Lista de Exercícios Resolvidos - Ondas Eletromagnéticas, Interferência e Difração - Física IV

Universidade Federal do Oeste da Bahia Centro das Ciˆencias Exatas e das Tecnologias Unidade I Ondas Eletromagneticas Interferˆencia e Difracao CET0113 Fısica IV as questoes resolvidas devem ser enviadas por meio do link httpswwwdropboxcom requestpjJmzDfPMi9cT83d1GDW ate as 23h do dia 24042023 1 Para a onda eletromagnetica representada pelas equacoes Ex t Emaxˆysen ωt kx Bx t Bmaxˆzsen ωt kx mostre que o vetor de Poynting a possui a mesma direcao e o mesmo sentido da propagacao da onda b possui modulo medio dado pela equacao I 1 2ε0cE2 max 2 Considere a direcao e o sentido do campo magnetico e do campo eletrico indicados a seguir Para cada caso qual e a direcao e o sentido da propagacao da onda a E Eˆx B Bˆy b E Eˆy B Bˆx c E Eˆz B Bˆx d E Eˆx B Bˆz 3 Considere uma onda eletromagnetica senoidal plana tal que os campos sejam dados pelas equacoes E Emaxˆysen ωt kx B Bmaxˆzsen ωt kx φ com π φ π Mostre que se E e B satisfazem as equacoes Eyx t x Bzx t t Bzx t x ε0µ0 Eyx t t entao concluımos que Emax cBmax e φ 0 O resultado φ 0 indica que os campos E e B oscilam em fase 4 Quando o Sol nasce ou se poe ele aparece estar no horizonte porem na realidade ele esta abaixo do horizonte A explicacao para esse aparente paradoxo e que a luz se encurva ligei ramente quando penetra na atmosfera terrestre como indicado na Figura 1 Como temos a 1 Universidade Federal do Oeste da Bahia Centro das Ciências Exatas e das Tecnologias Unidade I Ondas Eletromagnéticas Interferência e Difração CET0113 Física IV percepção de que a luz propagase sempre em linha reta intuímos que ela provenha de um ponto situado em uma posição aparente que forma o ângulo δ acima da posição reta do Sol Figura 1 Problema 4 a Suponha para simplificar que a atmosfera tenha uma densidade uniforme e portanto um índice de refração n constante e que ela se estenda até uma altura h acima da superfície terrestre onde se interrompe abruptamente Mostre que o ângulo δ é dado por δ arcsin nR R h arcsin R R h onde R 6378 km é o raio da Terra b Calcule δ usando n 10003 e h 20 km Como esse resultado comparase com o raio angular do Sol que é aproximadamente igual a um quarto de grau Na verdade um raio de luz do Sol encurvase gradualmente e não abruptamente visto que o índice de refração da atmosfera varia gradualmente com a altura 5 Na Figura 2 a luz está inicialmente em meio por exemplo o ar com índice de refração n1 Ela incide em um ângulo θ1 sobre a superfície de um líquido por exemplo água com índice de refração n2 A luz passa através da camada de água e entra em um vidro com índice de refração n3 Se θ3 é o ângulo de refração no vidro mostre que n1senθ1 n3senθ3 Isto é mostre que o segundo meio pode ser desprezado quando se procura o ângulo de refração em um terceiro meio Universidade Federal do Oeste da Bahia Centro das Ciˆencias Exatas e das Tecnologias Unidade I Ondas Eletromagneticas Interferˆencia e Difracao CET0113 Fısica IV Figura 2 Problema 5 6 Um feixe de laser incide sobre uma placa de vidro com espessura 3 cm O vidro apresenta um ındice de refracao de 15 e o ˆangulo de incidˆencia e 40 As superfıcies do topo e do fundo do vidro sao paralelas e ambas produzem feixes refletidos com quase a mesma intensidade Qual e a distˆancia perpendicular d entre os dois feixes refletidos adjacentes 7 Na Figura 3 Um material cujo ındice de refracao n e cercado pelo vacuo e tem a forma de 14 de cırculo de raio R conforme a figura abaixo Um raio de luz paralelo a base do material incide a partir da esquerda a uma distˆancia L acima da base e sai do material no ˆangulo θ Determine θ em funcao de R n e L Figura 3 Problema 7 3 Universidade Federal do