Cálculo Volume I - Tradução da 7a Edição Norteamericana

C ÁLCULO V O LU ME I Tr a d u ç ã o d a 7 a e d i ç ã o n o r t e a m e r i c ana JA MES STEWART McMaster University e University of Toronto Tradução EZ2Translate Revisão técnica Eduardo Garibaldi Professor Doutor da Universidade Estadual de Campinas Unicamp Austrália Brasil Japão Coreia México Cingapura Espanha Reino Unido Estados Unidos Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page III Cálculo Volume I Tradução da 7a edição norteamericana Versão métrica internacional James Stewart Gerente Editorial Patricia La Rosa Supervisora Editorial Noelma Brocanelli Supervisora de Produção Gráfica Fabiana Alencar Albuquerque Editora de Desenvolvimento Gisela Carnicelli Título Original Calculus Early transcendentals ISBN13 9780538498876 ISBN10 0538498870 Tradução EZ2Translate Tradução técnica da 6a edição Antonio Carlos Moretti e Antonio Carlos Gilli Martins Revisão Técnica Eduardo Garibaldi Cotejo e revisão Monalisa Neves Cristiane Morinaga e Mônica Aguiar Editora de direitos de aquisição e iconografia Vivian Rosa Diagramação Cia Editorial e Celina Hida Capa Sergio Bergocce 2012 2008 BrooksCole parte da Cengage Learning 2014 Cengage Learning Edições Ltda Todos os direitos reservados Nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão por escrito da Editora Aos infratores aplicamse as sanções previstas nos artigos 102 104 106 e 107 da Lei no 9610 de 19 de fevereiro de 1998 Para informações sobre nossos produtos entre em contato pelo telefone 0800 11 19 39 Para permissão de uso de material desta obra envie seu pedido para direitosautoraiscengagecom 2014 Cengage Learning Todos os direitos reservados ISBN13 9788522112586 ISBN10 8522112584 Cengage Learning Condomínio EBusiness Park Rua Werner Siemens 111 Prédio 20 Espaço 04 Lapa de Baixo CEP 05069900 São Paulo SP Tel 11 36659900 Fax 11 36659901 SAC 0800 11 19 39 Para suas soluções de curso e aprendizado visite wwwcengagecombr Impresso no Brasil Printed in Brazil 1 2 3 4 5 6 7 16 15 14 13 Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page IV isbn 13 9788522114610 isbn 10 8522114617 Sumário Prefácio IX Testes de Verificação XXI UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULO 1 Funções e Modelos 9 11 Quatro Maneiras de Representar uma Função 10 12 Modelos Matemáticos Uma Lista de Funções Essenciais 22 13 Novas Funções a Partir de Conhecidas 34 14 Calculadoras Gráficas e Computadores 42 15 Funções Exponenciais 48 16 Funções Inversas e Logaritmos 55 Revisão 66 Princípios da Resolução de Problemas 69 Limites e Derivadas 75 21 Os problemas da Tangente e da Velocidade 76 22 O Limite de uma Função 80 23 Cálculos Usando Propriedades dos Limites 91 24 A Definição Precisa de um Limite 100 25 Continuidade 109 26 Limites no Infinito Assíntotas Horizontais 119 27 Derivadas e Taxas de Variação 131 Projeto Escrito Métodos Iniciais para Encontrar Tangentes 139 28 A Derivada como uma Função 140 Revisão 150 Problemas Quentes 154 Regras de Derivação 157 31 Derivadas de Funções Polinomiais e Exponenciais 158 Projeto Aplicado Construindo uma MontanhaRussa Melhor 166 32 As Regras do Produto e do Quociente 167 33 Derivadas de Funções Trigonométricas 173 34 A Regra da Cadeia 179 Projeto Aplicado Onde um Piloto Deve Iniciar a Descida 188 35 Derivação Implícita 188 Projeto Aplicado Famílias de Curvas Implícitas 196 36 Derivadas de Funções Logarítmicas 196 3 2 1 Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page V VI CÁLCULO 37 Taxas de Variação nas Ciências Naturais e Sociais 201 38 Crescimento e Decaimento Exponenciais 213 39 Taxas Relacionadas 220 310 Aproximações Lineares e Diferenciais 226 Projeto Aplicado Polinômios de Taylor 231 311 Funções Hiperbólicas 232 Revisão 238 Problemas Quentes 241 Aplicações de Derivação 247 41 Valores Máximo e Mínimo 248 Projeto Aplicado O Cálculo do ArcosÍris 256 42 O Teorema do Valor Médio 257 43 Como as Derivadas Afetam a Forma de um Gráfico 262 44 Formas Indeterminadas e Regra de lHôspital 272 Projeto Escrito As Origens da Regra de lHôspital 280 45 Resumo do Esboço de Curvas 280 46 Representação Gráfica com Cálculo e Calculadoras 287 47 Problemas de Otimização 294 Projeto Aplicado A Forma de uma Lata 304 48 Método de Newton 305 49 Primitivas 310 Revisão 317 Problemas Quentes 320 Integrais 325 51 Áreas e Distâncias 326 52 A Integral Definida 337 Projeto de Descoberta Funções Área 349 53 O Teorema Fundamental do Cálculo 350 54 Integrais Indefinidas e o Teorema da Variação Total 360 Projeto Escrito Newton Leibniz e a Invenção do Cálculo 368 55 A Regra da Substituição 369 Revisão 376 Problemas Quentes 379 Aplicações de Integração 381 61 Áreas entre as Curvas 382 Projeto Aplicado O Índice de Gini 388 62 Volumes 389 63 Volumes por Cascas Cilíndricas 399 64 Trabalho 404 65 Valor Médio de uma Função 409 Projeto Aplicado Cálculos e Beisebol 412 Projeto Aplicado Onde Sentarse no Cinema 413 Revisão 413 Problemas Quentes 415 6 5 4 Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page VI SUMÁRIO VII Técnicas de Integração 419 71 Integração por Partes 420 72 Integrais Trigonométricas 425 73 Substituição Trigonométrica 431 74 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 438 75 Estratégias para Integração 447 76 Integração Usando Tabelas e Sistemas de Computação Algébrica 452 Projeto de Descoberta Padrões em Integrais 457 77 Integração Aproximada 458 78 Integrais Impróprias 470 Revisão 479 Problemas Quentes 483 Mais Aplicações de Integração 487 81 Comprimento de Arco 488 Projeto de Descoberta Torneio de Comprimento de Arcos 494 82 Área de uma Superfície de Revolução 495 Projeto de Descoberta Rotação em Torno de uma Reta Inclinada 500 83 Aplicações à Física e à Engenharia 501 Projeto de Descoberta Xícaras de Café Complementares 510 84 Aplicações à Economia e à Biologia 511 85 Probabilidade 515 Revisão 521 Problemas Quentes 523 Apêndices A1 A Números Desigualdades e Valores Absolutos A2 B Geometria Analítica e Retas A9 C Gráficos de Equações de Segundo Grau A14 D Trigonometria A21 E Notação de Somatória ou Notação Sigma A30 F Demonstração dos Teoremas A35 G O Logaritmo Definido como uma Integral A44 H Números Complexos A51 I Respostas para os Exercícios Ímpares A58 Índice Remissivo I1 Volume II Capítulo 9 Equações Diferenciais Capítulo 10 Equações Paramétricas e Coordenadas Polares Capítulo 11 Sequências e Séries Infinitas Capítulo 12 Vetores e a Geometria do Espaço Capítulo 13 Funções Vetoriais Capítulo 14 Derivadas Parciais Capítulo 15 Integrais Múltiplas Capítulo 16 Cálculo Vetorial Capítulo 17 Equações Diferenciais de Segunda Ordem 7 8 Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page VII Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page VIII Esta edição difere da original de Cálculo sétima edição em vários aspectos As unidades utilizadas em quase todos os exemplos e exercícios foram alteradas de unida des habituais dos EUA para unidades métricas Há um pequeno número de exceções em algu mas aplicações de engenharia principalmente na Seção 83 pode ser útil alguns engenheiros familiarizaremse com unidades norteamericanas E eu quis manter alguns exercícios por exem plo aqueles envolvendo beisebol nos quais seria inapropriado o uso de unidades métricas Alterei os exemplos e exercícios envolvendo dados reais para que eles passassem a ter abrangência internacional de modo que a grande maioria agora vem de outros países além dos Estados Unidos Por exemplo agora há exercícios e exemplos referentes a tarifas postais em Hong Kong dívida pública canadense índices de desemprego na Austrália horas de luz do dia em Ancara na Turquia isotermas na China porcentagem da população na zona rural da Argentina populações da Malásia Indonésia México e Índia consumo de energia em Ontá rio entre muitos outros Além de modificar os exercícios para que as unidades sejam métricas e os dados tenham abrangência internacional uma série de outros também foi modificada o que resulta em cerca de 10 dos exercícios diferentes daqueles da versão original Filosofia do Livro A arte de ensinar disse Mark Van Doren é a arte de auxiliar a descoberta Eu tentei escrever um livro que auxilie os estudantes a descobrirem o cálculo tanto seu poder prático quanto sua surpreendente beleza Nesta edição assim como nas seis primeiras minha intenção é trans mitir ao estudante uma noção da utilidade do cálculo e desenvolver a competência técnica mas também me esforço para propiciar certo apreço pela beleza intrínseca do tema Newton indu bitavelmente experimentou uma sensação de triunfo quando fez suas grandes descobertas Quero que os estudantes compartilhem um pouco desse entusiasmo A ênfase concentrase na compreensão dos conceitos Acredito que quase todos concor dam que este deve ser o principal objetivo do ensino do cálculo De fato o ímpeto para o mo vimento atual de reforma do cálculo veio da Conferência de Tulane em 1986 que formulou como primeira recomendação Concentrarse na compreensão de conceitos Tentei atingir esse objetivo por meio da Regra dos Três Os tópicos devem ser apresentados geométrica numérica e algebricamente A visualização a experimentação numérica e grá fica e outras abordagens mudaram o modo como ensinamos o raciocínio conceitual de maneiras fundamentais A Regra dos Três foi expandida para tornarse a Regra dos Quatro enfatizando também o ponto de vista verbal ou descritivo Ao escrever esta sétima edição parti da premissa de que é possível alcançar a compreen são conceitual e ainda manter as melhores tradições do cálculo tradicional O livro contém ele mentos da reforma porém dentro do contexto de uma grade curricular tradicional O que há de novo na 7a edição As alterações são resultantes de conversas que tive com meus colegas e alunos da University of Toronto da leitura de periódicos bem como de sugestões de leitores e examinadores Aqui estão algumas das muitas melhorias que incorporei a esta edição Prefácio Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page IX Alguns materiais foram reescritos para maior clareza ou melhor motivação Consulte por exemplo a introdução a Valores Máximo e Mínimo no Capítulo 4 a Introdução a Séries no Capítulo 11 e a Motivação Para o Produto Vetorial no Capítulo 12 Novos exemplos foram adicionados consulte o Exemplo 4 da Seção 157 e as soluções para alguns dos exemplos existentes foram ampliadas Adicionei detalhes à resolução do Exemplo 2311 pois quando ensinei a Seção 23 usando a sexta edição percebi que os alunos precisavam de uma maior orientação ao estabelecerem desigualdades para o Teo rema do Confronto O projeto gráfico foi renovado novas figuras foram incorporadas e uma porcentagem subs tancial das existentes foi redesenhada Os dados dos exemplos e exercícios foram atualizados para serem mais oportunos Três novos projetos foram adicionados O Índice de Gini Capítulo 6 explora como me dir a distribuição de renda entre os habitantes de um dado país e é uma boa aplicação de áreas entre curvas Agradeço a Klaus Volpert por sugerir esse projeto Famílias de Curvas Implícitas investiga as formas mutantes de curvas definidas implici tamente conforme os parâmetros em uma família variam Famílias de Curvas Polares Ca pítulo 10 exibe as fascinantes formas de curvas polares e como elas evoluem dentro de uma família A seção sobre a área de superfície do gráfico de uma função de duas variáveis passou a ser a Seção 156 para a conveniência de professores que gostam de ensinar esse tópico depois de integrais duplas embora todo o tratamento da área de superfície permaneça no Capítulo 16 Continuo buscando exemplos de como o cálculo se aplica a tantos aspectos do mundo real Na Seção 143 você verá belas imagens da força do campo magnético da Terra e sua segunda derivada vertical calculada a partir da equação de Laplace Agradeço a Roger Watson por des pertar minha atenção para como isso é usado na geofísica e na exploração mineral Mais de 25 dos exercícios de cada capítulo são novos Eis alguns dos meus favoritos 1658 2651 281314 3356 3467 356972 3722 4386 525153 6430 1124950 11107172 12144 1244344 Aprimoramentos tecnológicos A mídia e a tecnologia de apoio ao texto foram aprimoradas para conceder aos professo res maior controle sobre seu curso oferecer uma ajuda extra para lidar com os diferentes níveis de preparação dos estudantes para o curso de cálculo e apoiar a compreensão de con ceitos Novos recursos Enhanced WebAssign incluindo um Cengage YouBook personalizá vel revisão Just in Time Show Your Work Answer Evaluator Personalized Study Plan Master Its vídeos de resolução videoclipes de aulas com perguntas associadas e Visua lizing Calculus animações TEC com perguntas associadas foram desenvolvidos para facilitar a aprendizagem por parte dos estudantes e propiciar um ensino mais flexível na sala de aula Para mais informações sobre como adquirir o cartão de acesso ao Enhanced WebAssign contate vendascengagecengagecom Esta ferramenta está disponível em inglês Tools for Enriching Calculus TEC foram completamente reformuladas e estão disponí veis no Enhanced WebAssign Auxílios visuais e módulos selecionados estão disponíveis no site do autor Acesse wwwstewartcalculuscom Na página inicial clique em Calculus 7E Early Transcendentals Você terá acesso a vários recursos Tópicos adicionais weblinks e Homework Hints recurso especial que vai ajudálo a resolver exercícios sele cionados Recursos EXERCÍCIOS CONCEITUAIS A maneira mais importante de promover a compreensão de con ceitos é por meio de situaçõesproblema Para esse fim concebi diversos tipos de problemas Alguns conjuntos de exercícios começam com solicitações para explicar os significados dos conceitos básicos da seção Consulte por exemplo os primeiros exercícios das Seções 22 25 112 142 e 143 Da mesma forma todas as seções de revisão começam com uma Ve X CÁLCULO Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page