Lista de Exercícios Resolvidos - Matemática Aplicada Ciências Sociais

Matemática Aplicada as Ciências Sociais 1 Seja f ℝ ℝ uma função do primeiro grau cujo gráfico contém o ponto 26 e intercepta o eixo das ordenadas em 4 a Determine os coeficientes angular e linear de 𝑓 b Escreva explicitamente a lei de 𝑓 c Esboce o gráfico de 𝑓 d Determine 𝑓𝑥𝑑𝑥 2 Seja 𝒈𝒙 𝐜𝐨𝐬𝒙 a Determine a reta tangente ao gráfico de g em 𝑥 𝜋 4 b Determine 𝑔𝑥𝑑𝑥 𝜋 𝜋 3 Para um certo produto a demanda é dada por 𝒒 𝟐𝒓𝟐 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 onde r é a renda do consumidor a Obtenha a função que dá a elasticidaderenda de demanda para cada renda b Obtenha a elasticidade para a renda r100 4 Seja 𝒇𝒙 𝒙𝟑 𝟑 𝒙𝟐 𝟐 𝟏𝟐𝒙 a Determine os pontos críticos f b Determine os pontos de máximo e mínimo de f caso existam c Determine em que intervalos caso existam a função f possui concavidade para cima ou para baixo d Determine em que intervalos caso existam a função f é crescente ou decrescente Questão 1 A equação para a função é dada por f axb Como intercepta o eixo das ordenadas no ponto 4 temos b4 Assim a equação fica f ax4 Assim para conter o ponto 26 devemos ter 62a4 22a a1 Logo a equação da função é f 4x Aqui coeficiente linear 4 coeficiente angular 1 Gráfico Temos f x dx 4x dx 4 xx 2 2 C Questão 2 A A reta é dada por yaxb Para determinar a tangente calculamos a derivada da função no ponto dado g cos x g sin x g π 4sin π 4 g π 42 2 Assim temos ag π 42 2 Logo a equação fica y2 2 xb Mas o ponto π 4 g π 4 deve pertencer à reta tangente logo g π 42 2 π 4 b cos π 42 2 π 4 b 2 2 2 2 π 4 b 2 2 2 2 π 4 b b2 2 1 π 4 Logo a equação da reta tangente é dada por y2 2 x 2 2 1 π 4 y2 2 1 π 4 x Representação B Temos π π g x dx π π cos xdx sin x π π sin πsin π 00 0 Questão 3 A A elasticidaderenda é dada por eqq rr e r q q r No limite a diferença se aproxima de uma derivada e r q dq d r Assim temos para cada renda e r q d2r 210000 dr e r 2r 210000 d2r 2 dr e 2r 2r 210000 dr 2 dr e r r 25000 2r e 2r 2 r 25000 e 2 15000 r 2 B Para r100 temos e 100 2 1 5000 100 2 e 100 2 1 5000 10000 e 100 2 1 1 2 e 100 4 2 2 2 e 100 4 3 Questão 4 A Os pontos críticos são tais que f 0 Assim temos x 3 3 x 2 2 12 x 0 3x 2 3 2 x 2 120 x 2 x120 Assim temos x11 24 12 2 x1148 2 x149 2 x17 2 x14 x23 B Calculando a derivada segunda temos f f x 2x12 x 2x 2 x1 Assim no ponto x14 temos f 24170 Logo x4 é um ponto de máximo No ponto x23 temos f 23170 Logo x3 é um ponto de mínimo C Note que a derivada segunda se anula apenas num ponto f 2 x10 x1 2 Conforme já vimos f 4 