Oeste da Bahia Centro das Ciˆencias Exatas e das Tecnologias Unidade I Ondas Eletromagneticas Interferˆencia e Difracao CET0113 Fısica IV 8 Na Figura 4 um raio de luz penetra em um bloco retangular de plastico a um ˆangulo θ1 e emerge a um ˆangulo θ2 como mostra na figura abaixo a Determine em funcao de θ1 e θ2 o ındice de refracao para o plastico b Se o raio de luz penetra no plastico no ponto L a partir da borda inferior determine em funcao de L c velocidade da luz no vacuo θ1 e θ2 o tempo que o raio leva para se propagar atraves do plastico Figura 4 Problema 8 9 Considere duas vibracoes com a mesma frequˆencia e a mesma amplitude porem com fases diferentes uma ao longo do eixo Ox x asen ωt α e a outra ao longo do eixo Oy y asen ωt β as relacoes anteriores podem ser escritas na forma x a sen ωt cosα cosωtsen α 1 y a sen ωt cos β cosωtsen β 2 a Multiplique a equacao 1 por sen β e a equacao 2 por sen α e a seguir subtraia as duas relacoes resultantes 4 Universidade Federal do Oeste da Bahia Centro das Ciências Exatas e das Tecnologias Unidade I Ondas Eletromagnéticas Interferência e Difração CET0113 Física IV Figura 5 Problema 9 b Multiplique a equação 1 por cosβ e a equação 2 por cosα e a seguir subtraia as duas relações resultantes c Eleve ao quadrado e some os resultados dos itens a e b e Deduza a equação x2 y2 2xy cosδ a2 sen2δ onde δ α β d Use o resultado anterior para justificar cada um dos diagramas indicados na Figura 5 Nessa figura o ângulo dado é a diferença de fase entre dois movimentos harmônicos simples com a mesma frequência e com a mesma amplitude um horizontal ao longo do eixo Ox e o outro vertical ao longo do eixo Oy Portanto a figura mostra a superposição de dois movimentos harmônicos simples perpendiculares 10 Considere uma onda com o campo elétrico circularmente polarizado dado por E E0 x cos ky ωt z cos ky ωt π2 onde E0 é a amplitude do campo ω a frequência angular e k o número de onda a Determine o campo magnético B b Determine o vetor de Poynting S a direção de propagação da onda eletromagnética e a intensidade média da onda 11 Uma placa opaca possui três fendas estreitas paralelas com uma distância d constante entre duas fendas adjacentes Ondas luminosas de comprimento de onda λ incidem sobre a placa e a luz que passa pelas fendas produz uma difração de Fraunhofer sobre uma tela distante a Seja E0 a amplitude do campo elétrico da onda que atinge a tela oriunda de cada fenda individual e seja φ a diferença de fase entre duas ondas provenientes de fendas adjacentes que chegam a um ponto P sobre a tela Desenhe um diagrama de fasores Universidade Federal do Oeste da Bahia Centro das Ciˆencias Exatas e das Tecnologias Unidade I Ondas Eletromagneticas Interferˆencia e Difracao CET0113 Fısica IV para a onda resultante no ponto P e mostre que a amplitude da onda resultante e dada por Ep E01 cos ϕ Dica Os trˆes fasores de comprimento E0 e o fasor resultante de comprimento Ep formam um trapezio b Calcule a intensidade medida sobre a tela em funcao de d de λ e de θ o ˆangulo entre a reta perpendicular ao plano da tela passando no centro da figura e a linha que liga o centro da fenda central com o ponto P Faca um grafico da intensidade em funcao de ϕ c Mostre que a funcao calculada para a intensidade no item b apresenta as seguintes propriedades i A intensidade dos maximos principais e nove vezes maior do que a intensidade sobre uma unica fenda ii A localizacao dos maximos e obtida mediante a equacao dsen θ mλ onde m 0 1 2 correspondendo a valores de ϕ multiplos inteiros de 2π tal como no caso da figura da fenda dupla iii Existem 3 1 2 mınimos entre cada par de maximo centrais iv Os mınimos estao localizados nos pontos dsen θ λ3 2λ3 4λ3 5λ3 correspondendo a valores