X rificação de Conceitos e um Teste de Verdadeiro ou Falso Outros exercícios testam a com preensão de conceitos através de gráficos ou tabelas consulte os Exercícios 2717 2835 40 284346 911113 1012427 11102 13212 1333339 14112 1413242 143310 14612 14734 151510 1611118 1621718 e 16312 Outro tipo de exercício utiliza a descrição verbal para testar a compreensão de conceitos consulte os Exercícios 2510 2858 436364 e 7867 Eu particularmente valorizo pro blemas que combinam e comparam abordagens gráficas numéricas e algébricas consulte os Exercícios 263940 3727 e 942 EXERCÍCIOS COM DIFICULDADE PROGRESSIVA Cada grupo de exercícios é cuidadosamente clas sificado progredindo de exercícios conceituais básicos e problemas que visam ao desenvolvi mento de habilidades até problemas mais desafiadores envolvendo demonstrações e aplicações DADOS REAIS Eu e minha equipe nos empenhamos em pesquisar dados do mundo real em bi bliotecas empresas órgãos governamentais e na Internet que pudessem apresentar motivar e ilustrar os conceitos de cálculo Por esse motivo muitos exercícios e exemplos lidam com fun ções definidas por tais dados numéricos ou gráficos Eles podem ser vistos por exemplo na Figura 1 da Seção 11 os sismogramas do terremoto de Northridge ou no Exercício 2836 porcentagem da população acima dos 60 anos Exercício 5116 velocidade do ônibus es pacial Endeavour ou na Figura 4 da Seção 54 consumo de energia elétrica em São Francisco Funções de duas variáveis são ilustradas por uma tabela de valores do índice de sensação tér mica como uma função da temperatura do ar e da velocidade do vento Exemplo 2 da Seção 141 Derivadas parciais são introduzidas na Seção 143 examinando uma coluna em uma ta bela de valores do índice de conforto térmico temperatura percebida do ar como uma fun ção da temperatura real e da umidade relativa Este exemplo é aprofundado em conexão com aproximações lineares Exemplo 3 da Seção 144 Derivadas direcionais são introduzidas na Seção 146 por meio de um mapa de contorno da temperatura para estimar a taxa de mudança da temperatura num trajeto para o leste a partir de Chongqing Integrais duplas são usadas para estimar a precipitação de neve média no Colorado em 2021 de dezembro de 2006 Exemplo 4 da Seção 151 Campos vetoriais são introduzidos na Seção 161 por representações de cam pos vetoriais de velocidade real mostrando os padrões do vento da Baía de São Francisco PROJETOS Uma maneira de despertar o interesse dos alunos e facilitar a aprendizagem é fazer com que trabalhem às vezes em grupos em projetos mais aprofundados que transmi tam um verdadeiro sentimento de realização quando completados Incluí quatro tipos de pro jetos os Projetos Aplicados visam despertar a imaginação dos estudantes O projeto após a Seção 93 pergunta se uma bola arremessada para cima demora mais para atingir sua altura má xima ou para cair de volta a sua altura original a resposta pode surpreendêlo O projeto após a Seção 148 utiliza os multiplicadores de Lagrange para determinar as massas dos três está gios de um foguete de modo a minimizar a massa total ao mesmo tempo permitindo que o fo guete atinja a velocidade desejada Os Projetos de Laboratório envolvem tecnologia O pro jeto subsequente à Seção 102 mostra como usar as curvas de Bézier para desenhar formas que representem letras para uma impressora a laser Os Projetos Escritos exigem que os estudan tes comparem os métodos atuais àqueles desenvolvidos pelos fundadores do cálculo por exemplo o método criado por Fermat para encontrar as tangentes Algumas referências são dadas sobre o assunto Os Projetos de Descoberta antecipam resultados a serem discutidos pos teriormente ou incentivam a descoberta por meio do reconhecimento de padrões consulte o projeto após a Seção 76 Outros exploram os aspectos da geometria tetraedros após a Se ção 124 hiperesferas após a Seção 157 e interseções de três cilindros após a Seção 158 Projetos adicionais podem ser encontrados no Manual do Professor consulte por exemplo o Exercício em Grupo 51 Posição de Amostras O Manual do Professor está disponível em inglês na Trilha RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Os estudantes normalmente têm mais dificuldades naqueles pro blemas em que não há um único procedimento para se chegar à solução Acredito que não ocor reram muitos avanços na área de resolução de problemas após a estratégia em quatro estágios proposta por George Polya Inseri portanto uma versão dessa estratégia após o Capítulo 1 Esse método é utilizado explícita e implicitamente em todo o livro Depois dos demais capí tulos incluí seções denominadas Problemas Quentes apresentando exemplos de como lidar com problemas de cálculo mais desafiadores Ao selecionar os diversos problemas nessas se ções tentei seguir o conselho dado por David Hilbert Um problema matemático deve ser di PREFÁCIO XI Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page XI fícil a ponto de nos desafiar mas não inacessível a ponto de zombar de nossos esforços Ao propor problemas difíceis em tarefas e provas costumo corrigilos de forma diferenciada Ne les procuro valorizar principalmente as ideias que levam à resposta e o reconhecimento dos princípios de resolução mais relevantes para a solução do problema TECNOLOGIA A disponibilidade de tecnologia não diminui pelo contrário aumenta a im portância de se entender com clareza os conceitos por trás das imagens na tela Quando utili zados apropriadamente computadores e calculadoras gráficas são ferramentas úteis na des coberta e compreensão de tais conceitos Este livro pode ser utilizado com ou sem o emprego de ferramentas tecnológicas dois símbolos especiais são usados para indicar precisamente quando um tipo especial de aparelho é necessário O símbolo indica um exercício que de finitivamente requer o uso dessas tecnologias o que não quer dizer que seu uso nos demais exercícios seja proibido O símbolo aparece em problemas nos quais são empregados to dos os recursos de um sistema de computação algébrica como o Derive Maple Mathema tica ou o TI8992 Mas a tecnologia não torna lápis e papel obsoletos Frequentemente são preferíveis os cálculos e esboços feitos a mão para ilustrar e reforçar alguns conceitos Tanto professores quanto estudantes precisam aprender a discernir quando é mais adequado o uso das máquinas ou o cálculo a mão TOOLS FOR ENRICHING CALCULUS As TEC são um complemento ao livro e destinamse a en riquecer e complementar seu conteúdo Este recurso deve ser acessado pelo Enhanced Web Assign Desenvolvidas por Harvey Keynes Dan Clegg Hubert Hohn e por mim as TEC uti lizam uma abordagem exploradora e de descoberta Nas seções do livro onde a tecnologia é particularmente apropriada ícones direcionam os estudantes aos módulos das TEC que ofe recem um ambiente laboratorial no qual eles podem explorar o tópico de maneiras diferentes e em diferentes níveis Os auxílios visuais são animações de figuras no texto módulos são ati vidades mais elaboradas e incluem exercícios Os professores podem optar por se envolver em níveis diferentes indo desde simplesmente encorajar os estudantes a usar os auxílios visuais e módulos para a exploração independente até atribuir exercícios específicos a partir daque les incluídos em cada módulo ou criar exercícios adicionais laboratórios e projetos que fa çam uso dos auxílios visuais e dos módulos HOMEWORK HINTS São dicas para os exercícios apresentados na forma de perguntas que tentam imitar um efetivo assistente de ensino funcionam como um tutor silencioso Dicas para exercí cios selecionados normalmente de número ímpar são incluídas em cada seção do livro indi cadas pelo número do exercício em vermelho Elas foram elaboradas de modo a não revelarem mais do que é minimamente necessário para se fazer progresso Estão disponíveis aos estudan tes em wwwstewartcalculuscom e no Enhanced WebAssign Recurso em inglês ENHANCED WEBASSIGN A tecnologia está impactando sobre a forma como a lição de casa é passada aos estudantes particularmente em classes grandes O uso da lição de casa online está crescendo e sua atratividade depende da facilidade de uso precisão na correção e confiabili dade Com esta edição trabalhamos com a comunidade de cálculo e o WebAssign a fim de de senvolver um sistema de lição de casa online mais vigoroso Até 70 dos exercícios em cada seção podem ser passados como lição de casa online incluindo exercícios de resposta livre múltipla escolha e formatos de partes múltiplas O sistema também inclui Active Examples nos quais os estudantes são guiados em tutoriais passo a passo através de exemplos do livro com links para o livro e resoluções em vídeo Novas melhorias ao sistema incluem um eBook personalizado um recurso Show Your Work revisão Just in Time de prérequisitos précálculo um Assignment Editor aperfeiçoado e um Answer Evalua tor que aceita mais respostas matematicamente equivalentes e permite a correção da lição de casa de forma bem semelhante àquela feita por um instrutor Para mais informações sobre como adquirir o cartão de acesso a esta ferramenta contate vendascengagecengagecom Recurso em inglês wwwstewartcalculuscom O site do autor inclui Homework Hints História da Matemática com links para os melhores sites históricos Tópicos adicionais completos com conjuntos de exercícios série de Fourier fórmulas para o resto na série de Taylor rotação dos eixos SCA XII CÁLCULO Nota da Editora Até o fechamento desta edição todos os sites contidos neste livro estavam com o funcionamento normal A Cengage Learning não se responsabiliza pela suspensão dos mesmos Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page XII Links para tópicos específicos para outros recursos da web Tools for Enriching Calculus TEC para os módulos e auxílios visuais selecionados para os capítulos 2 e 5 Todo o material disponível no site do autor está em inglês Na Trilha Problemas de Desafio para capítulos selecionados com soluções e respostas Problemas Arquivados para todos os capítulos com soluções e respostas Slides de Power Point Revisão de Álgebra em inglês Revisão de Geometria Analítica em inglês Suplemento Mentiras que minha calculadora e computador me contaram com exercícios e soluções Manual do professor material em inglês para professores que adotam a obra Acesso pelo site httpcursosonlinecengagecombr Conteúdo Testes de Verificação O livro começa com quatro testes de verificação Álgebra Básica Geo metria Analítica Funções e Trigonometria Uma Apresentação do Cálculo Temos aqui um panorama da matéria incluindo uma série de questões para nortear o estudo do cálculo VOLUME I 1 Funções e Modelos Desde o princípio a multiplicidade de representações das funções é va lorizada verbal numérica visual e algébrica A discussão dos modelos matemáticos conduz a uma revisão das funções gerais incluindo as funções exponenciais e logarítmicas por meio desses quatro pontos de vista 2 Limites e Derivadas O material sobre limites decorre da discussão prévia sobre os problemas da tangente e da velocidade Os limites são tratados dos pontos de vista descritivo gráfico nu mérico e algébrico A Seção 24 sobre a definição precisa de limite por meio de epsilons e del tas é opcional As Seções 27 e 28 tratam das derivadas principalmente com funções defi nidas gráfica e numericamente antes da introdução das regras de derivação que serão discutidas no Capítulo 3 Aqui os exemplos e exercícios exploram o significado das deriva das em diversos contextos As derivadas de ordem superior são apresentadas na Seção 28 3 Regras de Derivação Todas as funções básicas incluindo as exponenciais logarítmicas e tri gonométricas inversas são derivadas aqui Quando as derivadas são calculadas em situações aplicadas é solicitado que o aluno explique seu significado Nesta edição o crescimento e de caimento exponencial são tratados neste capítulo 4 Aplicações de Derivação Os fatos básicos referentes aos valores extremos e formas de cur vas são deduzidos do Teorema do Valor Médio O uso de tecnologias gráficas ressalta a inte ração entre o cálculo e as calculadoras e a análise de famílias de curvas São apresentados al guns problemas de otimização incluindo uma explicação de por que precisamos elevar nossa cabeça a 42º para ver o topo de um arcoíris 5 Integrais Problemas de área e distância servem para apresentar a integral definida intro duzindo a notação de somatória ou notação sigma quando necessária esta notação é estu dada de forma mais completa no Apêndice E Dáse ênfase à explicação do significado das integrais em diversos contextos e à obtenção de estimativas para seus valores a partir de ta belas e gráficos 6 Aplicações de Integração Aqui são apresentadas algumas aplicações de integração área volume trabalho valor médio que podem ser feitas sem o uso de técnicas avançadas Dá se ênfase aos métodos gerais O objetivo é que os alunos consigam dividir uma dada quanti dade em partes menores estimar usando somas de Riemann e que sejam capazes de reconhecer o limite como uma integral PREFÁCIO XIII Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page XIII XIV CÁLCULO 7 Técnicas de Integração Todos os métodos tradicionais são mencionados mas é claro que o verdadeiro desafio é perceber qual técnica é mais adequada a cada situação Por esse motivo na Seção 75 apresentamos estratégias para calcular integrais O uso de sistemas de compu tação algébrica é discutido na Seção 76 8 Mais Aplicações de Integração Aqui estão as aplicações de integração para as quais é útil dispor de todas as técnicas de integração área de superfície e comprimento do arco bem como outras aplicações à biologia à economia e à física força hidrostática e centros de massa Também foi incluída uma seção tratando de probabilidades Há mais aplicações do que se pode estudar em qualquer curso assim o professor deve selecionar