Lista 3 - Termodinâmica - 2023-2

Termodinâmica 3a Lista de Exercícios 1. Uma bateria é conectada em série a um resistor, o qual está imerso em água. Como você classifica o fluxo de energia da bateria para o resistor: como trabalho ou como calor? E como você classifica o fluxo de energia do resistor para a água? 2. De um exemplo de um processo no qual nenhum calor é fornecido ao sistema, mas a temperatura aumenta. Dê um outro exemplo oposto: um processo no qual calor é adicionado ao sistema, mas sua temperatura não varia. 3. Um líquido contido em um recipiente, mantido a volume constante e tendo suas paredes adiabáticas, é agitado. O líquido e o recipiente são considerados como o sistema. a) Há calor transferido para o sistema? b) É realizado trabalho sobre o sistema? c) Qual o sinal da variação de energia do sistema? 4. Mostre que a curva de uma adiabática de um gás ideal é mais inclinada, por um fator , do que uma isotérmica em um ponto de um diagrama P-V. 5. Um sal magnético obedece a lei de Curie T C B M  0 0  Sendo M a magnetização, B0 a indução magnética aplicada na ausência da amostra, C uma constante e 0 a permeabilidade do espaço livre. O sal é magnetizado isotermicamente de uma magnetização M1 até M2. Supondo que a magnetização seja uniforme sobre todo o volume do sal, calcule o trabalho de magnetização. 6. Mostre que funções LV e LP existem, tal que: a) L dP C d L dV C d d Q P P V V        b) A partir desse resultado, prove que eles satisfazem: P V P V V V P P V V L L P V P C C L C L                                 c) Dê uma interpretação física para LV e LP. 7. Supondo que U seja uma função de P e V, deduza as seguintes equações: a)   v V C P U          e P V C V U p P            8. Um gás obedece a equação P(v-b)=RT, na qual b é constante, bem como cv é constante. Mostre que: a) A energia interna por unidade de volume (u) é somente função da temperatura b) =cp/cv é constante 9. Qual é a o significado físico da 1ª. Lei da Termodinâmica e quais as suas implicações na descrição de sistemas físicos? 10. Um conjunto cilindro-pistão vertical contendo 0.0454 kg de amônia, inicialmente como vapor saturado, é colocado sobre uma placa aquecida. Devido ao peso do pistão e da pressão atmosférica local, a pressão da amônia é de 1.36 atm. O aquecimento ocorre lentamente e a amônia se expande a pressão constante até a temperatura final de 25 ºC. Mostre os estados inicial e final em diagramas T-v e p-v e determine: a) o volume ocupado pela amônia em cada estado, b) o trabalho realizado durante o processo. Dados: Para p=1.36atm – vg=0.843 m3/kg e para p=1.36 atm e T=25 ºC, v=1.0426 m3/kg. Lista 3 1) Fluxo de energia da bateria para o resistor ocorre devido ao Trabalho da força elétrica. Já o fluxo de energia do resistor para a água ocorre devido à diferença de Temperatura entre os dois, e se dá na forma de calor 2) Primeiro caso: Uma compressão adiabática num gás ideal. Nessa situação, T_b —— = ( V_i / V_f )^(γ-1). T_i Logo, se o volume diminui, a temperatura aumenta, pois energia na forma de Trabalho é adicionada ao gás; Segundo caso: Fusão da água. Toda energia é usada para realizar a Transição de fase e a Temperatura se mantém constante. 3) a) Não, pois as paredes são adiabáticas. b) e c) Sim, nesse caso ∆U = - W, e como o líquido foi agitado, sua temperatura aumenta, de modo que ∆U > 0. Ou seja, o Trabalho externo realizado no sistema aumenta sua Tem- peratura e, portanto, sua energia interna 4) Numa isotérmica, temos: P_1 V_1 = nRT -> P_1 V_1 = P_2 V_2 P_2 V_2 = nRT —— ↓ P_2 ——— = V_1 / V_2 P_1 Numa adiabática, dU = dθ - dW, ou seja, n C_v dT = - pdV . Mas, dT = pdV + Vdp , ——— n R de modo que C_v —— ( pdV + Vdp ) = - pdV . Logo, R ( C_v + 1 ) pdV = - Vdp => dp / p = - dv / v ( C_v + R ) / C_v Como C_v + R = C_p —— = —— = γ => dp / p = - γ dv / v , C_v C_v Integrando : ln p = - γ ln V + C ln p + γ ln V = C ln p + ln V^γ = C ln ( p V^γ ) = C p V^γ = C , de modo que P_1 V_1^γ = P_2 V_2^γ , ou seja: P2/P1 = (V1/V2)^γ 5) Temos W = \int_{M1}^{M2} B0 dN, com B0 = \frac{μ0NT}{C} Logo, W = \frac{μ0T}{C} \int_{M1}^{M0} MdN = \frac{μ0T}{2C} [M2^2 - M1^2] 6)a) Seja o calor função de Θ e V: Θ(Θ,V) ➔ dΘ = (\frac{\partial Θ}{\partial Θ})_V dΘ + (\frac{\partial Θ}{\partial V})_Θ dV. Mas (\frac{\partial Θ}{\partial Θ})_V = Cv e seja Lv ≡ (\frac{\partial Θ}{\partial V})_Θ, então dQ = Cv dΘ + Lv dV Agora, seja Θ = Θ(Θ,P), daí dΘ = (\frac{\partial Θ}{\partial Θ})_P dΘ + (\frac{\partial Θ}{\partial P})_Θ dP. Mas (\frac{\partial Θ}{\partial Θ})_P = Cp e seja Lp ≡ (\frac{\partial Θ}{\partial P})_Θ, então dQ = Cp dΘ + Lp dP b) Temos dQ = Cp dΘ + Lp dP = Cv