Lista de Exercícios Resolvidos Eletromagnetismo Classico - Análise Vetorial e Eletrostática

Eletromagnetismo Clássico I Prof Marcelo Lima Período 20234 1ª lista de problemas Análise vetorial Eletrostática Problemas de Valor de Contorno 1 Mostre que a divergência e o rotacional dos campos planares 𝑮 𝑠𝜑 𝜅𝒔𝒔ⁿ 𝜿 𝑠𝜑 𝜅 𝜙𝒔ⁿ são 𝑮 𝜅1𝑛𝑠𝑛1 𝑮 𝟎 e 𝜿 0 𝜿 𝜅1𝑛𝑠𝑛1 𝑧 Nas expressões acima 𝑠𝜑 são coordenadas polares planas e 𝑠𝜙 a base local ortonormal associada a elas e 𝜅𝑛 são constantes reais 2 Demonstre as identidades vetoriais relativas às regras de produto ou de Leibniz a saber a 𝜙𝜓 b 𝜓𝐅 c 𝜓𝐅 d 𝐅 𝑮 e 𝐅 𝑮 f 𝐅 𝑮 3 Demonstre as identidades Φ 𝟎 𝐀 0 𝐀 𝐀 ²𝐀 4 Sejam 𝑟 𝑥𝑦𝑧 e 𝑟 𝑥𝑦𝑧 os vetores posição de dois pontos distintos e seja 𝑹 𝑟 𝑟 o vetor posição relativa Mostre que 1𝑅 1𝑅 𝑹𝑅³ 𝑹𝑅² em que 𝑅 𝑹 𝑟 𝑟 𝑹 𝑹𝑅 o gradiente com relação às variáveis 𝑥𝑦𝑧 e o gradiente tomado com relação às variáveis 𝑥𝑦𝑧 5 Seja 𝑟 𝑟 a distância à origem 𝑓𝑟 uma função desta distância e 𝐅 𝑟 um campo vetorial que depende somente de 𝑟 Mostre que nestas condições a 𝑓𝑟 𝑟𝑟 𝑑𝑓𝑑𝑟 b 𝐅 𝑟 𝑟𝑟 𝑑𝐅 𝑑𝑟 c 𝐅 𝑟 𝑟𝑟 𝑑𝐅 𝑑𝑟 Sugestão No item c demonstre o resultado para uma das componentes generalizando então 6 Considere o campo planar no R³ 𝜔 𝜅2 𝑠 𝜑 o qual usamos em sala de aula para ilustrar o teorema de Stokes Verifique novamente o teorema de Stokes usando como caminho para o cálculo da circuitação um círculo de raio a centrado na origem no plano 𝑥𝑦 e como área a calota esférica de raio a da qual o referido círculo é o equador 7 Deduza a expressão cartesiana do gradiente a partir da definição φ lim ΔV0 𝑺 𝜑 𝑛 𝑑SΔV em que 𝑺 é a superfície que delimita o volume 𝑉 8 A partir da igualdade d𝜓 𝜓 𝑑𝑙 que é válida independentemente de sistema de coordenadas é possível obter de forma prática a expressão do gradiente em outros sistemas de coordenadas que não o cartesiano Considerando o vetor deslocamento infinitesimal 𝑑𝑙 nos sistemas de coordenadas cilindrico 𝑠𝜑𝑧 e esférico 𝑟 𝜃 𝜑 𝑑𝑙 𝑑𝑠 𝑠 𝑠 𝑑𝜑 𝜙 𝑑𝑧 𝑧 𝑑𝑙 𝑑𝑟 𝑟 𝑟 𝑑𝜃 𝜃 𝑟 sen𝜃 𝑑𝜑 𝜙 mostre então que as expressões do gradiente nestes sistemas de coordenadas são respectivamente 𝜓 𝑠 𝜓𝑠 𝜙𝑠 𝜓𝜑 𝑧 𝜓𝑧 𝜓 𝑟 𝜓𝑟 𝜃𝑟 𝜓𝜃 𝜙𝑟 sin𝜃 𝜓𝜑 9 Do enunciado do problema 1 se vê que 𝑮 é irrotacional e portanto admite uma função primitiva escalar 𝜓 𝑮 𝜓 Exiba 𝜓 Vêse também que 𝜿 é solenoidal e portanto admite uma função primitiva vetorial 