Lista - Entropia e 2 a Lei da Termodinâmica - 2023-2

Universidade Federal de Pernambuco Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Física Física L2 - 2023.02 Lista de Exercícios - Entropia, 2a lei da termodinâmica e máquinas térmicas (07/Mar/2024) 1) Um gás ideal com pressão e volume iniciais de pi = 300 Pa e Vi = 1 m3 sofre uma expansão que o leva a um volume nal Vf = 4 m3. A temperatura inicial é Ti = 300 K. Assinale quais armativas abaixo são verdadeiras e quais são falsas: ( ) Se a expansão foi isotérmica, a pressão nal é pf = 60 Pa. ( ) Se a expansão foi isotérmica, a temperatura nal é Tf = 300 K. ( ) Se a expansão foi isotérmica, o trabalho realizado pelo gás é W ≈ 416 J. ( ) Se a expansão for adiabática e o gás for monoatômico, a pressão nal é pf = 20 Pa. ( ) Se a expansão for adiabática e o gás for monoatômico, a temperatura nal é Tf ≈ 119 K. ( ) Supondo que a amostra contém n = 2 mols, se a expansão for adiabática e o gás for monoatômico, o trabalho realizado pelo gás de W ≈ −4, 5 J. 2) Um gás ideal monoatômico, com n mols e temperatura T0, sofre uma expansão isotérmica até dobrar seu volume, que inicialmente era V0. Em seguida, o gás é comprimido adiabaticamente até voltar a seu volume inicial. Responda aos itens abaixo em termos de V0, T0, n e R (a constante dos gases). (a) Represente esses dois processos num mesmo diagrama P-V. (b) Obtenha a razão γ = Cp/CV para este gás. (c) Determine a pressão e a temperatura nais do gás, após os dois processos. (d) Qual a variação da entropia e da energia interna do gás ao realizar esses dois processos? 3) Dois mols de gás ideal diatômico inicialmente têm volume V0 e pressão P0. O gás então passa por um processo ao longo do qual a pressão é proporcional ao volume. No nal do processo a média do módulo da velocidade das moléculas do gás é o dobro do inicial. Responda as seguintes questões sobre este processo (a) A energia cinética média de uma molécula é Ecin,molécula = 5 2kBT onde f é o número de graus de liberdade da molécula e kB ≡ R/NA é a constante de Boltzmann. Qual a nova temperatura do gás? (b) Usando a equação de estado dos gases ideais, determine a pressão e a temperatura ao nal do processo. (c) Qual a variação da energia interna do gás? (d) Qual foi o calor recebido pelo gás? Expresse seu resultado em termos de P0 e V0. 4) Ordene a variação de entropia ∆S, da menor para a maior, de uma massa m = 1 g de água quando fazemos os seguintes aquecimentos. (a) 20◦C → 30◦C (b) 30◦C → 35◦C (c) 80◦C → 85◦C 5) Um bloco de cobre de 100 g, com TCu = 400 K é colocado em uma caixa isolada junto com um bloco de 50 g de chumbo à temperatura TP b = 200 K. (a) Qual a temperatura de equilíbrio do sistema? (b) Qual a variação na energia interna do sistema? (c) Qual a variação de entropia do bloco de cobre? (d) Qual a variação de entropia do bloco de chumbo? (e) Qual a variação de entropia do sistema? (f) Este processo é reversível ou irreversível. Responda baseado na 2a lei da termodinâmica. Cobre cCu = 0,0923 cal/g K Chumbo