aquelas que julgue mais inte ressantes ou adequadas a seus alunos VOLUME II 9 Equações Diferenciais Modelagem é o tema que unifica esse tratamento introdutório de equa ções diferenciais Campos direcionais e o método de Euler são estudados antes de as equações separáveis e lineares serem solucionadas explicitamente de modo que abordagens qualitati vas numéricas e analíticas recebem a mesma consideração Esses métodos são aplicados aos modelos exponenciais logísticos dentre outros para o crescimento populacional As quatro ou cinco primeiras seções deste capítulo servem como uma boa introdução a equações diferen ciais de primeira ordem Uma seção final opcional utiliza os modelos presapredador para ilus trar sistemas de equações diferenciais 10 Equações Paramétricas e Coordenadas Polares Este capítulo introduz curvas paramétricas e polares e aplica os métodos de cálculo a elas As curvas paramétricas são adequadas a pro jetos laboratoriais as apresentadas aqui envolvem famílias de curvas e curvas de Bézier Um breve tratamento de seções cônicas em coordenadas polares prepara o caminho para as Leis de Kepler no Capítulo 13 11 Sequências e Séries Infinitas Os testes de convergência possuem justificativas intuitivas bem como demonstrações formais Estimativas numéricas de somas de séries baseiamse em qual teste foi usado para demonstrar a convergência A ênfase é dada à série de Taylor e aos polinômios e suas aplicações à física Estimativas de erro incluem aquelas de dispositivos grá ficos 12 Vetores e a Geometria do Espaço O material sobre geometria analítica tridimensional e ve tores está dividido em dois capítulos O Capítulo 12 trata de vetores produtos escalar e veto rial retas planos e superfícies 13 Funções Vetoriais Aqui são estudadas as funções a valores vetoriais suas derivadas e in tegrais o comprimento e curvatura de curvas espaciais e a velocidade e aceleração ao longo dessas curvas finalizando com as Leis de Kepler 14 Derivadas Parciais As funções de duas ou mais variáveis são estudadas do ponto de vista verbal numérico visual e algébrico As derivadas parciais são introduzidas mediante a aná lise de uma coluna particular de uma tabela com índices de conforto térmico temperatura apa rente do ar como função da temperatura medida e da umidade relativa 15 Integrais Múltiplas Para calcular as médias de temperatura e precipitação de neve em da das regiões utilizamos mapas de contorno e a Regra do Ponto Médio São usadas integrais du plas e triplas no cálculo de probabilidades área de superfície e em projetos do volume de hi peresferas e da interseção de três cilindros As coordenadas esféricas e cilíndricas são introduzidas no contexto de cálculo de integrais triplas 16 Cálculo Vetorial A apresentação de campos vetoriais é feita por meio de figuras dos cam pos de velocidade do vento na Baía de São Francisco Exploramos também as semelhanças entre o Teorema Fundamental para integrais de linha o Teorema de Green o Teorema de Sto kes e o Teorema do Divergente 17 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Como as equações diferenciais de primeira ordem foram tratadas no Capítulo 9 este último capítulo trata das equações diferenciais lineares de segunda ordem sua aplicação em molas vibrantes e circuitos elétricos e soluções em séries Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page XIV REVISORES DA SÉTIMA EDIÇÃO REVISORES DE TECNOLOGIA PREFÁCIO XV Agradecimentos Amy Austin Texas AM University Anthony J Bevelacqua University of North Da kota ZhenQing Chen University of Washington Seattle Jenna Carpenter Louisiana Tech University Le Baron O Ferguson University of Califor niaRiverside Shari Harris John Wood Community College Amer Iqbal University of WashingtonSeattle Akhtar Khan Rochester Institute of Technology Marianne Korten Kansas State University Joyce Longman Villanova University Richard Millspaugh University of North Dakota Lon H Mitchell Virginia Commonwealth Uni versity Ho Kuen Ng San Jose State University Norma OrtizRobinson Virginia Commonwealth University Qin Sheng Baylor University Magdalena Toda Texas Tech University Ruth Trygstad Salt Lake Community College Klaus Volpert Villanova University Peiyong Wang Wayne State University Maria Andersen Muskegon Community College Eric Aurand Eastfield College Joy Becker University of WisconsinStout Przemyslaw Bogacki Old Dominion University Amy Elizabeth Bowman University of Alabama in Huntsville Monica Brown University of MissouriSt Louis Roxanne Byrne University of Colorado no Den ver and Health Sciences Center Teri Christiansen University of MissouriCo lumbia Bobby Dale Daniel Lamar University Jennifer Daniel Lamar University Andras Domokos California State University Sacramento Timothy Flaherty Carnegie Mellon University Lee Gibson University of Louisville Jane Golden Hillsborough Community College Semion Gutman University of Oklahoma Diane Hoffoss University of San Diego Lorraine Hughes Mississippi State University Jay Jahangiri Kent State University John Jernigan Community College of Philadelphia Brian Karasek South Mountain Community Col lege Jason Kozinski University of Florida Carole Krueger The University of Texas at Ar lington Ken Kubota University of Kentucky John Mitchell Clark College Donald Paul Tulsa Community College Chad Pierson University of Minnesota Duluth Lanita Presson University of Alabama in Hunts ville Karin Reinhold State University of New York em Albany Thomas Riedel University of Louisville Christopher Schroeder Morehead State Univer sity Angela Sharp University of Minnesota Duluth Patricia Shaw Mississippi State University Carl Spitznagel John Carroll University Mohammad Tabanjeh Virginia State University Capt Koichi Takagi United States Naval Aca demy Lorna TenEyck Chemeketa Community College Roger Werbylo Pima Community College David Williams Clayton State University Zhuan Ye Northern Illinois University REVISORES DA EDIÇÃO ANTERIOR B D Aggarwala University of Calgary John Alberghini Manchester Community College Michael Albert CarnegieMellon University Daniel Anderson University of Iowa Donna J Bailey Northeast Missouri State Uni versity Wayne Barber Chemeketa Community College Marilyn Belkin Villanova University Neil Berger University of Illinois Chicago David Berman University of New Orleans Richard Biggs University of Western Ontario Robert Blumenthal Oglethorpe University Martina Bode Northwestern University Barbara Bohannon Hofstra University A preparação desta edição e das anteriores envolveu muito tempo de leitura e conselhos bem fundamentados porém às vezes contraditórios de um grande número de revisores astutos Sou extremamente grato pelo tempo que levaram para compreender minha motivação pela abordagem empregada Aprendi algo com cada um deles Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page XV Philip L Bowers Florida State University Amy Elizabeth Bowman University of Alabama in Huntsville Jay Bourland Colorado State University Stephen W Brady Wichita State University Michael Breen Tennessee Technological Uni versity Robert N Bryan University of Western Ontario David Buchthal University of Akron Jorge Cassio MiamiDade Community College Jack Ceder University of California Santa Bar bara Scott Chapman Trinity University James Choike Oklahoma State University Barbara Cortzen DePaul University Carl Cowen Purdue University Philip S Crooke Vanderbilt University Charles N Curtis Missouri Southern State College Daniel Cyphert Armstrong State College Robert Dahlin M Hilary Davies University of Alaska Anchorage Gregory J Davis University of WisconsinGreen Bay Elias Deeba University of HoustonDowntown Daniel DiMaria Suffolk Community College Seymour Ditor University of Western Ontario Greg Dresden Washington and Lee University Daniel Drucker Wayne State University Kenn Dunn Dalhousie University Dennis Dunninger Michigan State University Bruce Edwards University of Florida David Ellis San Francisco State University John Ellison Grove City College Martin Erickson Truman State University Garret Etgen University of Houston Theodore G Faticoni Fordham University Laurene V Fausett Georgia Southern University Norman Feldman Sonoma State University Newman Fisher San Francisco State University José D Flores The University of South Dakota William Francis Michigan Technological Uni versity James T Franklin Valencia Community College East Stanley Friedlander Bronx Community College Patrick Gallagher Columbia UniversityNew York Paul Garrett University of MinnesotaMinnea polis Frederick Gass Miami University of Ohio Bruce Gilligan University of Regina Matthias K Gobbert University of Maryland Baltimore County Gerald Goff Oklahoma State University Stuart Goldenberg California Polytechnic State University John A Graham Buckingham Browne Nichols School Richard Grassl University of New Mexico Michael Gregory University of North Dakota Charles Groetsch University of Cincinnati Paul Triantafilos Hadavas Armstrong Atlantic State University Salim M Haïdar Grand Valley State University D W Hall Michigan State University Robert L Hall University of WisconsinMil waukee Howard B Hamilton California State University Sacramento Darel Hardy Colorado State University Gary W Harrison College of Charleston Melvin Hausner New York UniversityCourant Institute Curtis Herink Mercer University Russell Herman University of North Carolina at Wilmington Allen Hesse Rochester Community College Randall R Holmes Auburn University James F Hurley University of Connecticut Matthew A Isom Arizona State University Gerald Janusz University of Illinois at Urbana Champaign John H Jenkins EmbryRiddle Aeronautical Uni versity Prescott Campus Clement Jeske University of Wisconsin Platte ville Carl Jockusch University of Illinois at Urbana Champaign Jan E H Johansson University of Vermont Jerry Johnson Oklahoma State University Zsuzsanna M Kadas St Michaels College Nets Katz Indiana University Bloomington Matt Kaufman Matthias Kawski Arizona State University Frederick W Keene Pasadena City College Robert L Kelley University of Miami Virgil Kowalik Texas AI University Kevin Kreider University of Akron Leonard Krop DePaul University Mark Krusemeyer Carleton College John C Lawlor University of Vermont Christopher C Leary State University of New York at Geneseo David Leeming University of Victoria Sam Lesseig Northeast Missouri State University Phil Locke University of Maine Joan McCarter Arizona State University Phil McCartney Northern Kentucky University James McKinney California State Polytechnic University Pomona Igor Malyshev San Jose State University Larry Mansfield Queens College Mary Martin Colgate University Nathaniel F G Martin University of Virginia Gerald Y Matsumoto American River College Tom Metzger University of Pittsburgh Michael Montaño Riverside Community College Teri Jo Murphy University of Oklahoma Martin Nakashima California State Polytechnic University Pomona XVI CÁLCULO Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page XVI Também gostaria de agradecer a Jordan Bell George Bergman Leon Gerber Mary Pugh e Simon Smith por suas sugestões a Al Shenk e Dennis Zill por autorizarem o uso de exercícios de seus livros de cálculo à COMAP por autorizar o uso de material do projeto a George Berg man David Bleecker Dan Clegg Victor Kaftal Anthony Lam Jamie Lawson Ira Rosenholtz Paul Sally Lowell Smylie e Larry Wallen pelas ideias para os exercícios a Dan Drucker pelo pro jeto da corrida na rampa a Thomas Banchoff Tom Farmer Fred Gass John Ramsay Larry Rid dle Philip Straffin e Klaus Volpert pelas ideias para os projetos a Dan Anderson Dan Clegg Jeff Cole Dan Drucker e Barbara Frank por solucionarem os novos exercícios e sugerirem formas de aprimorálos a Marv Riedesel Mary Johnson e John Manalo pela revisão precisa e a Jeff Cole e Dan Clegg por sua preparação e revisão cuidadosas do manuscrito de respostas Agradeço também àqueles que contribuíram para as edições anteriores Ed Barbeau Fred Brauer Andy BulmanFleming Bob Burton David Cusick Tom DiCiccio Garret Etgen Chris Fisher Stuart Goldenberg Arnold Good Gene Hecht Harvey Keynes EL Koh Zdislav Ko varik Kevin Kreider Emile LeBlanc David Leep Gerald Leibowitz Larry Peterson Lothar Redlin Carl Riehm John Ringland Peter Rosenthal Doug Shaw Dan Silver Norton Starr Saleem Watson Alan Weinstein e Gail Wolkowicz Também agradeço à Kathi Townes e Stephanie Kuhns da TECHarts por seus serviços de produção e à equipe da BrooksCole Cheryll Linthicum gerente de conteúdo do projeto Liza Neustaetter editora assistente Maureen Ross editora de mídia Sam Subity editor de geren ciamento de mídia Jennifer Jones gerente de marketing e Vernon Boes diretor de arte To dos realizaram um trabalho excepcional Sou muito privilegiado por ter trabalhado com alguns dos melhores editores matemáticos do mercado durante as três últimas décadas Ron Munro Harry Campbell Craig Barth Jeremy Hayhurst Gary Ostedt Bob Pirtle Richard Stratton e agora Liz Covello Todos eles contri buíram substancialmente para o sucesso deste livro Richard Nowakowski Dalhousie University Hussain S Nur California State University Fresno Wayne N Palmer Utica College Vincent Panico University of the Pacific F J Papp University of MichiganDearborn Mike Penna Indiana UniversityPurdue Uni versity Indianapolis Mark Pinsky Northwestern University Lothar Redlin The Pennsylvania State University Joel W Robbin University of WisconsinMadison Lila Roberts Georgia College and State University E Arthur Robinson Jr The George Washington University Richard Rockwell Pacific Union College Rob Root Lafayette College Richard Ruedemann Arizona State University David Ryeburn Simon Fraser University Richard St Andre Central Michigan University Ricardo Salinas San Antonio College Robert Schmidt South Dakota State University Eric Schreiner Western Michigan