Slide - Percolação de Água Nos Solos redes de Fluxo Uhe Emborcação Cemig 2022-2

Percolação de água nos solos (redes de fluxo) : UHE Emborcação, CEMIG Localização Araguari-MG RioParanaíba Início de Operação1982 Potência Instalada (MW)1.192,00 Número de Unidades Geradoras4 Comprimento Total da Barragem (m)1.611,00 Altura Máxima da Barragem (m)158,00 Volume Útil do Reservatório (m3)13,056 bilhões Fonte: https://www.cemig.com.br/usina/uhe-emborcacao/ 1 vertedouro tomada d´ água e casa de força barragem de terra Percolação de água nos solos (redes de fluxo) : UHE Emborcação, CEMIG  Vertedouro (barragem vertedouro)  se fundação fosse permeável: qual seria a vazão? E a subpressão? Fontes: Lambe e Whitman,1969; https://www.cemig.com.br/usina/uhe-emborcacao/ 2 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) : UHE Emborcação, CEMIG  Barragem de terra: se fundação fosse permeável qual seria a vazão? E a Poropressão? Fontes: Stancati, 1998; https://www.cemig.com.br/usina/uhe-emborcacao/ 3 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) : UHE Emborcação, CEMIG Fontes: Fusaro, 2007; https://www.cemig.com.br/usina/uhe-emborcacao/ 4 seção transversal da barragem de terra e enrocamento Percolação de água nos solos (redes de fluxo)  Barragem de terra: se fundação fosse permeável qual seria a vazão? E a Poropressão? 5 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 1- Equação básica para fluxo tridimensional • elemento de solo homogêneo, dimensões dx, dy, dz • água fluindo (escoando, percolando) em regime laminar • Velocidades: entrada e saída água no elemento de solo barragem vertedouro solo arenoso 6 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 1- Equação básica para fluxo tridimensional • Vazão entrada e saída do elemento: • Seja • tem-se a equação da continuidade: ෍ 𝑞𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − ෍ 𝑞𝑠𝑎𝑖 = Δ𝑉𝑤 Δ𝑡 𝑞𝑥 = 𝑉𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑞𝑥 + 𝑑𝑞𝑥 = (𝑉𝑥 + 𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝑉𝑧 𝜕𝑧 ⋅ 𝑑𝑥 ⋅ 𝑑𝑦 ⋅ 𝑑𝑧 = − 𝜕𝑉𝑤 𝜕𝑡 𝑞𝑦 = 𝑉𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑞𝑧 = 𝑉𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑞𝑧 + 𝑑𝑞𝑧 = (𝑉𝑧 + 𝜕𝑉𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑞𝑦 + 𝑑𝑞𝑦 = (𝑉𝑦 + 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑦 𝑑𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑧 7 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 1- Equação básica para fluxo tridimensional • Lembrete: • Considerando a lei de Darcy: • Pode-se reescrever a equação da continuidade: 𝑘𝑥 𝜕2ℎ 𝜕𝑥2 + 𝑘𝑦 𝜕2ℎ 𝜕𝑦2 + 𝑘𝑧 𝜕2ℎ 𝜕𝑧2 ⋅ 𝑑𝑥 ⋅ 𝑑𝑦 ⋅ 𝑑𝑧 = 𝜕𝑉𝑤 𝜕𝑡 𝑉𝑥 = 𝑘𝑥 ⋅ − 𝜕ℎ 𝜕𝑥 𝑉𝑦 = 𝑘𝑦 ⋅ − 𝜕ℎ 𝜕𝑦 𝑉𝑧 = 𝑘𝑧 ⋅ − 𝜕ℎ 𝜕𝑧 t V q q w sai entra  =  −  𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝑉𝑧 𝜕𝑧 ⋅ 𝑑𝑥 ⋅ 𝑑𝑦 ⋅ 𝑑𝑧 = − 𝜕𝑉𝑤 𝜕𝑡 8 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 1- Equação básica para fluxo tridimensional • Como: • Então • E • mas: • Nesse caso tem-se: • Portanto: Vw Sr Vv  = Vv e Vs  = e dx dy dz Sr e Vw   +   = 1 te cons e dx dy dz Vs tan 1 1 =   +  =            +  +     =   t e Sr t Sr e e dx dy dz t Vw 1 1                      +  +     =      +   +   t e Sr t Sr e e dx dy dz dy dz dx z h kz y h ky x h kx 1 1 2 2 2 2 2 2 𝑉 = 𝑉𝑠 + 𝑉𝑣 = 𝑑𝑥 ⋅ 𝑑𝑦 ⋅ 𝑑𝑧 𝑉𝑠 = 1 1 + 𝑒 ⋅ 𝑑𝑥 ⋅ 𝑑𝑦 ⋅ 𝑑𝑧 9 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 1- Equação básica para fluxo tridimensional • Ou seja: • pode ser expressa como: • equação básica para fluxo tridimensional laminar em solos • considerando sólidos e água incompressíveis, tem-se: • e= cte e Sr= cte : fluxo estacionário ou permanente • e= varia e Sr= cte: adensamento ou expansão • e=cte e Sr = varia: drenagem ou embebimento • e=varia e Sr = varia: compressão/expansão e drenagem/embebimento                      + +   =   +   +   t e Sr t Sr e e z h kz y h ky x h kx 1 1 2 2 2 2 2 2 t w V qsai qentra  =  −  10 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 2- Fluxo estacionário bi-dimensional • problemas em Mecânica dos Solos usar: • análises bi-dimensionais • seção típica de espessura unitária • considerando ainda que: • solo saturado; fluxo