dΘ + Lv dV Logo, diferenciando ambos os lados em relação à P e mantendo Θ constante: Cp (\frac{\partial Θ}{\partial P})_Θ + Lp = Cv (\frac{\partial Θ}{\partial P})_Θ + Lv (\frac{\partial V}{\partial P})_Θ . Logo, Lp = Lv (\frac{\partial V}{\partial P})_Θ. Ainda, diferenciando ambos os lados em relação à Θ e mantendo P constante: Cp + Lp (\frac{\partial Θ}{\partial Θ})_P = Cv + Lv (\frac{\partial V}{\partial Θ})_P, do modo que Cp = Cv + Lv (\frac{\partial V}{\partial Θ})_P Por fim, diferenciando ambos os lados em relação à Θ e mantendo V constante: Cp + Lp (\frac{\partial Θ}{\partial V})_ν = Cv + Lv (\frac{\partial V}{\partial Θ})_ν. Daí, Cp = Cp - Lp (\frac{\partial Θ}{\partial V})_ν c) Fisicamente, Lv mede quão facilmente calor é absorvido ou liberado pelo sistema que sofre uma variação em seu volume, mantendo a temperatura fixa. Analogamente, Lp é a grandeza que relaciona o calor absorvido ou liberado pelo sistema com uma variação de pressão, mantendo a temperatura fixa. 7a) Seja U = U(P,V). Temos dU = \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V dP + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P dV. \ (1)\nà\ volume\ constante,\ sabemos\ que\ dU = C_v\ dT.\nLogo,\ comparando\ a\ expressão\ acima\ com\ a\ equação\ (1)\ quando\ dV = 0:\nC_v\ dT = \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V dP \Rightarrow \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V = C_v\ \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_V\nMas,\ \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_V = - \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T.\ Logo,\n\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_V = - \left[\frac{1}{Bv}\right]\left[-v\ k\right] = \frac{k}{B}.\ Logo,\n\boxed{\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V = C_v\ \frac{k}{B}}\nb)\ Agora,\ seja\ a\ pressão\ constante.\ Temos\ dU = C_p\ dT - PdV\ e,\ pela\ equação\ (1): C_p\ dT - PdV = \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P dV.\ Logo,\n\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P = C_p\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P - P.\ Mas,\n\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P = -\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_V \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T = -\left[\frac{k}{B}\right] \left[-\frac{1}{kv}\right]\n\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P = \frac{1}{Bv}\ e,\ por\ fim,\n\boxed{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P = \frac{C_p}{Bv} - P}\n8) \ a)\ Vamos\ assumir\ que,\ a\ princípio,\ U = U(T,v).\nLogo,\ dU = C_v\ dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV.\ Mas,\ sabendo\nque\ dU = TdS - PdV \Rightarrow \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T - P\ e \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V \ [\text{Relação\ de\ Maxwell}],\nlogo,\ dU = C_v\ dT + \left(T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V - P\right) dv\nMas,\ se\ P = \frac{RT}{v-b},\ \frac{\partial P}{\partial T} = \frac{R}{v-b}\ e\nT\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V - P = \frac{RT}{v-b} - \frac{RT}{v-b} = 0.\ Logo,\n\boxed{dU = C_v\ dT \therefore U = U(T)}\nb)\ Sabemos\ que\ C_v = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = \text{constante}.\nQueremos\ mostrar\ que\ \gamma = \frac{C_p}{C_v} = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_P = \text{constante}.\nMas,\ sabendo\ que\ C_p = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_P = \left(\frac{\partial U + PdV}{\partial T}\right)_P.\nLogo,\ C_p = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_P + P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P. Como U = U(t), \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_P = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = C_v, e, \text{como} \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P = \frac{P}{R}, \text{logo}\ \ C_p = C_v + R = \text{constante} , e , \text{logo},\ \ \gamma = \frac{C_p}{C_v} = \text{constante} 9) A 1^a \text{ Lei é uma manifestação da conservação} da energia. \text{Num sistema, energia pode ser trocada} \text{na forma de calor e/ou energia mecânica (trabalho em} \text{geral), e o balanço entre esses trocos deve satisfazer} a conservação de energia (1^a \text{Lei}) 10) P(\text{atm}) \n\ 1,36 0,038 \ 0,047 \quad V T \uparrow 25 x \rightarrow \text{x = Temperatura inicial} a) \text{Inicialmente}, \ \ V_1 = mV_1 = 0,0454 \cdot 0,843 V_1 = 0,038 \ \text{m}^3 \text{No final}, \ \ v_2 = 0,0454 \cdot 1,0426 V_2 = 0,047 \ \text{m}^3 b) \ W = P(V_2 - V_1) = 137900(0,047 - 0,038) \ W = 1240,2 \ \text{J}