Exercício 4 - Introdução à Matemática Computacional 2023 2

Relatorio de Metodos de Diferencas Finitas 7 de dezembro de 2023 Sumario 1 Introducao 2 2 Metodos de Diferencas Finitas para Derivadas 3 3 Metodos de Diferencas Finitas para Derivadas 3 31 Primeira Derivada 3 311 Codigo Python para Primeira Derivada 3 32 Segunda Derivada 4 321 Codigo Python para Segunda Derivada 4 4 Problema de Poisson Unidimensional 4 41 Metodo Numerico 4 42 Analise de Erro 5 43 Discussao sobre Resultados e Graficos de Erro 5 5 Conclusao 7 A Apˆendices 8 A1 Imagens do Codigo para Derivadas 8 A2 Imagens do Codigo para o Problema de Poisson 10 1 1 Introducao Os metodos de diferencas finitas sao uma ferramenta fundamental na matematica numerica utilizados para aproximar solucoes de derivadas equacoes diferenci ais e outros problemas matematicos Esses metodos sao particularmente uteis quando solucoes analıticas sao difıceis ou impossıveis de obter Neste relatorio exploramos a aplicacao dos metodos de diferencas finitas para calcular derivadas de primeira e segunda ordem e para resolver um problema de Poisson unidimen sional Analisamos a precisao desses metodos e discutimos sua estabilidade e eficacia ao lidar com diferentes tamanhos de incremento h 2 2 Metodos de Diferencas Finitas para Derivadas Os metodos de diferencas finitas sao tecnicas numericas utilizadas para aproxi mar derivadas de funcoes Estes metodos sao particularmente uteis em cenarios onde a derivada exata de uma funcao e complexa ou impossıvel de calcular As aproximacoes mais comuns incluem a diferenca avancada atrasada e centrada para a primeira derivada e a diferenca centrada para a segunda derivada 3 Metodos de Diferencas Finitas para Derivadas Os metodos de diferencas finitas sao tecnicas numericas utilizadas para aproxi mar derivadas de funcoes Estes metodos sao particularmente uteis em cenarios onde a derivada exata de uma funcao e complexa ou impossıvel de calcular As aproximacoes mais comuns incluem a diferenca avancada atrasada e centrada para a primeira derivada e a diferenca centrada para a segunda derivada 31 Primeira Derivada A primeira derivada de uma funcao pode ser aproximada de trˆes maneiras prin cipais Diferenca Avancada Aproxima a derivada no ponto x como f x fxhfx h Diferenca Atrasada Utiliza os pontos x e x h definindo f x fxfxh h Diferenca Centrada Combina as duas anteriores para uma aproximacao mais precisa dada por f x fxhfxh 2h 311 Codigo Python para Primeira Derivada C l c u l o da 1 derivada usando d i f e r e n a a v a n a d a def primeiraderivadaavancada f x h return fx h fx h C l c u l o da 1 derivada usando d i f e r e n a atrasada def primeiraderivadaatrasada f x h return fx fx h h C l c u l o da 1 derivada usando d i f e r e n a centrada def primeiraderivadacentrada f x h diferenca fx h fx h return diferenca 2 h 3 32 Segunda Derivada Para a segunda derivada a diferenca centrada e frequentemente utilizada defi nida por f x fx h 2fx fx h h2 321 Codigo Python para Segunda Derivada C l c u l o da 2 derivada usando d i f e r e n a centrada def segundaderivadacentrada f x h return fx h 2 fx fx h h 2 Estas aproximacoes sao baseadas no conceito de expansao em serie de Taylor onde a funcao e expandida em torno de um ponto e os termos de ordem superior sao ignorados para obter uma aproximacao linear ou quadratica A precisao destas aproximacoes depende do tamanho do passo h e da natureza da funcao fx 4 Problema de Poisson Unidimensional O problema de Poisson e um caso classico de equacao diferencial parcial EDP e desempenha um papel crucial em diversas areas da fısica e engenharia Em uma dimensao o problema de Poisson pode ser formulado como encontrar ux tal que ux fx com condicoes de contorno ua ub 0 onde fx e uma funcao conhecida Este problema modela por exemplo a distribuicao de temperatura em uma barra com as extremidades mantidas a uma temperatura constante 41 Metodo Numerico Para resolver numericamente o problema de Poisson discretizamos o intervalo a b