estacionário; e=cte; sólidos e água incompressíveis • equação básica para o fluxo laminar • equação bi-dimensional da continuidade para fluxo estacionário: • solo isotrópico: Kx=Kz, então: • conhecida como equação de Laplace • Lembrete: 0 2 2 2 2 =   +             z h kz x h kx 0 2 2 2 2 =   +             z h x h t w V qsai qentra  =  −                       + +   =   +   +   t e Sr t Sr e e z h kz y h ky x h kx 1 1 2 2 2 2 2 2 11 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 3- Solução da equação de Laplace • Solução equação de Laplace: 2 grupos de funções • 2 famílias de curvas ortogonais entre si: • família 1: φ(x,z) ou função potencial de velocidade (linhas equipotenciais) • φ(x,z) é tal que e • pode-se demonstrar que • determina o lugar geométrico pontos de mesma carga hidráulica total, conhecido como linhas equipotenciais x k h Vx x  =−   =  z k h Vz z  =−   =  0 2 2 2 2 =   +             z x   0 2 2 2 2 =   +             z h x h 12 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 3- Solução da equação de Laplace • Solução da equação de Laplace: 2 grupos de funções • 2 famílias de curvas ortogonais entre si: • família 2: ψ(x,z) ou função de fluxo (linhas de fluxo) • ψ(x,z) é tal que e • pode-se demonstrar que • determina a trajetória das moléculas de água através da região de fluxo, conhecida como linhas de fluxo ou linhas de corrente z k h Vz x  =−  =   −  x k h Vx z  =−  =   0 2 2 2 2 =   +             z x   0 2 2 2 2 =   +             z h x h 13 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 3- Solução da equação de Laplace • as funções φ(x,z) e ψ(x,z) são soluções da equação de Laplace • representação gráfica: • famílias de curvas formam a rede de fluxo • linhas equipotenciais (φ1, φ2, ... φn) e linhas de fluxo (ψ1, ψ2, ... ψn) 14 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 3.1- Métodos de obtenção das redes de fluxo • métodos analíticos: • solução matemática da equação de Laplace, vale para condições de contorno específicas, determinando as funções φ(x,z) e ψ(x,z) • aplicado a problemas de fluxo (percolação) de geometria simples • métodos numéricos: • método dos elementos finitos ou método das diferenças finitas • zona de fluxo dividida em pequenos elementos geométricos • programas comerciais: SEEP/W do GEOSLOPE (Geostudio); MEF-Percolação do GEO5 (Fine Software); SVFlux do Soil Vision (Bentley Geotechnical) • cuidado na interpretação dos resultados • métodos gráficos: • desenhar dentro da região em que o fluxo ocorre, as famílias de curvas equipotenciais e de fluxo que satisfazem a equação de Laplace • método desenvolvido por Forchheimer (1930) e difundido por Casagrande (1937) 15 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 4- Propriedades básicas do conjunto de funções (rede de fluxo) que satisfazem a equação de Laplace • as linhas de fluxo e as linhas equipotenciais são ortogonais entre si, isto é, sua interseção ocorre a 90 graus, e • as linhas de fluxo não se interceptam: não é possível 2 velocidades diferentes para a mesma partícula de água em escoamento (ou seja 2 trajetórias diferentes p/ mesma partícula) • as linhas equipotenciais não se interceptam: não é possível ter 2 cargas hidráulicas totais (diferentes energias) p/ um mesmo ponto =0     +    z z x x     16 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 4- Propriedades básicas da rede de fluxo que satisfazem Laplace • a perda de carga entre 2 equipotenciais consecutivas quaisquer é constante • vazão canal de fluxo = q então q1=q2 • como k1=k2 e (“quadrados”) • então 𝑘1 ⋅ Δℎ1 𝑏1 ⋅ 𝑎1 ⋅ 1 = 𝑘2 ⋅ Δℎ2 𝑏2 ⋅ 𝑎2 ⋅ 1 1 2 2 1 1 = = = cte b a b a cte h h = =   2 1 17 ne htotal htrecho =   Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 4- Propriedades da rede de fluxo satisfazem Laplace • a vazão é constante em cada canal de fluxo e vale: onde • ne = número de quedas de potencial = número de equipotenciais -1 Para qualquer canal: Atrecho ltrecho htrecho k q    = ne htotal htrecho =   𝑞 = 𝑘 ⋅ Δℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑒 ⋅ 1 𝑏 . 