Geometria Analítica: Estruturas e Conceitos Fundamentais

10082023 1 Prof Pedro Campos Instituto Ciberespacial 1 Vetores no plano e no espaço Translação e rotação de eixos Retas planos e distâncias Curvas cônicas Superfícies de revolução Prof Pedro Campos 2 LEITHOLD L O cálculo com geometria analítica vol I e II 3 ª Ed São Paulo Harbra 1994 CORRÊA P S Q Álgebra linear e geometria analítica Rio de Janeiro Ed Interciência 327 p 2006 SWOKOWSKI EW Cálculo com geometria analítica vol I e II 2ª Ed São PauloMakron Books 1994 BOULOS P CAMARGO I Geometria Analítica um tratamento vetorial 2a ed São Paulo Editora Makron Books 1987 LIMA E L Geometria Analítica e Álgebra Linear Rio de Janeiro SBM Sociedade Brasileira de Matemática Coleção do Professor de Matemática 2001 SANTOS N M Vetores e Matrizes Rio de Janeiro LTC Livros Técnicos e Científicos Editora 1981 STEINBRUCH A WINTERLE P Geometria Analítica 2a ed Rio de Janeiro Editora Makron Books1987 WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica São Paulo Editora Makron Books 2000 Prof Pedro Campos 3 10082023 2 1º NAP Atividades 60 Verificação 40 2º NAP Atividades 60 Verificação 100 Substitutiva Verificação 40 Prof Pedro Campos 4 Prof Pedro Campos 5 Uma reta é orientada se é estabelecida nela um sentido de percurso positivo ou negativo Uma reta orientada também é chamada de eixo r É todo segmento determinado por um par de pontos o primeiro chamado de origem e o segundo de extremidade do segmento E será denotado por AB A B Prof Pedro Campos 6 10082023 3 Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem O segmento oposto ao segmento orientado AB é o segmento BA A B A B Prof Pedro Campos 7 Dada uma unidade de comprimento podese associar a cada segmento orientado um número real não negativo que é a medida do segmento em relação aquela unidade A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo e é denotado por AB i Segmentos nulos têm comprimento igual a zero ii AB BA Prof Pedro Campos 8 Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas Mesma direção e sentido Mesma Direção e sentido contrário A B C D C D A B A B D C D C A B i Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção ii Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários Prof Pedro Campos 9 10082023 4 Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção o mesmo sentido e o mesmo comprimento C D A B i Dois segmentos nulos são sempre equipolentes ii A equipolência dos segmentos AB e CD é denotados por AB CD A B C D Prof Pedro Campos 10 i Reflexiva AB BA ii Simétrica AB CD CD AB iiiTransitiva AB CD e CD EF AB EF ivDado um segmento orientado A e um ponto C existe um único ponto D tal que AB CD Prof Pedro Campos 11 É o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB Indicando este conjunto por 𝑣 XY 𝑋𝑌 𝐴𝐵 A B X Y Onde XY é um segmento orientado qualquer do conjunto O vetor determinado por AB é indicado por 𝐴𝐵 B A ou 𝑣 O módulo de 𝑣 se indica por 𝑣 Prof Pedro Campos 12 10082023 5 Dois vetores 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 são iguais se e somente se AB CD Dado um vetor 𝑣 𝐴𝐵 o vetor 𝐵𝐴 é o oposto de 𝐴𝐵 e se indica por 𝐴𝐵 ou por 𝑣 Prof Pedro Campos 13 Um vetor 𝑣 é unitário se 𝑣 1 O versor de um vetor não nulo 𝑣 é o vetor unitário de mesma direção e sentido de 𝑣 Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são colineares se tiverem a mesma direção C D A B 𝑢 𝑣 A B C D 𝑢 𝑣 Prof Pedro Campos 14 São vetores que pertencem ao mesmo plano Observação sempre dois vetores quaisquer serão coplanares A B F E 𝑣 𝑢 𝑤 Prof Pedro Campos 15 10082023 6 Adição Sejam os vetores 𝑣 e 𝑢 representados pelos segmentos orientados AB e BC A soma dos vetores 𝑣 e 𝑢 será o vetor 𝑠 isto é 𝑠 𝑣 𝑢 A B C 𝑣 𝑢 𝑠 Prof Pedro Campos 16 Propriedades da adição i Comutativa 𝑣 𝑢 𝑢 𝑣 ii Associativa 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑤 iii Existe um único vetor nulo 0 tal que para todo vetor 𝑣 se tem 𝑣 0 0 𝑣 𝑣 iv Para qualquer vetor 𝑣 existe um único vetor nulo 𝑣 tal que 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 0 Prof Pedro Campos 17 Diferença Sejam os vetores 𝑣 e 𝑢 representados pelos segmentos orientados AB e BC A diferença dos vetores 𝑣 e 𝑢 será o vetor 𝑑 isto é 𝑑 𝑣 𝑢 A B C 𝑣 𝑢 𝑢 𝑣 𝑑 Prof Pedro Campos 18 10082023 7 Multiplicação por um número Real Dado um vetor 𝑣 0 e um número real k 0 chamase produto o número real k pelo vetor 𝑣 o vetor 𝑟 𝑘𝑣 tal que a módulo 𝑟 𝑘 𝑣 𝑘 𝑣 b a direção é a mesma de 𝑣 c terá o mesmo sentido de 𝑣 se k 0 e sentido contrário ao de 𝑣 se k 0 Prof Pedro Campos 19 b O versor de um vetor 𝑣 0 é o vetor unitário 𝑢 dado por Observações a Se k 0 ou 𝑣 0 o produto é o vetor 0 𝑢 𝑣 𝑣 Prof Pedro Campos 20 Propriedades da multiplicação por um número real i Associativa 𝑘 𝑡 𝑣 𝑘𝑡𝑣 ii Distributiva em relação à adição de escalares iii Distributiva em relação à adição de vetores iv Identidade 1𝑣 𝑣 𝑘 𝑡 𝑣 𝑘 𝑣 𝑡 𝑣 𝑘𝑣 𝑤 𝑘 𝑣 𝑘𝑤 Prof Pedro Campos 21 10082023 8 Ângulo entre dois vetores O ângulo entre dois vetores 𝑣 e 𝑢 não nulos é o ângulo 𝜃 formado entre as retas suportes destes vetores e tal que 0 𝜃 𝜋 𝑣 𝑢 A B O 𝜃 𝑣 𝑢 Prof Pedro Campos 22 Observações i Se 𝜃 𝜋 𝑣 e 𝑢 e têm a mesma direção porém sentidos contrários ii Se 𝜃 0 𝑣 e 𝑢 têm a mesma direção e sentido 𝜃 𝜋 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝜃 0 Prof Pedro Campos 23 iii Se 𝜃 𝑣 e 𝑢 são ortogonais 𝑣 𝑢 C Observando que é retângulo logo temse que OBC V A B O 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 Prof Pedro Campos 24 10082023 9 iii Se 𝑢 e 𝑣 são ortogonais e m é um número real qualquer é ortogonal 𝑢 e m𝑣 iv O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor v O ângulo formado pelos vetores 𝑢 e 𝑣 é o suplemento do ângulo de 𝑢 e 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 𝜋 𝜃 𝜃 Prof Pedro Campos 25