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Ciências Contábeis ·
Cálculo 1
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CALCULO I Nome Assinatura RA Observacoes Essa avaliacao deve ser entregue digitada ou escrita e digitalizada Resolva as questoes de forma clara objetiva organizada e justifique cada passo Re spostas ilegıveis ou sem justificativas nao serao consideradas validas Questao 1 35 pontos Considere a funcao fx ex 1 ex a 02 pontos Qual e o domınio da f b 02 pontos Encontre a interseccao do grafico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assıntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui maximos e mınimos locais E globais Se sim quais sao g 05 pontos Usando as informacoes dos itens anteriores e outras que julgar necessario esboce o grafico de f Questao 2 10 pontos Encontre a equacao da reta tangente a curva y x 3 x 2 em x 1 Questao 3 20 pontos Calcule a derivada das seguintes funcoes a v u2 2lncos2u u b ft 1 tet t et 1 t Questao 4 10 ponto Seja y yx dada implicitamente pela equacao xey xy 3 Calcule dy dx Questao 5 10 ponto Seja f uma funcao derivavel e Fx fx2fx2 Sabendo que f1 2 f 1 3 f2 0 e f 2 1 calcule F 1 Questao 6 15 pontos Considerando que a area de um cırculo de raio r e A πr2 a 05 pontos Suponha que o raio do cırculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dA dt em termos da taxa de variacao do raio dr dt b 05 pontos Se o raio do cırculo se expande a uma taxa constante a area do cırculo tambem se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funcoes abaixo descrevem r com relacao ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variacao da area do cırculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t Olá segue o seu material resolvido Agradeço pela preferência e desejo sucesso Guru Jéssica Via meugurunet a O denominador não pode ser nulo ou seja 1 ex 0 ex 1 ex e0 x 0 x 0 portanto o Domínio é x R x 0 b Interseção com o eixo y x0 como a função não está definida em x0 não existe interseção da função com o eixo y Interseção com o eixo x y0 0 ex 1 ex ex 0 mas ex 0 x R portanto não existe interseção da função com o eixo x Questão 1 35 pontos Considere a função fx ex1 ex a 02 pontos Qual é o domínio da f b 02 pontos Encontre a interseção do gráfico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assíntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui máximos e mínimos locais E globais Se sim quais são g 05 pontos Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário esboce o gráfico de f c A função não está definida em x0 e temos limx0 ex1 ex Portanto x0 é uma assíntota vertical Além disso limx ex1 ex 0 Portanto y0 é uma assíntota horizontal Questão 1 35 pontos Considere a função fx ex1 ex a 02 pontos Qual é o domínio da f b 02 pontos Encontre a interseção do gráfico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assíntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui máximos e mínimos locais E globais Se sim quais são g 05 pontos Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário esboce o gráfico de f d Vamos derivar a função utilizando a regra do quociente u ex v 1 ex u ex v ex fx uv uvv2 ex1 ex ex ex 1 ex2 ex 1 1 1 ex2 ex 2 1 ex2 fx ex 2 1 ex2 fx 0 ex 2 1 ex2 0 Note que 1 ex2 0 então ex 2 0 ex 2 lnex ln2 x ln2 portanto a função é crescente x ln2 fx ex 2 1 ex2 fx 0 ex 2 1 ex2 0 Note que 1 ex2 0 então ex 2 0 ex 2 ln ex ln 2 x ln 2 portanto a função é decrescente x ln 2 Questão 1 35 pontos Considere a função fx ex 1 ex a 02 pontos Qual é o domínio da f b 02 pontos Encontre a intersecção do gráfico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assíntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui máximos e mínimos locais E globais Se sim quais são g 05 pontos Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário esboce o gráfico de f e fx ex 2 1 ex2 Aplicando a regra do quociente u ex 2 u ex v 1 ex2 v 2 1 ex ex 2ex 2e2x fx uv uv v2 fx ex 1 ex2 ex 2 2 1 ex ex 1 ex4 fx ex 1 ex 2 ex 2 ex 1 ex3 fx ex 1 2 4 ex 1 ex3 fx ex 3 4 ex 1 ex3 fx 0 ex 3 4 ex 1 ex3 0 ex 3 4ex 1 ex3 0 se 1 ex 0 x0 então ex 3 4ex 0 como ex 0 pois x 0 e2x 3ex 4 0 fazendo a substituição t ex t2 3t 4 0 Δ 9 414 Δ 9 16 Δ 7 como Δ 0 a desigualdade é verdadeira para todo x 0 Por outro lado fx 0 x 0 Portanto fx tem concavidade para baixo quando x 0 e concavidade para cima x 0 p Temos que fx 0 em x ln2 e fln 2 0 portanto em ln 2 ocorre mínimo local No entanto a função não possui mínimo global Questão 1 35 pontos Considere a função fx ex 1 ex a 02 pontos