cPb = 0,0305 cal/g K Q 6) Uma porção de gás ideal monoatômico é submetida ao processo cíclico mostrado no diagrama ao lado. Determine: (a) o calor recebida em um ciclo. (b) o calor cedido em um ciclo. (c) o trabalho realizado em um ciclo. (d) a eciência do ciclo. Dados: Vc = 8 × 10−3 m3 ; Vb = 10−3 m3 ; Pb = 10 atm = 106 Pa adiabática a b c volume pressão Va Vc Pa Pb 7) Uma máquina de Carnot de potência PC = 500 W opera entre fontes de calor com temperaturas 220◦C e 20◦C. (a) Qual é a taxa de absorção de calor pela máquina? (b) Qual é a taxa de rejeição de calor pela máquina? 8) O motor de um refrigerador tem uma potência P = 200 W. O compartimento do congelador está a −3◦C e o ar externo está a 30◦C Qual é a quantidade máxima de energia que pode ser retirada na forma de calor do congelador em 10 minutos? 9) Um máquina de Carnot que opera entre dois reservatórios térmicos com temperaturas TQ e TF (TQ > TF ) usa um certo volume de gás ideal para realizar um determinado trabalho. Se quisermos aumentar a eciência da máquina, qual das estratégias a seguir podemos utilizar? (a) Aumentar a quantidade de gás na máquina. (b) Aumentar a quantidade de gás na máquina. (c) Aumentar TQ. (d) Aumentar o volume máximo de gás na máquina. (e) Substituir o gás ideal por outro tipo, mais eciente. (f) Não é possível aumentar a eciência da máquina. 10) A gura abaixo é o diagrama p-V do ciclo de uma máquina que faz uso de n moles de um gás ideal monoatômico. Os processos AB e CD são adiabáticos, enquanto BC e DA são processos a pressão constante (isobáricas). Sejam TA, TB, TC e TD as temperaturas nos estados A, B, C e D, respectivamente. Para as questões abaixo, expresse seu resultado em termos das temperaturas, da constante dos gases, R, e do número de moles, n. p V A C B D (a) Calcule o calor trocado em cada etapa do ciclo e o trabalho total reali- zado no ciclo. (b) Calcule a eciencia de uma máquina operando neste ciclo fazendo uso de um gás ideal. (c) Calcule a variação da entropia do gás em cada etapa do ciclo. Fisica 12.03 Resolucao da Questao 1 Dado um gas ideal com as condicées iniciais p; = 300 Pa, V; = 1m* e T; = 300K, expandindo até um volume final de Vs = 4m?. Afirmagao a Se a expansao for isotérmica, a pressao final pr é 60 Pa. Resposta: Falsa. Utilizando a Lei de Boyle-Mariotte: DiVi = pg Vip 300 Pa - 1m? = 60 Pa: Vy 300 O volume final seria de 5m?, e nado 4m? como na condicao final dada. Afirmacgao b Se a expansao foi isotérmica, a temperatura final Ty é 300 K. Resposta: Verdadeira. Em uma expansao isotérmica, a temperatura se mantém constante por definicao. Afirmagao c Se a expansao foi isotérmica, o trabalho realizado pelo gas 6 W = 416 J. Resposta: Falsa. Para o trabalho numa expansao isotérmica: ii W =nRTln| = nRT In (F ) Supondo que n = 1 mol e R = 8.314J/(mol K): 4 W =1-8.314- 300- In i 1 W ≈ 2494 · ln(4) W ≈ 2494 · 1.386 W ≈ 3457.4 J O trabalho realizado ´e, portanto, aproximadamente 3457.4 J e n˜ao 416 J. Afirma¸c˜ao d Se a expans˜ao for adiab´atica e o g´as for monoatˆomico, a press˜ao final pf ´e 20 Pa. Resposta: Falsa. Para uma expans˜ao adiab´atica: piV γ i = pfV γ f Onde γ = 5 3 para um g´as monoatˆomico. 