University Mihr J Shah Kent State UniversityTrumbull Theodore Shifrin University of Georgia Wayne Skrapek University of Saskatchewan Larry Small Los Angeles Pierce College Teresa Morgan Smith Blinn College William Smith University of North Carolina Donald W Solomon University of Wisconsin Milwaukee Edward Spitznagel Washington University Joseph Stampfli Indiana University Kristin Stoley Blinn College M B Tavakoli Chaffey College Paul Xavier Uhlig St Marys University San Antonio Stan Ver Nooy University of Oregon Andrei Verona California State UniversityLos Angeles Russell C Walker Carnegie Mellon University William L Walton McCallie School Jack Weiner University of Guelph Alan Weinstein University of California Berkeley Theodore W Wilcox Rochester Institute of Tech nology Steven Willard University of Alberta Robert Wilson University of WisconsinMadison Jerome Wolbert University of MichiganAnn Ar bor Dennis H Wortman University of Massachu setts Boston Mary Wright Southern Illinois UniversityCar bondale Paul M Wright Austin Community College Xian Wu University of South Carolina PREFÁCIO XVII Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page XVII As ferramentas de aprendizagem utilizadas até alguns anos atrás já não atraem os alunos de hoje que dominam novas tecnologias mas dispõem de pouco tempo para o estudo Na realidade muitos buscam uma nova abordagem A Trilha está abrindo caminho para uma nova estratégia de aprendizagem e tudo teve início com alguns professores e alunos Determinados a nos conectar verdadeiramente com os alunos conduzimos pesquisas e entrevistas Conversamos com eles para descobrir como aprendem quando e onde estudam e por quê Conversamos em seguida com professores para obter suas opiniões A resposta a essa solução inovadora de ensino e aprendizagem tem sido excelente Trilha é uma solução de ensino e aprendizagem diferente de todas as demais Os alunos pediram nós atendemos Problemas de Desafio para os capítulos selecionados com soluções e respostas Problemas Arquivados para todos os capítulos com soluções e respostas Slides de Power Point Revisão de Álgebra em inglês Revisão de Geometria Analítica em inglês Suplemento Mentiras que minha calculadora e computador me contaram com exercícios e soluções Manual do professor material em inglês para professores que adotam a obra Plataforma de acesso em português e conteúdo em português e em inglês Acesse httpcursosonlinecengagecombr Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page XVIII Ao Aluno A leitura de um livro didático de cálculo difere da leitura de um jornal ou de um romance ou mesmo de um livro de física Não desanime em precisar ler o mesmo trecho muitas vezes antes de entendêlo E durante a leitura você deve sempre ter lápis papel e calculadora à mão para fazer contas e desenhar diagramas Alguns estudantes preferem partir diretamente para os exercícios passados como dever de casa consultando o texto somente ao topar com alguma dificuldade Acredito que ler e compreender toda a seção antes de lidar com os exercícios é muito mais interessante Você deve prestar especial atenção às definições e compreender o significado exato dos termos E antes de ler cada exemplo sugiro que você curta a solução e tente resolvêlo sozinho Assim será muito mais proveitoso quando você observar a resolução Parte do objetivo deste curso é treinálo a pensar logicamente Procure escrever os estágios da resolução de forma árdua passo a passo com frases explicativas e não somente uma série de equações e fórmulas desconhecidas As respostas da maioria dos exercícios ímpares são dadas ao final do livro no Apêndice I Alguns exercícios podem explicações interpretações ou descrições por extenso Em tais casos não há uma forma única de escrever a resposta então não se preocupe se a sua ficou muito diferente Da mesma forma também há mais de uma maneira de expressar uma resposta algébrica ou numérica Assim se sua resposta diferir daquela que consta no livro não suponha imediatamente que a sua está errada Por exemplo se você chegou em 2 1 a resposta impressa é 11 2 você está certo e a racionalização do denominador mostrará que ambas são equivalentes O símbolo indica que o exercício definitivamente exige o uso de uma calculadora gráfica ou um computador com software adequado na Seção 14 discutimos o uso desses dispositivos e algumas das armadilhas que você pode encontrar Mas isso não significa que você não pode utilizar esses equipamentos para verificar seus resultados nos demais exercícios O símbolo aparece em problemas nos quais são empregados todos os recursos de um sistema de computação algébrica como o Derive Maple Mathematica ou o TI8992 Outro símbolo com o qual você vai deparar é o alerta para um erro comum O símbolo registra as situações em que percebi que uma boa parte dos alunos tende a cometer o mesmo erro Tools for Enriching Calculus que são um material de apoio deste livro são indicados por meio do símbolo TEC e podem ser acessadas pelo Enhanced WebAssign em inglês As Homework Hints para exercícios representativos são indicadas pelo número do exercício em vermelho 5 Essas dicas podem ser encontradas no site stewartcalculuscom bem como no Enhanced WebAssign em inglês As dicas para lições de casa fazem perguntas que permitem avançar em direção à resolução em linha de resposta Você precisa seguir cada dica de maneira ativa com lápis e papel na mão a fim de elaborar os detalhes Se estiver dizendo que não conseguiu resolver um problema você pode clicar para revelar a próxima dica Recomendo que você guarde este livro para fins de referência após o término do curso Como você provavelmente esqueceu alguns detalhes específicos do cálculo o livro servirá como um lembrete útil quando precisar usálo em cursos subsequentes E como este livro contém uma maior quantidade de material que pode ser abordada em qualquer curso ele também pode servir como um recurso valioso para um cientista ou engenheiro em atuação O cálculo é uma matéria fascinante e com justiça é considerada uma das maiores realizações da inteligência humana Espero que você descubra não apenas o quanto esta disciplina é útil mas também o quão intrinsecamente bela ela é Calculo00prefaciaiscalculo7 61013 814 AM Page XX Teste de Verificação O sucesso no cálculo depende em grande parte do conhecimento da matemática que precede o cálculo álgebra geometria analítica funções e trigonometria Os testes a seguir têm a intenção de diagnosticar falhas que você possa ter nessas áreas Depois de fazer cada teste é possível conferir suas respostas com as respostas dadas e se necessário refrescar sua memória consultando o material de revisão fornecido A Testes de Verificação Álgebra 1 Avalie cada expressão sem usar uma calculadora a 34 b 34 c 1 23 d 22 e 5 31 f 1634 2 Simplifique cada expressão Escreva sua resposta sem expoentes negativos a 200 32 b 3a2b34ab22 c 3x7y81 d x2 y21 3 Expanda e simplifique a 3x 6 42x 5 b x 34x 5 c a ba b d 2x 32 e x 21 4 Fatore cada expressão a x4 25 b x3 3x2 4x 12 c 3x2 9x12 6x12 d 2x2 5x 12 e x4 27x 5 Simplifique as expressões racionais a x2 3x 2 x2 2 b 2x2x 1 x 9 x 3 2x 1 c x2 x2 4 x 1 x 2 6 Racionalize a expressão e simplifique a 10 2 b 4 h 2 h 7 Reescreva completando o quadrado a x2 x 1 b 2x2 12x 11 Respostas dos Testes de Verificação A Álgebra 1 a 81 b 81 c 1 81 d 1 16 e 25 f 1 8 2 a 6 2 b 48a6b7 c x 9y7 3 a 11 x 2 b 4x2 7x 15 c a b d x2 6x 12 9 4 a 2x 52x 5 b 2x 3x 4 c x 3x 2x 2x 2 d xx 1 e x 2 5 a 2x2 x 1 x 9 b x 3 2x 1 c 1 y x y 6 a 52 210 b 1 4 h 2 7 a x 122 34 b 2x 32 7 8 a 6 b 1 c 12 d 1 12 e 3 22 3 9 a 4 3 b 2 4 c 2 0 1 d 1 7 e 1 4 10 a Falso b Verdadeiro c Falso d Falso e Falso f Verdadeiro Testes de Verificação Geometria Analítica 1 Encontre uma equação para a reta que passa pelo ponto 2 5 e a tem inclinação 3 b é paralela ao eixo x c é paralela ao eixo y d é paralela à linha 2x 4y 3 2 Encontre uma equação para o círculo que tem centro 1 4 e passa pelo ponto 3 2 3 Encontre o centro e o raio do círculo com equação x² y² 6x 10y 9 0 4 Sejam A7 4 e B5 12 pontos no plano a Encontre a inclinação da reta que contém A e B b Encontre uma equação da reta que passa por A e B Quais são as interseções com os eixos c Encontre o ponto médio do segmento AB d Encontre o comprimento do segmento AB e Encontre uma equação para a mediatriz de AB f Encontre uma equação para o círculo para o qual AB é um diâmetro 5 Esboce as regiões do plano xy definidas pelas equações ou inequações a y 3 b x 4 e y 2 c y 1 x² 1 d y x² 6 e 9x² 16y² 144 Testes de Verificação Funções 1 O gráfico de uma função f é dado à esquerda a Diga o valor de f1 b Estime o valor de f2 c Para quais valores de x vale que fx 2 d Estime os valores de x tais que fx 0 e Diga qual é o domínio e a imagem de f 2 Se fx x³ calcule o quociente da diferença f2 f3 f2 h e simplifique sua resposta 3 Encontre o domínio da função a fx 2x 1 x x² 2 b gx x x² 1 c hx 4 x x 1 4 Como os gráficos das funções são obtidos a partir do gráfico de f a y fx b y 2fx 3 c y fx 3 2 5 Sem usar uma calculadora faça um esboço grosseiro do gráfico a y x³ b y x 1³ c y x 2³ d y 4 x² e y x f y 2x 6 Seja fx x² 2x 1 e gx 2x 3 encontre cada uma das seguintes funções a f º g b g º f c g º g º g Testes de Verificação Trigonometrias 1 Converta de graus para radianos a 300 b 18 2 Converta de graus para radianos a 56 b 2 3 Encontre o comprimento de um arco de um círculo de raio 12 cm cujo ângulo central é 30 4 Encontre os valores exatos a tgπ3 b sen7π6 c sec5π3 5 Expresse os comprimentos a e b na figura em termos de θ a Se sen x 1 2 sec y 1 5 onde x e y estão entre 0 e π2 avalie senx y 7 Demonstre as identidades a tg sen θ cos θ sec θ b 2 tg² x 1 tg² x sen 2x 8 Encontre todos os valores de x tais que sen 2x sen x e 0 x 2π 9 Esboce o gráfico da função y 1 sen 2x sem usar uma calculadora Calculo00Acalculo7 61013 835 AM Page XXVI Uma Apresentação do Cálculo O cálculo é fundamentalmente diferente da matemática que você já estudou Ele é menos estático e mais dinâmico Trata de variação e de movimento bem como de quantidades que tendem a outras quantidades Por essa razão pode ser útil ter uma visão geral do assunto antes de começar um estudo mais aprofundado Vamos dar aqui uma olhada em algumas das principais ideias do cálculo mostrando como surgem os limites quando tentamos resolver diversos problemas Ziga CamernikShutterstock Pichugin DmitryShutterstock Brett MulcahyShutterstock iofotoShutterstock Quando terminar este curso você será capaz de estimar o número de trabalhadores necessários para construir uma pirâmide explicar a formação e localização de arcosíris projetar uma montanha russa para que ela trafegue suavemente e calcular a força sobre um dique Calculo00apresentacaocalculo7 62513 1030 AM Page 1 O limite de uma sequência No século V aC o filósofo grego Zenão propôs quatro problemas hoje conhecidos como Paradoxos de Zenão com o intento de desafiar algumas das ideias corretas em sua época sobre espaço e tempo O segundo paradoxo de Zenão diz respeito a uma corrida entre o herói grego Aquiles e uma tartaruga para a qual dada uma vantagem inicial Zenão argumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga se ele começasse em uma posição a₁ e a tartaruga em t₁ veja a Figura 9 quando ele atinge o ponto P₁ onde z t₁ a tartaruga estará adiante em uma posição z₁ No momento em que Aquiles atinge P₂ t₂ a tartaruga estará em z₂ assim isso desafia o senso comum Imagine agora o ponto Q movendose ao longo da curva em direção a P como na Figura 7 Você pode ver que a reta secante gira e aproximase da reta tangente como sua posição limite Isso significa que a inclinação mPQ da reta secante fica cada vez mais próxima da inclinação da reta tangente Isso é denotado por m limₗₚ mPQ e dizemos que m é o limite de mPQ quando Q tende ao ponto P ao longo da curva Uma vez que x tende a a quando Q tende a P também podemos usar a Equação 1 para escrever m limₓₐ fx fa x a Então podemos calcular por exemplo a velocidade média no intervalo de tempo 4 5 velocidade média 1680 1000 5 4 68 ms Os resultados desses cálculos estão mostrados na tabela Intervalo de tempo 4 6 4 5 4 45 4 44 4 42 Velocidade média ms 75 68 62 575 54 51 pode ser descrita pela seguinte fórmula para o nésimo termo an 1n Podemos visualizar essa sequência marcando seus termos sobre uma reta real como na Figura 10a ou desenhando seu gráfico como na Figura 10b Observe em ambas as figuras que os termos da sequência an 1n tornamse cada vez mais próximos de 0 à medida que n cresce De fato podemos encontrar termos tão pequenos quanto desejarmos bastando para isso tomarmos n suficientemente grande Dizemos então que o limite da sequência é 0 e indicanos isso por lim n 1n 0 Em geral a notação lim n an L será usada se os termos an tenham um número L quando n tornase grande Isso significa que podemos tomar os números an tão próximos de L quanto quisermos escolhendo um n suficientemente grande O conceito de limite de uma sequência ocorre sempre que usarmos a representação decimal de um número real Por exemplo s1 3 s2 314 s3 3141 s4 31415 s5 314159 s6 3141592 s7 31415926 então lim n an π Os termos nessa sequência são aproximações racionais de π Vamos voltar ao paradoxo de Zenão As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga formam as sequências an e tn onde an tn para todo n Podemos mostrar que ambas as sequências têm o mesmo limite lim n an p lim n tn É precisamente nesse ponto p que Aquiles ultrapassa a tartaruga Como naturalmente sabemos que de fato a pessoa pode chegar até à parede isso sugere que a distância total possa ser expressa como a soma de infinitas distâncias cada vez menores como a seguir 1 12 14 18 116 12n Zenão argumentava que não fazia sentido somar um número infinito de números Porém há situações em que fazemos implicitamente somas infinitas Por exemplo na notação decimal o símbolo 03 03333 