Gabarito P1 Fisica IV - Resolucao Detalhada Exercicio de Optica

Física IV 4323204 Escola Politécnica 2017 GABARITO DA P1 31 de agosto de 2017 Questão 1 I 10 ponto Numa experiência de Young duas fendas separadas por uma distância de d 15 mm são iluminadas com luz monocromática de comprimento de onda λ 6 107 m Observamse franjas de interferência num anteparo distante de L 3 m do plano das fendas Determine em metros o espaçamento entre estas franjas Despreze efeitos de difração e lembre que para ângulos pequenos sen θ tan θ II 15 ponto Em um outro experimento as duas fendas do item a são substituídas por uma única fenda de largura a 2 104 m Determine em metros a largura do máximo central da figura de difração observada no anteparo Sugestão substitua os valores numéricos apenas na resposta final Solução da questão 1 I Dupla fenda Os máximos de interferência ocorrem quando d sen θ mλ m 0 1 2 para ângulos pequenos sen θ tan θ ymáx L ymáx mλL d m 0 1 2 O espaçamento entre as franjas é Δymáx λL d 6 107 3 15 103 12 103 m II Fenda única A intensidade da figura de difração é dada por I I0 senβ2 β22 β 2π a sen θ λ Os mínimos ocorrem quando β2 mπ com m 1 2 ou seja para mλ a sen θ ym L ym mλL a A largura do máximo central é distância entre os dois primeiros mínimos localizados em y1 e y1 y1 y1 y1 2 y1 2 λL a 2 6 107 3 2 104 18 102 m Questão 2 I Um filme fino de espessura t variável e índice de refração n2 é iluminado por luz monocromática de comprimento de onda que no vácuo é igual a λ0 O filme encontrase imerso em um meio cujo índice de refração n1 n2 Observase a interferência dos raios 1 e 2 provenientes da reflexão da luz nas superfícies superior e inferior do filme conforme a figura Considere incidência normal a 10 ponto Calcule o valor a mínimo da espessura do filme para que a intensidade da luz observada seja máxima b 05 ponto Calcule o valor b mínimo da espessura do filme para que a intensidade da luz observada seja mínima II 10 ponto Numa experiência de difração com um cristal foi utilizado um feixe de raios X com dois comprimentos de onda Os menores ângulos para os quais se observaram máximos foram θ1 0014 θ2 0021 θ3 0028 e θ4 0042 todos eles medidos em radianos Sabendose que a distância entre os planos de difração do cristal é 1 nm 109 m determine os comprimentos de onda λ1 e λ2 dos raios X do feixe Observação para ângulos pequenos sen θ θ Solução da questão 2 I Filme fino a Para a intensidade da luz ser máxima é necessário haver interferência construtiva entre os raios 1 e 2 2π 2tλ2 π 2πm t λ22 m 12 λ02n2 m 12 A espessura mínima a é obtida com m 0 a λ04n2 b Para a intensidade da luz ser mínima é necessário haver interferência destrutiva entre os raios 1 e 2 2π 2tλ2 π 2m 1π t λ22 m 1 λ02n2 m 1 A espessura mínima b é obtida com m 0 b λ02n2 II Difração de raios X Para ângulos pequenos sen θ θ e a lei de Bragg 2d sen θ mλ m 1 2 3 fornece θ mλ2d Nesta aproximação os ângulos correspondentes aos máximos são múltiplos inteiros de λ2d Assim os ângulos θ1 e θ3 estão associados ao comprimento λ1 e os ângulos θ2 e θ4 estão associados ao comprimento λ2 λ1 2dθ1 21090 014 2 8 1011 m λ2 2dθ2 21090 021 4 2 1011 m Questão 3 Uma espaçonave parte da Terra no instante t 0 e mantém sua jornada em linha reta com velocidade escalar v em direção a uma estação espacial que se localiza a uma distância D da Terra segundo observadores na Terra Considere v próxima à velocidade da luz e despreze efeitos de aceleração da espaçonave a 10 ponto Calcule o tempo necessário para a espaçonave atingir a estação segundo seu comandante b 15 ponto No instante em que atinge a estação a espaçonave emite um sinal luminoso na direção da Terra e continua sua viagem em linha reta Segundo o comandante qual é o intervalo de tempo entre a emissão e a chegada deste sinal à Terra e quanto a espaçonave se afastou da estação espacial neste mesmo intervalo de tempo Solução da questão 3 a Para o comandante da nave a partida da Terra e a chegada à estação espacial são dois eventos que ocorrem no mesmo ponto O intervalo de tempo entre eles é o tempo próprio ΔT0 que se relaciona com o intervalo ΔTTerra Dv medido na Terra através de ΔTTerra ΔT0 1 v2c2 ΔT0 D1 v2c2v b Para o comandante o sinal de luz vai percorrer a distância contraída D D1 v2c2 mais o quanto a Terra se afastou até o sinal chegar até ela Assim Δt D1 v2c2 vΔtc Δt Dc 1vc1vc ou usando transformações de Lorentz emissão luz em S xE tE D Dv chegada da luz em S xC tC 0 Dv Dc Δx Δt D Dc Portanto Δt γ Δt vΔxc2 11 v2c2 Dc vDc2 Δt Dc 1vc1vc No intervalo de tempo Δt segundo o comandante a nave estará a uma distância d vΔt Dvc1vc1vc da estação espacial Questão 4 Uma barra de comprimento próprio L orientada segundo um ângulo θ em relação ao eixo x está em repouso em um sistema inercial S conforme a figura Considere um sistema S que se move com velocidade constante vetor v u vetor i em relação a S Nos itens abaixo expresse suas respostas em termos de L u V θ e da velocidade da luz c a 10 ponto Qual é o comprimento L da barra no sistema S b 10 ponto Qual é o ângulo de orientação θ da barra no sistema S c 05 ponto Suponha agora que uma partícula relativística se move ao longo da barra com velocidade V medida em S no sentido de P para O Quais são as componentes do vetor velocidade desta partícula para um observador em S Solução da questão 4 a No sistema S o comprimento da barra é L raiz quadrada de Lx² Ly² onde Lx e Ly são as projeções de L sobre eixos x e y respectivamente Ly Ly L sen θ Lx raiz quadrada de 1 u²c² L cos θ L raiz quadrada de Ly² Lx² L raiz quadrada de 1 u²c² cos² θ b O ângulo θ é obtido de tan θ Ly Lx L sen θ L cos θ raiz quadrada de 1 u²c² θ arctan tan θ raiz quadrada de 1 u²c² c A velocidade da partícula em S é vetor V V cos θ vetor i V sen θ vetor j Usando as fórmulas de transformação de velocidades obtemos Vx Vx u 1 u Vx c² V cos θ u 1 uV cos θ c² Vy Vy raiz quadrada de 1 u²c² 1 u Vx c² V sen θ raiz quadrada de 1 u²c² 1 u V cos θ c² Formulário x γ x ut y y z z t γ t uxc² vx vx u 1 u vx c² vy vy raiz quadrada de 1 u²c² 1 u vx c² vz vz raiz quadrada de 1 u²c² 1 u vx c² O referencial S coincide com S em t t 0 e se move em relação a S com velocidade vetor u u vetor i γ 1raiz quadrada de 1 u² c² l l0 raiz quadrada de 1 u²c² T T0 raiz quadrada de 1 u²c² I I0 cos²φ2 I I0 sen β2 β2² I I0 cos²φ2 sen β2 β2² φ 2 π d sen θ λ β 2 π a sen θ λ λ λ0 n 2 d sen θ m λ