300 Pa · (1 m3) 5 3 = pf · (4 m3) 5 3 pf = 300 4 5 3 pf ≈ 29.76 Pa A press˜ao final seria aproximadamente 29.76 Pa, e n˜ao 20 Pa. Afirma¸c˜ao e Se a expans˜ao for adiab´atica e o g´as for monoatˆomico, a temperatura final Tf ≈ 119 K. Resposta: Verdadeira. Utilizando a rela¸c˜ao para temperatura em uma expans˜ao adiab´atica: TiV γ−1 i = TfV γ−1 f 300 · (1) 2 3 = Tf · (4) 2 3 Tf = 300 4 2 3 Tf ≈ 119.04 K A temperatura final ´e aproximadamente 119 K, o que confirma a afirma¸c˜ao como verdadeira. 2 Afirma¸c˜ao f Supondo que a amostra cont´em n = 2 mols, se a expans˜ao for adiab´atica e o g´as for monoatˆomico, o trabalho realizado pelo g´as ´e W ≈ −4, 5 J. Resposta: Falsa. Para o trabalho numa expans˜ao adiab´atica: W = piVi − pfVf γ − 1 Com os valores encontrados anteriormente: W = 300 · 1 − 29.76 · 4 5 3 − 1 W = 300 − 119.04 2 3 W ≈ 271.44 J Considerando 2 mols do g´as: Wtotal = 2 · W Wtotal ≈ 542.88 J O trabalho realizado ´e, portanto, aproximadamente 542.88 J e n˜ao −4, 5 J. 1 Quest˜ao 2 1.1 Letra a 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 Volume (V) Press˜ao (P) Diagrama P-V de um G´as Ideal Monoatˆomico Expans˜ao Isot´ermica Compress˜ao Adiab´atica 3 1.2 Letra b b) Raz˜ao γ = Cp/Cv para o g´as Para um g´as ideal monoatˆomico, o calor espec´ıfico a volume constante Cv ´e dado por: Cv = 3 2R onde R ´e a constante dos gases ideais. A rela¸c˜ao entre os calores espec´ıficos a press˜ao constante (Cp) e a volume constante ´e: γ = Cp Cv Usando a rela¸c˜ao Cp = Cv + R, obtemos: γ = Cv + R Cv = 3 2R + R 3 2R = 5 2R 3 2R = 5 3 Portanto, para um g´as monoatˆomico, a raz˜ao dos calores espec´ıficos ´e γ = 5 3. 1.3 Letra c c) Press˜ao e temperatura finais do g´as Ap´os a expans˜ao isot´ermica, onde o volume dobra, a press˜ao final Pf1 e a temperatura final Tf1 s˜ao dadas por: Pf1 = Pi 2 Tf1 = T0 Onde Pi ´e a press˜ao inicial e T0 a temperatura inicial. Para a compress˜ao adiab´atica, que retorna o g´as ao seu volume inicial, a press˜ao final Pf2 e a temperatura final Tf2 s˜ao: Pf2 = Pi2γ−1 Tf2 = T02 2 3 Onde γ = 5 3 para um g´as monoatˆomico. 1.4 Letra d d) Varia¸c˜ao da entropia e da energia interna Para a expans˜ao isot´ermica, a varia¸c˜ao da entropia ∆Sisot´ermica ´e: ∆Sisot´ermica = nR ln(2) E a varia¸c˜ao da energia interna ∆Uisot´ermica ´e: 4 AU isotérmica =0 Pois nao ha mudanga de temperatura. Para a compressao adiabatica, a variacéo da entropia ASagiabatica ¢: ASadiabatica =0 E a variacao da energia interna AUadiabatica também é: AU adiabatica = 9 Ja que o gas retorna ao seu estado inicial, e para um gas ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. Resolucgao da Questao 3 Dados: dois mols de gas ideal diatémico inicialmente com volume Vo e pressao Po, ¢ a velocidade média das moléculas dobrando ao final do processo. a) Nova temperatura do gas A energia cinética média de uma molécula diatémica é dada por SkpT. Sea velocidade das moléculas dobra, a energia cinética também dobra, portanto: 5 5 2 (Geom) = 9h Tiinal O que implica que: Ténal = 2To b) Pressao e temperatura finais do gas Como a pressao é proporcional ao volume, temos ao final do processo: Pinal = 2.Po c) Variagao da energia interna do gas A variacao da energia interna é dada por: AU =nC, AT Para um gas diat6mico com C, = 3R: 5 AU = 2. 