Qual é o domínio da f b 02 pontos Encontre a interseção do gráfico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assíntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui máximos e mínimos locais E globais Se sim quais são g 05 pontos Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário esboce o gráfico de f Questão 2 10 pontos Encontre a equação da reta tangente à curva y x3 x2 em x1 Aplicando a derivada do quociente u x3 v x2 u 1 v 1 y uv uv v2 x2 x3 x22 5 x22 Em x1 y 5 122 5 e y 4 1 4 Portanto a reta é da forma y 5x b y 5x b e 1 4 pertence a reta 4 5 b b 1 Portanto a reta é r y 5x 1 Questão 3 20 pontos Calcule a derivada das seguintes funções a v u2 2lncos2u u b ft 1 tet t et 1 sqrtt a Aplicando a regra do quociente e cadeia a u2 2 lncos2u b u a 2u 2 1cos2usen2u2 b 1 a 2u 4 sen2u cos2u v ab ab b2 v 2u 4 sen2u cos2u u u2 2 lncos2u u2 v u2 cos2u 4u sen2u 2 lncos 2u cos 2u u2 cos2u b ft 1 tet t et 1 sqrtt ft 1 tet t et t12 u 1 tet v t et u 1 et t et v 1 et ft uv uv v2 12 t32 ft et t ett et 1 tet1 et t et2 1 2 sqrtt3 ft e2t t2 et 1 et t et2 1 2tt Questão 4 10 ponto Seja y yx dada implicitamente pela equação xey xy 3 Calcule dydx xey xy 3 ddx xey xy ddx 3 dxdx ey x deydx dxdx y x dydx 0 ey x ey dydx y x dydx 0 dydx xey x y ey dydx y ey xey x Questão 5 10 ponto Seja f uma função derivável e Fx fx2 fx2 Sabendo que f1 2 f1 3 f2 0 e f2 1 calcule F1 Fx fx2 fx2 Fx fx2 fx2 2x fx2 x2 fx2 2x Fx fx2 fx2 2x fx2 2x3 fx2 F1 f1 f12 2 1 f12 2 13 f12 F1 f2 2 2 2 3 F1 1 4 6 F1 10 Questão 6 15 pontos Considerando que a área de um círculo de raio r é A πr² a 05 pontos Suponha que o raio do círculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dAdt em termos da taxa de variação do raio drdt b 05 pontos Se o raio do círculo se expande a uma taxa constante a área do círculo também se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funções abaixo descrevem r com relação ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variação da área do círculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t a A πr² dAdt ddt πr² dAdt π ddt r² Aplicando a regra da cadeia dAdt π 2r drdt Questão 6 15 pontos Considerando que a área de um círculo de raio r é A πr² a 05 pontos Suponha que o raio do círculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dAdt em termos da taxa de variação do raio drdt b 05 pontos Se o raio do círculo se expande a uma taxa constante a área do círculo também se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funções abaixo descrevem r com relação ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variação da área do círculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t b dAdt π 2r drdt Não pois dAdt não depende apenas de drdt depende também de r Questão 6 15 pontos Considerando que a área de um círculo de raio r é A πr² a 05 pontos Suponha que o raio do círculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dAdt em termos da taxa de variação do raio drdt b 05 pontos Se o raio do círculo se expande a uma taxa constante a área do círculo também se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funções abaixo descrevem r com relação ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variação da área do círculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t c dAdt π 2r drdt i rt cost dAdt 2π cost sent dAdt 2π cost sent não é constante Questão 6 15 pontos Considerando que a área de um círculo de raio r é A πr² a 05 pontos Suponha que o raio do círculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dAdt em termos da taxa de variação do raio drdt b 05 pontos Se o raio do círculo se expande a uma taxa constante a área do círculo também se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funções abaixo descrevem r com relação ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variação da área do círculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t dAdt π 2r drdt ii rt lnt dAdt 2π lnt 1t não é constante Questão 6 15 pontos Considerando que a área de um círculo de raio r é A πr² a 05 pontos Suponha que o raio do círculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dAdt em termos da taxa de variação do raio drdt b 05 pontos Se o raio do círculo se expande a uma taxa constante a área do círculo também se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funções abaixo descrevem r com relação ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variação da área do círculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t dAdt π 2r drdt i rt t dAdt 2π t 12t dAdt π é constante
