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Ciências Contábeis ·
Cálculo 1
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CALCULO I Nome Assinatura RA Observacoes Essa avaliacao deve ser entregue digitada ou escrita e digitalizada Resolva as questoes de forma clara objetiva organizada e justifique cada passo Re spostas ilegıveis ou sem justificativas nao serao consideradas validas Questao 1 25 pontos Considere a funcao fx 3 x6 729 4x2 2x4 64 a 05 pontos Encontre o maior subconjunto de R onde a funcao f esta definida e diga para quais valores f e contınua Justifique sua resposta b 05 pontos Encontre lim x fx c 05 pontos Encontre lim x fx d 05 pontos Encontre todas as assıntotas verticais de f Se nao houver nenhuma explique o porquˆe e 05 pontos Encontre todas as assıntotas horizontais de f Se nao houver nenhuma explique o porquˆe Questao 2 20 pontosProve que a equacao 1 x 1 x2 x x 3x possui pelo menos uma solucao para x 0 Questao 3 20 pontos Considere um semicırculo de diˆametro AB centro O e raio 1cm O retˆangulo PQRS tem o lado PQ situado sobre o diˆametro do semicırculo OP OQ e os vertices R e S situados sobre o mesmo Calcule o maior valor possıvel para sua area Questao 4 10 ponto Verifique se a funcao fx x2 2x 1 x2 3x 2 2x 1 cos x 1 x 1 1 x 1 e contınua em x 1 Justifique sua resposta Questao 5 10 ponto Seja f definida em R tal que lim x0 fx x 1 Calcule os seguintes limites i lim x0 f3x x ii lim x0 fx2 x iii lim x1 fx2 1 x 1 iv lim x0 f7x 3x Questao 6 10 ponto Calcule caso exista Se nao existir justifique a 05 pontos lim x2 gx g2 x 2 para gx x x 2 x2 2 x 2 b 05 pontos lim x1 senπx x 1 Questao 7 05 ponto Se f e g sao funcoes contınuas com f3 5 e lim x32fxgx 4 encontre g3 Questão 1 25 pontos Considere a função fx ³x⁶ 7294x² 2x⁴ 64 a 05 pontos Encontre o maior subconjunto de R onde a função f está definida e diga para quais valores f é contínua Justifique sua resposta b 05 pontos Encontre lim x fx c 05 pontos Encontre lim x fx d 05 pontos Encontre todas as assíntotas verticais de f Se não houver nenhuma explique o porquê e 05 pontos Encontre todas as assíntotas horizontais de f Se não houver nenhuma explique o porquê a O radicando da raiz quadrada não pode ser negativo então 2x⁴ 64 0 2x⁴ 64 x⁴ 32 Como x⁴ é sempre nãonegativo é válido xR O denominador deve ser não nulo Como 4x² é sempre não negativo e 4x⁴ 64 é maior que zero então o denominador é sempre não nulo Portanto o maior conjunto para o qual f está definida é R e é contínua em todos os pontos b lim x fx lim x ³x⁶ 7294x² 2x⁴ 64 lim x ³x⁶ 1 729x⁶4x² x⁴ 2 64x⁴ lim x x² ³1 729x⁶x² 4 2 64x⁴ lim x ³1 729x⁶ 4 2 64x⁴ ³142 4 24 2 4 214 c lim x fx lim x x⁶ 729 4x² 2x⁴ 64 lim x 1 729x⁶ 4 2 64x⁴ 1 4 2 4 2 4 2 4 2 14 d Como a função é contínua e está definida para todo real e além disso é limitada então não há assíntotas verticais e y 4 2 12 é assíntota horizontal Questão 2 20 pontos Prove que a equação 1x 1x2 x x x possui pelo menos uma solução para x 0 fx 1x 1x2 x x x f1 1 1 1 1 1 f1 1 0 f126 1126 11212 126 123 122 f126 26 212 126 123 122 f126 4160 2564 0 Como fx é contínua e f126 0 e f1 0 existe x₀ 126 1 tal que fx₀ 0 deste modo x₀ é uma solução da equação 1x 1x2 x x x Questão 3 20 pontos Considere um semicírculo de diâmetro AB centro O e raio 1cm O retângulo PQRS tem o lado PQ situado sobre o diâmetro do semicírculo OP OQ e