Lista P2 - Algebra Linear - 2019-i

Universidade Federal de Viçosa\nDepartamento de Matemática\n\nMAT 138 – Noções de Álgebra Linear\n3ª Lista (Profª. Lana Mara Rodrigues dos Santos)\nAtualizada em: 28 de abril de 2019\n\n1) Encontre um vetor não-nulo com ponto inicial tal que:\n(a) tem a mesma direção e sentido que .\n(b) tem a mesma direção, mas sentido oposto a .\n\n2) Sejam e . Determine:\n(a)\n(b)\n\n3) Determine tais que as coordenadas de são todas iguais, a última coordenada de é igual a 3 e\n\n4) Encontre todos os escalares e tais que:\n\n5) Sejam os vetores e em .\n(a) Existem escalares e tais que , para ? Justifique.\n(b) Existem escalares e tais que , para ? Justifique.\n(c) Determine o conjunto de vetores do tais que , para reais.\n\n6) Determine:\n(a) e de modo que .\n(b) e de modo que .\n\n7) Mostre que:\n(a) Se então e .\n(b) não implica necessariamente e .\n\n8) Sejam os vetores e em .\n(a) Escreva como combinação linear de e .\n(b) O vetor pode ser escrito como combinação linear de e ? Por que?\n(c) Encontre condições sobre de modo que seja uma combinação linear de .\n(d) Escreva o vetor nulo como combinação linear de e .\n\n9) Sejam os vetores e . Escreva os vetores e como combinação linear de e .\n\n10) Para qual valor de o vetor é combinação linear dos vetores e ?\n\n11) Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços do .\n(a)\n(b)\n(c)\n(d)\n(e)\n\n12) Seja o subespaço do definido por . Pergunte-se:\n(a) pertence a ?\n(b) pertence a ?\n(c) Determine dois vetores que geram ? Eles são únicos? Se não, apresente outros!\n\n13) Mostre que os conjuntos e geram o mesmo subespaço do .\n\n14) Mostre que os seguintes subconjuntos de são subespaços de.\n(a)\n(b)\n\n15) Determine um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços de\n(a)\n(b)\n(c)\n\n16) Encontre um vetor em que gere a interseção de e , em que é o plano e é o espaço gerado pelos vetores e .\n\n17) Determine , em que\n\n18) Mostre que o plano , isto é pode ser gerado por:\n(a)\n(b)\n\n19) Verifique se o vetor pode ser obtido como combinação linear dos vetores e .\n\n20) Verifique se os conjuntos são linearmente independentes ou linearmente dependentes.\n\nLista 3 MAT138 (2019/I) – p. 2 / 7 (e) Escreva o vetor nulo como combinação linear de , e .\n(f) Escreva o vetor nulo como combinação linear de e .\n(g) Compare os resultados obtidos em (8e) e (8f) com o que foi obtido em (8b) e (8c).\n\n9) Sejam os vetores e . Escreva os vetores e como combinação linear de .\n\n10) Para qual valor de o vetor é combinação linear dos vetores e ?\n\n11) Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços do .\n(a)\n(b)\n(c)\n(d)\n(e)\n\n12) Seja o subespaço do definido por . Pergunte-se:\n(a) pertence a ?\n(b) pertence a ?\n(c) Determine dois vetores que geram ? Eles são únicos? Se não, apresente outros!\n\n13) Mostre que os conjuntos e geram o mesmo subespaço do .\n\n14) Mostre que os seguintes subconjuntos de são subespaços de.\n(a)\n(b)\n\n15) Determine um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços de\n(a)\n(b)\n(c)\n\n16) Encontre um vetor em que gere a interseção de e , em que é o plano e é o espaço gerado pelos vetores e .\n\n17) Determine , em que\n\n18) Mostre que o plano , isto é pode ser gerado por:\n(a)\n(b)\n\n19) Verifique se o vetor pode ser obtido como combinação linear dos vetores e .\n\n20) Verifique se os conjuntos são linearmente independentes ou linearmente dependentes.\n\nLista 3 MAT138 (2019/I) – p. 2 / 7 (a)\n(b)\n(c)\n(d)\n(e)\n(f)\n\n21) Para cada item abaixo, determine os valores de para que os conjuntos sejam linearmente independentes ou linearmente dependentes.\n(a)\n(b)\n\n22) Mostre que:\n(a) Se são L.I. então são L.I.\n(b) Se um conjunto contém o vetor nulo, então é L.D.\n(c) Se uma parte de um conjunto é L.D. então é L.D.\n\n23) Consideremos no espaço vetorial os vetores e onde Mostre que é L.I.\n\n24) Quais dos seguintes conjuntos formam uma base de ? Nestes casos, escreva um vetor genérico do como combinação linear dos elementos desse conjunto.\n(a)\n(b)\n(c)\n\n25) Mostre que os vetores e geram o . Encontre uma .