𝑎 ⋅ 1 b = cte =1 a cte ne htotal k q =   = 18 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 4- Propriedades básicas da rede de fluxo • Portanto, vazão do sistema: • como • então • nf = número de canais de fluxo = número de linhas fluxo-1 • ne = número de quedas de potencial = número de equipotenciais -1 • = fator de forma característica da rede de fluxo • redes bem traçadas mantém a relação nf/ne, ou seja, ela é constante lembrete: rede desenhada é a solução aproximada da equação de Laplace nf q Q  = cte ne htotal k q =   = nf ne htotal k Q    = ne nf 19 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 5- Determinação gráfica das redes de fluxo a- delimitação da zona de fluxo • condições de fronteira: linhas de fluxo e equipotenciais limites 20 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 5- Determinação gráfica das redes de fluxo b- traçar a rede com um número de canais de fluxo entre 3 e 5 • uso de muitos canais dificulta o traçado e desvia a atenção de aspectos essenciais c- pode haver partes das redes de fluxo em que as linhas de fluxo devem ser aproximadamente retas e paralelas • canais de fluxo são mais ou menos do mesmo tamanho e os quadrados vão resultar muito parecidos. • iniciar traçado da rede por essa zona 21 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 5- Determinação gráfica das redes de fluxo d- redes de fluxo em áreas confinadas, limitadas por fronteiras paralelas • são geralmente simétricas e as linhas de fluxo e as equipotenciais apresentam forma parecida com uma elipse e- erro comum entre principiantes: desenhar transições bruscas entre partes retas e partes curvas, então: • transições devem ser suaves e de forma parabólica ou elíptica • tamanho dos diferentes quadrados deve mudar gradualmente 22 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 5- Determinação gráfica das redes de fluxo f- traçado de 2 famílias de curvas ortogonais entre si • satisfazer condições de fronteira e constituir solução ótima (rede de "quadrados") g- observar a aparência da rede em conjunto • não corrigir detalhes, antes da rede totalmente traçada h- estudar a aparência de redes de fluxo bem executadas • reproduzi-las (sem olhar o modelo) até obter desenhos satisfatórios 23 90º ? 90º ? quadrado? Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 5- Determinação gráfica das redes de fluxo i- tentativa pode não gerar "rede de quadrados" em toda a extensão da região de fluxo • queda de potencial entre 2 equipotenciais sucessivas pode não ser parte inteira exata da perda de carga total, usar valor fracionado (caso abaixo) • mesmo raciocínio para canais de fluxo, usar frações da vazão q (não é o caso abaixo) 24 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 5- Determinação gráfica das redes de fluxo EXERCÍCIOS EM FLUXO CONFINADO:  traçar a rede de fluxo e responder.... • Qual a vazão que percola? • Controle de vazão a jusante e reservatório a montante • Qual a poropressão (pressão neutra) gerada pelo fluxo de água? • Diagrama de subpressões (verificar estabilidade do vertedouro) • Possibilidade de ruptura hidráulica: areia movediça e piping 25 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 5- Determinação gráfica das redes de fluxo Observar: quanto vale ne? ne htotal htrecho =   26 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 5- Determinação gráfica das redes de fluxo Observar: qual o efeito da construção de uma cortina de concreto impermeável? Fonte: Lambe e Whitman, 1969 27 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) Exercício-exemplo Seja a rede de percolação traçada através da fundação da barragem de concreto (vertedouro) esquematizada na figura seguinte. À montante e à jusante foram cravadas duas séries de estacas-prancha, as quais são consideradas como impermeáveis. Sabe-se que o coeficiente de permeabilidade do solo da fundação é da ordem de 1 x 10-3cm/s. Determinar: a- a vazão que percola através da fundação por unidade de comprimento longitudinal da barragem. Obs: perda d´água diária ou vazão perdida por dia b- o valor da pressão neutra (poropressão) ou subpressão no vertedouro, nos pontos C e H c- o gradiente hidráulico