5 R(2To —T)) = 5RTp 5 d) Calor recebido pelo gas O calor recebido pelo gas é dado por: Q=AU+W Onde o trabalho W é: W = PoVo Entao, o calor recebido é: Q = 5RTo + PoVo Q = 6nRTo Q = 6PoVo Portanto, o calor recebido pelo gas, expresso em termos de Po e Vo, 6 6PoVo. Resolucao da Questao 4 Variagao de entropia AS para o aquecimento de m = 1 g de agua. Dados: e Calor especffico da dgua c = 4,18J/g-K. e Conversao de temperatura de Celsius para Kelvin: T(K) = T(°C)+273, 15. A variacao de entropia é dada por AS = mcln (x). a) De 20°C para 30°C: Convertendo as temperaturas para Kelvin: T;, = 20°C + 273, 15 = 293,15 K Ty = 30°C + 273, 15 = 303,15 K Calculando AS: 303, 15 AS, =1 4,1 -KxIn{| —~— 5, gx 4,18 J/g «in (ra) 303, 15 AS, = 4,18 x In | —~— Sa = 4,18 x In (S33) AS, ¥ 0,140 J/K 6 b) De 30°C para 35°C: Convertendo as temperaturas para Kelvin: T; = 30°C + 273, 15 = 303,15 K Ty = 35°C + 273, 15 = 308, 15 K Calculando AS: 308, 15 AS, = 1 4,1 -K x In | —7— Sp gx 4,18 J/g-KxIn (sas) 308, 15 AS» = 4,18 x In | ——— Sp = 4,18 x In (Fe) AS, = 0,068 J/K c) De 80°C para 85°C: Convertendo as temperaturas para Kelvin: T; = 80°C + 273, 15 = 353, 15 K Ty = 85°C + 273, 15 = 358,15 K Calculando AS: 358, 15 AS. =1¢x4,18 J/g-KxIn( 22° a /g-Kx » (Fas) 358, 15 AS, = 4,18 x In {| ——— Se= 4,18 x In (F3) AS, = 0,059 J/K Portanto, ordenando as variacgoes de entropia do menor para o maior valor temos AS, < AS, < ASg. Resolucgao da Questao 5 Dados: e Massa do bloco de cobre (mou) = 100 g e Temperatura inicial do cobre (Tou) = 400 K e Massa do bloco de chumbo (mpp) = 50 g e Temperatura inicial do chumbo (Tp,) = 200 K e Calor especifico do cobre (ccu) = 0.0923 cal/gk e Calor especifico do chumbo (cpp) = 0.0305 cal/gkK 7 a) Temperatura de equilfbrio do sistema A temperatura de equilfbrio (Tg) é encontrada quando o calor perdido pelo cobre é igual ao calor ganho pelo chumbo: MouCcu(Tou — Teq) = Mpvcpp(Teq — Tpv) 100 x 0.0923 x (400 — Te,) = 50 x 0.0305 x (Teg — 200) Resolvendo para Tg, obtemos: Teq © 371.646 b) Variagao na energia interna do sistema A variacao na energia interna do sistema isolado é zero: AU sistema =0 c) Variagao de entropia do bloco de cobre A variacao de entropia do bloco de cobre enquanto esfria até a temperatura de equilibrio é: AScu = in (222 Cu = MCuCCu Tou 371.64 AScu = 100 x 0.0923 x In | ——— Cc x x in ( 400 ) AScu & —0.679 cal/K d) Variagao de entropia do bloco de chumbo A variacao de entropia do bloco de chumbo enquanto aquece até a temperatura de equilibrio é: Te ASpp = MPpCPb In (7) Tpp 371.64 ASpp = 50 x 0.0305 x In | —— Pb x x a( 500 ) ASpp © 0.945 cal/K e) Variacgao de entropia do sistema A