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CALCULO I Nome Assinatura RA Observacoes Essa avaliacao deve ser entregue digitada ou escrita e digitalizada Resolva as questoes de forma clara objetiva organizada e justifique cada passo Re spostas ilegıveis ou sem justificativas nao serao consideradas validas Questao 1 35 pontos Considere a funcao fx ex 1 ex a 02 pontos Qual e o domınio da f b 02 pontos Encontre a interseccao do grafico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assıntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui maximos e mınimos locais E globais Se sim quais sao g 05 pontos Usando as informacoes dos itens anteriores e outras que julgar necessario esboce o grafico de f Questao 2 10 pontos Encontre a equacao da reta tangente a curva y x 3 x 2 em x 1 Questao 3 20 pontos Calcule a derivada das seguintes funcoes a v u2 2lncos2u u b ft 1 tet t et 1 t Questao 4 10 ponto Seja y yx dada implicitamente pela equacao xey xy 3 Calcule dy dx Questao 5 10 ponto Seja f uma funcao derivavel e Fx fx2fx2 Sabendo que f1 2 f 1 3 f2 0 e f 2 1 calcule F 1 Questao 6 15 pontos Considerando que a area de um cırculo de raio r e A πr2 a 05 pontos Suponha que o raio do cırculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dA dt em termos da taxa de variacao do raio dr dt b 05 pontos Se o raio do cırculo se expande a uma taxa constante a area do cırculo tambem se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funcoes abaixo descrevem r com relacao ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variacao da area do cırculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t Olá segue o seu material resolvido Agradeço pela preferência e desejo sucesso Guru Jéssica Via meugurunet a O denominador não pode ser nulo ou seja 1 ex 0 ex 1 ex e0 x 0 x 0 portanto o Domínio é x R x 0 b Interseção com o eixo y x0 como a função não está definida em x0 não existe interseção da função com o eixo y Interseção com o eixo x y0 0 ex 1 ex ex 0 mas ex 0 x R portanto não existe interseção da função com o eixo x Questão 1 35 pontos Considere a função fx ex1 ex a 02 pontos Qual é o domínio da f b 02 pontos Encontre a interseção do gráfico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assíntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui máximos e mínimos locais E globais Se sim quais são g 05 pontos Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário esboce o gráfico de f c A função não está definida em x0 e temos limx0 ex1 ex Portanto x0 é uma assíntota vertical Além disso limx ex1 ex 0 Portanto y0 é uma assíntota horizontal Questão 1 35 pontos Considere a função fx ex1 ex a 02 pontos Qual é o domínio da f b 02 pontos Encontre a interseção do gráfico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assíntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui máximos e mínimos locais E globais Se sim quais são g 05 pontos Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário esboce o gráfico de f d Vamos derivar a função utilizando a regra do quociente u ex v 1 ex u ex v ex fx uv uvv2 ex1 ex ex ex 1 ex2 ex 1 1 1 ex2 ex 2 1 ex2 fx ex 2 1 ex2 fx 0 ex 2 1 ex2 0 Note que 1 ex2 0 então ex 2 0 ex 2 lnex ln2 x ln2 portanto a função é crescente x ln2 fx ex 2 1 ex2 fx 0 ex 2 1 ex2 0 Note que 1 ex2 0 então ex 2 0 ex 2 ln ex ln 2 x ln 2 portanto a função é decrescente x ln 2 Questão 1 35 pontos Considere a função fx ex 1 ex a 02 pontos Qual é o domínio da f b 02 pontos Encontre a intersecção do gráfico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assíntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui máximos e mínimos locais E globais Se sim quais são g 05 pontos Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário esboce o gráfico de f e fx ex 2 1 ex2 Aplicando a regra do quociente u ex 2 u ex v 1 ex2 v 2 1 ex ex 2ex 2e2x fx uv uv v2 fx ex 1 ex2 ex 2 2 1 ex ex 1 ex4 fx ex 1 ex 2 ex 2 ex 1 ex3 fx ex 1 2 4 ex 1 ex3 fx ex 3 4 ex 1 ex3 fx 0 ex 3 4 ex 1 ex3 0 ex 3 4ex 1 ex3 0 se 1 ex 0 x0 então ex 3 4ex 0 como ex 0 pois x 0 e2x 3ex 4 0 fazendo a substituição t ex t2 3t 4 0 Δ 9 414 Δ 9 16 Δ 7 como Δ 0 a desigualdade é verdadeira para todo x 0 Por outro lado fx 0 x 0 Portanto fx tem concavidade para baixo quando x 0 e concavidade para cima x 0 p Temos que fx 0 em x ln2 e fln 2 0 portanto em ln 2 ocorre mínimo local No entanto a função não possui mínimo global Questão 1 35 pontos Considere a função fx ex 1 ex a 02 pontos Qual é o domínio da f b 02 pontos Encontre a interseção do gráfico de f com os eixos