Exercício Mat3 Integrais Resolvido-2023 1

b) (2.0 pontos) ∭_B xy^2 z^2 dV onde B = {(x, y, z)|0 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3} 2. (2.0 pontos) Calcule a integral dupla abaixo da superfície z = x^2 + y delimitada pelas curvas y = x^2, y = 2 - x^2. 3. (2.0 pontos) Use coordenadas polares para calcular a integral ∬_D \frac{1}{(1 + x^2 + y^2)^{3/2}} dA, onde D é a região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo x^2 + y^2 = 16 b) I = ∬_0^1 ∬_-1^2 ∬_0^3 xy z^2 dz dy dx . Temos então, I = ∬_0^1 ∬_-1^2 \frac{xy}{3} [z^3]_0^3 dy dx = ∬_0^1 ∬_-1^2 9xy dy dx . Ou seja, I = ∬_0^1 \frac{9x}{2} [y^2]_-1^2 dx = ∬_0^1 \frac{9x}{2} [4 - 1] dx I = \frac{27}{2} ∬_0^1 x dx = \frac{27}{4} . 2) Para encontrarmos os limites de integração em x, fazemos x^2 = 2 - x^2 -> x = +-1 Logo, a integral desejada é I = ∬_-1^1 ∬_x^2^{2-x^2} x^2 + y dy dx = ∬_-1^1 \frac{y^2}{2} [y]_x^2^{2-x^2} dx I = ∬_-1^1 x^2 \left[2-x^2-x^2\right] + \frac{(2-x^2)^2 - x^4}{2} dx I = ∬_-1^1 2x^2 - 2x^4 + \frac{4 - 4x^2}{2} dx I = ∬_-1^1 2 - 2x^4 dx = \left[2x - \frac{2x^5}{5}\right][-1]^1 = 4 - \frac{4}{5} I = \frac{16}{5} 3) Em coordenadas polares, x = r \cos \theta y = r \sin \theta dA = r dr d\theta x^2 + y^2 = r^2 . Logo, temos 0 <= r <= 4 0 <= θ <= π/2 \ (1º quadrante). A integral se torna: I = ∫∫ (r dθ dr) / (1 + r^2)^(3/2) = π/2 ∫ (r dr) / (1 + r^2)^(3/2) 0 4 Deja 1 + r^2 = u -> dr = du/2r , logo, se r = 0 -> u = 1 r = 4, -> u = 17, e temos, I = π/4 ∫ (du) / u^(3/2) 1 17 I = π/4 [-2 u^(-1/2) ] 1 17 = π/2 [-1/√17 + 1] I = π/2 [1 - 1/√17]