variacao de entropia total do sistema é a soma das variacoes de entropia dos dois blocos: ASsistema = AScu + ASpp ASsistema © 0.266 cal/K 8 f) Reversibilidade do processo O processo é irreversivel, pois a variacgao total de entropia do sistema é positiva. Resolucao da Questao 6 Considere um ciclo termodinamico de uma maquina que faz uso de n moles de um gas ideal monoatomico, operando em um ciclo conforme ilustrado no diagrama p-V. a) Calor recebido em um ciclo O calor recebido durante o processo isobarico ab é dado por: Qab = nO, (Th _ Ta) Onde Cp = 3R é o calor especifico a pressao constante para um gas ideal monoatomico. b) Calor cedido em um ciclo O calor cedido durante o processo isobarico cd é dado por: Qed = nC, (Ta _ Te) Onde a expressao para o calor é negativa, pois o calor esta sendo cedido. c) O trabalho realizado em um ciclo O trabalho realizado pelo ciclo é a area dentro do ciclo no diagrama p-V. Para processos adiabaticos ab e cd, o trabalho é zero. Assim, o trabalho total W éa soma do calor recebido e cedido: W= Qab + Qed d) A eficiéncia do ciclo A eficiéncia é dada pela relacao entre o trabalho realizado e o calor recebido: W =A Qab e) Variacgao da entropia do gas em cada etapa do ciclo A variacao da entropia para processos isobaricos bc e da é: Te ASbe = NC> In (=) 9 Ta ASda = NC> In @ E para os processos adiabaticos ab e cd, a variacao da entropia é zero: ASap = ASca = 0 Resolucao da Questao 7 Uma maquina de Carnot de poténcia Po = 500 W opera entre fontes de calor com temperaturas de 220°C e 20°C. a) Taxa de absorgao de calor pela maquina A eficiéncia 7 de uma maquina de Carnot é dada por: Terria n=1- _afria Tguente Primeiro, convertemos as temperaturas para Kelvin: Tquente = 220 + 273,15 = 493, 15K Terria = 20 + 273,15 = 293, 15K Calculamos a eficiéncia: 293, 15 n=1-2 493, 15 n & 0, 406 Com a eficiéncia calculada, determinamos a taxa de absorcao de calor Qin: Pe = Qin Qin = Pe 1) 500 Qin = 0, 406 Qin © 1232, 88 W 10 b) Taxa de rejei¸c˜ao de calor pela m´aquina A taxa de rejei¸c˜ao de calor Qout ´e a diferen¸ca entre o calor absorvido e o trabalho realizado (potˆencia da m´aquina): Qout = Qin − PC Qout = 1232, 88 − 500 Qout ≈ 732, 88 W Portanto, a m´aquina de Carnot absorve aproximadamente 1232, 88 W de calor e rejeita aproximadamente 732, 88 W de calor em cada ciclo de opera¸c˜ao. Resolu¸c˜ao da Quest˜ao 8 Um refrigerador opera com um motor de potˆencia P = 200 W. O congelador est´a a −3◦C e o ambiente externo a 30◦C. Queremos calcular a quantidade de calor Qfria que pode ser retirada do congelador em 10 minutos. Convers˜ao de temperaturas para Kelvin Tquente = 30◦C + 273, 15 = 303, 15 K Tfria = −3◦C + 273, 15 = 270, 15 K C´alculo do trabalho realizado pelo motor W = P · t t = 10 min × 60 s/min = 600 s W = 200 W × 600 s = 120000 J Coeficiente de performance (COP) do refrigerador O COP ´e dado por: COP = Tfria Tquente − Tfria COP = 270, 15 303, 15 − 270, 15 COP ≈ 4, 9118 11 Calor removido do congelador Qfria = COP × W Qfria ≈ 4, 9118 × 120000 Qfria ≈ 982363, 