significa 310 3100 31000 310000 dessa forma em algum sentido deve ser verdade que 310 03333 mais geralmente se dn denotar o nésimo algarismo na representação decimal de um número então 0 d1d2d3d4 d110 d2102 d3103 dn10n Portanto algumas somas infinitas ou como são chamadas séries infinitas têm um significado Todavia é necessário definir cuidadosamente o que é a soma de uma série Assim s1 12 05 s2 12 14 075 s3 12 14 18 0875 s4 12 14 18 116 09375 s5 12 14 18 116 132 096875 s6 12 14 18 116 132 164 0984375 s7 12 14 18 116 132 164 s10 12 14 11024 s16 12 14 1216 099998474 Observe que à medida que somamos mais e mais termos as somas parciais ficam cada vez mais próximas de 1 De fato podese mostrar que tomando um n suficientemente grande isto é adicionando um número suficientemente grande de termos da série podemos tornar a soma parcial sn tão próxima de 1 quanto quisermos Parece então razoável dizer que a soma da série infinita é escrever 12 14 12n 1 Em outras palavras a razão de a soma da série ser 1 é que lim n sn 1 No Capítulo II Volume II discutiremos mais sobre essas noções Usaremos então a ideia de Newton de combinar séries infinitas com cálculo diferencial e integral Resumo Vimos que o conceito de limite surge de problemas tais como encontrar a área de uma região a tangente a uma curva a velocidade de um carro ou a soma de uma série infinita Em cada um dos casos o tema comum é o cálculo de uma quantidade como o limite de outras quantidades mais facilmente calculáveis Essa ideia básica que coloco o cálculo à parte de outras áreas da matemática Na realidade poderíamos definir o cálculo como o ramo da matemática que trata de limites Depois de entendermos isso Sir Isaac Newton usouo para explicar o movimento de satélites e naves espaciais na previsão do tamanho de uma população na estimativa de quão rápido os objetos do portfólio são movidos na previsão do tempo na medida do fluxo sanguíneo que sai do coração no cálculo dos prêmios dos seguros de vida e em uma grande variedade de outras áreas Neste livro vamos explorar algumas dessas aplicações do cálculo Para transmitir uma noção da potência dessa matéria finalizaremos esta apresentação com uma lista de perguntas que você poderia responder usando o cálculo Como você explicaria a foto ilustrada na Figura 12 de que o ângulo de elevação de um observador pode o ponto mais alto de um arcorís 42º Como você poderia explicar as formas das latas nas prateleiras de um supermercado Qual o melhor lugar para se sentar em um cinema Como podemos projetar uma montanharussa com percurso suave A qual distância de um aeroporto um piloto deve começar a descida para o pouso Como podemos juntar curvas para desenhar formas que representam letras em uma impressora a laser Como podemos estimar o número de trabalhadores que foram necessários para a construção da Grande Pirâmide de Quéops no antigo Egito Onde um jogador deveria se posicionar para arremessar uma bola de beisebol lançada por outro jogador e mandála para um home plate Uma bola que lançada para cima leva mais tempo para atingir sua altura máxima ou para cair de volta à sua altura original Como você poderia explicar o fato de planetas e satélites se moverem em órbitas elípticas Como você poderia distribuir o escoamento de água entre as turbinas de uma usina hidrelétrica de modo a maximizar a energia total produzida Calculo00apresentacaocalculo7 62513 1030 AM Page 8 Funções e Modelos O objeto fundamental do cálculo são as funções Este capítulo abre o caminho para o cálculo discutindo as ideias básicas concernentes às funções e seus gráficos bem como as formas de combinálos e transformálos Destacamos que uma função pode ser representada de diferentes maneiras por uma equação por uma tabela por um gráfico ou por meio de palavras Vamos examinar os principais tipos de funções que ocorrem no cálculo e descrever o modo de usálas como modelos matemáticos de fenômenos do mundo real Também discutiremos o uso de calculadoras gráficas e de software gráfico para computadores 1 Cortesia da IRIS Consortium Disonível em wwwirisedu Normalmente um gráfico é a melhor maneira de representar uma função em razão da transmissão de muita informação em um relance Ao lado está um gráfico da aceleração de solo criada pelo terremoto de 2008 em Sichuan província da China A cidade mais atingida foi Beichuan coomo mostra a foto Mark RalstonAFPGetty Images Calculo01calculo7 51013 1059 AM Page 9 A área D de um círculo depende de seu raio r A regra que conecta r e D é dada pela equação A πr² A cada número r positivo está associado um único valor de A e dizemos que A é uma função de r Cada uma desses exemplos descreve uma regra pela qual dado um número r t ou t ou outro número A P C ou a é associado Em cada caso dizemos que o segundo número é uma função do primeiro É possível representar uma função de quatro maneiras verbalmente descrevendoa com palavras numericamente por meio de uma tabela de valores visualmente através de um gráfico e algebricamente utilizandose uma fórmula explícita plica que aproxima o comportamento da função dada No entanto vamos ver que podemos aplicar ideias de cálculo com tabelas de valores não sendo necessária uma fórmula explícita A área da base é 2ww 2w2 assim o custo do material em dólares para a base é de 102w2 Quanto aos lados dois têm área eh e os outros 2uh portanto o custo total dos lados é 62uh 22wh Logo o custo total é C 102w2 62uh 22wh 20w2 36hw Por exemplo a parábola x y2 2 na Figura 14a não é o gráfico de uma função de x pois como podemos ver existem retas verticais que interceptam a parábola duas vezes A parábola no entanto contém os gráficos de duas funções de x Note que a equação x y2 2 implica y2 x 2 de modo que y pmsqrtx 2 Assim a metade superior e a inferior da parábola são os gráficos de fx sqrtx 2 e gx sqrtx 2 O próximo exemplo de função definida por partes é a função valor absoluto Lembrese de que o valor absoluto de um número a denotado por a é a distância de a até 0 sobre a reta real Como distâncias são sempre positivas ou nulas temos a 0 para todo número a Por exemplo 3 3 3 3 0 0 2 1 2 1 3 π π 3 Em geral temos a a se a 0 a a se a 0 Lembrese de que se a for negativo então a será positivo A reta que passa pelos pontos 0 0 e 1 1 tem inclinação m 1 e interseção com o eixo y b 0 assim sua equação é y x Logo para a parte do gráfico de f que liga os pontos 0 0 e 1 1 temos fx x se 0 x 1 A reta que passa pelos pontos 1 1 e 2 0 tem uma inclinação de m 1 dessa maneira a forma pontoinclinação será y 0 1x 2 ou y 2 x Logo temos fx 2 x se 1 x 2 Juntando todas as informações temos a seguinte fórmula em três partes para fx x se 0 x 1 2 x se 1 x 2 0 se x 2 O gráfico de Figura 22 cresce de A para B decresce de B para C e cresce novamente de C para D Digamos que a função f é crescente no intervalo a b decrescente em b c e crescente novamente em c d Note que se x1 x2 são dois números quaisquer entre a e b com x1 x2 então fx1 fx2 Utilizamos isso como a propriedade que define uma função crescente Uma função f é chamada crescente em um intervalo I se fx1 fx2 quando x1 x2 em I Se fx x sqrt2 x e gu u sqrt2 u é verdadeiro que f g Se fx fracx2 xx 1 e gx x é verdadeiro que f g O gráfico de uma função f é dado a Diga o valor de f1 b Estime o valor de f1 c Para quais valores de x tais que fx 0 d Diga qual é o domínio e a imagem de f e Em qual intervalo f é crescente Note que nosso modelo dá valores mais altos do que os níveis reais de CO₂ Um modelo linear melhor seria obtido por meio de um procedimento da estatística chamado regressão linear Se utilizamos uma calculadora gráfica inserimos os dados da Tabela 1 no editor de dados e escolhemos o comando de regressão linear Com o Maple utilizamos o comando fit A máquina dá a inclinação e a interseção com o eixo y da reta de regressão como m 165429 e b 293807 Assim nosso modelo de mínimos quadrados para o nível de CO₂ é C 165429t 293807 Na Figura 6 fizemos o gráfico da reta de regressão e marcamos os pontos dados Comparandoa com a Figura 5 vemos que ela fornece um ajuste melhor que o anterior para nosso modelo linear Polinômios Uma função P é denominada polinômio se Px anxn an1xn1 a2x2 a1x a0 onde n é um inteiro não negativo e os números a0 a1 a2 an são constantes chamadas coeficientes do polinômio O domínio de qualquer polinômio P é R Se o coeficiente dominante an 0 então o grau do polinômio é n Por exemplo a função Px 2x6 x4 32x3 2 é um polinômio de grau 6 Um polinômio de grau 1 é da forma Px mx b portanto é uma função linear Um polinômio de grau 2 é da forma Px ax2 bx c e é chamada função quadrática O gráfico de P é sempre uma parábola obtida por translações da parábola y ax2 conforme veremos na próxima seção A parábola abrese para cima se a 0 e para baixo quando a 0 Veja a Figura 7 Exemplo 4 Uma bola é solta a partir do ponto de observação no topo da Torre CN 450 m acima do chão e sua altura h acima do solo é registrada em intervalos de 1 segundo na Tabela 2 Encontre um modelo para ajustar os dados e useo para prever o tempo após o qual a bola atinge o chão Vamos fazer um diagrama de dispersão na Figura 9 e observar que um modelo linear não é apropriado Parece que os pontos podem estar sobre uma parábola assim vamos tentar um modelo quadrático Usando uma calculadora gráfica ou um SCA que usa o método dos mínimos quadrados obtemos o seguinte modelo quadrático h 44936 096t 490t² Na Figura 10 fizemos um gráfico da Equação 3 a partir dos pontos dados e vimos que o modelo quadrático é adequado A bola atinge o chão quando h 0 e assim resolvemos a equação quadrática 490t² 096t 44936 0 A fórmula quadrática fornece t 096 096² 449044936 2490 A raiz positiva é t 967 dessa forma prevemos que a bola vai atingir o chão após 97 segundos Gráficos de fxxn para n1 2 3 4 5 Volume como uma função da pressão à temperatura constante Um exemplo de função algébrica ocorre na Teoria da Relatividade A massa de uma partícula com uma velocidade v é m fv m0 1 v2c2 e seu gráfico é ilustrado na Figura 19 Ela não está definida quando cos x 0 isto é quando x π2 3π2 Sua imagem é Observe que a função tangente tem período π tgx π tg x para todo x As três funções trigonométricas remanescentes cossecante secante e cotangente são as recíprocas das funções seno cosseno e tangente Seus gráficos estão na Apêndice D a Encontre uma equação para a família de funções lineares com inclinação 2 e esboce os gráficos de vários membros da família b Encontre uma equação para a família de funções lineares tais que f2 1 e esboce os gráficos de vários membros da família c Qual função pertence a ambas as famílias a Encontre uma expressão para uma função cúbica fx 6 e b use a equação para prever a temperatura média global em 2100 a O que a inclinação e a interseção com o eixo T representam A tabela mostra a quantidade N de espécies de répteis e anfíbios habitando as ilhas caribenhas e a área A da ilha em quilómetros quadrados A tabela mostra as distâncias médias de dois planetas ao Sol tomando como unidade de medida a distância da Terra ao Sol e seus períodos T tempo de revolução em anos a Ajuste um modelo de função potência aos dados b A Terceira Lei de Movimento Planetário de Kepler diz que O quadrado do período de revolução de um planeta é proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol Seu modelo confirma a Terceira Lei de Kepler EXEMPLO 4 A Figura 9 mostra gráficos do número de horas de luz solar como função da época do ano em diversas latitudes Dado que Ancara na Turquia está localizada a aproximadamente 40 N de latitude encontre uma função que modele a duração da luz solar em Ancara COMBINAÇÕES DE FUNÇÕES Duas funções f e g podem ser combinadas para formar novas funções f g f g fg e fg de forma similar àquela pela qual somamos subtraímos multiplicamos e dividimos números reais As funções soma e diferença são assim definidas EXEMPLO 7 Se fx x e gx 2 x encontre cada uma das funções e seus domínios a f g b g f c f f d g g 53 A queda de uma pedra em um lago gera ondas circulares que se espalham a uma velocidade de 60 cms a Expresse o raio desse círculo como uma função do tempo t em segundos b Se A é a área do círculo como função do raio encontre A e o reinterpretea 3136 Encontre as funções a fg b gf c ff e d gg e seus domínios 52 Use os gráficos dados de f e g para estimar o valor de fgx para x 5 4 3 5 Use essas estimativas para esboçar o gráfico de fg EXEMPLO 1 Em cada uma das janelas retangulares a seguir faça o gráfico de fx x² 3 a 2 2 por 2 2 b 4 4 por 4 4 c 10 10 por 5 30 d 50 50 por 100 1000 EXEMPLO 4 Faça o gráfico da função fx sen 50x em uma janela apropriada SOLUÇÃO A Figura 6a mostra o gráfico de f produzido por uma calculadora gráfica usando uma janela retangular de 12 12 por 15 15 A primeira vista parece ser razoável Porém se mudarmos para outras janelas da Figura 6 o gráfico mudará completamente Algo estranho está acontecendo Vimos que a escolha de uma janela pouco apropriada pode levar a uma visão errônea do gráfico de uma função Nos Exemplos 1 e 2 resolvemos o problema ampliando a janela ao passo que no Exemplo 4 o reduzimos No próximo exemplo examinaremos uma função para a qual não existe qualquer janela satisfatória que revele a verdadeira forma do gráfico Observe que essa função f igual a x exceto quando x 0 Use uma calculadora gráfica ou um computador para determinar qual das janelas retangulares dadas produziu o gráfico mais apropriado da função fx x² 5x² Faça o gráfico da função y senx usando a janela 0 400 por 15 15 Qual a diferença entre esse gráfico e o da função seno 173 3 174 2173 23 2174 fx fracxx2 1 Uma razão para a importância da função exponencial está nas propriedades a seguir Se x e y forem números racionais então essas propriedades são bem conhecidas da álgebra elementar fx fracx2x2 1 Vamos considerar primeiro uma população de bactérias em um meio nutriente homogêneo Supomos