uma das antiderivadas de fx em ab Lembrando que ga f ftdt 0 e gb f ftdt temos imediatamente que para essa antiderivada ftdt gb ga Como uma antiderivada arbitraria Fx esta ligada com gx pela formula Fx gx C onde C é uma constante entao In ftdt gb ga Fb C Fa C Fb Fa Observagado 1 O Teorema fundamental é formulado para funcdes continuas mas a formula principal f ftdt Fb Fa onde Fx é uma das antiderivadas de fx em ab ainda é valida sob as condigdes mais fracas Uma das opcodes do resultado mais forte é a seguinte Vamos supor que fx é integravel de Riemann e de integral indefinida em ab com antiderivada Fx Entao Fx satisfaz as condigdes do teorema de Lagrange em ab ela é derivavel em a b e portanto para qualquer particao P aplicando a formula do teorema de Lagrange em cada subintervalo 212 obtemos Fb Fa Fa1 Fxo F2 Fa1 Fa Paj1 F tn1 F tn2 F On Fn1 Ui Fi F aia Ch Fi 1 j1 Dy f 6 ti 11 DLy F Gi A onde aj1a A 2 ai1 Notamos que a ultima soma é a soma de Riemann S de fx em ab com escolha dos pontos para avaliagao dos valores da fungéo Como fx é integravel de Riemann em ab 0 limite de S existe e é igual a pe fxdx independente da escolha dos pontos Logo tomando limite na ultima relagaéo temos Fb Fa lim 8 fEJA I Feder Observagao 2 O Teorema fundamental parte 2 oferece condigdes importantes mas suficientes da validade do resultado Pode acontecer como no caso de fx sgna em 11 que fx nao é continua em ab e a formula da parte 2 nao é valida porque fx simplesmente nao possui antiderivada mas fa ainda é integravel em ab com cadlculo elementar da integral definida Pode acontecer também que fx possui antiderivada em ab mas a férmula da parte 2 nao é valida porque fx nao é integravel de Riemann em ab Um exemplo dessa situagao é fr 1 2 1 ar p08 gr TO no intervalo 1 1 onde a fungao nao é limitada veja este exemplo elaborado com detalhes na segéo 24 Finalmente pode acontecer que fx nao é continua em a b mas ela tem antiderivada em a b e a formula da parte 2 é valida Um exemplo dessa situagao ly é fx Oe eT sing TAO no intervalo 11 Essa fungao nao é continua mas possui integral indefinida veja segao 13 da integral indefinida para detalhes e ao mesmo tempo ela é integravel de Riemann em 1 1 porque é limitada e tem somente um ponto de descontinuidade na origem Portanto de acordo com Observagao 1 a formula principal é valida Observacado 3 Teorema fundamental possibilita demonstrar que qualquer fungao continua em a b possui integral indefinida nesse intervalo Realmente se fx é continua em a b entaéo de acordo com a parte 1 existe sua antiderivada em ab na forma da integral com limite superior varidvel gx J ftdt Logo existe a integral indefinida Observagao 4 Uma das notagdes comuns da diferenga Fb Fa no contexto da integral definida é Fb Fa Fx Portanto a formula do Teorema fundamental muitas vezes se escreve como f ftdt Fx Observagao 5 De maneira semelhante pode ser introduzida a integral com limite inferior varidvel e usada para demonstrar o Teorema fundamental do Calculo Realizar em casa 5 Métodos de integracao Embora alguns exemplos elementares de calculo da integral definida via definigao ja foram resol vidos mas mesmo para fungdes bem simples esse caminho é bastante trabalhoso e as dificuldades aumentam enormemente com pequenas complicagées nas fungdes até o ponto quando praticamente a definigao nao serve mais Portanto precisamos de métodos de integragao mais simples e praticos O Teorema fundamental abre caminho para elaboracaéo e aplicacao de tais técnicas Integral definida propriedades elementares 27 De acordo com o Teorema fundamental o calculo da integral definida de fungoes continuas pode ser reduzido ao encontro de uma das antiderivadas ou integral indefinida e sua avaliacao nos limites de integracao Portanto a