de ϕ multiplos inteiros de 2π3 porem que nao sejam multiplos inteiros de 2π v Entre cada par de maximos principais existe um maximo secundario para o qual a intensidade e apenas igual a 19 da intensidade do maximo principal Mostre que essas conclusoes estao de acordo com as conclusoes apresentadas sobre o comporta mento geral de um sistema com N fendas d Desenhe um diagrama de fasores para os seguintes casos i ϕ 2π3 ii ϕ π iii ϕ 4π3 iv ϕ 2π Diga quais desses casos corespondem a um mınimo a um maximo e quais nao sao maximos nem mınimos 12 Em um sistema tıpico de radar a antena gira e varre todas as direcoes para captar as ondas provinientes do ceu No entanto no sistema com uma rede de radar as antenas 6 Universidade Federal do Oeste da Bahia Centro das Ciências Exatas e das Tecnologias Unidade I Ondas Eletromagnéticas Interferência e Difração CET0113 Física IV permanecem fixas e o feixe é varrido eletronicamente Para entender como esse sistema funciona considere uma rede com N antenas agrupadas ao longo de um eixo Ox horizontal nos pontos x 0 2d N 1d2 O número N é ímpar Cada antena emite uma radiação uniforme ao longo do plano xy Todas as antenas emitem radiação coerentemente com a mesma amplitude E0 e o mesmo comprimento de onda λ Contudo a fase relativa δ entre duas antenas consecutivas pode ser variada Se a antena situada em x 0 emite um sinal dado por E0 cosωt medido em um ponto próximo da antena a antena em x d emite um sinal dado por E0 cosωt δ medido em um ponto próximo daquela antena A expressão correspondente para x d é E0 cosωt δ para a antena em x 2d a expressão correspondente é E0 cosωt 2δ e assim por diante a Quando δ 0 a figura de interferência a uma distância grande da antena em comparação com d possui um máximo principal para θ 0 ou seja ao longo do eixo Oy perpendicular ao eixo que contém as antenas Mostre que para d λ esse é o único máximo principal da interferência no intervalo angular 90 θ 90 Portanto esse máximo principal descreve um feixe emitido na direção θ 0 Conforme vimos se N é grande o feixe pode apresentar grande intensidade e se tornar bastante estreito b Se δ 0 mostre que o máximo descrito no item a está localizado em θ arcsin δλ 2πd onde δ é medido em radianos Portanto fazendo δ variar de valores positivos até valores negativos e viceversa o que pode ser feito eletronicamente com facilidade o feixe pode ser varrido para frente e para trás em torno da direção θ 0 c Um radar de previsão de tempo deve ser instalado sobre um avião que emite ondas de rádio com frequência de 8800 MHz A unidade usa uma rede com 15 antenas com 280 cm de comprimento desde a antena de uma extremidade até a outra antena na extremidade oposto Quais devem ser o maior e o menor valor de δ ou seja o maior valor positivo e o maior valor negativo para que o feixe de radar possa varrer até 45 à esquerda e à direita da direção do vôo do avião Dê a sua resposta em radianos 13 Uma luz com comprimento de onda de 60 nm é usada para iluminar duas placas de vidro com incidência normal As placas têm 22 cm de comprimento tocamse em uma das extremidades e estão separadas na outra extremidade por um fio com raio de 0025 mm Quantas franjas claras aparecem ao longo do comprimento total das placas 14 Uma rede de difração possui n linhas por unidade de comprimento Mostre que a separação angular de duas linhas de comprimento de onda λ e λ dλ é aproximadamente Δθ Δλ 1 n2 m2 λ2 15 Para o poder de resolução de uma rede de difração contendo N fendas separadas por uma distância d calcule a separação angular entre o máximo e o mínimo para algum comprimento de onda λ e façaa igual à separação angular do máximo de m ésima ordem para dois comprimentos de onda vizinhos Para isto a Mostre que a