Lista 3 - Matemática Discreta 2021 1

Matemática Discreta L3 Contagem 2021 Profs J A Salvador e Pedro Malagutti Monitores Diana Carolina Suarez Bello e Stefhany Troi de Souza Nome completo RA Turma Ética É necessário cuidar da ética para não anestesiarmos a nossa consciência e começarmos a achar que tudo é normal M S Cortella Para resolver um problema de contagem devemos perguntar quantos pelo menos com certeza etc contar e se posível fazer um esquema gráco uma tabela diagrama de árvore etc Princípio fundamental da contagem Aditivo Supondo que um evento E pode ocorrer em m modos e um segundo evento F pode ocorrer de n modos e que eles não ocorrem simultaneamente então E ou F ocorrem de m n modos Princípio fundamental da contagem Multiplicativo Se um evento ocorre sucessivamente em n situações independentes sendo que a primeira si tuação ocorre de m1 maneiras a segunda situação ocorre de m2 maneiras e assim sucessivamente até a nésima situação ocorrendo de mn maneiras temos que o número total de ocorrências será dado pelo produto m1 m2 m3 mn Princípio da Casa dos Pombos Considere um viveiro de pombos com n portinhas casinhas ou ninhos e suponha que haja m pombos querendo ocupálas Se m n então alguma casinha deverá ser ocupada por mais de um pombo Um pouco de contagem 1 Quantos anagramas você pode formar com as letras do teu primeiro nome 2 Uma prova de Matemática Discreta possui 4 questões de múltipla escolha na qual cada questão possui 5 opções distintas de resposta De quantas maneiras é possível escolher uma resposta 3 Dadas duas retas paralelas r e s sobre r tomamse 5 pontos e sobre s tomamse 4 pontos Quantos triângulos podemos formar com vértices em 3 destes 9 pontos 4 Quantos os números ímpares com três algarismos que não possuem dígitos repetidos e que de trás para frente também são ímpares 5 De quantas maneiras podemos escolher três números distintos do conjunto N50 1 2 3 4 49 50 de modo que sua soma seja a um múltiplo de 3 b um número par 1 6 Considere as letras da palavra PERMUTA Quantos anagramas de 4 letras podem ser formados onde a não há restrições quanto ao número de consoantes e vogais b o anagrama começa e termina por vogal c a letra R aparece d a letra T aparece e o anagrama termina por vogal 7 Calcular a soma de todos os números de 5 algarismos distintos formados com os algarismos 1 3 5 7 e 9 8 Quantos números podem ser formados pela multiplicação de alguns ou de todos os núme ros 2 2 3 3 3 5 5 6 8 9 9 9 Entre todos os números naturais de sete dígitos calcule quantos possuem exatamente três dígitos 9 e os quatro dígitos restantes diferentes dois a dois 10 De quantas maneiras podemos distribuir 22 livros diferentes entre 5 alunos se 2 deles recebem 5 livros cada e os outros 3 recebem 4 livros cada 11 Quantas são as permutações da palavra PROPOR nas quais não existem letras consecu tivas iguais 12 Onze retas paralelas no planos são interceptadas por outras dez retas paralelas no mesmo plano a Quantos paralelogramos simples que não contém nenhum outro aparecem na rede obtida b Quantos paralelogramos aparecem na rede obtida Sugestão Sejam r1 r2 r3 rm um feixe de m retas paralelas dispostas nessa ordem isto é r2 está entre r1 e r3 etc e s1 s2 s3 sn um feixe de n retas paralelas dispostas nessa ordem isto é s2 está entre s1 e s3 etc e transversal ao primeiro feixe Na Figura vemos um paralelogramo simples ABCD Esses paralelogramos têm que ter lados consecutivos no reticulado s1 s2 s3 s4 sn r1 r2 r3 r4 rm A B D C E F H G 2 13 Um fazendeiro compra 3 vacas 2 porcos e 4 galinhas de um homem que tem 6 vacas 5 porcos e 8 galinhas Encontrar o número m de escolhas que o agricultor pode escolher os aminais 14 Numa sala há 6 pessoas e cada uma cumprimenta cada uma das outras com um único aperto de mão Quantos foram os apertos de mão E se tivesse n pessoas na sala 15 Um número é capicua quando suas leituras da esquerda para a direita e da direita para a esquerda são iguais Exemplo são os números 717 7117 7102017 71117 71217 6102016 e 12321 Quantos números capicuas de 5 dígitos e três algarismos distintos 16 Quantos quadrados perfeitos existem entre 40 000 e 640 000 que são múltiplos simultane amente de 3 4 e 5 17 Oito amigos vão ao cinema assistir a um lme que custa 1 real Quatro deles possuem uma nota de 1 real e quatro possuem uma nota de dois reais Sabendose que o caixa do cinema não possui nenhum dinheiro como eles podem organizar uma la para pagar o lme permitindo o troco pelo caixa 18 Um estacionamento tem 10 vagas paralelas marcadas de 1 a 10 De quantas maneiras dois carros poderão estacionar de modo que sempre tenha uma vaga entre eles 19 Um conjunto de bactérias são colocadas num recipiente de vidro Um segundo depois cada uma delas se divide em duas e no segundo seguinte todas elas se dividem novamente em duas e assim sucessivamente Depois de um minuto o recipiente está cheio Quando o recipiente estava pela metade 20 Suponhamos que um carro possui uma placa com 4 letras do alfabeto e 4 dígitos De quantas maneiras diferentes podemos escolher o número da placa 3