Questões de Álgebra

Considere a aplicação T R² R² dada por Txy xy x y x para todo xy R² e considere a sequência de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 cujo termo geral é dado pela fórmula a₀ 1 a₁ 1 aₙ₁ aₙ aₙ₁ para todo n N 1 1 ponto Prove que a aplicação T é uma transformação linear 2 1 ponto T é um isomorfismo Em caso afirmativo determine a sua inversa 3 2 pontos Determine uma base B de R² formada por autovetores de T 4 3 pontos Lembrese que T o Txy TTxy e que Tⁿxy T o T o o Txy n vezes para todo xy R² e todo n N e determine Tⁿ R² R² 5 ½ ponto Prove que Taₙaₙ₁ aₙ₁aₙ para todo n N 6 ½ ponto Prove que Tⁿa₁a₀ aₙ₁aₙ 7 2 pontos Utilizando os itens anteriores determine a fórmula do termo geral aₙ da sequência de Fibonacci Considere a aplicação T R² R² dada por Txy xy x y x para todo xy R² e considere a sequência de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 cujo termo geral é dado pela fórmula a₀ 1 a₁ 1 aₙ₁ aₙ aₙ₁ para todo n N 1 1 ponto Prove que a aplicação T é uma transformação linear Do enunciado temos T R² R² dada por Txy yx x xy R² Para que T seja linear devemos quantificar i Dados x₁y₁ x₂y₂ R² Tx₁y₁ x₂y₂ Tx₁y₁ Tx₂y₂ Vejamos dados x₁y₁ x₂y₂ R² Tx₁y₁ x₂y₂ Tx₁ x₂ y₁ y₂ y₁ y₂ x₁ x₂ x₁ x₂ y₁ x₁ y₂ x₂ x₁ x₂ y₁ x₁ x₁ y₂ x₂ x₂ Tx₁y₁ Tx₂y₂ ii Dados λ R e xy R² Tλxy λ Txy Observemos que Tλxy Tλx λy λy λx λx λy x λx λy x x Tλxy λ Txy i e ii garantem que T é transformação linear 2 1 ponto T é um isomorfismo Em caso afirmativo determine a sua inversa Como T R² R² é linear temos por consequência de um teorema que T é injetiva se e somente se é sobrejetiva Assim para garantir que T é isomorfismo é suficiente verificar se T é injetivo ou seja se KerT 0 Vejamos Txy 00 xy x 00 x y 0 KerT 0 Logo T é injetiva T é sobrejetiva T é isomorfismo Determinando a inversa de T Como T é isomorfismo de R² em R² AB R² existe xy R² tq Txy AB Por outro lado temos Txy yx x AB x y A x B x B y A B Como AB R² é qualquer podemos definir L R² R² dada por Lxy y x y Afirmação L T¹ Para demonstrar vejamos L o T R² R² é dada por LTxy Ly x x x y x x xy T o L R² R² é dada por TLxy Ty xy x y y y xy Portanto L T¹ 3 2 pontos Determine uma base B de R² formada por autovetores de T Determinemos a matriz de T na base canônica T10 0 1 1 e T01 1 0 0 T10 11 e T01 10 Portanto a matriz de T será T 1 1 1 0 Polinômio Característico pTt dettI T t1 1 1 t pTt tt 1 1 pTt t² t 1 Autovalores pTt 0 t² t 1 0 t₁ 1 52 ou t₂ 1 52 Autovetores Associado a t₁ 1 52 Txy 1 5 2 xy y x x 1 5 2 x 1 5 2 y logo x y 1 5 2 x i x 1 5 2 y ii Se xy satisfaz então xy 1 5 2 y y y 1 5 2 1 y ℝ Portanto 1 5 2 1 é autovetor associado a t₁ 1 5 2 Associado a t₂ 1 5 2 Txy 1 5 2 xy y x x 1 5 2 x 1 5 2 y x y 1 5 2 x iii x 1 5 2 y iv Se xy satisfaz então xy 1 5 2 y y y 1 5 2 1 y ℝ Ou seja 1 5 2 1 é o autovetor de T associado a t₂ 1 5 2 Por fim β 1 5 2 1 1 5 2 1 é base formada por autovetores de T Podemos construir Tⁿ ℝ² ℝ² indutivamente como abaixo T¹xy T₀ T xy T T xy T y x x y 2x y x T²xy T₀ T² xy T T² xy T y 2x y x 2y 3x y 2x T³xy T₀ T³ xy T T³ xy T 2y 3x y 2x 3y 5x 2y 3x Portanto Tⁿ xy T Tⁿ¹ xy aₙ₁ y aₙ x aₙ₂ y aₙ₁ x onde aₙₙℕ é a sequência de Fibonacci dada por a₀ 1 a₁ 1 e aₙ₁ aₙ aₙ₁ n 1 Trivial Como a₀ 1 a₂ 1 e n 1 aₙ₁ aₙ aₙ₁ temos T aₙ aₙ₁ aₙ aₙ₁ aₙ aₙ₁ aₙ Do problema 4 vimos que Tⁿ xy aₙ₁ y aₙ x aₙ₂ y aₙ₁ x Portanto como a₀ 1 a₁ 1 Tⁿ a₀ a₁ aₙ₂ a₁ aₙ a₀ aₙ₂ a₁ aₙ₁ a₀ Tⁿ a₀ a₁ aₙ₁ 1 aₙ 1 aₙ₂ 1 aₙ₁ 1 Tⁿ a₀ a₁ aₙ₁ aₙ aₙ₂ aₙ₁ Tⁿ a₀ a₁ aₙ₁ aₙ Vejamos pelo problema 3 T possui 2 autovalores distintos e 2 autovetores LT formando dois autoespaços de dimensão 1 gerados por estes respectivos autovetores Além disso lembremos que T é a menos de mudança de base univocamente determinado por sua matriz que é diagonalizável pelas justificativas feitas acima Ou seja podemos escrever T P D P¹ onde D 1 5 2 0 0 1 5 2 P 1 5 2 1 5 2 1 1 e P¹ 15 1 5 2 25 15 1 5 2 25 Também sabemos que Tⁿ Tⁿ Logo Tⁿ Tⁿ P D P¹ⁿ P Dⁿ P¹ Tⁿ 1 5 2 1 5 2 1 1 1 5 2 0 0 1 5 2 ⁿ 15 1 5 2 25 15 1 5 2 25 Tⁿ 1 5 2 1 5 2 1 1 1 5 2ⁿ 0 0 1 5 2ⁿ 15 1 5 2 25 15 1 5 2 25 Tⁿ 1 5 2 1 5 2 1 1 15 1 5 2ⁿ 15 1 5 2ⁿ¹ 15 1 5 2ⁿ 15 1 5 2ⁿ¹ Tn 15 152n1 1525 152n 15 152n2 152n2 15 152n 152n 15 152n1 152n1 logo na forma matricial Tn xy 15 152n1 1525 152n 15 152n2 152n2 15 152n 152n 15 152n1 152n1 x y Como Tn a0a1 an1 an e a0 a1 11 então Tn 11 an1 an 15 152n1 1525 152n 15 152n2 152n2 1 1 Logo o termo geral será o produto da 1ª linha pela coluna Assim an1 15 152n1 152n1 152n2 152n2 an1 15 152n1 1 152 152n1 152 1 an1 15 152n1 152 152n1 1 52