Lista de Exercícios Resolvidos sobre Determinantes e Vetores

1 05 Utilizando as propriedades dos determinantes resolva as questões abaixo a O valor do determinante de uma certa matriz A é 10 Se dividirmos a 1º linha de A por 3 e multiplicarmos a 3º coluna de A por 5 quanto valerá o determinante da matriz inversa de A b Dada a matriz A 2 3 1 1 determine o determinante da matriz X tal que detX detA1 detAT 2 05 Dados os vetores v121 v211 v3215 e v4111 determine analiticamente os vetores w1 e w2 Em seguida represente geometricamente os vetores w1 v1 e v2 em um sistema de coordenadas e os vetores w2 v3 e v4 em outro sistema a w1 12v1 2v2 b w2 v3 2v4 3 10 Em cada um dos casos abaixo determine se os vetores CD e AB são paralelos colineares perpendiculares ortogonais ou nenhum dos dois Justifique Obs A justificativa pode ser dada analiticamente ou geometricamente a C11 D13 A15 e B22 b C14 D35 A56 e B18 c C231 D135 A215 e B227 d C115 D234 A311 e B050 4 10 Verifique quais os pares de vetores abaixo são perpendiculares para os que não forem calcule o valor do ângulo formado entre eles a v1 112 e v2 217 b v1 111 e v2 231 c v1 11 e v2 11 d v1 52 e v2 23 5 05 Determine o cosseno dos ângulos dos triângulos cujos vértices são dados pelos pontos abaixo Em seguida classifique cada ângulo referente a cada vértice em agudo obtuso ou reto a A211 B135 e C344 b A311 B121 e C225 6 05 Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC sendo dados os pontos A124 B420 e C321 Represente este triângulo e a altura relativa ao lado BC na forma de desenho Obs usar os conceitos vetoriais trabalhados na disciplina para resolver e justificar essa questão 7 05 Para que valor de m os pontos Am12 B223 C511 e D322 são coplanares 8 05 Sejam A213 Bm35 e C041 vértices de um triângulo figura abaixo a Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A b Determinar o ponto H pé da altura relativa ao vértice A 1 Questão 01 a detA 10 Dividindo uma linha da matriz por 3 seu determinante fica dividido também por 3 já quando se multi plica uma coluna por 5 seu determinante fica multiplicado por 5 dessa forma detA 5 3 10 50 3 Já para encontrar a inversa dessa matriz basta fazer o seguinte detA1 1 detA 1 50 3 3 50 b Calculando o determinante de A detA 21 31 2 3 1 Calculando o determinante da inversa detA1 1 detA 1 1 1 Sabemos que detAT detA então detAT 1 detX detA1 detAT detX 1 1 detX 0 2 Questão 2 w1 1 2v1 2v2 w1 1 22 1 21 1 w1 1 1 2 2 2 w1 3 5 2 1 b w2 v3 2v4 w2 2 1 5 21 1 1 w2 2 1 5 2 2 2 w2 0 1 7 3 Questão 03 a CD D C 1 3 1 1 0 4 AB B A 2 2 1 5 3 3 0 3 4 3 0 4 3 3 12 Não são paralelos nem perpendiculares b CD D C 3 5 1 4 4 1 AB B A 1 8 5 6 4 2 4 4 1 2 4 1 4 2 16 2 18 Não são paralelos nem perpendiculares 2 c CD D C 135 231 306 AB B A 227 215 432 306 432 12 12 0 São perpendiculares d CD D C 234 115 341 AB B A 050 311 341 341 341 9 16 1 24 33 44 11 Não são perpendiculares nem paralelos 4 Questão 4 A v1 112 e v2 217 v1 v2 112 217 v1 v2 12 11 27 2 1 14 15 Ângulo entre os vetores v1 v2 v1v2 cosθ 15 12 12 22 22 12 72 cosθ 15 654 cosθ cosθ 1518 θ 3356 B v1 111 e v2 231 v1 v2 111 231 v1 v2 12 13 11 2 3 1 0 São perpendiculares C v1 11 e v2 11 v1 v2 11 11 v1v2 11 11 1 1 2 Ângulo entre os vetores v1v2 v1v2cosθ 2 1² 1²1² 1²cosθ 2 22cosθ cosθ 1 θ 0 D v1 5 2 e v2 23 v1v2 5 22 3 v1v2 52 23 10 6 4 Ângulo entre os vetores v1v2 v1v2cosθ 4 5² 2²2² 3²cosθ 4 2913cosθ cosθ 0 206 θ 101 88 5 Questão 5 AB B A 1 2 6 AB 1² 2² 6² AB 41 AC C A 1 3 5 AC 1² 3² 5² AC 35 BC C B 2 1 1 BC 2² 1² 1² BC 6 b AB B A 4 1 0 AB 4² 1² 0² AB 17 AC C A 1 3 4 AC 1² 3² 4² AC 26 BC C B 3 4 4 BC 3² 4² 4² BC 41 cosθ1 AB AC ABAC cosθ1 4 1 01 3 4 1726 1 1726 θ1 87 27 cosθ2 BA BC BABC cosθ2 4 1 03 4 4 4126 cosθ2 16 4126 0 49 θ2 60 65 θ3 180 60 65 87 27 32 08 cosθ3 0 84 6 Questão 6 A 12 BA X BC BA A B 3 0 4 BC C B 7 0 1 A 12 i j k 3 0 4 7 0 1 A 12 25j A 12 25 12 5 A Bh2 12 5 BCh2 25 BCh 25 7² 0² 12²h 25 50h h 2550 h 502 7 Questão 7 AB B A 2 2 3 m 1 2 2 m 3 5 AC C A 5 1 1 m 1 2 5 m 2 1 AD D A 3 2 2 m 1 2 3 m 3 4 2 m 3 5 5 m 2 1 3 m 3 4 0 82 m 33 m 155 m 103 m 32 m 125 m 0 100 96 26m 25m 0 m 4 8 Questão 8 AB B A m 3 5 2 1 3 m 2 2 2 AC C A 0 4 1 2 1 3 2 3 2 BC C B 0 4 1 3 3 5 3 1 4 Para ser retangulo em A os vetores precisam ser perpendipendiculares m 2 2 2 2 3 2 0 2m 4 6 4 0 m 3 b ProjBCAB AB BC BC BC BC ProjBCAB 27 26 9 26 36 26 ProjBCAB HB HB B H 27 26 9 26 36 26 3 3 5 H 27 26 9 26 36 26 H 3 3 5 27 26 9 26 36 26 H 51 26 87 26 94 26 7