que tomando amostras da população em certos intervalos de tempo fique determinado que a população dobra a cada hora fx fracxx 1 Dentre todas as bases possíveis para uma função exponencial há uma que é mais conveniente para os propósitos do cálculo A escolha de uma base e é influenciada pela maneira que o gráfico de y ax cruza o eixos x e y As Figuras 10 e 11 mostram as retas tangentes para os gráficos de y 2x e y 3x no ponto 0 1 As retas tangentes serão definidas precisamente na Seção 27 Para as finalidades presentes você pode pensar na reta tangente para um gráfico exponencial em um ponto como a reta que toca o gráfico somente naquele ponto Se medirmos as inclinações dessas retas tangentes em 0 1 descobrimos que m 07 para y 2x e m 11 para y 3x fx x Na visualização das Figuras 10 e 11 não surpreende que o número e está entre 2 e 3 e o gráfico de y ex estique entre os gráficos y 2x e y 3x No Capítulo 13 veremos que o valor e é correto até a quinta casa decimal e 271828 Podemos chamar a função fx ex de função exponencial natural fx 1 3x2 x Na Figura 15 fizemos os gráficos da função y ex e da reta horizontal y 1000000 Vamos ver essas curvas se interceptam quando x 138 Assim ex 106 quando x 138 Talvez surpreenda que os valores da função exponencial já ultrapassem 1 milhão quando x somente 14 fx 1 3x3 x5 A Tabela 1 fornece os dados de uma experiência na qual uma cultura começou com 100 bactérias em um meio limitado em nutrientes o tamanho da população foi registrado em intervalos de uma hora O número N de bactérias é uma função do tempo t N ft Suponha todavia que o biólogo mude seu ponto de vista e passe a se interessar pelo tempo necessário para a população alcançar vários níveis Em outras palavras ela está pensando em f como uma função de N Essa função chamada de função inversa de f é denotada por f¹ e deve ser lida assim inversa de f Logo t f¹N é o tempo necessário para o nível da população atingir N Os valores de f¹ podem ser encontrados na Tabela 1 lendoa ao contrário ou consultando a Tabela 2 Por exemplo f¹550 6 pois f6 550 Se f e g são funções pares f g é ímpar Se f e g são funções ímpares f g é ímpar O que se pode dizer se for par e g for ímpar Justifique suas respostas Teste da Reta Horizontal Uma função f é injetora se nenhuma reta horizontal intercepta seu gráfico em mais de um ponto EXEMPLO 1 A função fx x³ é injetora SOLUÇÃO 1 Se x₁ x₂ então x₁³ x₂³ dois números diferentes não podem ter o mesmo cubo Portanto pela Definição 1 fx x³ é injetora EXEMPLO 2 A função gx x² é injetora SOLUÇÃO 1 Esta função não é injetora pois por exemplo g1 1 g1 e portanto 1 1 tem a mesma saída SOLUÇÃO 2 Da Figura 4 vemos que existem retas horizontais que interceptam o gráfico de g mais de uma vez Assim pelo Teste da Reta Horizontal g não é injetora Se f e g são funções pares o produto fg é par Se f e g são funções ímpares fg é ímpar O que se pode dizer se for par e g for ímpar Justifique suas respostas Essa definição diz que se f transforma x em y então f¹ transforma y de volta para x Se f não for injetora então f¹ não seria definida de forma única O diagrama de setas na Figura 5 indica que f¹ reverte o efeito de f Note que domínio de f¹ imagem de f e imagem de f¹ domínio de f Por exemplo a função inversa de fx x³ é f¹y y13 porque se y x³ então f¹y f¹x³ x³13 x EXEMPLO 4 Encontre a função inversa fx x³ 2 SOLUÇÃO De acordo com 5 escrevemos primeiro y x³ 2 Então isolamos x nessa equação x³ y 2 x 3y 2 Finalmente trocando x por y y 3x 2 Portanto a função inversa é f¹x 3x 2 O princípio de trocar x e y para encontrar a função inversa também nos dá um método de obter o gráfico f¹ a partir de f Uma vez que fa b e se b está no gráfico de f e se somente se o ponto b a estiver no gráfico de f¹ Portanto conforme ilustrado na Figura 9 O gráfico de f¹ é obtido refletindose o gráfico de f em torno da reta y x EXEMPLO 5 Esboce os gráficos de fx 1 x e de sua função inversa usando o mesmo sistema de coordenadas SOLUÇÃO Esboçamos primeiro a curva y 1 x a metade superior da parábola y² 1 x ou x 1 y² 1 e então refletindo em torno da reta y x obtemos o gráfico de f¹ Como uma verificação do nosso gráfico observe que a expressão para f¹x x² 1 x 0 Assim o gráfico de f¹ é a metade à direita da parábola y x² 1 e isso parece razoável pela Figura 10 Se a 0 e a 1 a função exponencial fx aˣ é crescente ou decrescente e portanto injeta pelo Teste da Reta Horizontal Assim existe uma função inversa f¹ chamada função logarítmica com base a denotada por logₐ Se usarmos a formulação de função inversa dada por 3 temos f¹x y fy x A função logarítmica logₐ tem domínio 0 e a imagem R Seu gráfico é a reflexão do gráfico de y aˣ em torno da reta y x A Figura 11 mostra o caso em que a 1 As funções logarítmicas mais importantes têm base a 1 O fato de que y aˣ é uma função que cresce muito rapidamente para x 0 está refletido no fato de que y logₐx é uma função de crescimento muito lento para x 1 A fórmula a seguir mostra que os logarithms com qualquer base podem ser expressoes em termos de logarithms naturais Quando tentamos encontrar as funções trigonométricas inversas temos uma pequena dificuldade em razão de que funções trigonométricas não serão injetoras elas não têm funções inversas A função inversa do seno sen1 tem domínio 1 1 e imagem π2 π2 e seu gráfico mostrado na Figura 20 é obtido dada a restrição da função seno Figura 18 por reflexão em torno da reta y x sec²y 1 tg²y 1 x² Assim costg¹x cos y 1sec y 11 x² A função inversa da tangente tg¹ arctg tem domínio R e imagem π2 π2 Dê um exemplo de cada tipo de função a Função linear b Função potencial c Função exponencial d Função quadrática e Função polinomial de grau 5 f Função racional 7 Esboce à mão no mesmo sistema de coordenadas os gráficos das seguintes funções a fx x b gx x² c hx x³ d jx x⁴ 8 Esboce à mão o gráfico de cada função a y sen x b y tg x c y eˣ d y ln x e y 1x f y x g y tg¹x 9 Suponha que os domínios de f e g sejam domínios A e g respectivamente B a Qual o domínio de f g b Qual o domínio de fg c Qual o domínio de fg 10 Como é definida a função composta fg Qual seu domínio 11 Suponha que seja dado o gráfico de f Escreva a equação para cada um dos seguintes gráficos obtidos a partir do gráfico de f a Deslocado 2 unidades para cima b Deslocado 2 unidades para baixo c Deslocado 2 unidades para a direita d Deslocado 2 unidades para a esquerda e Refletido em torno do eixo x f Refletido em torno do eixo y g Expandido verticalmente por um fator de 2 h Contrário verticalmente por um fator de 2 i Expandido horizontalmente por um fator de 2 j Contrário horizontalmente por um fator de 2 12 a O que é uma função injetora Como decidir a partir de seu gráfico se uma função é injetora b Se f é uma função injetora como é definida a função inversa f¹ Como obtemos o gráfico f¹ do gráfico de f 13 Como a inversa da função seno fx cos¹x é definida Qual é o seu domínio e qual é a sua imagem c Como a inversa da função tangente fx tg¹x é definida Qual é o seu domínio e qual é a sua imagem 8 É sempre possível dividir por eˣ 9 Se 0 a b então ln a ln b 10 Se x 0 então ln x⁶ 6 ln x 11 Se x 0 e a 1 então ln x ln xa 12 tg¹1 3π4 13 tg¹x sen¹xcos¹x 14 Se x for qualquer número real então x² x Não existem regras rígidas que garantam sucesso na resolução de problemas Porém é pos sível esboçar alguns passos gerais no processo de resolver problemas e fornecer alguns prin cípios que poderão ser úteis ao resolver certos problemas Esses passos e princípios são tão somente o senso comum tornado explícito Eles foram adaptados do livro de George Polya How To Solve It O primeiro passo é ler o problema e assegurarse de que o entendeu claramente Faça a si mesmo as seguintes perguntas Qual é a incógnita Quais são as quantidades dadas Quais são as condições dadas Para muitos problemas é proveitoso fazer um diagrama e identificar nele as quantidades dadas e pedidas Geralmente é necessário introduzir uma notação apropriada Ao escolher os símbolos para as incógnitas frequentemente utilizamos letras tais como a b c m n x e y mas em alguns casos é proveitoso usar as iniciais como símbolos sugestivos por exemplo V para o volume ou t para o tempo Encontre uma conexão entre a informação dada e a pedida que o ajude a encontrar a incóg nita Frequentemente pergunte se Como posso relacionar o que foi dado ao que foi pedido Se não for possível visualizar imediatamente a conexão as seguintes ideias podem ser úteis para delinear um plano Tente Reconhecer Algo Familiar Relacione a situação dada com seu conhecimento anterior Olhe para a incógnita e tente se lembrar de um problema familiar que a envolva Tente Reconhecer os Padrões Alguns problemas são resolvidos reconhecendose o tipo de pa drão no qual ocorrem O padrão pode ser geométrico numérico ou algébrico Você pode ver a regularidade ou a repetição em um problema ou ser capaz de conjecturar sobre o padrão de seu desenvolvimento para depois demonstrálo Use Analogias Tente pensar sobre problemas análogos isto é um problema similar um pro blema relacionado mas que seja mais simples que o problema original Se você puder resol ver o problema similar mais simples isso poderá lhe dar pistas sobre a solução do problema mais difícil Por exemplo se um problema envolver números muito grandes você poderá pri meiro tentar um problema similar com números menores Caso o problema envolva a geometria tridimensional você poderá tentar primeiro um problema similar bidimensional Se seu pro blema for genérico tente primeiro um caso especial Introduza Algo MaisÀs vezes pode ser necessário introduzir algo novo um auxílio extra para que você faça a conexão entre o que foi dado e o que foi pedido Por exemplo em um pro blema no qual o diagrama é fundamental a ajuda extra pode ser o traçado de uma nova reta nele Em problemas mais algébricos pode ser a introdução de uma nova incógnita relacio nada com a original Divida em Casos Às vezes podemos ter que dividir um problema em diversos casos e dar um argumento diferente para cada um deles Por exemplo frequentemente temos que utilizar esta estratégia ao lidar com o valor absoluto 2 PLANEJANDO 1 ENTENDENDO O PROBLEMA FUNÇÕES E MODELOS 69 Princípios da Resolução de Problemas Calculo01calculo7 51013 219 PM Page 69 Limites e Derivadas Em Uma Apresentação do Cálculo vimos como a ideia de limite é a base dos vários ramos do cálculo Por isso é apropriado começar nosso estudo de cálculo examinando os limites e suas propriedades O tipo especial de limite usado para encontrar as tangen tes e as velocidades dá origem à ideia central do cálculo diferencial a derivada 2 Uma bola cai com cada vez mais velocidade com o passar do tempo Galileu descobriu que a distância da queda é proporcional ao quadrado do tempo em que ela está em queda O Cálculo então nos permite conhecer a velocidade da bola em um dado momento 1986 PetcolasMegna Fundamental Photographs NYC Calculo02calculo7 51013 236 PM Page 75 Calculo02calculo7 51013 350 PM Page 156 Regras de Derivação Vimos que as derivadas são interpretadas como inclinações e taxas de variação Vimos também como estimar as derivadas de funções dadas por tabelas de valores Aprendemos a fazer os gráficos de derivadas de funções definidas graficamente Usamos a definição de derivada para calcular as derivadas de funções definidas por fórmulas Mas seria tedioso se sempre usássemos a definição Neste capítulo desenvolveremos regras para encontrar as derivadas sem usar diretamente a definição Essas regras de derivação nos permitem calcular com relativa facilidade as derivadas de polinômios funções racionais funções algébricas funções exponenciais e logarítmicas além de funções trigonométricas e trigonométricas inversas Em seguida usaremos essas regras para resolver problemas envolvendo taxas de variação e aproximação de funções 3 Para que uma volta de montanharussa seja tranquila as retas do trilho devem estar conec tadas aos segmentos da curva de modo que não haja alterações bruscas na direção Em Projeto Aplicado você verá como projetar a primeira ascensão e queda de uma nova montanharussa para uma volta tranquila Brett MulcahyShutterstock Calculo03Acalculo7 51013 126 PM Page 157 Calculo02calculo7 51013 350 PM Page 156 Aplicações da Derivação Já estudamos algumas das aplicações das derivadas agora porém com o auxílio das regras de derivação estamos em posição de estudar as aplicações da derivação em maior profundidade Aprenderemos como as derivadas afetam o formato do gráfico de uma função e em particular como nos ajudam a localizar os valores máximos e mínimos de funções Muitos problemas práticos requerem minimizar um custo ou maximizar uma área ou de alguma forma encontrar a melhor saída de uma situação Em particular poderemos pesquisar a melhor forma de uma lata e explicar a localização de um arco íris no céu 4 Pichugin DmitryShutterstock O cálculo que você irá aprender neste capítulo lhe permitirá explicar a localização do arcoíris no céu e a razão pela qual as cores no arcoíris secundário aparecerem na ordem oposta às do arcoíris primário Veja o projeto na página 256 Calculo04calculo7 61013 604 AM Page 247 Calculo04calculo7 61013 742 AM Page 324 Integrais No Capítulo 2 usamos os problemas de tangente e de velocidade para introduzir a derivada que é a ideia central do cálculo diferencial Neste capítulo começaremos com os problemas de área e de distância e os utilizaremos para formular a ideia de integral definida que é o conceito básico do cálculo integral Veremos nos Capítulos 6 e 8 como usar a integral para resolver os problemas relativos a volumes comprimentos de curvas predições populacio nais saída de sangue do coração força sobre um dique trabalho excedente de consumo e beisebol entre muitos outros Há uma conexão entre o cálculo integral e o diferencial O Teorema Fundamental do Cálculo relaciona a integral com a derivada e veremos