Capítulo 6: Aplicações de Integrais Definidas - Momentos e Centros de Massa

Capítulo 6 Aplicações de integrais definidas 457 64 Momentos e centros de massa O movimento dessa chave inglesa deslizando no gelo parece errático até que percebemos que a chave está simplesmente girando em torno de seu centro de massa conforme o centro desliza em linha reta b Os planetas asteroides e cometas do nosso sistema solar giram em torno de seu centro de massa coletivo situado dentro do Sol Essa é a fórmula que usamos para determinar barx A massa da barra Equação 3b é M int010 delta x dx int010 left1 fracx10right dx 10 5 15 kg Momentos massa e centro de massa de uma placa fina que cobre uma região no plano xy Capítulo 6 Aplicações de integrais definidas 463 b A massa da placa M dm 0 x dx 3x² 3 g c A abscissa do centro de massa da placa x MyM 2 gcm 3 g 2 3 cm Por um cálculo similar podemos encontrar My e y MJM Método 2 faixas horizontais Figura 637 a O momento M y a ordenada do centro de massa de uma faixa horizontal típica é y e veja a figura portanto y y A abscissa é a abscissa do ponto médio através do triângulo Isso a torna a média de y2 o valor x da faixa à esquerda e x o valor x da faixa à direita x y2 1 4 y 2 4 Temos também comprimento 1 y² largura dx área dA 4 x² dx massa dm δ dA 2 y₂ 2 dy distância de cm ao eixo y y y 2 2 y₂ 2 4 O momento da faixa em torno do eixo y é xdm y 2 2 y 4 2 4 x² dy O momento da placa em torno do eixo x é M y y dm 2 3 8 2 4 x² dx 8 2 3 8 16 3 2 gcm b A massa da placa M dm 3 2 2 2 y dy 2 3 4 2 3 g c A abscissa do centro de massa da placa x MyM 2gcm 3g 2 3 cm Por um cálculo similar poderíamos determinar Me e y Se a distribuição de massa em uma placa fina e plana tiver um eixo de simetria o centro de massa vai situarse nesse eixo Se existirem dois eixos o centro de massa vai situarse na sua interseção Esses fatos geralmente ajudam a simplificar nosso trabalho EXEMPLO 4 Placa de densidade constante Determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que cobre a região limitada superiormente pela parábola y 4 x² e inferiormente pelo eixo x Figura 638 SOLUÇÃO Como a placa é simétrica em torno do eixo y e sua densidade é constante a distribuição de massa é simétrica em torno do eixo y e o centro de massa situase no eixo x Assim x 0 Falta então determinar y M y M Uma tentativa de cálculo com faixas horizontais Figura 638a leva a uma integração inconveniente M s 0 4 28y 4 y dy Modelamos portanto a distribuição de massa com faixas verticais Figura 638b A faixa vertical típica tem centro de massa cm x y x y comprimento 4 x² largura dx área dA 4 x² dx massa dm δ dA δ4 x² dx distância entre o cm e o eixo x ŷ 4 x² 2 O momento da faixa em torno do eixo x é M y y dm 2 2 2 4 x² dx 8 2 2 8 2 32 8 A massa da placa é M dm 2 2 δ4 x² dx 2 2 8x² 2x³ dx 24x² x² 323 Portanto y M y M 25615 8 5 8 5 O centro de massa da placa é o ponto x y 0 5 8 EXEMPLO 5 Placa de densidade variável Determine o centro de massa da placa do Exemplo 4 se a densidade no ponto x y for δ 2x² duas vezes o quadrado da distância do ponto para o eixo y SOLUÇÃO A distribuição de massa é ainda simétrica em torno do eixo y portanto x 0 Com δ 2x² as equações 7 e 8 tornamse M s y² dm 2 2 4 x²² dx 2 2 16x² 8x² x⁴ dx 25615 A massa da placa é M dm 2 2 δ4 x² dx 2 2 8x² 2x⁴ dx 2 2 Portanto y M y M 2048 15 256 8 5 O novo centro de massa da placa é x y 0 8 7 A região limitada pela curva y 1x² inferiormente pela curva y 1x² e às retas x 1 e x a 1 Determine também limx1 x A região entre a curva y 12x e o eixo x de x 14 a x 4 girada em torno do eixo y gerando um sólido