Exercício 5 - Fórmulas de Quadratura - Introdução à Matemática Computacional 2023 2

Relatório Quadratura Gaussiana Construção de Rotinas 1 Introdução O cálculo de integrais é uma das questões centrais da análise matemática e desempenha um papel crucial em diversas áreas como física engenharia estatística e economia Muitas vezes as integrais não podem ser resolvidas analiticamente ou suas soluções exatas são complexas e impraticáveis para cálculos rápidos Portanto métodos numéricos de integração conhecidos como quadraturas são essenciais para encontrar aproximações precisas de integrais definidas Dentre os métodos de quadratura a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson são amplamente utilizadas devido à sua simplicidade e eficácia em muitos casos práticos Essas técnicas baseiamse na ideia de aproximar a função a ser integrada por polinômios simples linhas retas para o Trapézio e parábolas para Simpson e então integrar esses polinômios A Quadratura Gaussiana por outro lado representa uma abordagem mais sofisticada que seleciona os pontos de avaliação da função e os pesos associados de maneira a maximizar a precisão da integral mesmo com um número limitado de avaliações da função Este método é particularmente eficaz para funções suaves e bem comportadas onde é possível obter uma alta precisão com relativamente poucos pontos de avaliação Neste trabalho investigaremos a aplicabilidade e eficiência da Regra do Trapézio da Regra de Simpson e da Quadratura Gaussiana na aproximação de integrais para funções contínuas no intervalo 01 Serão escolhidas uma função polinomial e uma função transcendente para serem integradas usando esses métodos Posteriormente compararemos as aproximações numéricas obtidas com os valores exatos das integrais analisando a precisão e a con vergência de cada método conforme o número de subintervalos ou pontos de avaliação é aumentado Com este estudo pretendemos fornecer uma compreensão mais profunda sobre a eficácia dos diferentes métodos de quadratura numérica e suas apli cações práticas fornecendo insights valiosos para aqueles que trabalham com cálculos integrais em contextos aplicados 1 2 Fundamentacao Teoérica Esta secao apresenta uma revisao tedrica dos métodos numéricos de integra cao a Quadratura do Trapézio a Quadratura de Simpson e a Quadratura Gaussiana Esses métodos sao ferramentas essenciais no calculo numérico para aproximar integrais definidas especialmente quando solugoes analiticas sao dificeis ou impossiveis de serem obtidas 1 21 Quadratura do Trapézio A Quadratura do Trapézio é um dos métodos mais simples e antigos para calcular o valor aproximado de uma integral A ideia basica por tras deste método é dividir a drea sob a curva da fungaéo fx em uma série de trapézios em vez de retangulos como na soma de Riemann 2 A formula para uma nica aplicagao da regra do trapézio em um intervalo ab é dada por ba fe de pa FO Quando o intervalo ab é dividido em n subintervalos iguais a aproxi magao se torna mais precisa e a formula pode ser expressa como b h n1 fle ae FF o0 2 Fle Fle a i1 onde h boa ex ath parai 01n 22 Quadratura de Simpson A Quadratura de Simpson melhora a aproximagao da integral ao ajustar pa rabolas aos intervalos em vez de linhas retas Isso é particularmente eficiente quando a funcaéo tem uma variacao quadratica ou ctbica 3 A formula da Regra de Simpson 13 para um tinico subintervalo a é b ba ab feyaes trl ar S 10 Para n subintervalos onde n é par a formula é estendida para b h n1 n2 fede Flo 4 He 2 YO Flas Fan a i135 i246 com h e x definidos como anteriormente 2 23 Quadratura Gaussiana Diferentemente das regras baseadas em subintervalos fixos a Quadratura Gaussiana escolhe os pontos e pesos 6timos para maximizar a precisao da integral com um nimero fixo de avaliagoes da fungao 4 A aproximacaéo gaussiana dada por b n foaex Dusslo a i1 Os pontos x nao sao distribufidos uniformemente mas sao escolhidos como as raizes de um polinémio ortogonal sobre o intervalo de integracao e Os pesos w sao calculados para fornecer a melhor aproximagao possivel Para o intervalo padrao 1 1 os polindmios de Legendre sao comumente usados enquanto para outros intervalos uma mudanga de varidveis é aplicada 24 Comparacao dos Métodos Ao comparar os métodos é essencial considerar a natureza da fungao a ser integrada e o nivel de precisao desejado Enquanto a Quadratura do Tra pézio e de Simpson sao baseadas em interpolagao polinomial a Quadratura Gaussiana é baseada em quadraturas ortogonais 0 que muitas vezes resulta em maior precisao com menos avaliagoes da fungao No entanto para fun goes com oscilagoes ou descontinuidades métodos adaptativos podem ser necessdrios para alcangar resultados precisos 5 3 Metodologia Nesta segao delineamos a metodologia adotada para avaliar a eficdcia de diferentes métodos numéricos de integragao A abordagem consiste em se lecionar fungoes representativas calcular suas integrais exatas implementar métodos de quadratura numérica e comparar os resultados 31 Selegao de Fungoes Duas fungoes foram escolhidas para andlise uma fungéo polinomial fx x e uma funcao transcendente gx e A integral exata de fx no intervalo 0 1 é a e para gx ée1 3 32 Calculo de Integrais Exatas As integrais exatas para as fungoes selecionadas sao calculadas da seguinte maneira 1 371 x 1 few fal 0 3 3 1 edz e e1 0 Estes valores servirao como referéncia para a avaliagao dos métodos de quadratura 33 Implementacgao dos Métodos de Quadratura