os vértices R e S situados sobre o mesmo Calcule o maior valor possível para sua área Seja OP OQ x no triângulo OQR temos x2 y2 1 y 1 x2 A área será dada por A 2x y 2x 1 x2 Agora precisamos determinar o valor máximo de A Ax2x 1x² Ax2x 1x²12 Ax2 1x²12 2x 12 1x²12 2x Ax2 1x² 2x²1x² A 0 2 1x² 2x²1x² 2x² 1 2 1x² 2 x² x 22 candidatos à máximo ou mínimo Ax 2 1x²12 2x² 1x²12 Ax 1x²12 2x 2x² 12 1x²32 2x 4x 1x²12 Ax 2x1x² 2x³³1x²² 4x1x² A22 2112 224³112² 22112 A22 212 22 ³14 2 212 A22 212 22 ³14 2 212 A22 2 2 ³42 4 A22 0 Portanto em x 22 ocorre ponto de Máximo Área máxima A22 2 22 1 22² 2 12 1 Questão 4 10 ponto Verifique se a função fx x² 2x 1 x² 3x 2 2x 1cosx1 x 1 1 x 1 é contínua em x 1 Justifique sua resposta lim x1 fx lim x1 x² 2x 1 x² 3x 2 2x 1 cosx 1 lim x1 x 1² x 1² x 1 2x 1 cosx 1 lim x1 x1 x 1x 1 1 2 cosx 1 lim x1 1 x 2 2 cosx 1 lim x1 1 x 2 2 cosx 1 Note que lim x1 1 x 2 2 cosx 1 lim x1 1 x 2 2 cosx 1 Portanto o limite não existe Questão 5 10 ponto Seja f definida em ℝ tal que lim x0 fxx 1 Calcule os seguintes limites i lim x0 f3xx ii lim x0 fx²x iii lim x1 fx² 1x 1 iv lim x0 f7x3x lim x0 fxx 1 lim x0 fx 1 i lim x0 f3xx lim x0 3 f3x 3 lim x0 f3x 3 ii lim x0 fx²x lim x0 2x fx² 0 iii lim x1 fx² 1x 1 lim x1 2x fx² 1 2 iv lim x0 f7x3x lim x0 73 f7x 73 lim x0 f7x 73 Questão 6 10 ponto Calcule caso exista Se não existir justifique a 05 pontos lim x2 gx g2 x 2 para gx x x 2 x² 2 x 2 b 05 pontos lim x1 senπx x 1 b lim x 1 senπx x 1 indeterminação do tipo 00 Aplicando LHospital lim x 1 π cos πx 1 π Questão 7 05 ponto Se f e g são funções contínuas com f3 5 e lim x3 2fx gx 4 encontre g3 f3 5 lim x3 2fx gx 4 lim x3 2fx gx lim x3 2 fx lim x3 gx 2 5 lim x3 gx 4 lim x3 gx 6 como gx é contínua g3 6
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CALCULO I Nome Assinatura RA Observacoes Essa avaliacao deve ser entregue digitada ou escrita e digitalizada Resolva as questoes de forma clara objetiva organizada e justifique cada passo Re spostas ilegıveis ou sem justificativas nao serao consideradas validas Questao 1 25 pontos Considere a funcao fx 3 x6 729 4x2 2x4 64 a 05 pontos Encontre o maior subconjunto de R onde a funcao f esta definida e diga para quais valores f e contınua Justifique sua resposta b 05 pontos Encontre lim x fx c 05 pontos Encontre lim x fx d 05 pontos Encontre todas as assıntotas verticais de f Se nao houver nenhuma explique o porquˆe e 05 pontos Encontre todas as assıntotas horizontais de f Se nao houver nenhuma explique o porquˆe Questao 2 20 pontosProve que a equacao 1 x 1 x2 x x 3x possui pelo menos uma solucao para x 0 Questao 3 20 pontos Considere um semicırculo de diˆametro AB centro O e raio 1cm O retˆangulo PQRS tem o lado PQ situado sobre o diˆametro do semicırculo OP OQ e os vertices R e S situados sobre o mesmo Calcule o maior valor possıvel para sua area Questao 4 10 ponto Verifique se a funcao fx x2 2x 1 x2 3x 2 2x 1 cos x 1 x 1 1 x 1 e contınua em x 1 Justifique sua resposta Questao 5 10 ponto Seja f definida em R tal que lim x0 fx x 1 Calcule os seguintes limites i lim x0 f3x x ii lim x0 fx2 x iii lim x1 fx2 1 x 1 iv lim x0 f7x 3x Questao 6 10 ponto Calcule caso exista Se nao existir justifique a 05 pontos lim x2 gx g2 x 2 para gx x x 2 x2 2 x 2 b 05 pontos lim x1 senπx x 1 Questao 7 05 ponto Se f e g sao funcoes contınuas com f3 5 e lim x32fxgx 4 encontre g3 