neste capítulo que isso simplifica bastante a solução de muitos problemas 5 Nathan JaskowiakShutterstock No Exemplo 7 na Seção 54 você verá como usar as informações de consumo de energia e uma integral para calcular a energia usada em um dia em São Francisco Calculo0501calculo7 5813 816 PM Page 325 368 CÁLCULO PR O J E T O E S C R I T O NEWTON LEIBNIZ E A INVENÇÃO DO CÁLCULO Algumas vezes lemos que os inventores do cálculo foram Sir Isaac Newton 16421727 e Gott fried Wilhelm Leibniz 16461716 Mas sabemos que as ideias básicas por trás da integração foram investigadas há 2500 anos pelos antigos gregos tais como Eudóxio e Arquimedes e que os métodos para encontrar as tangentes foram inventados por Pierre Fermat 16011665 e Isaac Bar row 16301677 entre outros Barrow professor em Cambridge que teve grande influência sobre Newton foi o primeiro a entender a relação inversa existente entre a derivação e a integração O que Newton e Leibniz fizeram foi usar essa relação na forma do Teorema Fundamental do Cál culo para desenvolver o cálculo em uma disciplina matemática sistemática É nesse sentido que é atribuída a Newton e a Leibniz a invenção do cálculo Leia sobre as contribuições desses homens em uma ou mais das referências sugeridas e escreva sobre um dentre os três tópicos listados a seguir Você pode incluir detalhes biográficos mas o pro pósito principal de seu relatório deve ser a descrição em detalhes de seus métodos e notações Em particular você deve consultar os livros que trazem trechos das publicações originais de Newton e Leibniz traduzidas do latim para o inglês O Papel de Newton no Desenvolvimento do Cálculo O Papel de Leibniz no Desenvolvimento do Cálculo A Controvérsia entre os Seguidores de Newton e de Leibniz sobre a Primazia na Invenção do Cálculo Referências 1 Boyer C Merzbach U A History of Mathematics Nova York Wiley 1987 Capítulo 19 2 Boyer C The History of the Calculus and Its Conceptual Development Nova York Dover 1959 Capítulo V 3 Edwards C H The Historical Development of the Calculus Nova York SpringerVerlag 1979 Capítulos 8 e 9 4 Eves H An Introduction to the History of Mathematics 6 ed Nova York Saunders 1990 Capítulo 11 5 Gillispie C C Dictionary of Scientific Biography Nova York Scribners 1974 Veja o artigo sobre Leibniz de Joseph Hofmann no Volume VIII e o artigo sobre Newton de I B Cohen in Volume X 6 Katz V A History of Mathematics an introduction Nova York HarperCollins 1993 Capítulo 12 7 Kline M Mathematical Thought from Ancient to Modern Times Nova York Oxford University Press 1972 Capítulo 17 Livros fontes 1 Fauvel J Gray J The History of Mathematics A Reader Londres MacMillan Press 1987 Capítulos 12 e 13 2 Smith D E A Sourcebook in Mathematics Nova York Dover 1959 Capítulo V 3 Struik D J A Sourcebook in Mathematics 12001800 Princeton NJ Princeton University Press 1969 Capitulo V Calculo0504calculo7 5813 656 PM Page 368 Calculo0708calculo7 51413 550 AM Page 486 Mais Aplicações de Integração No Capítulo 6 vimos algumas aplicações de integrais como áreas volumes trabalho e valores médios Aqui exploraremos algumas das muitas outras aplicações geométricas da integração o comprimento de uma curva a área de uma superfície assim como quantidades de interesse na física engenharia biologia economia e estatística Por exemplo investigaremos o centro de gravidade de uma placa a força exercida pela pressão da água em uma barragem a circulação de sangue do coração humano e o tempo médio de espera na linha durante uma chamada telefônica de auxílio ao consumidor 8 Pichugin DmitryShutterstock A Represa Hoover atravessa o Rio Colorado entre Nevada e Arizona Construída de 1931 a 1936 essa barragem tem 2214 metros de altura e fornece irrigação controle de enchentes e geração de energia hidrelétrica Na Seção 83 você aprenderá a estabelecer e resolver uma integral para calcular a força sobre a barragem exercida pela pressão da água Calculo08calculo7 5913 955 PM Page 487 Apêndices A Números Desigualdades e Valores Absolutos B Geometria Analítica e Retas C Gráficos das Equações de Segundo Grau D Trigonometria E Notação de Somatória ou Notação Sigma F Demonstrações dos Teoremas G O Logaritmo Definido como uma Integral H Números Complexos I Respostas para os Exercícios Ímpares apendicescalculo7 51013 601 AM Page A1 apendicesres2calculo7 51013 1038 AM Page A92 Índice Remissivo Abel Niels 191 aceleração como uma taxa de variação 146 202 aceleração gravitacional 404 ajuste da curva 24 amplitude de uma função de 10 ângulo do arcoíris 256 ângulo negativo A22 ângulo positivo A22 ângulos A21 de desvio 256 entre curvas 244 negativo ou positivo A22 posição padrão A22 antiderivada 310 aproximação linear 226 para e 163 pela Regra de Simpson 462 464 pela Regra do Ponto Médio 342 458 pela Regra Trapezoidal 459 pelas somas de Riemann 337 pelo método de Newton 306 por diferenciais 228 por um polinômio de Taylor de inésimo grau 231 quadrática 231 reta tangencial 227 aproximação linear 226 aproximação quadrática 231 Aquiles e a tartaruga 5 arcoíris formação e localização do 256 área 2 326 abaixo de uma curva 326 331 336 de uma elipse 432 de uma superfície de uma revolução 495 500 de um círculo 433 entre curvas 382 382 por exaustão 2 93 área líquida 338 área superficial 496 argumento de um número complexo A53 Arquimedes 368 assentos de cinema 413 assíntota horizontal 120 281 assíntota oblíqua 282 285 assíntotas 281 ao fazer o gráfico de 281 de uma hipérbole A18 horizontal 120 281 oblíqua 282 285 vertical 87 281 assíntota vertical 87 281 astroide 194 Barrow Isaac 3 93 139 350 368 baseball e cálculo 412 base de um cilindro 389 base de um logaritmo 58 A49 variação de 60 Bernoulli John 274 280 cabo pendurado 232 calculadora gráfica 42 287 calculadora gráfica 41 287 Ver também sistema de computação algébrica cálculo 9 diferencial 3 integral 2 3 invenção de 8 368 cálculo diferencial 3 cálculo integral 2 3 caminho de aproximação de uma aeronave 188 capacidade de carregamento 213 266 cardioide 194 carga elétrica 204 CAS Ver sistema de computação algébrica catenário 232 Cauchy AugustinLouis 104 A41 Cavalieri 464 centro de gravidade Ver centro de massa centro de massa 503 de uma placa 505 centroide de uma região plana 505 cilindro aproximante 391 cilindro circular 389 cilindro circular direito 389 círculo área do 433 círculo equação do A14 círculos gordos 192 494 coeficientes de desigualdade 388 de fricção 178 254 de um polinômio 26 combinações de funções 37 comportamento final de uma função 130 composição de funções 38 179 continuidade de 115 derivada de 181 compressibilidade 205 compressibilidade isotérmica 206 comprimento do arco 488 concavidade 265 concentração 205 concha cilíndricas 399 cônicos transladados A19 conjugada complexa A51 conjugadas propriedades de A52 conjunto de notação A3 constante da mola 405 G constante gravitacional 211 408 consumo de potência aproximação de 365 continuidade capitalizações contínuas de juros 217 279 da esquerda ou da direita 111 de uma função 109 em um intervalo 111 convergência de uma integral imprópria 471 473 coordenada x A9 coordenada y A9 corrente 204 corrente elétrica para um flash 77 187 crescimento exponencial 213 crescimento populacional 50 213 de insetos 446 mundial 51 curva assintótica 287 curva de demanda 299 511 curva de Lorenz 388 curva do diabo 194 curva ponta de bala 48 185 curvas assintótica 287 comprimento da 488 de demanda 511 do diabo 194 ortogonal 195 ponta de bala 48 185 serpentina 171 suave 488 curvas ortogonais 195 curva suave 488 da bruxa de Maria Agnesi 171 datação de radiocarbono 219 débito cardíaco 513 decaimento exponencial 213 decaimento radioativo 215 de integração 337 aproximado 458 de funções de exponenciais 341 370 de funções racionais 438 fórmulas 419 447 RP610 indefinidas 360 limites de 337 numéricas 458 por frações parciais 438 por partes 420 421 422 por sistema de computação algébrica 454 indicecalculo7 51013 1045 AM Page I1 por uma substituição racionalizante 444 substituição em 369 tabelas uso de 452 De Moivre Abraham A55 densidade linear 204 363 líquida 502 massa vs peso 502 densidade linear 204 363 derivada de mão direita 150 derivada de mão esquerda 150 derivadas 131 133 140 231 como a inclinação de uma tangente 131 135 como uma função 140 como uma taxa de variação 131 de funções exponenciais 164 183 A48 A49 de funções hiperbólicas 233 de funções logarítmicas 196 A45 A48 de funções trigonométricas 173 175 de funções trigonométricas inversas 192 193 de notação 142 de uma função composta 179 de uma função constante 158 de uma função inversa 196 de uma função potência 158 de uma integral 350 de um polinômio 157 de um produto 167 167 de um quociente 169 domínio de 140 mais alta 145 mão direita 150 mão esquerda 150 segunda 145 terceira 146 derivadas de ordem superior 145 Descartes René A10 descida de uma aeronave início determinante de 188 descontinuidade 109 110 descontinuidade do jump 110 descontinuidade infinita 110 descontinuidade removível 110 desigualdades regra para A4 desigualdade triangular 105 A8 deslocamento 132 364 desvio padrão 35 diagrama de flechas 11 diagrama de máquina de uma função 10 diferença indeterminada 276 diferenciação 142 fórmulas para 170 RP5 implícitas 188 190 logarítmicas 198 diferenciação implícita 188 190 diferenciação logarítmica 198 diferencial 228 dispersão 256 distância entre números reais A7 entre pontos em um plano A10 distribuição normal 519 divergente de uma integral imprópria 471 473 do cilindro 389 domínio de uma função de 10 eixo x A9 eixo y A9 eixos coordenada A10 eixos coordenados A10 eixos de uma elipse A17 elemento de um conjunto A3 elipse 194 A17 área 432 rotacionado 195 energia cinética 412 energia cinética 412 equação de inésimo grau encontrando raízes de 191 equação de inclinaçãointerseção de uma reta A12 equação de pontoinclinação de um reta A11 equação de van der Waals 195 equação diferencial 166 213 312 equação linear A13 equaçãoões de cancelamento 57 de uma elipse A17 de uma hipérbole 62 A18 de uma parábola A16 de uma reta A11 A12 A13 A14 de um círculo A15 de um gráfico A14 A15 diferencial ver equação diferencial forma de duas interseções A14 inclinaçãointerseção A12 linear A13 nésimo grau 191 pontoinclinação A11 segundo grau A14 equações de cancelamento para funções inversas 57 para funções trigonométricas inversas 57 62 para logaritmos 59 erro na integração aproximada 458 462 porcentagem 229 relativa 229 erro porcentual 229 erro relativo 229 estereografia estelar 478 esticamento de uma função 34 estimativa de erro para a Regra do Ponto Médio 459 461 para a Regra Trapezoidal 459 460 para Regra de Simpson 465 estratégia para integração 447 447 para integrais trigonométricas 427 428 para problemas de otimização 294 294 para resolução de problemas 69 para taxas relacionadas 222 Euclides 93 Eudoxo 2 93 367 Euler Leonhard 52 excedente de produção 514 excedente do consumidor 511 511 expoentes leis de 50 A47 A49 exponenciais complexas A57 extrapolação 25 família de funções 46 291 291 de funções exponenciais 49 Fermat Pierre 3 139 250 368 A10 ferramentas gráficas Ver sistema de computa ção algébrica fluxo 512 512 fluxo líquido de investimento 514 fluxo sanguíneo 207 303 512 fólio de Descartes 189 força 404 constante 404 exercida pelo fluido 501 502 força constante 404 força líquida 501 502 formação capital 514 forma polar de um número complexo A53 formas indeterminadas de limites 272 fórmula da distância A11 fórmula de Euler A57 fórmula de ponto médio A14 fórmula de redução 422 fórmula do comprimento do arco 489 fórmulas de adição para seno e cosseno A26 fórmulas de ângulo duplo A26 fórmulas de antidiferenciação 311 fórmulas de produto A26 fórmulas de subtração para seno e cosseno A26 fórmulas do meioângulo A26 Fourier Joseph 210 Fourier série de finita 431 frações parciais 438 439 frações parciais 438 439 Fresnel Augustin 353 Fresnel função de 353 função algébrica 29 função arcoseno 62 função constante 158 função cosseno A23 derivada de 175 gráfico de 30 A28 função cosseno inversa 63 função crescente 18 função cúbica 26 função de área 348 função de Bessel 196 função decrescente 18 função de custo 208 298 função de custo marginal 135 209 298 363 função de custo médio 302 função de demanda 298 511 função de densidade de probabilidade 515 função de erro 358 função definida por partes 15 função degrau 16 função de Heaviside 41 84 função de logaritmo natural 59 A44 derivada de 197 A45 limites de A45 propriedades de A45 função de lucro 299 função de lucro marginal 299 função de posição 132 função de rampa 42 função de receita 299 I2 CÁLCULO indicecalculo7 51013 1045 AM Page I2 função de receita marginal 299 função descontínua 109 função de suprimento 514 função de valor absoluto 16 função de valor vetorial Ver função vetorial função diferenciável 143 função do comprimento do arco 491 função elementar integrabilidade de 451 função exponencial natural 52 164 A46 derivada de 164 A48 gráfico de 164 propriedades de A47 função ímpar 17 281 função implícita 188 190 função linear 22 função maior inteiro 96 função não diferencial 144 funçãoões 10 absoluto valor 16 algébrico 29 amplitude de 10 arcoseno 62 área 348 Bessel 196 combinações de 38 composto 38 179 comprimento do arco 491 constante 158 continuidade de 109 cosseno inversa 63 crescente 18 cúbico 26 custo 208 208 custo marginal 135 209 298 363 custo médio 302 decrescente 18 de densidade de probabilidade 515 de etapas 16 definidas por partes 15 de lucro 298 demanda 298 511 de polinômios 26 de posição 132 de raíz 27 de receita 299 derivada de 133 descontínua 109 diagrama de flechas de 11 diagrama de máquina de 10 diferenciabilidade de 144 domínio de 10 elementar 451 erro 358 esticadas 34 exponencial 31 48 162 exponencial natural 52 família de 46 291 291 Fresnel 353 gráfico de 10 Heaviside 41 84 hiperbólica 232 hiperbólica inversa 234 ímpares 