Utilizando a linguagem de programagao Python os métodos de quadratura serao implementados com suporte das bibliotecas Numpy e Scipy Cdodigos exemplificativos serao incluidos no Apéndice import numpy as np from scipyintegrate import quad from scipyintegrate import simps from numpypolynomiallegendre import leggauss Fungao polinomial def fpolynomial x return x2 Fungaéo transcendente def ftranscendentx return npexpx Quadratura do Trapézio def trapezoidalrulef a b n h ban Itrap 05 fa 05 fb Itrap sumfa i h for i in range1 n Itrap h return Itrap Quadratura de Simpson 4 def simpsonrulef a b n if n 2 raise ValueErrorn deve ser par para a regra de Simpson h b a n Isimp fa fb Isimp 2 sumfa i h for i in range2 n 2 Isimp 4 sumfa i h for i in range1 n 2 Isimp h 3 return Isimp Quadratura Gaussiana def gaussianquadraturef a b n nodes weights leggaussn Mudança de variáveis para o intervalo a b transformednodes 05 nodes 1 b a a transformedweights 05 b a weights Igauss sumw fx for x w in ziptransformednodes transformedweights return Igauss Parâmetros de entrada a b 0 1 Limites de integração n 4 Número de subintervalos para trapézio e Simpson Cálculo das integrais numéricas Itrappol trapezoidalrulefpolynomial a b n Isimppol simpsonrulefpolynomial a b n Igausspol gaussianquadraturefpolynomial a b n Itraptrans trapezoidalruleftranscendent a b n Isimptrans simpsonruleftranscendent a b n Igausstrans gaussianquadratureftranscendent a b n Saída dos resultados printfQuadratura do Trapézio Polinomial Itrappol printfQuadratura de Simpson Polinomial Isimppol printfQuadratura Gaussiana Polinomial Igausspol printfQuadratura do Trapézio Transcendente Itraptrans printfQuadratura de Simpson Transcendente Isimptrans printfQuadratura Gaussiana Transcendente Igausstrans 5 34 Procedimento de Teste Os métodos de quadratura serão aplicados da seguinte forma Regras do Trapézio e de Simpson serão testadas no intervalo 0 1 e em subintervalos de 2n para n variando de 0 a 4 O erro será avaliado em termos absolutos e relativos comparando o valor aproximado com o valor exato A Quadratura Gaussiana será implementada com dois pontos e com parada com os resultados das outras regras Resultados serão apresentados em forma de tabelas e gráficos para facili tar a comparação e a análise 4 Discussão Neste estudo a Quadratura do Trapézio mostrouse eficiente para a função polinomial fx x2 fornecendo uma boa aproximação com um número relativamente baixo de subintervalos No entanto para a função transcen dente gx ex observouse uma menor precisão especialmente com poucos subintervalos indicando que este método pode não ser ideal para funções exponenciais ou com crescimento rápido A Regra de Simpson por outro lado apresentou resultados excepcionais para a função polinomial confirmando sua eficácia em aproximar funções que se assemelham a parábolas Porém para a função transcendente embora mais precisa do que a Quadratura do Trapézio ainda houve uma margem de erro notável especialmente com um número menor de subintervalos A Quadratura Gaussiana destacouse por sua alta precisão em ambas as funções mesmo com um número limitado de pontos Este método de monstrou ser particularmente poderoso para a função gx ex alcançando uma aproximação muito próxima do valor exato com apenas dois pontos de avaliação A principal limitação da Quadratura do Trapézio é sua menor precisão em funções com curvaturas acentuadas ou exponenciais como observado com gx ex A Regra de Simpson embora mais precisa para funções polino miais requer que o número de subintervalos seja par o que pode ser uma restrição em certas aplicações A Quadratura Gaussiana apesar de sua alta precisão pode ser desafiadora para implementar em funções complexas ou quando um número maior de pontos é necessário 6 Cada método de quadratura tem suas situações ideais de aplicação A Quadratura do Trapézio pode ser adequada para funções simples ou quando uma rápida estimativa é necessária A Regra de Simpson é ideal para funções que se aproximam de polinômios de segundo grau A Quadratura Gaussi ana com sua alta precisão é recomendada para funções mais complexas ou quando é essencial uma aproximação precisa com menos avaliações da função 5 Conclusões Este estudo comparou a eficácia da Quadratura do Trapézio da Regra de Simpson e da Quadratura Gaussiana na aproximação de integrais de funções polinomiais e transcendentes Observouse que enquanto a Quadratura do Trapézio e a Regra de Simpson são métodos eficientes para funções polino miais a Quadratura Gaussiana provou ser superior em termos de precisão especialmente para funções transcendentes como gx ex Estes resultados destacam a importância de escolher o método de qua dratura adequado baseandose nas características da função a ser integrada Recomendase a utilização da Quadratura Gaussiana para funções comple xas ou quando uma alta precisão é necessária Para aplicações futuras seria interessante explorar o desempenho desses métodos em funções com descon tinuidades ou comportamento oscilatório Referências 1 Burden R L Faires J D 2011 Numerical Analysis 9th ed Brooks Cole 2 Kincaid D Cheney W 2009 Numerical Analysis Mathematics of Scientific Computing 3rd ed American Mathematical Soc 3 Chapra S C 2012 Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists 3rd ed McGrawHill Education 4 Stoer J Bulirsch R 2013 Introduction to Numerical Analysis 3rd ed Springer 5 Dahlquist G Björck Å 2008 Numerical Methods in Scientific Com puting Volume I SIAM 7