Questão 1 25 pontos Considere a função fx ³x⁶ 7294x² 2x⁴ 64 a 05 pontos Encontre o maior subconjunto de R onde a função f está definida e diga para quais valores f é contínua Justifique sua resposta b 05 pontos Encontre lim x fx c 05 pontos Encontre lim x fx d 05 pontos Encontre todas as assíntotas verticais de f Se não houver nenhuma explique o porquê e 05 pontos Encontre todas as assíntotas horizontais de f Se não houver nenhuma explique o porquê a O radicando da raiz quadrada não pode ser negativo então 2x⁴ 64 0 2x⁴ 64 x⁴ 32 Como x⁴ é sempre nãonegativo é válido xR O denominador deve ser não nulo Como 4x² é sempre não negativo e 4x⁴ 64 é maior que zero então o denominador é sempre não nulo Portanto o maior conjunto para o qual f está definida é R e é contínua em todos os pontos b lim x fx lim x ³x⁶ 7294x² 2x⁴ 64 lim x ³x⁶ 1 729x⁶4x² x⁴ 2 64x⁴ lim x x² ³1 729x⁶x² 4 2 64x⁴ lim x ³1 729x⁶ 4 2 64x⁴ ³142 4 24 2 4 214 c lim x fx lim x x⁶ 729 4x² 2x⁴ 64 lim x 1 729x⁶ 4 2 64x⁴ 1 4 2 4 2 4 2 4 2 14 d Como a função é contínua e está definida para todo real e além disso é limitada então não há assíntotas verticais e y 4 2 12 é assíntota horizontal Questão 2 20 pontos Prove que a equação 1x 1x2 x x x possui pelo menos uma solução para x 0 fx 1x 1x2 x x x f1 1 1 1 1 1 f1 1 0 f126 1126 11212 126 123 122 f126 26 212 126 123 122 f126 4160 2564 0 Como fx é contínua e f126 0 e f1 0 existe x₀ 126 1 tal que fx₀ 0 deste modo x₀ é uma solução da equação 1x 1x2 x x x Questão 3 20 pontos Considere um semicírculo de diâmetro AB centro O e raio 1cm O retângulo PQRS tem o lado PQ situado sobre o diâmetro do semicírculo OP OQ e os vértices R e S situados sobre o mesmo Calcule o maior valor possível para sua área Seja OP OQ x no triângulo OQR temos x2 y2 1 y 1 x2 A área será dada por A 2x y 2x 1 x2 Agora precisamos determinar o valor máximo de A Ax2x 1x² Ax2x 1x²12 Ax2 1x²12 2x 12 1x²12 2x Ax2 1x² 2x²1x² A 0 2 1x² 2x²1x² 2x² 1 2 1x² 2 x² x 22 candidatos à máximo ou mínimo Ax 2 1x²12 2x² 1x²12 Ax 1x²12 2x 2x² 12 1x²32 2x 4x 1x²12 Ax 2x1x² 2x³³1x²² 4x1x² A22 2112 224³112² 22112 A22 212 22 ³14 2 212 A22 212 22 ³14 2 212 A22 2 2 ³42 4 A22 0 Portanto em x 22 ocorre ponto de Máximo Área máxima A22 2 22 1 22² 2 12 1 Questão 4 10 ponto Verifique se a função fx x² 2x 1 x² 3x 2 2x 1cosx1 x 1 1 x 1 é contínua em x 1 Justifique sua resposta lim x1 fx lim x1 x² 2x 1 x² 3x 2 2x 1 cosx 1 lim x1 x 1² x 1² x 1 2x 1 cosx 1 lim x1 x1 x 1x 1 1 2 cosx 1 lim x1 1 x 2 2 cosx 1 lim x1 1 x 2 2 cosx 1 Note que lim x1 1 x 2 2 cosx 1 lim x1 1 x 2 2 cosx 1 Portanto o limite não existe Questão 5 10 ponto Seja f definida em ℝ tal que lim x0 fxx 1 Calcule os seguintes limites i lim x0 f3xx ii lim x0 fx²x iii lim x1 fx² 1x 1 iv lim x0 f7x3x lim x0 fxx 1 lim x0 fx 1 i lim x0 f3xx lim x0 3 f3x 3 lim x0 f3x 3 ii lim x0 fx²x lim x0 2x fx² 0 iii lim x1 fx² 1x 1 lim x1 2x fx² 1 2 iv lim x0 f7x3x lim x0 73 f7x 73 lim x0 f7x 73 Questão 6 10 ponto Calcule caso exista Se não existir justifique a 05 pontos lim x2 gx g2 x 2 para gx x x 2 x² 2 x 2 b 05 pontos lim x1 senπx x 1 b lim x 1 senπx x 1 indeterminação do tipo 00 Aplicando LHospital lim x 1 π cos πx 1 π Questão 7 05 ponto Se f e g são funções contínuas com f3 5 e lim x3 2fx gx 4 encontre g3 f3 5 lim x3 2fx gx 4 lim x3 2fx gx lim x3 2 fx lim x3 gx 2 5 lim x3 gx 4 lim x3 gx 6 como gx é contínua g3 6