Dinâmica TMEC 019: Anotações de Aula - Cinemática da Partícula

1 Dinâmica TMEC 019 Área Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico Ementa do curso 1 Introdução 2 Cinemática da Partícula 3 Cinética da Partícula 4 Cinemática Plana do Corpo Rígido 5 Cinética Plana do Corpo Rígido 6 Introdução à Dinâmica Tridimensional de Corpos Rígidos Bibliografia 1 Meriam JL e Kraige LG Mecânica Dinâmica LTC 2 Hibbeler R C Dinâmica Pearson Education 3 Beer Johnston Cornwell Self e Sanshi Mecânica Vetorial para Engenheiros Dinâmica 11a edição Sistema de Avaliação 𝐌𝐅 𝐏𝟏 𝐏𝟐 𝟐 2 Parte 1 Introdução vide bibliografia Parte 2 Cinemática da Partícula Conceito Geometria apenas sem considerar a causa do movimento Notação em negrito F r𝛚 etc são vetores sem negrito s F r t etc são escalares 1 Movimento Curvilíneo Plano Posição r posição da partícula no ponto A um vetor 𝐫 𝐫 posição da partícula no ponto A um vetor 𝐫 deslocamento da partícula um vetor e 𝑠 distância percorrida da partícula um escalar 3 Velocidade Média 𝐯𝐦𝐞𝐝 𝐫 𝑡 Velocidade Instantânea 𝐯 lim 𝑡0 𝐫 𝑡 d𝐫 dt 𝐫 v 𝐯 lim t0 s t ds dt s Conceito A velocidade é tangente à trajetória Vide Figura 25 Aceleração 𝐚 lim 𝑡0 𝐯 𝑡 𝐯 Conceito A aceleração inclui os efeitos das variações do módulo e da direção de v Vide Figura 25 e 26 Isso ficará mais claro nas próximas seções dessas notas 4 Conceito Agora será visto a REPRESENTAÇÃO do movimento plano posição velocidade e aceleração da partícula em coordenadas retangulares normaltangencial e polares Coordenadas Retangulares xy 𝐫 x𝐢 y𝐣 onde i e j são vetores unitários 𝐯 d𝐫 dt x𝐢 x𝐢 y𝐣 y𝐣 onde 𝐢 𝐣 0 pois os vetores unitários i e j não variam nem em módulo nem em direção Portanto 𝐯 d𝐫 dt x𝐢 y𝐣 𝐚 d𝐯 dt x𝐢 y𝐣 5 Exercício Movimento de projéteis resolvido no livro do Merian Exercício Uma partícula possui movimento circular de raio R para uma posição angular genérica 𝜃 com velocidade angular 𝜃 𝜔 e aceleração angular 𝜃 𝛼 todas no sentido antihorário Determine os vetores de posição velocidade e aceleração da partícula representados em coordenadas retangulares 6 Uma aplicação muito importante da representação do movimento plano da partícula em coordenadas retangulares consiste no movimento de lançamento de partículas e robótica por exemplo posicionamento da partícula no plano velocidade e aceleração Lista de Exercíos 1 Problema Resolvido 25 resolvido no livro Problema 270 e Problema 285 7 Sampleproble25m clear all clc T5 dt01 NpTdt for i1Np1 tii1dt xi50ti8ti2 yi1004ti2 end Resultadot x y plotxy xlabelxt ylabelyt grid Resultado 0 0 1000000 01000 49200 999600 02000 96800 998400 03000 142800 996400 04000 187200 993600 05000 230000 990000 06000 271200 985600 07000 310800 980400 08000 348800 974400 09000 385200 967600 10000 420000 960000 11000 453200 951600 12000 484800 942400 13000 514800 932400 14000 543200 921600 15000 570000 910000 16000 595200 897600 17000 618800 884400 18000 640800 870400 8 19000 661200 855600 20000 680000 840000 21000 697200 823600 22000 712800 806400 23000 726800 788400 24000 739200 769600 25000 750000 750000 26000 759200 729600 27000 766800 708400 28000 772800 686400 29000 777200 663600 30000 780000 640000 31000 781200 615600 32000 780800 590400 33000 778800 564400 34000 775200 537600 35000 770000 510000 36000 763200 481600 37000 754800 452400 38000 744800 422400 39000 733200 391600 40000 720000 360000 41000 705200 327600 42000 688800 294400 43000 670800 260400 44000 651200 225600 45000 630000 190000 46000 607200 153600 47000 582800 116400 48000 556800 78400 49000 529200 39600 50000 500000 0 9 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 