maioria absoluta dos métodos de integracdéo da integral definida representam adaptacao de métodos respectivos para integral indefinida Por causa disso representamos abaixo a formulacgao e demonstracao dos dois métodos gerais e depois ilustramos técnicas de integracao para varias classes de fungdes usando diferentes exemplos 51 Mudanga de variavel Para comparagao vamos lembrar o teorema sobre mudanga de varidvel na integral indefinida Teorema mudanga de variavel na integral indefinida Se funcgao y fx é derivavel em ab e tem imagem cd e se fungao gy é integravel em cd entao gfxfx é integravel em ab e é valida a seguinte formula f gfx fadx J gydy A formulagéo para integral definida é a seguinte Teorema mudanga de varidvel na integral definida Se fungao fx é derivavel continu amente em ab e tem imagem cd onde fa c e fb d e fungao gy é continua em c d entao J gfx fadx JE gydy Demonstracao Primeiro a existéncia das integrais nos dois lados da férmula e aplicabilidade do Teorema fundamental 4 essas duas integrais é garantida pela continuidade dos dois integrandos Passamos a verificagaéo da igualdade Denotamos Gy uma das antiderivadas de gy em c d Entao pela regra da cadeia Gfxx Gyy fe 9y fe gf 2 F Va a 8 o que significa que Gfx é a antiderivada de gfxfx em ab Logo aplicando o Teorema Fundamental parte 2 e levando em conta que fa ce fb d obtemos f gydy Gy Gd Gc GFb GF GF a St gfafwda donde segue a formula do teorema Observacao A mudanga de varidvel na integral definida pode ser feita de duas maneiras equiva lentes Primeiro a aplicagéo da regra pode ser feita na forma da integral indefinida com posterior substituigao de limites de integracao os originais se foi realizada a volta para varidvel original ou os novos se foi mantida a nova varidvel e os limites foram recalculados adequadamente Nesse caso utilizamos a formula f gfxfadx f gydy encontramos uma antiderivada de gy S gydy Gy C e calculamos o resultado final na forma f gfx fxdx Gd Gc ou J ofx fadx Gfa Gfb Segundo todo o procedimento pode ser realizado em termos da integral definida Entao temos gfxfadx f gydy Gd Gc ou no lugar de Gd Gc usamos Gfa Gf no ultimo caso nao ha necessidade de recalcular os limites de integracaéo em termos da nova varidvel 52 Integragao por partes Para comparagao vamos lembrar o teorema da integragaéo por partes na integral indefinida Teorema integragéo por partes na integral indefinida Supomos que fungdes fx e gx sao derivaveis em ab Se fungao fxgx é integravel em ab entao fxgx também é integravel em ab e é valida a seguinte formula f fxgxdx fxgx f fxgadz A formulagéo para integral definida é a seguinte Teorema integragao por partes na integral definida Se fungdes fx e gx sao derivaveis continuamente em ab entao f fxgxdx fxgxo f fx gx de Demonstracao Primeiro a existéncia das integrais nos dois lados da férmula e aplicabilidade do Teorema fundamental 4 essas duas integrais é garantida pela continuidade dos dois integrandos Passamos a verificagao da igualdade A regra da derivada do produto diz que fxgx fxgx fxgx Ve ab Todas as fungoes nessa igualdade sao continuas e portanto integraveis em a b Além disso fxgx é antiderivada de fxgx Logo aplicando o Teorema 28 Integral definida fundamental parte 2 ao lado esquerdo e propriedade da soma das integrais para o lado direito obtemos fxgxdax fxgx Sf fx gada f fxgxdx donde segue a formula do teorema Observacao A integracéo por partes na integral definida pode ser feita de duas maneiras equi valentes Primeiro a aplicacéo da regra pode ser feita na forma da integral indefinida com pos terior substituigao de limites de integracao Nesse caso utilizamos a formula f fxgxdx fxgx f fxgxdz encontramos uma antiderivada da ultima integral e depois substituimos os limites de integracao Segundo