no ponto X Lembretes: ft = feet = pés e 1 pé = 30,48cm 1x10-3 cm/s = 1x10-5 m/s Fonte: Lambe e Whitman, 1969 28 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) Exercício-exemplo 29 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) Exercício-exemplo, solução vazão: nf: número de canais de fluxo = número de linhas de fluxo -1 = 5-1=4 ne: número de quedas de potencial = número de linhas equipotenciais -1 = 14-1=13 Mas, como uma parte da rede não está "quadrada", admite-se que número de quedas é 12,6 Δℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∆ℎ𝑠𝑖𝑠𝑡= ℎ𝑁𝐴𝑚𝑜𝑛𝑡 − ℎ𝑁𝐴𝑗𝑢𝑠 hNAmont = 94ft +0 =94ft = 28,65m hNAmont = 68ft +0 =68ft = 20,73m Δhtotal=7,92m 𝑄 = 𝑘 ⋅ Δℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑒 ⋅ 𝑛𝑓 = 1𝑥10−5. 7,92 12,6 . 4.1 = 2,51𝑥10−5 𝑚3 𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑄 = 𝑘 ⋅ Δℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑒 ⋅ 𝑛𝑓 30 k=1x10-3cm/s =1x10-5m/s Percolação de água nos solos (redes de fluxo) Exercício-exemplo, solução subpressão (poropressão embaixo do vertedouro) nos pontos C e H lembrete: para calcular poropressão em um sistema de percolação, deve-se calcular a carga hidráulica total hC= hNAmont - perdas de energia até ponto C perdas até ponto C: número de quedas de potencial até ponto C multiplicado por Δhtrecho hC= hNAmont - perdas até pto C = 28,65 - 5x (7,92/12,6) = 25,51m hC= zC + uC/γw = (60 x 30,48/100)m + uC/γw =25,51m uC/γw = 7,22m uC=72,2kPa 31 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) Exercício-exemplo, solução no ponto H, tem-se: hH= hNAmont - perdas de energia até ponto H = 28,65 - 9,6x (7,92/12,6) =22,62m hH= zH + uH/γw = (43 x 30,48/100)m + uC/γw =22,62m uH/γw = 9,51m uH=95,1kPa gradiente hidráulico no ponto X 𝑖 = ∆ℎ𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑙𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 = 7,92/12,6 9,3𝑥30,48/100 = 0,628 2,83 = 0,22 areia movediça? piping? 32 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) Fluxo de água em maciços de terra (fluxo confinado), outro exemplo  escavação com sistema de contenção em estaca-prancha 33 Fontes: Craig e Knappett 2014; https://carluc.com.br/estrutura/estaca-prancha/ Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • fluxo não confinado: linha de fluxo limite superior não está previamente definida • Exemplo: fluxo de água através do maciço compactado de uma barragem de terra • determinação da linha de fluxo superior: primeiro passo para o traçado da rede • linha de percolação particular: linha freática, ou seja, lugar geométrico dos pontos submetidos à pressão atmosférica • determinação da linha freática: • construção da parábola básica de Kozeny • correções na entrada e na saída Fonte: Bueno e Vilar, 1994; Lambe e Whitman, 1969 34 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • parábola básica de Kozeny: • solução teórica p/ barragem de terra homogênea c/ filtro horizontal a jusante, e fundação impermeável • solução da rede de fluxo: solução analítica exata p/ equação de Laplace • 2 famílias de parábolas confocais conjugadas (linhas de fluxo e equipotenciais) Fonte: Stancati, 1998 35 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • posição da parábola básica de Kozeny: • propriedades da parábola + adaptações da solução teórica • estudos em modelos reduzidos (Casagrande): ponto inicial D da parábola é tal que DC = AC/3 (entre 1/4 a 1/3 AC) • parábola: lugar geométrico dos pontos que equidistam do foco e da diretriz • Verificar posição do foco Fonte: Bueno e Vilar, 1994 36 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • Roteiro: determinação gráfica da posição da parábola: • determinar ponto D tal que DC = AC/3 • prolongar AC e determinar ponto E tal que DF=DE • determinar diretriz d (EG), reta perpendicular ao prolongamento da reta AC, passando por E • determinar ponto N (origem da parábola) tal que NG = NF (equidistância entre o foco e a diretriz) Fonte: Bueno e Vilar, 1994 37 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • roteiro para a determinação gráfica da posição da parábola: • determinar segmento MN , perpendicular a AE e paralelo a diretriz • dividir segmentos MD e MN em partes iguais • executar linhas auxiliares horizontais, passando pelos pontos de divisão do segmento MN • ligar pontos da divisão MD com ponto N (retas inclinadas ou linhas auxiliares radiais) Fonte: Bueno e Vilar, 1994 38 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • roteiro para a determinação gráfica da posição da parábola: • pontos da parábola: intersecção das linhas auxiliares radiais com linhas auxiliares horizontais • observação: horizontal + próxima de N com radial + próxima de MN • traçar parábola básica ligando os pontos obtidos Fonte: Bueno e Vilar, 1994 39 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • roteiro para a determinação gráfica da posição da parábola: • após traçar parábola básica: corrigir entrada e saída em função das condições de contorno • saída da freática é perpendicular ao filtro horizontal (FG é equipotencial limite de carga mínima) • entrada da freática encontra NA montante e é perpendicular a BC (equipotencial limite máxima) Fonte: Bueno e Vilar, 1994 40 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • Correção das condições de entrada e saída da parábola básica: Fonte: Bueno e Vilar, 1994 41 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • Correção das condições de saída da parábola básica, exemplos: 42 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) Exercício: A barragem de terra (homogênea, isotrópica, sem dreno ou filtro) esquematizada na figura seguinte apoia-se em uma camada impermeável. O solo do aterro compactado tem coeficiente de permeabilidade da ordem de 4x 10-5cm/s. Determinar: a- a rede de percolação que se estabelece pelo corpo do aterro b- a perda d´água diária que se estabelece pelo corpo do aterro Fonte: Bueno e Vilar, 1994 43 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • Qual ponto de saída da linha freática? • qdo filtro é horizontal: não precisa correção no ponto de saída da linha freática • outros casos... determinar ponto P: encontro da parábola básica com o talude de jusante (ou filtro vertical ou filtro inclinado) • determinar a distância PF entre o ponto P e o foco F: onde PF=Δa +a Fonte: Bueno e Vilar, 1994 P 44 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • Qual o ponto de saída da linha freática? • determinar o ângulo θ (ou w): ângulo entre o talude de jusante e a horizontal • determinar a relação: Δa /(Δa +a), usando o ábaco (proposto por Casagrande) que leva em conta o ângulo θ (ou w) • calcular a distância "a" entre P’ (pto de encontro entre a LF e o talude de jusante) e o pto F (foco) • linha freática: passa por P’, tangencia talude de jusante (θ ou w ≤90°). P´: pto saída freática. • ou tangencia a vertical que passa por P’(θ ou w >90°) Fonte: Bueno e Vilar, 1994 P` P 45 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • Freática passa por (P´) no talude de jusante (ábaco de Casagrande) • após o traçado da linha freática: • condições de contorno ficam totalmente determinadas • linhas de fluxo limites • linhas equipotenciais limites Fonte: Bueno e Vilar, 1994 P´ 46 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • Propriedades dos pontos da linha freática: • carga de pressão nula (porque atua a pressão atmosférica, u =0) • carga hidráulica total é igual ao valor da carga de posição (z) • perda de carga entre 2 equipotenciais consecutivas: • é a diferença entre as cargas de posição (cotas) Como uP1=uP2=0 , então: ℎ𝑃1 = 𝑧𝑃1 e ℎ𝑃2 = 𝑧𝑃2 Portanto Fonte: Bueno e Vilar, 1994 ℎ𝑃2 = 𝑧𝑃2 + 𝑢𝑃2 𝛾𝑤 ℎ𝑃1 = 𝑧𝑃1 + 𝑢𝑃1 𝛾𝑤 Δℎ𝑃1𝑃2 = 𝑧𝑃1 − 𝑧𝑃2 47 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • traçado das equipotenciais a partir da freática: • dividir a carga total disponível em cotas iguais • definir pontos de intersecção da linha freática com as equipotenciais • linhas equipotenciais são perpendiculares a linha freática (Linha Fluxo Limite superior) Fonte: Bueno e Vilar, 1994 48 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • traçado das equipotenciais a partir da freática: • dividir a carga total disponível em cotas iguais • definir pontos