·
Física ·
Cálculo 2
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Recomendado para você
Texto de pré-visualização
Universidade Federal de Sergipe Campus Prof Alberto Carvalho Disciplina CÁLCULO II Código Professora Charles Amorim Semestre 20212 Discente Matrícula Departamento de Matemática DMAI A1 Leia as Instruções A avaliação é individual O tempo total para a execução e envio da prova é até às 0000 1 25 pts 01 Estude a convergência das integrais a seguir a from to x ex dx c from to x ex2 dx e from 1 to ln xx dx 2 25 pts Encontre uma representação em série de potências para x3x2 Encontre seu domínio 3 25 pts Assuma que a função fx x3 admita expansão em série de potências em torno de x0 1 e encontre sua expansão 4 25 pts 06 Calcule o comprimento da curva dada por x et et y 5 2t para 0 t 3 1 a from to x ex dx Vamos resolver a integral indefinida x ex dx Seja u x du dx dv ex dx v ex com u e v deriváveis em Logo x ex dx x ex ex dx x ex ex Logo from to x ex dx lim x x ex ex lim x x ex ex lim x x ex lim x x ex Sabemos que lim x x ex 0 porém lim x x ex Logo a integral não converge b from to x ex2 dx Vamos resolver a integral indefinida x ex2 dx Seja ex2 μ dμ 2x ex2 dx x ex2 dx 12 dμ Substituindo x ex2 dx 12 dμ μ2 ex22 Logo from to x ex2 dx lim x 12 ex2 lim x 12 ex2 0 0 0 0 0 logo a integral converge para zero porque o sinal negativo em é eliminado com o termo quadrático c ln x x dx from 1 to vamos resolver a integral indefinida ln x x dx Seja ln x μ 1x dx dμ Substituindo ln x x dx μ dμ μ² 2 ln x² 2 Então ln x x dx from 1 to lim x ln x² 2 ln 1² 2 logo a integral não converge 2 fx x³ x 2 vamos tentar escrever fx da forma fⁿanx aⁿ partindo de séries conhecidas 1 x x² xⁿ 1 1 x para x 1 porque temos a soma de uma PG infinita Então substituímos x por x2 obtemos 1ⁿ xⁿ 2ⁿ 2 2 x para x2 1 Por fim x³ 2 1ⁿ xⁿ 2ⁿ x³ 2 x 1ⁿ xⁿ³ 2ⁿ¹ domínio é 2 x 2 3 fx x³ vamos f¹⁰x x³ f¹ x 3x² f² x 6x f³ x 6 f⁴ x 0 f⁰1 1 f¹ 1 3 f² 1 6 f³ 1 6 O restante das derivadas é zero a partir da quarta derivada Logo sua série de potências fica x³ fⁿ 1 n x 1ⁿ 1 3x 1 62 x 1² 63 x 1³ x 1³ 3x 1² 3x 1 1 4 Temos x eᵗ eᵗ y 5 2 t curva já parametrizada rt eᵗ eᵗ î 5 2 t ĵ logo derivando rt rt eᵗ eᵗ î 2 ĵ Então vt et et2 4 e2t e2t 2 et et2 et et Logo S 0 to 3 vt dt 0 to 3 et dt 0 to 3 et dt et03 et30 e3 1 1 e3 e3 e3
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Recomendado para você
Texto de pré-visualização
Universidade Federal de Sergipe Campus Prof Alberto Carvalho Disciplina CÁLCULO II Código Professora Charles Amorim Semestre 20212 Discente Matrícula Departamento de Matemática DMAI A1 Leia as Instruções A avaliação é individual O tempo total para a execução e envio da prova é até às 0000 1 25 pts 01 Estude a convergência das integrais a seguir a from to x ex dx c from to x ex2 dx e from 1 to ln xx dx 2 25 pts Encontre uma representação em série de potências para x3x2 Encontre seu domínio 3 25 pts Assuma que a função fx x3 admita expansão em série de potências em torno de x0 1 e encontre sua expansão 4 25 pts 06 Calcule o comprimento da curva dada por x et et y 5 2t para 0 t 3 1 a from to x ex dx Vamos resolver a integral indefinida x ex dx Seja u x du dx dv ex dx v ex com u e v deriváveis em Logo x ex dx x ex ex dx x ex ex Logo from to x ex dx lim x x ex ex lim x x ex ex lim x x ex lim x x ex Sabemos que lim x x ex 0 porém lim x x ex Logo a integral não converge b from to x ex2 dx Vamos resolver a integral indefinida x ex2 dx Seja ex2 μ dμ 2x ex2 dx x ex2 dx 12 dμ Substituindo x ex2 dx 12 dμ μ2 ex22 Logo from to x ex2 dx lim x 12 ex2 lim x 12 ex2 0 0 0 0 0 logo a integral converge para zero porque o sinal negativo em é eliminado com o termo quadrático c ln x x dx from 1 to vamos resolver a integral indefinida ln x x dx Seja ln x μ 1x dx dμ Substituindo ln x x dx μ dμ μ² 2 ln x² 2 Então ln x x dx from 1 to lim x ln x² 2 ln 1² 2 logo a integral não converge 2 fx x³ x 2 vamos tentar escrever fx da forma fⁿanx aⁿ partindo de séries conhecidas 1 x x² xⁿ 1 1 x para x 1 porque temos a soma de uma PG infinita Então substituímos x por x2 obtemos 1ⁿ xⁿ 2ⁿ 2 2 x para x2 1 Por fim x³ 2 1ⁿ xⁿ 2ⁿ x³ 2 x 1ⁿ xⁿ³ 2ⁿ¹ domínio é 2 x 2 3 fx x³ vamos f¹⁰x x³ f¹ x 3x² f² x 6x f³ x 6 f⁴ x 0 f⁰1 1 f¹ 1 3 f² 1 6 f³ 1 6 O restante das derivadas é zero a partir da quarta derivada Logo sua série de potências fica x³ fⁿ 1 n x 1ⁿ 1 3x 1 62 x 1² 63 x 1³ x 1³ 3x 1² 3x 1 1 4 Temos x eᵗ eᵗ y 5 2 t curva já parametrizada rt eᵗ eᵗ î 5 2 t ĵ logo derivando rt rt eᵗ eᵗ î 2 ĵ Então vt et et2 4 e2t e2t 2 et et2 et et Logo S 0 to 3 vt dt 0 to 3 et dt 0 to 3 et dt et03 et30 e3 1 1 e3 e3 e3