todo o procedimento pode ser realizado em termos da integral definida EntAo aplicamos direto a formula f fxgadx fxgxo f fwgadz 53 Exemplos para dois métodos gerais e varias técnicas especificas Nos primeiros dois exemplos vamos usar aplicagao das técnicas de integragéo tanto em termos da integral indefinida como em termos da definida Posteriormente vamos usar preferencialmente o procedimento em integral definida Nao vamos verificar cada vez as condicgdes dos resultados usados Teorema fundamental do calculo Teorema de mudanga de varidvel e Teorema de integracaéo por partes Em todos os exemplos abaixo essas condigoes estado satisfeitas Deixamos ao leitor conferir isso 1 So x arctan xdx Aplicacao dos métodos de integracgéo em termos da integral definida pode ser feita da seguinte maneira Efetuamos integracaéo por partes para eliminar arctan x no integrando e levar a integral original a integral de uma fungao racional ajustamos a forma do integrando para nao aplicar o procedimento geral de fungoes racionais e calculamos a integral usando resultados da ta 2 2 2 bela fo xarctanadr 5 arctan a fo Sphede 5435 Jo Gide 5 x arctan zr p T 1 T 1 390 43 De modo equivalente podemos usar os métodos de integragao para integral indefinida e depois substituir os limites da integracaéo nas antiderivadas encontradas Entao primeiro encontramos faarctanzdx Naturalmente seguimos as mesmas idéias ajustando transformacgoes para inte gral indefinida Efetuamos integragéo por partes para eliminar arctan x no integrando e levar a integral original 4 integral de uma fungao racional ajustamos a forma do integrando para nao aplicar o procedimento geral de fung6es racionais e calculamos a integral usando resultados da 2 2 2 2 2 tabela faxarctanrdr 7 arctanx f Sha dar FS arctanr sf eda Farctanr 5 a arctanz C Fx C Sabendo a antiderivada Fx encontramos a integral defi nida substituindo os valores dos limites z 0 e 2 1 em Fx fj varctanrdr Fxh T 1 T 1 37 930F07 2 fo cos V2xdx Aplicacao dos métodos de integragao em termos da integral definida pode ser feita da seguinte manecira Efetuamos a mudanga de varidvel t 2x 2x t 2dx 2tdt x07t02 me t 7 com posterior integracéo por partes para zerar o grau do polindmio fer cos V2xdx fy cost tdt sint t fy sintdt 0 costj 2 De modo equivalente podemos usar os métodos de integragao para integral indefinida e depois substituir os limites da integracaéo nas antiderivadas encontradas Entao primeiro encontramos cos V2xdx Naturalmente usamos as mesmas duas transformacgdes com ajuste adequado para integral indefinida Efetuamos a mudanga de varidvel t V2 2x t 2dx 2tdt com posterior integracao por partes para zerar o grau do polinémio f cos 2rdx f costtdt sinttf sin tdt tsint cost C Gt C Sabendo a antiderivada Gt encontramos a integral definida 2 substituindo os valores de limites respectivos x 0 t0 4 4 t 7 em Git er cos V2rdx Gt 0 2 2 Se nao queremos calcular os novos limites de integragao entao podemos voltar a varidvel original Gt tsint cost V 2a sin V2x cos V2 GV2z Integral definida propriedades elementares 29 e substituir agora os limites originais er cos 2ardr G2x 022 3 So Ao tod cl Usamos o procedimento padrao da integracao de fungdes racionais separa mos parte inteira e propria representamos a ultima em fracgdes simples e integramos cada termo separadamente usando resultados da tabela fj fo etd dy fo 2 on dx 2z Jo Ag sda de 84 Inw 3 In2x 1 8 n 7In3 In90 8 In72In3 4 fer x4 9x2dx O jeito mais simples de resolver essa integral 6 notando que d4 9x 18xrdx separando uma poténcia de x para juntar com dz e efetuar a mudanca y 4 92 dy 18rdt x O Sy 44 2 y 0 e V4 9x2dx So S Vu4ay wa Jo 4y y9dy aay 44 Se b a G48 34 a FB ar Pode ser usado também o método tradicional da substituicgao trigonométrica 3x2 2 sin t 4 