Vetores no Plano Cartesiano: Propriedades e Operações

10082023 1 Prof Pedro Campos Instituto Ciberespacial 1 Prof Pedro Campos 2 O conjunto dos pares ordenados de números reais é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xOy O X Y Prof Pedro Campos ℝ𝟐 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 ℝ 3 10082023 2 Qualquer vetor 𝑣 neste plano tem sempre um representante cuja origem é a origem do sistema Logo a cada vetor podemos associar um único ponto P e viceversa Y X O Pxy Seja Px y e 𝑣 um vetor representado pelo segmento orientado 𝑂𝑃 então a expressão analítica deste vetor é 𝑣 𝑥𝑦 𝑣 𝑣 Prof Pedro Campos 4 A origem O0 0 do sistema representa o vetor nulo As coordenadas x e y de P são chamadas as componentes de 𝑣 Se 𝑣 x y então 𝑣 x y Igualdade Dois vetores 𝑣 x1 y1 e 𝑢 x2 y2 são iguais se e somente se x1 x2 e y1 y2 Prof Pedro Campos 5 A B Vetor definido por dois pontos O X Y A x1 y1 Bx2 y2 𝐴𝐵 B A x2 x1 y2 y1 Prof Pedro Campos 6 10082023 3 Operações Adição Sejam os vetores 𝑣 x1 y1 e 𝑢 x2 y2 A adição entre eles é definida por x1 x2 x1 x 2 y1 y2 y1 y2 𝑣 𝑢 x1 x2 y1 y2 𝑣 𝑢 Prof Pedro Campos 𝑣 𝑢 7 Multiplicação por escalar Sejam o vetor 𝑣 𝑥𝑦 𝑡 ℝ x1 y1 t x1 ty1 𝑡 𝑣 Prof Pedro Campos 8 Produto escalar Sejam os vetores 𝑣 𝑥 𝑦 e 𝑢 𝑥 𝑦 O produto escalar é definido por Módulo de um vetor O módulo ou comprimento de um vetor 𝑣 𝑥 𝑦 é definido por Prof Pedro Campos 𝑣𝑢 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑣 𝑣 𝑣 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 𝑣 𝑣 𝑣 9 10082023 4 Propriedades do produto escalar Quaisquer que sejam os vetores u v e w e o número real qualquer k temse 1 𝑣 𝑣 0 e 𝑣 𝑣 0 se e somente se 𝑣 0 2 𝑣𝑢 𝑢 𝑣 comutativa 3 𝑣𝑢 𝑤 𝑣𝑢 𝑣𝑤 distributiva em relação à adição de vetores 4 𝑡 𝑣𝑢 𝑡 𝑣𝑢 𝑣𝑡𝑢 Prof Pedro Campos 10 Ângulo entre dois vetores O ângulo entre dois vetores nãonulos 𝑣 𝑂𝐴 e 𝑢 𝑂𝐵 é o ângulo q formado pelas semiretas OA e OB tal que q O A B cos 𝜃 Prof Pedro Campos 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 11 Decomposição de um vetor no plano Dados dois vetores nãonulos 𝑣 e 𝑣 não colineares qualquer vetor coplanar a eles pode ser decomposto segundo as direções de 𝑣 e 𝑣 𝑣 𝑎𝑣 𝑎𝑣 Prof Pedro Campos 𝑣 𝑣 𝑣 𝑎 𝑣 𝑎 𝑣 𝑣 𝑣 12 10082023 5 Quando um vetor for representado por 𝑣 𝑎𝑣 𝑎𝑣 dizemos que 𝑣 é uma combinação linear de 𝑣 e 𝑣 O par de vetores 𝑣 e 𝑣 não colineares é chamado de base no plano e denotada por 𝑣 𝑣 Uma base 𝑒 𝑒 é dita ortonormal quando seus vetores são unitários e ortogonais Prof Pedro Campos 13 Quando estes vetores tem origem em O e extremidade nos pontos 1 0 e 0 1 serão denotados por 𝚤 e 𝚥 e esta base será chamada de canônica Todo vetor pode ser escrito na base canônica Prof Pedro Campos 𝑣 𝑥𝚤 𝑦𝚥 14