Lista de Exercícios Resolvidos - Proposições Quantificadas e Cálculo de Predicados - UFMG

Lista de Exercícios 2 Soluções Proposições Quantificadas Cálculo de Predicados UFMGICExDCC DCC111 Matemática Discreta Ciências Exatas Engenharias 2o Semestre de 2014 1 Determine o conjunto verdade para o predicado n2 30 e domínio Z Resposta O conjunto verdade D para o predicado acima é 5 5 2 Diga se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa Se for falsa apresente um contraexemplo a Z a 1 a não é um inteiro Resposta A afirmação é falsa para a 1 já que a 1 a 1 1 1 0 1 0 que é um inteiro 3 Escreva a negação da afirmação n Z se n é primo então n é ímpar ou n 2 Resposta A negação é dada por n Z se n é primop então n é ímparq ou n 2r n Z p q r n Z p q r n Z p q r n Z p q r n Z n é primo e n é par e n 2 Observe que a afirmação original é verdadeira e sua negação é falsa 4 Qual é o contrapositivo da afirmação inteiros a b e c se a b é par e b c é par então a c é par Resposta inteiros a b e c se a b é par e b c é parp então a c é parq inteiros a b e c se q então p inteiros a b e c se a c é par então a b é par e b c é par inteiros a b e c se a c não é par então a b não é par ou b c não é par 5 Seja Px um predicado tal que x R e os seguintes predicados Rx x Z Px 1 Sx x Q Px Tx x R Px Encontre uma definição para Px que não use x Z de modo que Rx seja verdadeiro e Sx e Tx sejam falsos Note que o domínio do predicado Rx é mais restritivo que o domínio de Px já que o tipo de número que pode ser aplicado ao predicado R é apenas do tipo inteiro Uma observação similar vale para o predicado S mas nesse caso apenas para números racionais Resposta Possível resposta Seja Px 2x 1 O predicado Rx é verdadeiro conjunto dos números inteiros enquanto os predicados Sx e Tx são falsos O contraexemplo é x 1 2 para o conjunto dos números racionais e reais 6 Considere o string de números 0204 Seja a seguinte afirmação x se x 1 e x é um caractere no string 0204 então x está à esquerda de todos os 0s no string Essa afirmação é verdadeira Resposta A negação dessa afirmação é x tal que x 1 e x é um caractere no string 0204 e x está à esquerda de todos os 0s no string A negação é falsa porque o string não contém o caractere 1 Assim a afirmação é verdadeira por default 7 Reescreva cada afirmação na forma seentão a Obter conceito D nesta disciplina é condição suficiente para um estudante ser aprovado Resposta Se um estudante obtém conceito D nesta disciplina então ele é aprovado b Chegar no horário todo o dia é uma condição necessária para uma pessoa manter o emprego Resposta Se uma pessoa mantém o emprego então ela chega no horário todo o dia c Ser divisível por 8 não é uma condição necessária para um número ser divisível por 4 Resposta Não é caso que se um número é divisível por 4 então o número é divisível por 8 Em outras palavras existe um número que é divisível por 4 e o número não é divisível por 8 d Ter um grande rendimento não é uma condição suficiente para uma pessoa ser feliz Resposta Não é o caso que se uma pessoa tem um grande rendimento então a pessoa é feliz Em outras palavras existe uma pessoa que tem um grande rendimento e não é feliz 8 Escreva cada uma das proposições abaixo na forma p se e somente se q em português a Se está calor lá fora você compra um sorvete e se você compra um sorvete é porque está calor lá fora Resposta Você compra um sorvete se e somente se está calor lá fora b Para que você ganhe na loteria é necessário e suficiente que você tenha o único bilhete premiado Resposta Você ganhe na loteria se e somente se você tem o único bilhete premiado c Você será promovido apenas se você tiver contatos e você só terá contatos se for promovido Resposta Você será promovido se e somente se você tiver contatos d Se você assistir à televisão sua mente se deteriorará e viceversa Resposta Sua mente se deteriorará se e somente se você assistir à televisão e Os trens atrasam exatamente naqueles dias em que eu viajo neles Resposta Os trens atrasam se e somente se é um dia em que viajo neles 2 9 Uma brochura de um clube para passageiros frequentes de vôos diz o seguinte você pode selecionar a companhia aérea somente se se elas oferecem a mesma tarifa mais baixa Assumindo que somente se tem o seu significado formal significado lógico este anúncio garante se duas ou mais companhias aéreas oferecem a mesma tarifa mais baixa o cliente poderá escolher entre elas Explique Resposta Formalmente não Sabemos que somente se significa condição suficiente Assim formalmente temos se você pode selecionar a companhia aérea então elas oferecem a mesma tarifa mais baixa O que foi perguntado foi a proposição oposta ou seja se duas ou mais companhias aéreas oferecem a mesma tarifa mais baixa então o cliente poderá escolher entre elas 10 Sejam os predicados Px e Qx e suponha que D é o domínio de x Determine se as seguintes proposições são equivalentes logicamente ou não x D Px Qx x D Px x D Qx Resposta Seja o domínio D x1 xn Assim temos que Px1 Qx1 Pxn Qxn Px1 Qx1 Pxn Qxn que são equivalentes logicamente 11 Diga se a forma do argumento abaixo é válida ou não apresentando a justificativa Todas as pessoas saudáveis comem um banana por dia João não é uma pessoa saudável João não come uma banana por dia Resposta p p é uma pessoa saudável p come um banana por dia p não é uma pessoa saudável p não come uma banana por dia Forma inválida erro inverso que tem a seguinte versão geral x se Px então Qx Pa para a em particular Qa 12 Diga se a forma do argumento abaixo é válida ou não apresentando a justificativa Se uma série infinita converge então os termos da série vão para 0 Os termos da série infinita n1 1 n vão para 0 A série infinita n1 1 n converge Resposta série infinita s se s converge então os termos da série vão para 0 Os termos da série infinita n1 1 n vão para 0 A série infinita n1 1 n converge Forma inválida erro recíproco que tem a seguinte versão geral x se Px então Qx Qa para a em particular Pa