9a 2cost 3dx 2costdt x O t02 3 t 5 com posterior mudanga y cost dy sintdtt O7y1t 7 y0 eP V4 922dx Io sin t 2cost 2costdt Rea cos t cos t sin tdt 22 1 yydy 5 e j 2 3 3 sh 5 Irs ade Usando férmulas trigonométricas transformamos a integral 4 forma onde uma fungao é derivada da outra que fica no numerador e efetuamos a mudanga respectiva de varidvel na forma implicita para efetuar integracao iy adr iy Ten Bow Eat iy me et cos 2008 3 pre alien In tan 3 IP 3 Intan Intan In1 In J5 In V3 6 dv Usamos integragao por partes para eliminar o polindmio e transformar a fungao trigonométrica em cotangente o que permite separar poténcia impar de cosx no numerador e ane 72 n2 n2 aplicar a mudanga correspondente sinx frjq ggdv xcotx4 fej cotadr 104 Sta Sie 2 Kap t 74 Mntlig Fine F n v2 7 fn da Usamos a substituicao tradicional t x 1 x t1 dr 2tdt r 5 3 t 2 x 10 t 3 e obtemos integrais da tabela f Fada f C4 tat 2 ae t 3 2 4243222 9 8 So Tee Usamos a substituigéo trigonométrica correspondente x 4tant V16 2 dx dt zx0t0241t 74 o que leva diretamente a integral da tabela 4 da pt A att pr A lay yit4 v2 Jo Wier sede fo Coy ig Jo costdt 7 sinto 35 54 Propriedades de classes especiais Propriedade de fung6es pares Se fx é continua e par em aa entéo f fxdx 2 I flwde Demonstragao Representamos a integral via soma f fxdv f fxdax JS fadx e usamos a mudanga de varidvel t x na primeira integral a direita para obter fr fadx fo ftdt Js f tdt Substituindo esse resultado na soma obtemos J fxdx Jo ftdt J fade 2 fe fade Propriedade de fung6es impares Se fx é continua e fmpar em aa entao f fdx0 Demonstragaéo Representamos a integral via soma f fxdx f fxdx Jf fadx e usamos a mudanga de varidvel t x na primeira integral a direita para obter fo fadx fo ftdt J ftdt Substituindo esse resultado na soma obtemos J fxdx fe f tdt Je flwde 0 Propriedade de fungdes periddicas Se fx é continua e periddica de periodo T em R entao fxdx fern fxda e fo fxdx f fxdx Em palavras se T 6 0 perfodo da funcao entao o intervalo de integracéo pode ser deslocado T unidades sem alteragdéo do valor da integral e a integral pelo qualquer intervalo do comprimento 7 dé o mesmo valor Demonstracao Para demonstrar a primeira formula fazemos a mudanga de varidvel t x T 30 Integral definida e obtemos ftp fadx f ft Tdt f ftdt Para demonstrar a segunda representamos a integral na forma da soma ane fxdx f a f xdx per fxdx Agora mudamos a varidvel t 2 T na segunda integral 477 fxdx Jo ft Tdt J ftdt e substituimos o resultado na soma f fxdx f7 fxdx Jf ftdt Jo fxda Observacao A propriedade de fungoes pares é pouco util porque o problema principal no calculo de integrais definidas é encontrar uma das antiderivadas A propriedade de funcdes impares é bem mais usada e pode até ajudar integrar fungoes no intervalo a a cuja antiderivada nao é expressa em termos de fungodes elementares como no caso da fungao fx 0 a z 0 Leitura adicional da integral definida Stewart J Calculo Vol1 traducdo da 7a edicao secao 51 conceito da area p326337 Exercicios p335336 N 3419222526 secao 52 conceito da integral definida propriedades da integral p337348 Exercicios p346348 N 2101718212327 definigao 4346 4748507172 aritméticas 51565759606166 comparacao secao 53 teorema fundamental do Calculo p350359 Exercicios p357358 N 258912161719293140414243 secao 55 substituigéo de varidvel p3872375 Exercicios p375 N 5963666869 secao 71 integracgao por partes p420424 Exercicios p423424 N 232629343740 secao 72 integragao de fungoes trigonométricas p425431 Exercicios p430 N 811124045 secao 73 substituigdes trigonométricas p431437 Exercicios p436 N 5671630 secao 74 integragao de fungoes racionais p438446 Exercicios p445 N 11123233 secao 75 estratégias de integracao p447452 Exercicios p451452 N 571017182330366669 6 End