de intersecção da linha freática com as equipotenciais • linhas equipotenciais são perpendiculares a linha freática (Linha Fluxo Limite superior) Fonte: Lambe & Whitman, 1969 49 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • traçado das equipotenciais a partir da freática: • linhas equipotenciais são perpendiculares a linha freática (Linha Fluxo Limite superior) Fonte: Lambe & Whitman, 1969 50 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • após traçar linhas equipotenciais (~ parabólicas e perpendiculares a linha freática) • traçar as demais linhas de fluxo, formando “quadrados” com as linhas equipotenciais, seguindo aproximadamente a forma linha freática • observe que em fluxo não confinado, depois de determinar linhas equipotenciais e linhas de fluxo limites, iniciamos o traçado da rede pelas linhas equipotenciais!! Fonte: Lambe & Whitman, 1969 51 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) vazão: Δhtotal = 40ft= 12,19m ne: número de quedas de potencial = 9 nf: número de canais de fluxo = 2,7 poropressão ponto P(genérico): uP hP= hequipotencial energia máxima - perdas de energia até ponto P hequipotencial energia máxima = hNAmontante perdas até ponto P: número de quedas de potencial até ponto P x Δhtrecho Fonte: Lambe & Whitman, 1969 𝑄 = 𝑘 ⋅ Δℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑒 ⋅ 𝑛𝑓 ℎ𝑃 = 𝑧𝑃 + 𝑢𝑃 𝛾𝑤 ∆ℎ𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜= Δℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑒 52 P Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • superfície de saída na rede, em contato com o ar (ou filtro), se não é horizontal, não é nem uma linha de fluxo, nem uma linha equipotencial, de forma que os quadrados limitados por essa superfície podem ser incompletos Fonte: Lambe & Whitman, 1969 DC: não é Linha de Fluxo e nem Linha Equipotencial 53 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) Exercício: A barragem de terra (homogênea, isotrópica, sem dreno ou filtro) esquematizada na figura seguinte apoia-se em uma camada impermeável. O solo do aterro compactado tem coeficiente de permeabilidade da ordem de 4x 10-5cm/s. Determinar: a- a rede de percolação que se estabelece pelo corpo do aterro b- a perda d´água diária que se estabelece pelo corpo do aterro Fonte: Bueno e Vilar, 1994 54 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • traçar linhas de fluxo e equipotenciais limites; definir linha freática • traçar linhas equipotenciais (~ parabólicas e perpendiculares a linha freática) • traçar as demais linhas de fluxo, formando “quadrados” com as linhas equipotenciais, seguindo ~ forma linha freática • qual tentativa está melhor no exemplo? 55 ne=9 ne=11 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 6- Fluxo de água em maciços de terra (fluxo não confinado) • a linha P´F pode "receber" LEs e LFs porque P´F não é nem uma LE e nem uma LF • na linha P´F os quadrados limitados por ela podem ser incompletos 56 P´ F P´ F F F P´ P´ Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 7- Fluxo de água em maciços de terra e fundações permeáveis • determinar condições de contorno: linhas de fluxo e equipotenciais limites • traçar a rede seguindo mesmos procedimentos já descritos • observe que na figura, a fundação e o aterro da barragem são o mesmo material, homogêneo e isotrópico • isso reflete a realidade? 57 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 8- Fluxo de água em maciços de terra anisotrópicos (Kx ≠ Kz ) • Exemplo: processo construtivo de aterros de barragem Khorizontal > Kvertical • solução: transformar fluxo de água de meio anisotrópico (Kx ≠ Kz ) em um fluxo similar, num meio isotrópico equivalente • como? Partindo da equação • dividindo-se por Kz ambos os membros, resulta • adotando-se então • Portanto: equação de Laplace para meios anisotrópicos 𝑘𝑥 ⋅ 𝜕2ℎ 𝜕𝑥2 + 𝑘𝑧 ⋅ 𝜕2ℎ 𝜕𝑧2 = 0 𝜕2ℎ 𝑘𝑧 𝑘𝑥 𝜕𝑥2 + 𝜕2ℎ 𝜕𝑧2 = 0 𝜕𝑥𝑡 2 = 𝑘𝑧 𝑘𝑥 ⋅ 𝜕𝑥2 𝜕2ℎ 𝜕𝑥𝑡 2 + 𝜕2ℎ 𝜕𝑧2 = 0 𝑥𝑡 = 𝑥 ⋅ 𝑘𝑧 𝑘𝑥 58 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 8- Fluxo de água em maciços de terra anisotrópicos • na prática: seção real (onde Kx ≠ Kz) é redesenhada