diferença de fase ϕ entre a luz de duas fendas adjacentes é dada por ϕ 2πd λ sen θ b Diferencie essa expressão para mostrar que uma pequena variação no ângulo dθ resulta na variação em fase dϕ dada por dϕ 2πd λ cos θ dθ c Para N fendas a separação angular entre um máximo de interferência e um mínimo de interferência corresponde a uma variação de fase de dϕ 2π N Use isso para mostrar que a separação angular dθ entre o máximo e o mínimo para algum comprimento de onda λ é dada por dθ λ N d cos θ d O ângulo entre o máximo de interferência de m ésima ordem para o comprimento de onda λ é dado pela equação dsen θm m λ m 0 1 2 Determine a diferencial de cada lado dessa equação para mostrar que a separação angular do máximo de m ésima ordem para dois comprimentos de onda praticamente iguais diferindo dλ é dada por dθ m dλ d cos θ e De acordo com o critério de Rayleigh dois comprimentos de onda serão identificados na m ésima ordem se a separação angular dos comprimentos de onda dada no resultado da Parte d for igual à separação angular do máximo de interferência e do mínimo de interferência dada no resultado da Parte c Use esse resultado para determinar a equação R λ Δλ m N para o poder de resolução de uma rede 16 Em um experimento de dupla fenda de Young a distância entre as fendas é d e a distância das fendas até o anteparo é D com D d Uma luz amarela de sódio de comprimento de onda λ incide sobre as fendas Determine em termos de d D e λ a distância entre duas franjas consecutivas de interferência construtiva e destrutiva 17 Uma experiência com difração que envolve duas fendas paralelas estreitas produz a figura de franjas brilhantes e franjas escuras próximas ao que se pode observar na figura abaixo apenas a parte central da figura é exibida As faixas brilhantes estão dispostas a distâncias iguais a 153 mm entre os centros exceto quando há faixas ausentes sobre uma tela a 250 m das fendas A fonte de luz usada foi um laser HeNe que produz um comprimento de onda de 6328 nm Determine a distância entre as duas fendas e a largura de cada uma delas 153 mm Figura 6 Problema 17 18 Considere uma experiência de interferência com duas fendas de larguras diferentes Fazendose medidas em uma tela muito afastada a amplitude de onda proveniente da primeira fenda é igual a E enquanto a amplitude da onda proveniente da segunda fenda é igual a 2E a Mostre que a intensidade em qualquer ponto da figura de interferência é dada por I I0 59 49 cos φ Universidade Federal do Oeste da Bahia Centro das Ciˆencias Exatas e das Tecnologias Unidade I Ondas Eletromagneticas Interferˆencia e Difracao CET0113 Fısica IV onde ϕ e a diferenca de fase entre as duas ondas medidas em um ponto particular da tela e I0 e a intensidade maxima da figura de interferˆencia b Determine o valor mınimo da intensidade e os valores de ϕ para que isso ocorre 19 Considere N fendas estreitas igualmente espacadas de distˆancia d Use a aproximacao para pequenos ˆangulos sen θ θ para θ em radianos e mostre que a largura angular do maximo principal e dado por 2λ Nd onde λ e o comprimento de onda da luz incidente 20 Em uma experiˆencia de difracao ondas de comprimento de onda λ e frequˆencia ν passam por uma unica fenda de largura a a Observase uma figura de difracao sobre uma tela a uma distˆancia x da fenda Qualis dos seguintes processos diminuira a largura dos maximos centrais i Diminuir a largura a da fenda ii Diminuir a frequˆencia ν da luz iii Diminuir o comprimento de onda λ da luz iv Diminuir a distˆancia x entre a tela e a fenda b Suponha agora que na experiˆencia de difracao com ondas de comprimento de onda λ nao ocorre nenhuma intensidade mınima ou seja nenhuma franja escura Determine a largura maxima da fenda para que isto ocorra 10