coordenados c 08 pontos Encontre todas as assíntotas de f d 08 pontos Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f e 05 pontos Estude a concavidade de f f 10 pontos f possui máximos e mínimos locais E globais Se sim quais são g 05 pontos Usando as informações dos itens anteriores e outras que julgar necessário esboce o gráfico de f Questão 2 10 pontos Encontre a equação da reta tangente à curva y x3 x2 em x1 Aplicando a derivada do quociente u x3 v x2 u 1 v 1 y uv uv v2 x2 x3 x22 5 x22 Em x1 y 5 122 5 e y 4 1 4 Portanto a reta é da forma y 5x b y 5x b e 1 4 pertence a reta 4 5 b b 1 Portanto a reta é r y 5x 1 Questão 3 20 pontos Calcule a derivada das seguintes funções a v u2 2lncos2u u b ft 1 tet t et 1 sqrtt a Aplicando a regra do quociente e cadeia a u2 2 lncos2u b u a 2u 2 1cos2usen2u2 b 1 a 2u 4 sen2u cos2u v ab ab b2 v 2u 4 sen2u cos2u u u2 2 lncos2u u2 v u2 cos2u 4u sen2u 2 lncos 2u cos 2u u2 cos2u b ft 1 tet t et 1 sqrtt ft 1 tet t et t12 u 1 tet v t et u 1 et t et v 1 et ft uv uv v2 12 t32 ft et t ett et 1 tet1 et t et2 1 2 sqrtt3 ft e2t t2 et 1 et t et2 1 2tt Questão 4 10 ponto Seja y yx dada implicitamente pela equação xey xy 3 Calcule dydx xey xy 3 ddx xey xy ddx 3 dxdx ey x deydx dxdx y x dydx 0 ey x ey dydx y x dydx 0 dydx xey x y ey dydx y ey xey x Questão 5 10 ponto Seja f uma função derivável e Fx fx2 fx2 Sabendo que f1 2 f1 3 f2 0 e f2 1 calcule F1 Fx fx2 fx2 Fx fx2 fx2 2x fx2 x2 fx2 2x Fx fx2 fx2 2x fx2 2x3 fx2 F1 f1 f12 2 1 f12 2 13 f12 F1 f2 2 2 2 3 F1 1 4 6 F1 10 Questão 6 15 pontos Considerando que a área de um círculo de raio r é A πr² a 05 pontos Suponha que o raio do círculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dAdt em termos da taxa de variação do raio drdt b 05 pontos Se o raio do círculo se expande a uma taxa constante a área do círculo também se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funções abaixo descrevem r com relação ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variação da área do círculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t a A πr² dAdt ddt πr² dAdt π ddt r² Aplicando a regra da cadeia dAdt π 2r drdt Questão 6 15 pontos Considerando que a área de um círculo de raio r é A πr² a 05 pontos Suponha que o raio do círculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dAdt em termos da taxa de variação do raio drdt b 05 pontos Se o raio do círculo se expande a uma taxa constante a área do círculo também se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funções abaixo descrevem r com relação ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variação da área do círculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t b dAdt π 2r drdt Não pois dAdt não depende apenas de drdt depende também de r Questão 6 15 pontos Considerando que a área de um círculo de raio r é A πr² a 05 pontos Suponha que o raio do círculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dAdt em termos da taxa de variação do raio drdt b 05 pontos Se o raio do círculo se expande a uma taxa constante a área do círculo também se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funções abaixo descrevem r com relação ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variação da área do círculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t c dAdt π 2r drdt i rt cost dAdt 2π cost sent dAdt 2π cost sent não é constante Questão 6 15 pontos Considerando que a área de um círculo de raio r é A πr² a 05 pontos Suponha que o raio do círculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dAdt em termos da taxa de variação do raio drdt b 05 pontos Se o raio do círculo se expande a uma taxa constante a área do círculo também se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funções abaixo descrevem r com relação ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variação da área do círculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t dAdt π 2r drdt ii rt lnt dAdt 2π lnt 1t não é constante Questão 6 15 pontos Considerando que a área de um círculo de raio r é A πr² a 05 pontos Suponha que o raio do círculo se expande de forma proporcional ao tempo Encontre dAdt em termos da taxa de variação do raio drdt b 05 pontos Se o raio do círculo se expande a uma taxa constante a área do círculo também se expande com taxa constante c 05 pontos Qual das funções abaixo descrevem r com relação ao tempo t de tal forma que produz uma taxa de variação da área do círculo constante i rt cost ii rt lnt iii rt t dAdt π 2r drdt i rt t dAdt 2π t 12t dAdt π é constante