\n\n26) Determine uma base e a dimensão dos subespaços vetoriais.\n(a)\n(b)\n\n27) Sendo , encontre um vetor tal que seja base do .\n\n28) Determine uma base do que contenha os seguintes vetores e .\n\n29) Determine se é combinação linear das colunas de respeito do sistema linear representado pela equação matricial , em que é um vetor coluna.\n\nLista 3 MAT138 (2019/I) – p. 3 / 7 30) Verifique como o posto da matriz varia com .\n31) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do :\n(a)\n(b)\n32) Sejam os subespaços e a dimensão dos subespaços e . Determine uma base e e .\n33) Seja um espaço de dimensão 5. Responda as perguntas abaixo, justificando sua resposta:\n(a) Um conjunto de vetores de com 8 vetores, pode ser LI?\n(b) Um conjunto de vetores de com 5 vetores, pode ser LD?\n(c) Se um conjunto LD, pode existir um conjunto que contenha e que seja LI?\n34) Seja o subespaço do gerado pelos vetores e .\n(a) Encontre uma base e a dimensão de .\n(b) Estenda a base de a uma base de .\n(c) Faça agora o caminho inverso. Encontre os vetores da base canônica do que geram. Qualquer combinação de três vetores da base canônica do vai gerar ?\n35) Sejam\n(a) um conjunto linearmente independente? Justifique.\n(b) Escreva o vetor como combinação linear dos vetores de .\n(c) O vetor do item (b) pertence a ?\n(d) Usando apenas as respostas dos itens (a), (b) e (c) e sem fazer qualquer conta adicional é possível garantir que é uma base de ? Justifique!\n(e) Encontre uma base para o subespaço \n36) Determine:\n(a) Um subconjunto do com 3 de vetores e que não é base do .\n(b) Um conjunto do linearmente independente e que não é base do .\n(c) Um conjunto de vetores do que gera o mas não é base do .\n37) Determinar as coordenadas do vetor em relação às bases:\n(a)\n(b)\n(c)\n38) Seja uma base de Determine as coordenadas de em relação a : 39) Determine as coordenadas do vetor de em relação às seguintes bases:\n(a) canônica;\n(b)\n(c)\n40) Considere o espaço vetorial . A matriz da mudança da base é dada por .\n(a) Determine a base .\n(b) Determine o vetor tal que\n41) Considere a seguinte matriz de mudança de base . Encontre:\n(a) onde\n(b) onde\n42) Encontre a reta de ajuste linear de mínimos quadrados dos quatro pontos e .\n43) Um empresário em rápida expansão descobre que nos cinco primeiros meses do ano as vendas (em milhões de reais) foram R$ 4,00, R$ 4,40, R$ 55,20, R$ 6,40 e R$ 8,00. O empresário coloca estes dados num gráfico e conjectura que, pelo resto do ano, a curva de vendas pode ser aproximada por uma parábola. Encontre o polinômio quadrático de melhor ajuste de mínimos quadrados para a curva de vendas e use-o para projetar as vendas no final do ano.\n44) A tabela exibo o número de bactérias existentes em uma cultura (por unidade de volume) após horas. Deseja-se estimar o número de bactérias em horas. GabARito\n1) (a) \n(b) \n2) (a) \n(b) \n(c) \n3) Devemos ter e para que a igualdade seja satisfeita.\n4) (a) \n(b) \n(c)\n5) (a) Sim.\n(b) não\n(c)\n6) (a) e\n7) (a) A matriz é invertível. Portanto, a equação tem única solução.\n8) (a)\n(b) Não.\n(c)\n(d)\n(e) , dentre outras infinitas possibilidades.\n9) - - - - .\n10)\n11) (a) sim\n(b) não\n(c) sim\n(d) não\n12) (a) sim\n(b) não\n(c)\n13) Ambos geram o espaço vetorial\n14) (a) \n(b) \n15) (a) \n(b) \n(c) \n16)\n17)\n18) (a) \n(b) \n19) não\n20) (a) linearmente dependente\n(b) linearmente dependente\n(c) linearmente dependente\n(d) linearmente independente\n(e) linearmente dependente\n21) (a) somente para o conjunto é linearmente dependente.\n(b) qualquer que seja o conjunto é linearmente dependente.\n22) (a) \n(b) \n(c) \n23)\n24) (a) Não é base.\n(b) (c) – – – 37) (a)\n25)\n(b)\n26) (a) dim =1,\n(b) dim =2,\n(c)\n27) Por exemplo,\n28)\n38) (a)\n29) em que\n(b)\n30) , ; . Para\n31) (a) , dim = 2.\n(b) = 3.\n39) (a)\n32) (a) , dim = 2;\n; dim = 2;\n; dim = 1.\n(b)\n33) (a) não\n(b) sim\n(c) não\n34) (a) , dim=2\n41) (a)\n(b)\n35) (a) sim\n(b)\n(c) sim\n(d) não\n(e)\n36) (a)\n(b)\n(c)\n42) – – . Como\n43) , o\nvalor procurado é R$30.400,00.\n44) (a) Usando os 2 últimos pontos,\ne\n(b) Usando os 3 últimos pontos,\ne .\nLista 3 MAT138 (2019/I) – p. 7 / 7