Equações e Exemplos de Retas no Espaço

10082023 1 Prof Pedro Campos Instituto Ciberespacial 1 Prof Pedro Campos 2 Considere a reta r que passa pelo ponto A e tem direção de um vetor não nulo 𝑣 vetor diretor temos que 𝑃 𝑟 se e somente se 𝐴𝑃 e 𝑣 sejam paralelos AP t v t R Î P A t v t R Î P A t v t R Î Equação Vetorial da Reta v P i j k A r z x y Prof Pedro Campos 3 10082023 2 Equação Vetorial Dados P x y z A x1 y1 z1 e 𝑣 a b c temos que a equação vetorial da reta r 1 1 1 x y z x y z t a b c t R Î P A t v t R Î r r a equação vetorial é dada por Prof Pedro Campos 4 Exemplo 01 Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A2 2 1 e tem vetor diretor v 1 4 2 Prof Pedro Campos 5 Exemplo 02 Determine a equação vetorial da reta r que passa pelos pontos A2 3 1 e B5 1 4 Prof Pedro Campos 6 10082023 3 Equações Paramétricas Da equação vetorial da reta r 1 1 1 r x y z x y z t a b c t R Î 1 1 1 x x ta r y y tb t R z z tc ì ï Î í ï î Temse que as equações paramétricas da reta r serão dadas por Prof Pedro Campos 7 Exemplo 03 Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo A5 1 6 e tem vetor diretor 𝑣 2 1 5 Prof Pedro Campos 8 Exemplo 04 Determine a equação paramétrica da reta que passa pelos A1 2 3 e B2 3 1 Prof Pedro Campos 9 10082023 4 Equação Simétrica A partir das equações paramétricas da reta r temos que Assim para a 0 b 0 e c 0 temos que 1 1 1 x x ta r y y tb t R z z tc ì ï Î í ï î 1 1 1 x x y y z z r a b c Prof Pedro Campos 10 Exemplo 05 Determine a equação simétrica da reta que passa pelos A0 3 2 e tem vetor diretor u2 3 4 Prof Pedro Campos 11 Equações Reduzidas Considerando cada igualdade das equações simétricas da reta r em separado e para a 0 b 0 e c 0 temos que 1 1 1 1 x x y y a b x x z z a c ì ïïí ï ïî Û 1 1 1 1 b x x a y y c x x a z z ì í î Prof Pedro Campos 12 10082023 5 Equações Reduzidas Para a 0 Û 1 1 1 1 ay bx b y a x a az cx c z a x a ì ïïí ï ïî 1 1 1 1 ay bx az cx b c m n p e q a a a a y mx n z px q ì í î tal que Prof Pedro Campos 13 Exemplo 06 Determine as equações reduzidas em x da reta que passa pelos pontos A5 1 1 e B6 3 3 Prof Pedro Campos 14 Ângulo entre duas retas Considere duas retas r1 e r2 nas direções dos vetores 𝑣 e 𝑣 respectivamente x r2 i j k r1 z y 𝜃 𝜃 𝑣 𝑣 Prof Pedro Campos 15 10082023 6 Chamase de ângulo entre duas retas r1 e r2 o menor ângulo formado pelos seus respectivos vetores diretores Seja 𝜃 este ângulo logo temse que cos 𝜃 com 0 𝜃 Exemplo 07 Seja r1 a reta na direção de 𝑣 5 4 1 e que passa pelo ponto A11 2 1 e r2 a reta na direção de 𝑣 1 1 3 e que passa por A20 1 5 Determine o ângulo entre r1 e r2 Prof Pedro Campos 16 Condição de paralelismo entre duas retas Considere duas retas r1 e r2 nas direções dos vetores 𝑣 a1 b1 c1 e 𝑣 a2 b2 c2 respectivamente A condição para que as retas sejam paralelas será dada por 𝑣 𝑘 𝑣 ou de forma equivalente Prof Pedro Campos 17 Exemplo 08 Dadas as retas 𝑟 1 𝑥 2 𝑡 𝑦 2 3𝑡 𝑧 1 2𝑡 𝑡 ℝ e 𝑟 01 2 34 506 Verifique se elas são colineares Prof Pedro Campos 18 10082023 7 Condição de ortogonalidade entre duas retas Considere duas retas r1 e r2 nas direções dos vetores 𝑣 a1 b1 c1 e 𝑣 a2 b2 c2 respectivamente A condição para que as retas sejam ortogonais será dada por 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐0 𝑣 𝑣 0 ou de forma equivalente Prof Pedro Campos 19 Exemplo 09 Considere a reta 𝑟 que passa pelo ponto A1 2 1 e tem vetor diretor 𝑣 2 1 1 e a reta 𝑟 0 34 7 501 8 Determine m para que 𝑟 e 𝑟 sejam ortogonais Prof Pedro Campos 20 Condição de coplanaridade entre duas retas Considere duas retas r1 que passa por A1x1 y1 z1 e tem vetor diretor 𝑣 a1 b1 c1 e r2 que passa por A2x2 y2 z2 e tem vetor diretor 𝑣 a2 b2 c2 r2 r1 A2 A1 𝑣 𝑣 𝐴𝐴 Prof Pedro Campos 21 10082023 8 A condição para que as retas sejam coplanares é que o produto misto 𝑣 𝑣 𝐴𝐴 seja nulo Isto é 𝑣 𝑣 𝐴𝐴 a b c a b c 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑧 0 Exemplo 10 Considere as retas 𝑟 1 𝑥 1 3𝑡 𝑦 2 𝑡 𝑧 5𝑡 𝑡 ℝ e 𝑟 1 𝑥 2 𝑡 𝑦 2 3𝑡 𝑧 1 2𝑡 𝑡 ℝ verifique se elas são coplanares Prof Pedro Campos 22 Prof Pedro Campos 23