Problemas de Autovalores e Processo de Gran Schimidt

1 2 Dada a matriz A determine as matrizes P e P1 responsáveis pela transformação D P1AP onde D é a matriz diagonal similar à matriz A A 1 9 3 4 0 2 6 3 0 0 9 5 0 0 0 4 Para isso vamos achar os autovaloresautovetores pois P terá como colunas os autovetores detA λI 1λ 9 3 4 0 2λ 6 3 0 0 9λ 5 0 0 0 4λ 1λ2λ9λ4λ 1λ2λ9λ4λ λ1 λ2 λ9 λ4 Autovalores Achando autovetores associados λ 1 0 9 3 4 0 1 6 3 0 0 10 5 0 0 0 3 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 v2 v3 v4 0 Logo autovetor 1 0 0 0 λ 2 1 9 3 4 0 0 6 3 0 0 11 5 0 0 0 2 v1 v2 v3 v4 2v1 2v2 2v3 2v4 v1 9v2 v3 v4 0 Logo autovetor 9 1 0 0 λ 9 8 9 3 4 0 7 6 3 0 0 0 5 0 0 0 5 v1 v2 v3 v4 9v1 9v2 9v3 9v4 v1 87110 v3 v2 611 v3 v4 0 Logo autovetor 87110 611 1 0 λ 4 3 9 3 4 0 2 6 3 0 0 13 5 0 0 0 0 v1 v2 v3 v4 4v1 4v2 4v3 4v4 v1 69578 v4 v2 6926 v4 v3 513 v4 Logo autovetor 69578 6926 513 1 Logo P 1 9 87110 69578 0 1 611 6926 0 0 1 513 0 0 0 1 Logo autovetor 9 1 0 0 λ9 8 9 3 4 0 7 6 3 0 0 0 5 0 0 0 5 v1 v2 v3 v4 9v1 9v2 9v3 9v4 v1 87110 v3 v2 611 v3 v4 0 Logo autovetor 87110 611 1 0 λ 4 3 9 3 4 0 2 6 3 0 0 13 5 0 0 0 0 v1 v2 v3 v4 4v1 4v2 4v3 4v4 v1 69578 v4 v2 6926 v4 v3 513 v4 Logo autovetor 69578 6926 513 1 Logo P 1 9 87110 69578 0 1 611 6926 0 0 1 513 0 0 0 1 Achando P1 por GaussJordan 1 9 87110 69578 1 0 0 0 0 1 611 6926 0 1 0 0 0 0 1 513 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 L1 L1 9L2 1 0 57110 5839 1 1 9 0 0 0 1 611 6926 0 1 0 0 0 0 1 513 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 L1 L1 5710 L3 1 0 0 1036 1 1 9 5710 0 0 1 611 6926 0 1 0 0 0 0 1 513 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 L2 L2 611 L3 1 0 0 1036 1 1 9 5710 0 0 1 0 6322 0 1 611 0 0 0 1 513 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 L1 L1 6322 L4 6 1 0 0 0 1 1 9 5710 1636 0 1 0 6322 0 1 611 0 0 0 1 513 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 L2 L2 6322 L4 1 0 0 0 1 1 9 5710 1636 0 1 0 0 0 1 611 0 0 0 1 513 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 L3 L3 513 L4 1 0 0 0 1 1 9 5710 1636 0 1 0 0 0 1 611 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 9 5710 1636 0 1 0 0 0 10 7 611 16322 0 0 1 0 0 0 1 513 0 0 0 1 0 0 0 0 1 P1 1 9 5710 1636 0 1 611 16322 0 0 1 513 0 0 0 1 com P 1 9 87110 69578 0 1 611 6926 0 0 1 513 0 0 0 1 D 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 9 0 0 0 0 4 Considere o conjunto de vetores linearmente independentes X x1 x2 x3 x4 Utilize o método de GramSchmidt para obter uma base ortonormal U û1 û2 û3 û4 a partir de X e determine o vetor de coordenadas zU de um dado vetor z em relação à base U z 1 1 3 1 x1 1 3 1 0 x2 2 2 2 2 x3 1 1 1 1 x4 2 0 3 2 Primeir passo μ1 m1 m1 x1 x1 1 3 1 0 12 32 12 02 1111 31111 1111 0 v20 passo v2 x2 proj x1 x2 2 2 2 2 26211 1 3 1 0 2811 411 1611 2 μ2 v2 v2 238555 2385385 8385385 38535 3º passo v3 x3 proj uθ1x3 proj uθ2 x3 x3 x3v1 v1v1 v1 x3v2 v2v2 v2 v3 65 2635 3635 3235 μ3 v3 v3 μ3 31190170 1311901190 91190595 81190595 Passo 4 v4 x4 proj uθ1x4 proj uθ2 x4 proj uθ3 x4 x4 x4v1 vv v1 x4v2 v2v2 v2 x4v3 v3v3 v3 317 317 1217 1217 Logo μ4 v4 v4 3434 3434 23417 23417 z na base u será z μ1 μ1 z μ2 μ2 z μ3 μ3 z μ4 μ4 α1 α2 α3 α4 pois a base é ortonormal z μ1 0 α1 z μ3 1190170 3170 131190 19595 z μ2 365255 8385 135 α2 zμ4 10 3417 α4 zu α1 α2 α3 α4