64 J Portanto, a quantidade m´axima de energia na forma de calor que pode ser retirada do congelador em 10 minutos ´e aproximadamente 982363, 64 J. Resolu¸c˜ao da Quest˜ao 9 A eficiˆencia η de uma m´aquina de Carnot ´e dada pela rela¸c˜ao das temperaturas da fonte quente TQ e da fonte fria TF : η = 1 − TF TQ onde TQ > TF e ambas as temperaturas devem ser expressas em Kelvin. Analisemos as estrat´egias propostas para aumentar a eficiˆencia da m´aquina de Carnot: (a) e (b) Aumentar a quantidade de g´as na m´aquina n˜ao afeta a eficiˆencia da m´aquina de Carnot. A eficiˆencia ´e uma medida da rela¸c˜ao entre o trabalho realizado e o calor absorvido e n˜ao depende da quantidade de substˆancia de trabalho ou de qualquer propriedade extensiva como a quantidade de g´as. (c) Aumentar a temperatura da fonte quente TQ aumentar´a a eficiˆencia da m´aquina de Carnot, de acordo com a f´ormula da eficiˆencia. (d) Aumentar o volume m´aximo de g´as na m´aquina n˜ao afeta diretamente a eficiˆencia; isso pode permitir que mais trabalho seja realizado por ciclo, mas a eficiˆencia por ciclo permanecer´a inalterada. (e) Substituir o g´as ideal por outro tipo, mais eficiente, n˜ao ´e uma estrat´egia v´alida, uma vez que a eficiˆencia da m´aquina de Carnot ´e uma eficiˆencia te´orica m´axima para qualquer ciclo termodinˆamico operando entre duas reservas t´ermicas. (f) A afirma¸c˜ao de que n˜ao ´e poss´ıvel aumentar a eficiˆencia da m´aquina est´a incorreta, pois aumentar TQ ou diminuir TF aumentaria a eficiˆencia. No entanto, a eficiˆencia nunca pode exceder a eficiˆencia m´axima definida pelo ciclo de Carnot para dadas temperaturas de fonte quente e fonte fria. Portanto, a ´unica estrat´egia vi´avel entre as op¸c˜oes fornecidas para aumentar a eficiˆencia de uma m´aquina de Carnot ´e (c) aumentar a temperatura da fonte quente TQ. 12 Resolucao da Questao 10 Considerando o ciclo termodinamico dado, com as etapas AB e CD adiabaticas e BC e DA isobaricas para n moles de um gas ideal monoatémico. a) Calor trocado em cada etapa do ciclo Para os processos isobaricos: e BC: QBc = nO, (Tc _ Tp) e DA: Qpa = nC, (Ta — Tp) Onde C, = 3R éo calor especifico a pressao constante para um gas monoatémico. Para os processos adiabaticos AB e CD, o calor trocado é zero: Qap =Qcp =9 b) Trabalho realizado no ciclo O trabalho realizado no ciclo é a area encerrada no diagrama p-V, que pode ser expressa em termos das temperaturas das etapas isobaricas e adiabaticas, a constante dos gases R e o numero de moles n. Para o ciclo completo, temos: Weielo = (QBc _ IQpal) c) Variagao da entropia do gas em cada etapa do ciclo Para os processos isobaricos: . _ To ¢ BC: ASpo = nCpIn (FE) . _ Ta e DA: ASpag = nC ln (7) A variacao de entropia para os processos adiabaticos é zero, pois nao ha trans- feréncia de calor. d) Eficiéncia do ciclo A eficiéncia 7 da maquina operando neste ciclo é dada por: n= Weiclo QBc Assumindo que a maquina realiza trabalho no sentido hordrio no diagrama p-V e absorve calor durante o processo BC. 13