em uma seção transformada, usando escala tal que: • escala horizontal transformada = . escala vertical • qdo Kx>Kz : xt encolhe z não muda Fontes: Craig, 2007; Bueno e Vilar, 1994 kx z k xt= 𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒍 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 = 𝒙 ⋅ 𝒌𝒛 𝒌𝒙 59 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 8- Fluxo de água em maciços de terra anisotrópicos • após obtenção da seção transformada: traçar a rede de fluxo seguindo os princípios já descritos para meios isotrópicos • rede de fluxo real: obtida corrigindo-se a rede de seção transformada pelo inverso do fator escala • na rede real: linhas equipotenciais não precisam ser ortogonais às linhas de fluxo Fonte: Bueno e Vilar, 1994 1 ൗ 𝑘𝑧 𝑘𝑥 60 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 8- Fluxo de água em maciços de terra anisotrópicos • a relação : mesma na seção real e na seção transformada • cálculo da vazão que percola no sistema: • é possível demonstrar que: • demonstração: ver Souza Pinto, 2006 p.145 𝑄𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝐾𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 ⋅ Δℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ⋅ 𝑛𝑓 𝑛𝑒 𝑘𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑘𝑥 ⋅ 𝑘𝑧 𝑛𝑓 𝑛𝑒 61 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 8- Fluxo de água em maciços de terra anisotrópicos Exercício – exemplo A barragem de terra (homogênea e anisotrópica, com dreno ou filtro horizontal) esquematizada abaixo apoia-se em uma camada impermeável. O solo do aterro compactado tem coeficiente de permeabilidade vertical da ordem de 4 x 10-5cm/s, e coeficiente de permeabilidade horizontal da ordem de 1,6 x 10-4cm/s. Determinar: a- a rede de percolação que se estabelece pelo corpo do aterro b- a perda d´água diária que se estabelece pelo corpo do aterro Fonte: Stancati e Vilar, 1999 62 8- Fluxo de água em maciços de terra anisotrópicos Exercício – exemplo, solução • construção da seção transformada • escala horizontal transformada = . escala vertical ou seja • medidas do eixo xt 50% do valor do eixo x • eixo z não muda • sugestão: manter eixo z no centro da crista da barragem 𝑘𝑧 𝑘𝑥 𝑥𝑡 = 𝑥 ⋅ 𝑘𝑧 𝑘𝑥 𝑥𝑡 = 𝑥 ⋅ 4 x 10−5 1,6 x 10−4 𝑥𝑡 = 𝑥 ⋅ 0,4 1,6 = 𝑥. 0,5 z x ou xt 63 8- Fluxo de água em maciços de terra anisotrópicos Exercício – exemplo, solução • construção da seção transformada • medidas do eixo xt 50% do valor do eixo x • eixo z não muda 𝑥𝑡 = 𝑥 ⋅ 𝑘𝑧 𝑘𝑥 𝑥𝑡 = 𝑥 ⋅ 4 x 10−5 1,6 x 10−4 𝑥𝑡 = 𝑥 ⋅ 0,4 1,6 = 𝑥. 0,5 z x ou xt 64 8- Fluxo de água em maciços de terra anisotrópicos Exercício – exemplo, solução • execução da rede de fluxo na seção transformada • seguir todas as regras do traçado da rede em meios isotrópicos Δhtotal = 4,5m nf=1,8 ne=4 Qsist = 16,2 . 10-7m3/s por m de barragem Qsist = 0,14m3/dia por m de barragem 𝑄𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝐾𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 ⋅ Δℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ⋅ 𝑛𝑓 𝑛𝑒 𝑘𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑘𝑥 ⋅ 𝑘𝑧 𝑘𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = 4 . 10−5 . 1,6 .10−4 = 8.10 − 5cm/s z xt 65 8- Fluxo de água em maciços de terra anisotrópicos Exercício – exemplo, solução • execução rede de fluxo na seção real • rede de fluxo real: obtida corrigindo-se a rede de seção transformada pelo inverso do fator escala • ou seja: esticar a rede transformada 1 ൗ 𝑘𝑧 𝑘𝑥 𝑥 = 𝑥𝑡 . 1 0,5 = 𝑥𝑡 . 2 z x 66 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 9- Fluxo de água em meios heterogêneos • determinar condições de contorno: linhas de fluxo e equipotenciais limites • traçar a rede como se os solos fossem homogêneos • corrigir as posições das linhas de fluxo e equipotenciais nas fronteiras entre os solos de permeabilidades diferentes • linhas de fluxo mudam de direção; linhas equipotenciais se afastam ou se aproximam • dependendo da relação entre permeabilidades • lei da conservação da energia: água segue trajetórias de percolação mais fáceis Fontes: Craig, 2007 (adaptado) 67 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 9- Fluxo de água em meios heterogêneos • é possível demonstrar que: • as linhas de fluxo mudam de direção • as equipotenciais se aproximam ou se afastam Como: e mas q1=q2 = q e Δh1=Δh2=Δhtrecho=constante Então • Quem é maior? K1 ou K2? 