xt yt 285 Ball bearings leave the horizontal trough with a velocity of magnitude u and fall through the 70mmdiameter hole as shown Calculate the permissible range of u which will enable the balls to enter the hole Take the dashed positions to represent the limiting conditions Problem 285 11 Coordenadas Normal e Tangencial nt Conceito As coordenadas normaltangencial são tomadas como se estivessem MOVENDO sobre a trajetória junto com a partícula são não estacionárias Conceiro O sentido de n é sempre tomado para o centro de curvatura da trajetória e a componente tangencial t é perpendicular a componente normal como mostra a Figura 29 Velocidade 𝐯 v 𝐞t v ds dt ρ dβ dt ρβ onde 𝜌 é o raio de curvatura da trajetória e d𝛽 é um ângulo infinitesimal que ocorre durante um intervalo de tempo dt e et é o versor na direção tangencial e en é o vetor unitário na direção normal 12 Conceito A velocidade é sempre tangente à trajetórtia Vide Figura abaixo Aceleração 𝐚 d𝐯 dt d v 𝐞𝐭 dt v𝐞 t v𝐞t onde 𝐞 t d𝐞t dt 𝐞𝐭 dβ dt 𝐞𝐧 1 dβ dt 𝐞𝐧 β𝐞𝐧 v ρ 𝐞𝐧 portanto 𝐚 v2 ρ 𝐞n v𝐞t an v2 ρ e at v 13 Conceito A aceleração possui duas componentes uma tangete à trajetória relacionada com a mudança em módulo da velocidade e outra normal apontando para o centro de curvatura da trajetória relacionada com a mudança da direção da velocidade Vide figura abaixo Execício Uma partícula possui movimento circular de raio R para uma posição angular genérica 𝜃 com velocidade angular 𝜃 𝜔 e aceleração angular 𝜃 𝛼 todas no sentido antihorário Determine os vetores de posição velocidade e aceleração da partícula representados em coordenadas normaltangencial 14 Aplicações importantes da representação do movimento plano da partícula em coordenadas normaltangencial consistem no movimento de pêndulos e movimentos envolvendo o raio de curvatura de trajetórias curvilíneo de partículas 15 Lista de Exercícios 2 Problema resolvido 28 Problema 2109 Problema 2112 Problema 2114 e Problema 2129 2109 Consider the polar axis of the earth to be fixed in space and compute the magnitudes of the velocity and acceleration of a point P on the earths surface at latitude 40 north The mean diameter of the earth is 12 742 km and its angular velocity is 07292104 rads Problem 2109 2114 Magnetic tape is being transferred from reel A to reel B and passes around idler pulleys C and D At a certain instant point P1 on the tape is in contact with pulley C and point P2 is in contact with pulley D If the normal component of acceleration of P1 is 40 ms2 and the tangential component of acceleration of P2 is 30 ms2 at this instant compute the corresponding speed v of the tape the magnitude of the total acceleration of P1 and the magnitude of the total acceleration of P2 Problem 2114 2129 The pin P is constrained to move in the slotted guides which move at right angles to one another At the instant represented A has a velocity to the right of 02 ms which is decreasing at the rate of 075 ms each second At the same time B is moving down with a velocity of 015 ms which is decreasing at the rate of 05 ms each second For this instant determine the radius of curvature ρ of the path followed by P Is it possible to also determine the time rate of change of ρ Problem 2129 18 Coordenadas Polares rθ r medida radial θ medida angular Conceito As coordenadas polares são tomadas como se estivessem MOVENDO sobre a tajetória junto com a partícula não estacionárias Conceiro O sentido de r e θ são mostrados na Figura 213 a Figura 213 Direções radial e angular 𝐞𝑟 e 𝐞𝜃 são vetores unitários Posição 𝐫 r 𝐞r 19 