𝐀 𝜿 𝐀 Exiba 𝐀 10 Considere uma bola de carga total 𝑄 de raio 𝑎 A Uniformemente carregada de densidade 𝜌 𝜌₀ B Não uniforme de densidade 𝜌𝑟 𝜅 r Mostre que o campo elétrico produzido tem a forma conforme o caso A 𝐄 𝑄4𝜋ε₀ 𝑟𝑎³ 𝑟 0 r a 𝐄 𝑄4𝜋ε₀ 1r² 𝑟 r a B 𝐄 𝑄4𝜋ε₀ r²𝑎⁴ 𝑟 0 r a 𝐄 𝑄4𝜋ε₀ 1r² 𝑟 r a 11 Considere um tronco cilíndrico reto infinito coaxial com o eixo z cujo raio da seção reta é a uniformemente carregado de densidade volumétrica 𝜌₀ Mostre que o campo 𝐄 𝑟 bem como um possível potencial 𝜙𝑟 são dados em coordenadas cilíndricas 𝑠𝜑𝑧 por 𝐄 𝑟 𝜌₀2𝜀₀ 𝑠 𝑠 𝑎²𝑠 0 s a a s 𝜙𝑟 𝜌₀4𝜀₀ 𝑠² 𝑎²2 𝑎² ln𝑠𝑎 0 s a a s 12 Em uma abordagem clássica o potencial de Coulomb externo ao núcleo atômico pode ser pensado como devido a um caroço central na origem de carga 𝑞 atenuado pela presença dos elétrons pensados como uma nuvem que se estende em todo espaço a volta Matematicamente este é 𝜙𝑟 𝑞4𝜋ε₀ eʳ𝜆r 𝜆 𝑐𝑡𝑒 Mostre que a densidade de carga associada a este potencial é 𝜌𝑟 𝑞 δ³𝑟 14𝜋 𝜆² 𝑞 eʳ𝜆r e como era de se esperar em virtude da neutralidade do átomo como um todo que a carga total associada é identicamente nula 13 Mostre que a definição para o momento de dipolo total de uma distribuição 𝒑 𝑉 𝜌 𝑟 𝑑𝑉 reproduz o resultado 𝒑 𝑞 𝑙 quando a distribuição em questão for de fato duas cargas punctuais iguais e opostas estando 𝑞 localizada em 𝑟₀ e 𝑞 localizada em 𝑟₀ 𝑙 14 A rigor um dipolo pontual 𝒑 sofre a ação do campo externo 𝐄ₑₓₜ se este for suficientemente não homogêneo Se este for o caso mostre que força atuante no dipolo é 𝐅 𝒑 𝐄ₑₓₜ Mostre também que nestas circunstâncias o torque atuante neste dipolo é 𝜏 𝒑 𝐄ₑₓₜ 𝑟 𝒑 𝐄ₑₓₜ 15 Duas cascas esféricas condutoras de raios 𝑟ₐ e 𝑟ᵦ são dispostas de forma concentrica e carregadas de tal forma que seus potenciais são 𝜙ₐ e 𝜙ᵦ respectivamente Sendo 𝑟ᵦ 𝑟ₐ determine o potencial para 0 r 𝑟ₐ 𝑟ₐ r 𝑟ᵦ e r 𝑟ᵦ A condição de contorno no infinito r é 𝜙 0 16 Duas cascas cilíndricas condutoras de raios 𝑠ₐ e 𝑠ᵦ são dispostas de forma concêntrica e carregadas de tal forma que seus potenciais são 𝜙ₐ e 𝜙ᵦ respectivamente Sendo 𝑠ᵦ 𝑠ₐ determine o potencial para 0 𝑠 𝑠ₐ 𝑠ₐ 𝑠 𝑠ᵦ e 𝑠 𝑠ᵦ 17 Suponha que Φ satisfaça a equação de Laplace em um domínio 𝑉₀ Prove que o valor de Φ em um ponto 𝑃 é a média de seus valores sobre uma esfera qualquer centrada em 𝑃 que se situa em 𝑉₀ ou seja Φ𝑃 14𝜋𝑅² Φ𝑟 𝑑𝑎