Lista 3 9 - Problemas de Maximização e Minimização com Gabarito-2021 1

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias F´ısicas e Matem´aticas Departamento de Matem´atica MTM3101 - C´alculo 1 Lista 3.9 - Problemas de maximiza¸c˜ao e minimiza¸c˜ao ´Ultima atualiza¸c˜ao: 14 de junho de 2021. Exerc´ıcios Principais P1. Um fabricante de um determinado produto sabe que se x produtos forem produzidos, cada um poder´a ser vendido por 1000 − x reais. Sabe-se que o custo de produ¸c˜ao de x produtos ´e de C(x) = 200x. Quantos produtos o fabricante deve produzir para obter um lucro m´aximo, e qual ser´a o valor desse lucro? P2. Encontre o ponto P da curva y = 3 x, x > 0, que est´a mais pr´oximo da origem. P3. Um fabricante de latas cil´ındricas de conservas recebe um pedido muito grande de latas com deter- minado volume V0. Quais as dimens˜oes que minimizar˜ao a ´area total da superf´ıcie de uma lata como esta e, portanto de metal necess´ario para fabric´a-la? P4. Duas part´ıculas P e Q movem-se, respectivamente, sobre os eixos x e y. A fun¸c˜ao de posi¸c˜ao P ´e x = √ t e a de Q, y = t2 − 3/4, t ⩾ 0. Determine o instante em que a distˆancia entre P e Q ´e a menor poss´ıvel. P5. Encontre dois n´umeros positivos cuja soma ´e 16 e cujo produto ´e o m´aximo poss´ıvel. P6. Ao pre¸co de R$ 1,50, um vendedor pode vender 500 unidades de uma certa mercadoria que custa R$ 0,70 cada. Para cada centavo que o vendedor abaixa no pre¸co, a quantidade vendida aumenta em 25 unidades. Que pre¸co de venda maximizar´a o lucro? P7. Um homem lan¸ca seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com uma largura de 3 km, e deseja atingir t˜ao r´apido quanto poss´ıvel um ponto B na outra margem, 8 km rio abaixo. Ele pode dirigir seu barco para o outro lado de forma perpendicular ao sentido do rio, chegando at´e um ponto C e ent˜ao seguir andando at´e B, ou remar diretamente para B, ou remar at´e algum ponto D entre C e B e ent˜ao andar at´e B. Se ele pode remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais r´apido poss´ıvel? (Estamos supondo que a velocidade da ´agua ´e desprez´ıvel comparada com a velocidade na qual o homem rema.) P8. Dois produtos A e B s˜ao manufaturados em uma determinada f´abrica. O custo total de produ¸c˜ao ´e C = x2 + 14y, em que x ´e o n´umero de m´aquinas usadas para produzir A e y o n´umero de m´aquinas para produzir B. Com 5 m´aquinas em funcionamento, determine quantas destas m´aquinas devem produzir A e quantas B, para que o custo total seja m´ınimo. P9. Determine o n´umero real positivo cuja soma com o inverso do seu quadrado seja m´ınima. P10. Um jardim retangular de 50 m2 de ´area deve ser protegido contra animais. Se um lado do jardim j´a est´a protegido por uma parede de celeiro, quais devem ser as dimens˜oes do jardim para que o comprimento de cerca usado seja m´ınimo? 1 P11. Um s´olido ser´a constru´ıdo acoplando-se a um cilindro circular reto, de altura h e raio r, uma se- miesfera de raio r, conforme figura abaixo. Deseja-se que a ´area da superf´ıcie do s´olido seja 5π. Determine r e h para que o volume do s´olido seja m´aximo. r h P12. Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem um volume de 32.000 cm3. Encontre as dimens˜oes da caixa que minimizam a quantidade de material usado. 2