Velocidade 𝐯 d𝐫 dt dr dt 𝐞r r d𝐞r dt onde dr dt r escalar d𝐞r dt d1 dθ dt 𝐞𝛉 θ𝐞𝛉 vetor Vide Figura 213 Portanto a equação de velocidade acima pode ser reescrita como 𝐯 r𝐞𝐫 rθ𝐞𝛉 vr r e vθ rθ Vide Figura abaixo 20 Aceleração 𝐚 d𝐯 dt dr dt 𝐞r r d𝐞r dt dr dt θ 𝐞θ r dθ dt 𝐞θ rθ d𝐞θ dt onde d𝐞θ dt d1 dθ dt 𝐞𝐫 θ 𝐞𝐫 Vide Figura 213 b 𝐚 r rθ 2 𝐞r rθ 2θr 𝐞θ 𝑎𝑟 r rθ 2 e 𝑎𝜃 rθ 2θr Vide Figura 215 21 Execício Uma partícula possui movimento circular de raio R para uma posição angular genérica 𝜃 com velocidade angular 𝜃 𝜔 e aceleração angular 𝜃 𝛼 todas no sentido anti horário Determine os vetores de posição velocidade e aceleração da partícula representados em coordenadas polares Aplicações importantes da representação do movimento plano da partícula em coordenadas polares consistem no movimento de lançamento de projeteis e principalmente na análise cinemática de mecanismos de cadeias aberta e fechada 22 Lista de Exercícios 3 Problema Resolvido 210 Problema 2142 Problema 2150 e Problema 2157 2142 The piston of the hydraulic cylinder gives pin A a constant velocity v 3 ftsec in the direction shown for an interval of its motion For the instant when θ 60 determine r r θ and θ where r OA Problem 2142 2150 The slotted arm OA forces the small pin to move in the fixed spiral guide defined by r Kθ Arm OA starts from rest at θ π4 and has a constant counterclockwise angular acceleration θ α Determine the magnitude of the acceleration of the pin P when θ 3π4 Problem 2150 2157 The robot arm is elevating and extending simultaneously At a given instant θ 30 θ 10 degs constant l 05 m l 02 ms and l 03 ms² Compute the magnitudes of the velocity v and acceleration a of the gripped part P In addition express v and a in terms of the unit vectors i and j Problem 2157 25 2 Movimento Curvilíneo Espacial Coordenadas Retangulares xyz Figura 216 vetores unitários i j e k Posição da partícula 𝐑 𝑥 𝐢 𝑦 𝐣 𝑧 𝐤 Velocidade da Partícula 𝐯 𝑑𝐑 𝑑𝑡 26 Como o vetores unitários i j e k não variam nem em módulo nem em direção com o tempo implica que 𝑑𝐢 𝑑𝑡 𝑑𝐣 𝑑𝑡 𝑑𝐤 𝑑𝑡 𝟎 Portanto 𝐯 x 𝐢 y 𝐣 z 𝐤 Aceleração da partícula 𝐚 d𝐯 dt 𝐚 x 𝐢 y 𝐣 z 𝐤 27 Coordenadas Cilíndricas rθz Figura 216 vetores unitários 𝐞𝑟 𝐞𝜃 e k Nesse tipo de representação incluise uma coordenada z sobre as coordenadas polares Posição da partícula 𝐑 r 𝐞𝐫 z 𝐤 Velocidade da partícula 𝐯 d𝐑 dt r 𝐞𝐫 r d𝐞𝐫 dt z 𝐤 z d𝐤 dt d𝐞𝐫 dt d1 dθ dt 𝐞θ θ 𝐞θ d𝐳 dt 0 𝐯 r 𝐞𝐫 rθ 𝐞𝛉 z 𝐤 Aceleração da partícula 𝐚 d𝐯 dt r rθ 2 𝐞𝐫 rθ 2rθ 𝐞𝛉 z𝐤 Exercício Demosntrar a equação acima 28 Coordenadas Esféricas RθΦ Figura 216 vetores unitários 𝐞R 𝐞θ e 𝐞ϕ Velocidade 𝐯 vR𝐞R vθ𝐞θ vϕ𝐞ϕ vR R vθ Rθcosϕ vϕ Rϕ Aceleração 𝐚 aR𝐞R aθ𝐞θ aϕ𝐞ϕ aR R Rϕ 2 Rθ 2cos2ϕ aθ cosϕ R d dt R2θ 2Rθϕ senϕ aϕ 1 R d dt R2ϕ Rθ 2senϕcosϕ 29 Lista de Exercícios 4 Problema resolvido 211 Problema Resolvido 212 Problema 2167 Problema 2182 e Problema 2177 SAMPLE PROBLEM 212 An aircraft P takes off at A with a velocity v0 of 250 kmh and climbs in the vertical yz plane at the constant 15 angle with an acceleration along its light path of 08 ms² Flight progress is monitored by radar at point O a Resolve the velocity of P into cylindricalcoordinate components 60 seconds after takeoff and find r θ and z for that instant b Resolve the velocity of the aircraft P into sphericalcoordinate components 60 seconds after takeoff and find R θ and ϕ for that instant Solution a The accompanying figure shows the velocity and acceleration vectors in the yz plane The takeoff speed is v0 25036 694 ms and the speed after 60 seconds is v v0 at 694 0860 1174 ms The distance s traveled after takeoff