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Engenharia de Alimentos ·
Cálculo 3
· 2023/1
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lim F(x,y) (x,y)→(0,0) = 1? Se sim, F(x,y) é continua em (0,0) lim F(x,y) (x,y)→(0,0) = lim (x,y)→(0,0) (x^2-y^2)/(x^2+y^2) vamos nos aproximar do ponto (0,0) primeiro pela reta x=0 lim y→0 (0^2-y^2)/(0^2+y^2) = lim y→0 -y^2/y^2 = -1 Vamos lembrar as condições para uma função ser contínua: Uma função f(x,y) é contínua no ponto (x0, y0) se: • f for definida em (x0, y0); • O limite de f(x,y) com (x,y) tendendo a (x0, y0) existe; • O limite de f(x,y) com (x,y) tendendo a (x0, y0) = f(x0, y0) • Uma função é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio. 2. (2.0 pontos) Determine o maior conjunto no qual a função f(x, y) = {x^2-y^2/(x^2+y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) 1 se (x, y) = (0, 0) é contínua. Da questão: quando (x,y)≠(0,0), a função é definida como (x^2-y^2)/(x^2+y^2) quando (x,y)=(0,0), a função muda de comportamento e é igual a 1 Vamos primeiro analisar onde ocorre essa mudança de comportamento → vamos nos aproximar do ponto (0,0) agora pela reta y=0 \[ \lim_{x \to 0}^{y=0} \frac{x^2 - 0^2}{x^2 + 0^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1 \] → quando nos aproximamos por caminhos diferentes, conseguimos valores diferentes (-1 e 1) , então o limite no ponto (0,0) não existe, então a função não é contínua no ponto (0,0) → Como o domínio da função são todos os reais, então f(x,y) é contínua para todo ponto (x,y) pertencente ao ℝ², exceto o ponto (0,0) \[(x,y)\in ℝ^2 | (x,y) \neq (0,0)]\]
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lim F(x,y) (x,y)→(0,0) = 1? Se sim, F(x,y) é continua em (0,0) lim F(x,y) (x,y)→(0,0) = lim (x,y)→(0,0) (x^2-y^2)/(x^2+y^2) vamos nos aproximar do ponto (0,0) primeiro pela reta x=0 lim y→0 (0^2-y^2)/(0^2+y^2) = lim y→0 -y^2/y^2 = -1 Vamos lembrar as condições para uma função ser contínua: Uma função f(x,y) é contínua no ponto (x0, y0) se: • f for definida em (x0, y0); • O limite de f(x,y) com (x,y) tendendo a (x0, y0) existe; • O limite de f(x,y) com (x,y) tendendo a (x0, y0) = f(x0, y0) • Uma função é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio. 2. (2.0 pontos) Determine o maior conjunto no qual a função f(x, y) = {x^2-y^2/(x^2+y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) 1 se (x, y) = (0, 0) é contínua. Da questão: quando (x,y)≠(0,0), a função é definida como (x^2-y^2)/(x^2+y^2) quando (x,y)=(0,0), a função muda de comportamento e é igual a 1 Vamos primeiro analisar onde ocorre essa mudança de comportamento → vamos nos aproximar do ponto (0,0) agora pela reta y=0 \[ \lim_{x \to 0}^{y=0} \frac{x^2 - 0^2}{x^2 + 0^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1 \] → quando nos aproximamos por caminhos diferentes, conseguimos valores diferentes (-1 e 1) , então o limite no ponto (0,0) não existe, então a função não é contínua no ponto (0,0) → Como o domínio da função são todos os reais, então f(x,y) é contínua para todo ponto (x,y) pertencente ao ℝ², exceto o ponto (0,0) \[(x,y)\in ℝ^2 | (x,y) \neq (0,0)]\]