17 281 implícita 188 inversa 55 56 limite de 80 100 linear 23 logarítmica 31 58 A44 A49 logarítmica natural 59 lucro marginal 298 maior inteiro 96 não diferencial 144 par 17 281 periódicas 281 ponto fixo de 155 262 potências 27 158 quadráticas 26 racionais 29 438 rampas 42 receita marginal 299 recíprocas 28 refletidas 34 representações de 10 12 seno integral 358 seno inversa 62 suaves 488 tabulares 13 tangente inversa 63 transformação de 34 translação de 34 transladadas 34 trigonométrica inversa 62 64 trigonométricas 30 A23 umaum 55 valor de 10 10 valores extremos de 248 valores máximo e mínimo de 248 valor médio de 409 517 funçãoões exponencialis 31 48 162 RP4 com base a A49 derivada de 164 183 A49 gráficos de 48 164 integração de 341 368 limites de 124 A47 propriedades de A47 funçãoões hiperbólicas 231 derivadas de 233 inversas 234 funçãoões inversas 55 56 funçãoões logarítmicas 31 58 com base a 58 A49 derivadas de 196 A49 gráficos de 59 61 limites de 87 A46 propriedades de 59 59 A45 funçãoões potências 27 derivada de 158 função par 17 281 função periódica 281 função polinomial de 26 função quadrática 26 função racional 29 439 continuidade de 111 integração de 438 função raiz 27 função recíproca 28 função secante A23 derivada de 175 gráfico de A28 função seno A23 derivada de 175 175 gráfico de 30 A28 função seno integral 358 função seno inversa 62 função suave 488 função tabular 13 função tangencial A23 derivada de 175 gráfico de 30 A28 função tangente inversa 63 função umaum 55 funções simétricas integrais de 373 funções trigonométricas inversas 62 64 funções trigonométricas 29 A23 derivadas de 172 175 gráficos de 29 30 A27 A28 integrais de 360 425 inversa 62 limites envolvendo 173 174 Galois Evariste 191 Gauss Karl Friedrich A31 geometria analítica A9 Gini coeficiente 388 Gini Corrado 388 gradiente de velocidade 208 gráfico de dispersão 12 gráfico exponencial 48 gráficos de funções exponenciais 48 163 RP4 de funções logarítmicas 59 61 de funções potências 27 RP3 de funções trigonométricas 30 A27 RP2 de uma equação A14 A15 de uma função 10 grau de um polinômio 26 Gregory James 180 428 464 Heaviside Oliver 84 Hecht Eugene 228 230 hipérbole 194 A18 assíntotas A18 equação A18 equilateral A19 ramificações A18 hipérbole equilateral A19 identidades trigonométricas A25 impulso de uma força 412 inclinação A11 de uma curva 131 incrementar 134 índice de Gini 388 índice de soma A30 indução matemática 70 72 princípio de 70 72 A32 integração aproximada 458 integração definida por partes 420 422 422 por substituição 372 integração numérica 458 integração numérica adaptativa 466 integração parcial 420 421 422 integrais múltiplas Ver integral dupla inte gralis triplas integrais probletrigonométricas tangenciais 425 estratégia para avaliar 427 428 integral definida 337 propriedades de 343 Regra de Substituição para 372 Integral Imprópria 470 convergência ou divergência de 471 473 integral imprópria convergente 471 473 ÍNDICE REMISSIVO I3 indicecalculo7 51013 1045 AM Page I3 integral imprópria divergente 471 473 integralis aproximações para 342 de avaliação 339 definida 337 de funções simétricas 373 derivada de 351 dupla ver integral dupla imprópria 470 indefinida 360 linear ver integral linear padrões nas 457 propriedades comparativas de 345 propriedades de 343 tabela de 419 447 452 RP610 unidades para 365 variação de variáveis em 369 integralis indefinidas 360 tabela de 360 integrando 337 descontínuo 473 integrandos descontínuo 473 inteiro A2 interpolação 25 interseção x A12 A17 interseção y A12 A17 intersecção de conjuntos A3 interseções 281 A17 intervalo A3 intervalo aberto A3 intervalo fechado A3 intervalo infinito 470 472 jerk 147 joule 404 juro capitalizado continuamente 217 juros compostos 217 279 kampyle de Eudoxo 194 Lagrange JosephLouis 258 258 lâmina 505 lâmpada de flash corrente para 77 latas minimizar o custo de manufatura de 304 Leibniz Gottfried Wilhelm 3 143 350 368 Lei da Potência de Limites 92 Lei da Soma de Limites 91 Lei de Boyle 211 lei de cossenos A30 lei de crescimento natural 213 lei de crescimento ou decaimento naturais 213 lei de fluxo laminar 207 512 lei de gravitação 211 408 Lei de Gravitação de Newton 211 408 Lei de Hooke 405 Lei de Produto de Limites 91 Lei de Torricelli 210 Lei de Quociente de Limites 91 Lei de Raiz de Limites 93 Lei de Resfriamento de Newton 216 Lei de Snell 302 lei do gás ideal 213 leis de expoentes 50 Leis de Limite 91 A35 leis de logaritmos 59 Leis de Poiseuille 230 303 513 leis do quadrado inverso 33 lemniscata 194 comprimento de uma curva 488 de um segmento linear A7 A11 lHospital Marquis de 272 280 libra unidade de força 404 limite de mão direita 85 104 limite de mão esquerda 85 104 limites de erro 461 465 limite infinito 86 106 125 limites 2 80 calculando 90 definições precisas 100 104 106 126 128 de funções exponenciais 124 de funções logarítmicas 88 A44 de integração 337 de mão esquerda 85 104 de uma função 80 101 de uma função trigonométrica 174 de uma sequência 5 328 envolvendo funções seno e cosseno 173 173 174 e o número como 200 infinita 86 106 125 laterais 85 104 mão direita 85 104 no infinito 119 120 125 propriedades de 91 limites laterais 85 104 linearização 226 logaritmos 30 59 leis de 59 A45 natural 59 A44 notação para 59 massa centro de Ver centro de massa máximo e mínimo global 248 máximo ou mínimo relativo 248 mediana de uma densidade de probabilidade função 519 medida de radiano 173 A21 meiavida 215 meia vida de um átomo 478 meio de uma função de densidade de probabi lidade 517 método de conchas cilíndricas 399 método de diluição do contraste 513 método de disco para volume de aproximação 391 399 método de exaustão 2 93 método de lavadores 393 método de Newton 305 306 Método do Intervalo Fechado 252 método dos quadrados mínimos 25 modelagem crescimento populacional 50 213 modelo empírico 24 modelo linear 22 modelo matemático Ver modelos matemá ticos modelo predadorpresa 213 modelos matemáticos 12 22 empírico 24 exponencial 31 50 função potência 27 função racional 29 linear 23 logarítmica 31 para crescimento populacional 213 polinomial 26 trigonométrico 30 30 módulo A52 momento de uma lâmina 505 de uma massa 503 de um sistema de partículas 505 sobre um eixo 504 momento de um objeto 412 montanharussa design de 166 movimento harmônico simples 186 movimento retilíneo 313 natural lei de crescimento 213 natural lei do decaimento 213 Newton Sir Isaac 3 8 93 139 143 350 368 newton unidade de força 404 notação de Leibniz 143 notação delta D 133 135 notação de soma A30 notação primária 133 161 notação sigma 331 A30 número complexo A51 inteiro A2 irracional A2 racional A2 real A2 número crítico 251 inúmero imaginário A51 número irracional A2 número racional A2 número real A2 números complexos A51 adição e subtração de A51 argumento de A53 divisão de A51 A54 forma polar A53 igualdade de A51 módulo de A52 multiplicação de A51 A54 parte imaginária de A51 parte real de A51 potências de A55 raízes de A56 raíz quadrada principal de A52 eo número 51 163 A46 como um limite 200 operador de diferenciação 142 origem A2 A9 padrões em integraiss 457 Pappus de Alexandria 507 parábola A16 propriedade de reflexão 244 paradoxos de Zeno 5 paralelepípedo 389 par ordenada A9 partes integração por 420 421 422 pascal unidade de pressão 502 pêndulo aproximando o período de 227 230 período 281 peso força 404 plano cartesiano A10 Poiseuille JeanLouisMarie 207 polinômio 26 Polinômino de Taylor 231 polinômio de Taylor de nésimo grau 231 ponto de amostra 331 337 ponto de inflexão 266 I4 CÁLCULO indicecalculo7 51013 1045 AM Page I4 ponto de libração 310 ponto de treliça 244 ponto fixo de uma função 155 261 posição padrão de um ângulo A22 potência 136 potência indeterminada 277 potencial 482 pressão e força hidrostáticas 501 502 pressão exercida pelo fluido 501 502 Princípio de Arquimedes 416 Princípio de Cavalieri 398 Princípio de Fermat 302 princípio de indução matemática 70 72 A32 princípio de simetria 505 princípios de resolução de problemas 69 usos de 154 320 370 379 probabilidade 515 problemaa de área 2 326 problema da agulha de Buffon 578 problema da distância 333 problema de tangente 2 3 76 130 problema de velocidade 78 132 problemas de otimização 248 294 procedimento de esboço de curva 281 produto de Wallis 425 produto indeterminado 276 Propriedade da Diferença de limitees 91 Propriedade da Substituição Direta 93 Propriedade de Limtes da Multiplicação por Constante 91 propriedade de reflexão de cônicos 244 de uma parábola 244 244 propriedades comparativas da integral 345 quadrante A10 quociente de diferença 12 raios paraxiais 227 raízes de uma equação de nésimo grau 191 raízes de um número complexo A56 raíz quadrada principal de um número com plexo A52 ramificação vascular 303 304 ramos de uma hipérbole A18 reação química 205 reflexão de uma função 34 região abaixo de um gráfico 326 332 entre dois gráficos 382 sólido de tipo 1 2 ou 3 Regra da Cadeia 179 179 182 Regra da Diferença 162 Regra da Multiplicação por Constante 160 Regra da Potência 158 160 182 199 Regra da Soma 161 Regra de lHospital 273 280 A41 origem de 281 Regra de Ponto Médio 342 459 erro no uso 460 Regra de Quociente 169 Regra de Reciprocidade 172 Regra de Simpson 462 464 limites de erro para 465 Regra de Substituição 369 370 para integrais definidas 372 Regra do Produto 167 167 Regra do Trapézio 459 erros na 459 regressão linear 25 representaçãoões de uma função 10 12 representações visuais de uma função de 10 12 reta horizontal equação de A12 retângulo de visualização 42 reta normal 160 reta real A3 reta secante 3 76 77 79 retas no plano 76 A11 equação de A11 A12 A13 horizontal A12 inclinação de A11 normal 160 paralela A13 perpendicular A13 secante 76 77 tangente 76 77 131 retas paralelas A13 retas perpendiculares A13 retas tangencialis 131 a uma curva 3 76 130 método anterior de descobrimento 139 vertical 145 reta tangencial de aproximação 227 reta tangente vertical 145 reta vertical A12 revolução sólido de 394 revolução superfície de 495 Riemann Georg Bernhard 337 Roberval Gilles de 355 Rolle Michel 257 rumores taxa de propagação de 209 seção cônica transladada A19 seção transversal 389 segunda derivada 145 Segunda Lei de Movimento de Newton 404 412 sequência 5 limite de 5 328 sequência infinita Ver sequência série 6 soma de 6 série infinita Ver série serpentina 171 simetria 17 281 373 Simpson Thomas 463 464 síntese de FM 290 sistema coordenada retangular A10 sistema coordenado A2 cartesiano A10 retangular A10 sistema de computação algébrica 83 454 desafios de usar 83 para integração 454 sistema de computação algébrica criação de gráfico com 41 uma curva 287 sistema de coordenada polar equações de conversão para cartesiano sistema de coordenadas cartesiano A10 sólido 389 volume de 389 390 sólido de revolução 394 rotacionado em uma oblíqua 500 volume de 395 400 500 sólido plano tipo 1 2 ou 3 soma 331 de frações parciais 439 Riemann 337 somass de Riemann 337 substituição hiperbólica 434 435 substituição racionalizante para integração 444 substituições trigonométricas 431 tabela de 431 superfície aproximante 495 superfície de revolução 495 área superficial de 496 tabela de fórmulas de diferenciação 170 RP5 tabelas de integrais 447 RP610 uso de 452 taxa de crescimento 206 363 relativo 214 taxa de crescimento relativo 213 taxa de reação 138 205 363 taxa de variação derivada como 135 instantânea 78 135 202 média 135 202 taxa instantânea de crescimento 206 taxa instantânea de reação 205 taxa instantânea de variação 79 135 202 taxa média de variação 135 202 taxa total de fertilidade 153 taxas relacionadas 220 técnicas de integração 447 Telescópio Espacial Hubble 253 tempo médio de espera 517 teorema binomial 159 RP1 Teorema de Clairaut A44 Teorema de Comparação para integrais 476 Teorema de De Moivre A55 Teorema de Fermat 250 Teorema de Pappus 507 Teorema de Rolle 257 Teorema de Valor Médio 257 257 para integrais 410 Teorema de Variação Líquida 363 Teorema do Confronto 105A38 Teorema do Valor Extremo 249 Teorema do Valor Intermediário 115 Teorema do Valor Médio de Cauchy A41 Teorema Fundamental de Cálculo 350 351 355 Terceira derivada 146 Teste CrescenteDecrescente 262 Teste da Reta Horizontal 56 teste de comparação para integrais impróprias 476 Teste de Concavidade 265 A40 Teste de ID 262 Teste de Primeira Derivada 263 para Valores Extremos Absolutos 296 Teste de Reta Vertical 14 Teste de Segunda Derivada 267 torneio de comprimento de arcos 494 toroide 398 trabalho força 404 404 trajetória ortogonal 195 transformação de uma função 34 translação de uma função 34 ÍNDICE REMISSIVO I5 indicecalculo7 51013 1045 AM Page I5 translação vertical de um gráfico 34 trombeta de Gabriel 500 tronco 397 398 Tschirnhausen cúbica 194 387 união de conjuntos A3 valor absoluto 16 A6 A52 valor de uma função 10 valores extremos das extremidades 248 Valores Máximo Absoluto e Mínimo Absolutos 248 valores máximo e mínimo 248 valores máximo e mínimo locais 248 valor extremo 248 valor médio de uma função de 409 409 517 variação de base fórmula para 61 variação de variávelis na integração 368 variáveis variação de Ver variação de variávels variável aleatória contínua 515 variável dependente 10 variável independente 10 variávelis aleatória contínua 515 dependente 10 independente 10 variação de 367 velocidade 3 78 132 202 363 instantânea 78 133 202 média 4 78 132 202 velocidade de escape 478 velocidade de uma partícula 135 velocidade instantânea 78 132 202 velocidade média 4 78 132 202 velocidade média de moléculas 478 volume 390 de um sólido 389 de um sólido de revolução 394 500 de um sólido em uma oblíqua 500 por conchas cilíndricas 399 por discos 391 394 por lavadores 393 393 por seções cruzadas 389 390 512 Wallis John 3 Weierstrass Karl 446 Zeno 5 zonas esféricas 523 I6 CÁLCULO indicecalculo7 51013 1045 AM Page I6