𝑐 𝑑 = 𝑘1 𝑘2 = 𝑡𝑔𝛽 𝑡𝑔𝛼 𝑞1 = 𝑘1 ⋅ Δℎ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 1 𝑞2 = 𝑘2 ⋅ Δℎ 𝑑 ⋅ 𝑐 ⋅ 1 𝑐 𝑑 = 𝑘1 𝑘2 68 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 9- Fluxo de água em meios heterogêneos • é possível demonstrar que: Como: e ainda Então: 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑎 𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑐 𝐴𝐵 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑐 𝑑 = 𝑘1 𝑘2 = 𝑡𝑔𝛽 𝑡𝑔𝛼 69 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 9- Fluxo de água em meios heterogêneos Como: e ainda Então: Mas Então: ou seja: Mas Então: cos 𝛼 = 𝑎 𝐴𝐶 cos 𝛽 = 𝑑 𝐴𝐶 𝑎 cos 𝛼 = 𝑑 cos 𝛽 𝑎 = 𝑐 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑑 ⋅ cos 𝛼 cos 𝛽 𝑐 𝑑 = 𝑡𝑔𝛽 𝑡𝑔𝛼   tg tg k k d c = = 2 1 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑐 𝑑 = 𝑘1 𝑘2 70 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 9- Fluxo de água em meios heterogêneos • Visualizar comportamento: rede de fluxo em meios heterogêneos • quanto maior k, menor a área requerida para passar um dado volume de água • linhas de fluxo se aproximam • zonas de alta permeabilidade, as equipotenciais se afastam Quem é maior, K1 ou K2? Fonte: Craig, 2007 (original Cedergreen, 1997) 71 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 9- Fluxo de água em meios heterogêneos • Visualizar comportamento: rede de fluxo em meios heterogêneos • Vazão é constante em cada canal de fluxo (q) • Perda de carga entre equipotenciais consecutivas é constante verificar na rede "quadrada": k e nf; no exemplo K=k1 e nf=3,6 e na rede toda: ne, no exemplo ne=8 Fonte: Craig, 2007 𝑄 = 𝑘 ⋅ Δℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑒 ⋅ 𝑛𝑓 72 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 9- Fluxo de água em meios heterogêneos e anisotrópicos Como executar a rede de percolação em uma barragem heterogênea e anisotrópica?  Executar o “encolhimento” da barragem: mudança da escala horizontal, que depende das diferenças entre as permeabilidades vertical e horizontal • qdo há materiais heterogêneos o "encolhimento" poderá ser diferente p/ cada parte correspondente  Executar a rede de fluxo para a seção transformada  Corrigir as fronteiras entre os materiais diferentes (heterogeneidade) utilizando e adequar o restante da rede  Realizar o “desencolhimento” da barragem e sua rede, usando a relação 𝑥𝑡 = 𝑥 ⋅ 𝑘𝑧 𝑘𝑥   tg tg k k d c = = 2 1 1 ൗ 𝑘𝑧 𝑘𝑥 73 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 10- Fluxo de água em regime transiente  Exemplo de fluxo transiente: enchimento do reservatório  Observar a evolução da frente de saturação (linha freática) Fonte: Massad, 2016 74 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) 10- Fluxo de água em regime transiente  Exemplo: Rebaixamento rápido do reservatório • as linhas de fluxo partem da linha de saturação (freática); não há o paralelismo do regime permanente Fonte: Massad, 2016 75 Percolação de água nos solos (redes de fluxo) Referências Bibliográficas Bueno, B.S. e Vilar, O.M. (1994). Mecânica dos Solos, apostila volume 2, EESC/USP Craig, R.F. (2007). Mecânica dos Solos. LTC, 365p. Craig, R.F. e Knappett, J. (2014). Mecânica dos Solos. LTC Fusaro, T.C. (2007). Estabelecimento estatístico de valores de controle para a instrumentação de barragens de terra: estudo de caso das barragens de Emborcação e Piau. Mestrado UFOP. Lambe, T.W. e Whitman, R.W.(1969). Soil Mechanics. John Wiley and Sons, 548p. Massad, F. (2016) Obras de Terra. Curso básico de Geotecnia. Oficina de textos, São Paulo, 287p. Souza Pinto, C. (2006). Curso básico de Mecânica dos Solos em 16 aulas, 3ª edição, Editora de Textos, São Paulo, 354p. Stancati, G. (1998). Redes de Fluxo, apostila EESC/USP Stancati, G. e Vilar, O.M. (1999), Mecânica dos Solos-Exercícios (reimpressão), Seção de Publicações EESC/USP, São Carlos-SP, v1, 204p 76