0 Logo temos f x 0 concavidade para baixo para x1 2 Conforme já vimos f 30 Logo temos f x 0 concavidade para cima para x1 2 D Como já vimos temos f x 0 para x4 ou x3 Para x5 temos f 5 251280 Logo temos f x 0 função é crescente para x4 Para x0 temos f 0 20 12120 Logo temos f x 0 função é crescente para 4x3 Para x5 temos f 5 2512180 Logo temos f x 0 função é crescente para x3 Gráfico da função para confirmar os resultados Questão 1 A equação para a função é dada por 𝑓 𝑎𝑥 𝑏 Como intercepta o eixo das ordenadas no ponto 4 temos b 4 Assim a equação fica 𝑓 𝑎𝑥 4 Assim para conter o ponto 26 devemos ter 6 2𝑎 4 2 2𝑎 𝑎 1 Logo a equação da função é 𝒇 𝟒 𝒙 Aqui coeficiente linear 4 coeficiente angular 1 Gráfico Temos 𝑓𝑥𝑑𝑥 4 𝑥𝑑𝑥 𝟒𝒙 𝒙𝟐 𝟐 𝑪 Questão 2 A A reta é dada por 𝑦 𝑎𝑥 𝑏 Para determinar a tangente calculamos a derivada da função no ponto dado 𝑔 cos 𝑥 𝑔 sin 𝑥 𝑔 𝜋 4 sin 𝜋 4 𝑔 𝜋 4 2 2 Assim temos 𝑎 𝑔 𝜋 4 2 2 Logo a equação fica 𝑦 2 2 𝑥 𝑏 Mas o ponto 𝜋 4 𝑔 𝜋 4 deve pertencer à reta tangente logo 𝑔 𝜋 4 2 2 𝜋 4 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝜋 4 2 2 𝜋 4 𝑏 2 2 2 2 𝜋 4 𝑏 2 2 2 2 𝜋 4 𝑏 𝑏 2 2 1 𝜋 4 Logo a equação da reta tangente é dada por 𝑦 2 2 𝑥 2 2 1 𝜋 4 𝒚 𝟐 𝟐 𝟏 𝝅 𝟒 𝒙 Representação B Temos 𝑔𝑥𝑑𝑥 𝜋 𝜋 cos 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 sin 𝑥𝜋 𝜋 sin𝜋 sin𝜋 0 0 𝟎 Questão 3 A A elasticidaderenda é dada por 𝑒 𝑞𝑞 𝑟𝑟 𝑒 𝑟 𝑞 𝑞 𝑟 No limite a diferença se aproxima de uma derivada 𝑒 𝑟 𝑞 𝑑𝑞 𝑑𝑟 Assim temos para cada renda 𝑒 𝑟 𝑞 𝑑2𝑟2 10000 𝑑𝑟 𝑒 𝑟 2𝑟2 10000 𝑑2𝑟2 𝑑𝑟 𝑒 2𝑟 2𝑟2 10000 𝑑𝑟2 𝑑𝑟 𝑒 𝑟 𝑟2 5000 2𝑟 𝑒 2𝑟2 𝑟2 5000 𝑒 2 1 5000 𝑟2 B Para 𝑟 100 temos 𝑒100 2 1 5000 1002 𝑒100 2 1 5000 10000 𝑒100 2 1 1 2 𝑒100 4 2 2 2 𝒆𝟏𝟎𝟎 𝟒 𝟑 Questão 4 A Os pontos críticos são tais que 𝑓 0 Assim temos 𝑥3 3 𝑥2 2 12𝑥 0 3𝑥2 3 2𝑥 2 12 0 𝑥2 𝑥 12 0 Assim temos 𝑥 1 12 412 2 𝑥 1 1 48 2 𝑥 1 49 2 𝑥 1 7 2 𝒙𝟏 𝟒 𝒙𝟐 𝟑 B Calculando a derivada segunda temos 𝑓 𝑓 𝑥2 𝑥 12 𝑥2 𝑥 2𝑥 1 Assim no ponto 𝑥1 4 temos 𝑓 2 4 1 7 0 Logo 𝑥 4 é um ponto de máximo No ponto 𝑥2 3 temos 𝑓 2 3 1 7 0 Logo 𝑥 3 é um ponto de mínimo C Note que a derivada segunda se anula apenas num ponto 𝑓 2𝑥 1 0 𝑥 1 2 Conforme já vimos 𝑓4 0 Logo temos 𝑓𝑥 0 concavidade para baixo para 𝑥 1 2 Conforme já vimos 𝑓3 0 Logo temos 𝑓𝑥 0 concavidade para cima para 𝑥 1 2 D Como já vimos temos 𝑓𝑥 0 para 𝑥 4 ou 𝑥 3 Para 𝑥 5 temos 𝑓 52 5 12 8 0 Logo temos 𝑓𝑥 0 função é crescente para 𝑥 4 Para 𝑥 0 temos 𝑓 02 0 12 12 0 Logo temos 𝑓𝑥 0 função é crescente para 4 𝑥 3 Para 𝑥 5 temos 𝑓 52 5 12 18 0 Logo temos 𝑓𝑥 0 função é crescente para 𝑥 3 Gráfico da função para confirmar os resultados