Calculo de Exercícios

4 10 pt Considera o caso Alan e Alana A probabilidade de que Alan esteja vivo daqui a 60 anos é de 25 e a de Alana é 23 Determinar a probabilidade de que daqui a 60 anos a ambos estejam vivos b apenas Alan esteja vivo c apenas Alana esteja viva d nenhum esteja vivo e pelo menos um esteja vivo 5 10 pt As probabilidades de 3 jogadores A B e C marcarem um gol em uma cobrança de pênalti são 35 45 e 710 respectivamente Considerando que cada um cobra o pênalti uma única vez qual a probabilidade de que pelo menos um marque um gol 6 10 pt Na produção de uma peça são empregadas duas máquinas A primeira é utilizada para efetivamente produzir as peças e o custo de produção é de R5000 por unidade Das peças produzidas nessa máquina 90 são perfeitas As peças defeituosas produzidas na primeira máquina são colocadas na segunda máquina para a tentativa de recuperação Na segunda máquina o custo por peça é de R2500 mas apenas 60 das peças são de fato recuperadas Considerando que cada peça perfeita é vendida por R9000 e que cada peça defeituosa é vendida por R2000 calcule o lucro por peça esperado pelo fabricante 7 10 pt As probabilidades de que um aluno no período das provas tenha uma ou duas provas no mesmo dia são 070 e 030 respectivamente A probabilidade de que deixe de fazer uma prova por razões diversas 020 O tempo de duração de cada prova é de 90 minutos Faça X o tempo total gasto por dia que ele usa fazendo as provas Achar em média quantas horas gasta por dia resolvendo as provas 8 10 pt Tainara e Diego em uma noite de jogos resolveram fazer uma aposta Eles apostas R10000 e lançam 2 dados nos quais as probabilidades de sair cada face são proporcionais aos valores das faces Se a soma das faces for 7 Tainara ganha R5000 se a soma for 11 ganha R10000 e se a soma for 2 ganha R20000 Nos demais casos Tainara perde a aposta Nestas condições determine qual a esperança de lucro de Tainara em um única jogada 9 10 pt Dada a tabela X 0 1 2 3 4 5 pxi 0 p2 p2 p p p2 calcular o valor de p Calcular PX 4 e PX 3 Calcular PX 3 2 10 10 pt A função de probabilidade da variável aleatória X é tal que PX 15 para X 1 2 3 4 5 Calcular EX e EX2 Usando esses resultados calcular EX 32 e Var3X 2 11 10 pt Um sinal consiste de uma série de vibrações de magnitude X Um ruído consiste de uma série de vibrações de magnitude Y tendo os valores 2 0 e 2 com probabilidades 16 23 e 16 respectivamente Se ruídos e sinais são combinados de vibrações sincronizadas a soma consiste de vibrações de magnitude Z X Y Construir a função de probabilidade de Z calcular EZ e VarZ admitindo independência entre ruído e sinal X assume os valores 1 0 e 1 cada um com probabilidade 13 2 05 pts Em uma turma da disciplina de Estatística e Probabilidade ofertada para o curso de bacharelado em Engenharia Elétrica estão 5 rapazes com mais de 21 anos 4 rapazes com menos de 21 anos 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças com menos de 21 anos Uma pessoa é escolhida ao acaso e os seguintes eventos são definidos A a pessoa tem mais de 21 anos B a pessoa tem menos de 21 anos C a pessoa é uma rapaz D a pessoa é uma moça Calcular a PB U D b PĀ C Resolução de Questões Questão 2 Calcular a PB D b PĀ Ć Total de pessoas 5 4 6 3 18 a PB D O evento B D corresponde à união dos eventos B e D ou seja a pessoa tem menos de 21 anos ou é uma moça Número de elementos em B D B pessoas com menos de 21 anos 4 rapazes 3 moças 7 pessoas D pessoas que são moças 6 moças 3 moças 9 moças Interseção B D moças com menos de 21 anos 3 B D B D B D 7 9 3 13 PB D 1318 b PĀ Ć O evento Ā Ć corresponde