e usamos diferencas finitas para aproximar a segunda derivada A equacao ux fx e entao transformada em um sistema linear de equacoes que pode ser resolvido para obter a solucao numerica O codigo Python para resolver este problema e apresentado a seguir import numpy as np def resolverpoisson f a b N h b a N 1 x nplinspacea h b h N 4 Criando a matriz A A npdiag 20 N A npdiag 10 N 1 k1 A npdiag 10 N 1 k1 A h2 Criando o vetor b b fx Resolvendo o sistema linear u nplinalgsolveA b return x u Neste codigo a funcao resolverpoissonrecebeafuncaofontefx os limites do intervalo a e b e o numero de pontos de discretizacao N A matriz A e o vetor b sao construıdos com base na discretizacao e em seguida o sistema linear e resolvido para obter a solucao numerica u 42 Analise de Erro A precisao da solucao numerica pode ser avaliada comparandoa com a solucao analıtica quando disponıvel O erro medio quadrado entre a solucao numerica e a analıtica e uma metrica comum para essa comparacao Alem disso a analise do comportamento do erro a medida que o tamanho do passo h diminui fornece insights sobre a estabilidade do metodo numerico 43 Discussao sobre Resultados e Graficos de Erro A solucao numerica do problema de Poisson foi obtida para diferentes tamanhos de passo h e o erro medio quadrado foi calculado em comparacao com a solucao analıtica Observouse que a medida que o tamanho do passo h diminui o erro medio quadrado tende a diminuir indicando uma maior precisao da solucao numerica Os graficos de erro mostram uma relacao inversamente proporcional entre o tamanho do passo h e o erro medio quadrado Isso e consistente com a ex pectativa teorica de que metodos de diferencas finitas se tornam mais precisos com uma discretizacao mais fina do domınio No entanto para valores muito pequenos de h pode ocorrer um aumento no erro devido a limitacoes numericas como o erro de arredondamento Este fenˆomeno destaca a importˆancia de es colher um tamanho de passo adequado para equilibrar precisao e estabilidade numerica A Figura 1 ilustra essa relacao entre o tamanho do passo e o erro Conforme h diminui o erro tambem diminui ate um certo ponto apos o qual o erro pode comecar a aumentar devido a efeitos de instabilidade numerica 5 Figura 1 Grafico do erro medio quadrado em funcao do tamanho do passo h para a solucao numerica do problema de Poisson Esses resultados demonstram a eficacia do metodo de diferencas finitas para resolver o problema de Poisson unidimensional bem como a necessidade de considerar cuidadosamente a escolha do tamanho do passo para evitar erros numericos significativos 6 5 Conclusao Este relatorio apresentou a aplicacao dos metodos de diferencas finitas para calcular derivadas de primeira e segunda ordem e para resolver o problema de Poisson unidimensional Atraves da analise dos resultados e dos graficos de erro foi possıvel observar a eficacia desses metodos numericos em aproximar solucoes de problemas matematicos complexos Os metodos de diferencas finitas demonstraram ser ferramentas poderosas e versateis especialmente uteis em situacoes onde solucoes analıticas sao ina cessıveis No entanto a escolha do tamanho do passo h e crucial para garantir a precisao e a estabilidade das solucoes numericas O equilıbrio entre reduzir o erro de truncamento e evitar o aumento do erro de arredondamento e essencial para obter resultados confiaveis Em suma os metodos de diferencas finitas sao indispensaveis na matematica numerica e tˆem aplicacoes vastas em diversas areas da ciˆencia e engenharia 7 A Apˆendices A1 Imagens do Codigo para Derivadas Aqui estao as imagens do codigo Python para o calculo das derivadas e seus resultados Figura 2 Codigo Para o Problema Figura 3 Resultado 8 Figura 4 Codigo Para o Problema Figura 5 Graficos 9 A2 Imagens do Codigo para o Problema de Poisson Aqui estao as imagens do codigo Python para resolver o problema de Poisson e seus resultados Figura 6 Codigo para o problema de Poisson 10 Erro Médio Quadrado da Solução Numérica