à interseção dos complementos dos eventos A e C ou seja a pessoa tem 21 anos ou menos e não é um rapaz ou seja é uma moça Número de elementos em Ā Ć Ā pessoa com 21 anos ou menos 4 rapazes 3 moças 7 pessoas Ć pessoa que não é rapaz ou seja é moça 6 moças 3 moças 9 moças Interseção Ā Ć moças com 21 anos ou menos 3 Ā Ć 3 PĀ Ć 318 16 a PB D 1318 b PĀ Ć 16 Questão 4 Probabilidade de Alan estar vivo PA 35 Probabilidade de Alana estar viva PB 23 a Ambos estejam vivos PA B PA PB 35 23 25 b Apenas Alan esteja vivo PA B PA 1 PB 35 13 15 c Apenas Alana esteja viva PA B 1 PA PB 25 23 415 d Nenhum esteja vivo PA B 1 PA 1 PB 25 13 215 e Pelo menos um esteja vivo Ppelo menos um 1 PA B 1 215 1315 a PA B 25 b PA B 15 c PA B 415 d PA B 215 e Ppelo menos um 1315 Questão 5 Calcular a probabilidade de que nenhum jogador marque gol PA 1 PA 13 PB 1 PB 12 PC 1 PC 910 PA B C PA PB PC 13 12 910 320 Calcular a probabilidade de que pelo menos um jogador marque um gol Ppelo menos um gol 1 PA B C 1 320 1720 Questão 6 Primeira máquina Custo por unidade R 5000 90 das peças são perfeitas 10 das peças são defeituosas e vão para a segunda máquina Segunda máquina Custo por peça R 2500 60 das peças defeituosas são recuperadas 40 das peças continuam defeituosas Preços de venda Peça perfeita R 9000 Peça defeituosa R 2000 Cálculo do lucro esperado Peça perfeita na primeira máquina Custo R 5000 Receita R 9000 Lucro R 4000 Peça defeituosa mas recuperada na segunda máquina Custo R 5000 R 2500 R 7500 Receita R 9000 Lucro R 1500 Peça defeituosa e não recuperada Custo R 5000 R 2500 R 7500 Receita R 2000 Lucro R 2000 R 7500 R 5500 prejuízo Lucro esperado por peça ELucro 090 40 010 060 15 010 040 55 36 090 220 3470 reais por peça Questão 7 Cálculo da expectativa de tempo para cada cenário Cenário 1 Apenas 1 prova Probabilidade 07 08 056 Tempo gasto 056 90 504 minutos Cenário 2 Duas provas Probabilidade 03 08 024 Tempo gasto 024 180 432 minutos Tempo esperado total EX 504 432 936 minutos Convertendo para horas EX 936 60 156 horas por dia Questão 8 Calcular as probabilidades de cada soma específica PSoma 7 636 16 PSoma 11 236 118 PSoma 2 136 POutros 1 P7 P11 P2 1 16 118 136 34 Cálculo da esperança de lucro ELucro 16 50 118 100 136 200 34 100 ELucro 833 556 556 75 5555 reais A esperança de lucro de Tainara em uma única jogada é de aproximadamente R5555 Questão 9 Dada a tabela de valores de X e suas respectivas probabilidades px X 0 1 2 3 4 5 px p³ p² p² p p p² Calcular o valor de p Somando as probabilidades p³ p² p² p p p² 1 p³ 3p² 2p 1 Testando valores de p p 12 não satisfaz a equação p 13 também não p 02 satisfaz a equação Calcular PX geq 4 PX geq 4 PX 4 PX 5 p p² Substituindo o valor de p 02 PX geq 4 02 02² 02 004 024 Calcular PX 3 PX 3 PX 0 PX 1 PX 2 p³ p² p² p³ 2p² Substituindo p 02 PX 3 02³ 202² 0008 2004 0008 008 0088 Calcular PX 3 2 PX 3 2 implica que X está entre 2 e 4 ou seja PX 2 PX 3 PX 4 PX 3 2 p² p p p² 2p Substituindo p 02 PX 3 2 02² 202 004 04 044 Valor de p 02 PX geq 4 024 PX 3 0088 PX 3 2 044 Questão 10 Calcular EX EX 15 1 2 3 4 5 3 Calcular EX2 EX2 15 1² 2² 3² 4² 5² 11 Calcular EX 32 Expandindo a expressão EX 32 EX2 6X 9 11 6 3 9 38 Calcular Var3X 2 Var3X 2 3² VarX VarX EX2 EX² 11 9 2 Var3X 2 9 2 18 Questão 11 1 Função de probabilidade de Z Para cada combinação de X e Y calculamos Z X Y e sua respectiva probabilidade Z 3 PZ 3 118 Z 2 PZ 2 518 Z 1 PZ 1 918 12 Z 0 PZ 0 618 13 Z 1 PZ 1 518 Z 2 PZ 2 19 Z 3 PZ 3 118 Calcular EZ EZ 3 118 2 518 1 918 0 618 1 518 2 218 3 118 59 Calcular VarZ EZ² 9 118 4 518 1 918 0 618 1 518 4 218 9 118 103 VarZ EZ² EZ² 103 59² 24581