is s s0 v0t 12 at² 0 69460 12 0860² 5610 m The ycoordinate and associated angle θ are y 5610 cos 15 5420 m θ tan1 54203000 610 From the figure b of xy projections we have r 3000² 5420² 6190 m uxy v cos 15 1174 cos 15 1134 ms ur r uxy sin θ 1134 sin 610 992 ms Ans uθ r θ uxy cos θ 1134 cos 610 550 ms So θ 5506190 888103 rads Ans Finally z uz v sin 15 1174 sin 15 304 ms Ans b Refer to the accompanying figure c which shows the xy plane and various velocity components projected into the vertical plane containing r and R Note that z y tan 15 5420 tan 15 1451 m ϕ tan1 zR tan1 14516190 1319 R r² z² 6190² 1451² 6360 m From the figure vR R 992 cos 1319 304 sin 1319 1036 ms Ans θ 888103 rads as in part a Ans vϕ R ϕ 304 cos 1319 992 sin 1319 696 ms ϕ 6966360 1093103 rads Ans 2167 An amusement ride called the corkscrew takes the passengers through the upsidedown curve of a horizontal cylindrical helix The velocity of the cars as they pass position A is 15 ms and the component of their acceleration measured along the tangent to the path is g cos γ at this point The effective radius of the cylindrical helix is 5 m and the helix angle is γ 40 Compute the magnitude of the acceleration of the passengers as they pass position A Problem 2167 32 Parte 3 Cinemática Plana de Corpos Rígidos Conceito Geometria apenas sem considerar a causa do movimento Corpo Rígido é um sistema de partículas para o qual as distâncias entre elas permanecem inalteradas Tipos de Movimento Plano Translação rotação em torno de um eixo fixo e movimento plano geral Vide Figura 51 abaixo 33 31 Rotação em Torno de Um Eixo Fixo e Método do Movimento Absoluto Relações algébricas não vetoriais para o movimento circular de um ponto A de um corpo rígido em torno de um eixo fixo Figura 53 v ωr ω rotação do corpo rígido ou velocidade angular do corpo rígido v velocidade do ponto A do corpo rígido an ω2r v2 r vω at αr α aceleração angular do corpo rígido an e at são as componentes normal e tangencial da aceleração do ponto A do corpo rígido 34 Relações vetoriais para o movimento circular de um ponto A de um corpo rígido em torno de um eixo fixo Figura 54 𝐯 d𝐫 dt 𝐫 𝛚 𝐫 𝐫 posição do ponto A do corpo rígido 𝛚 rotação ou velocidade angular do corpo rígido produto vetorial 𝐯 velocidade do ponto A do corpo rígido 𝐚 d𝐯 dt 𝐯 𝛚 𝐫 𝛚 𝐫 𝐚 𝛚 𝛚 𝐫 𝛚 𝐫 𝐚 𝛚 𝛚 𝐫 𝛂 𝐫 𝛂 aceleração angular do corpo rígido 𝐚 aceleração do ponto A do corpo rígido 𝐚𝐧 𝛚 𝛚 𝐫 𝐚𝐭 𝛂 𝐫 35 Lista de Exercícios 11 Problema resolvido 52 Problema Resolvido 53 Problema 517 Problema 528 e Problema 57 517 The beltdriven pulley and attached disk are rotating with increasing angular velocity At a certain instant the speed v of the belt is 15 ms and the total acceleration of point A is 75 ms² For this instant determine a the angular acceleration α of the pulley and disk b the total acceleration of point B and c the acceleration of point C on the belt Problem 517 528 The design characteristics of a gearreduction unit are under review Gear B is rotating clockwise with a speed of 300 revmin when a torque is applied to gear A at time t 2 s to give gear A a counterclockwise acceleration α which varies with time for a duration of 4 seconds as shown Determine the speed NB of gear B when t 6 s Problem 528 57 The rectangular plate is rotating about its corner axis through O with a constant angular velocity ω 10 rads Determine the magnitudes of the velocity v and acceleration a of the corner A by a using the scalar relations and b using the vector relations Problem 57 38 32 Método do Movimento Relativo para Eixos Transladados Análise de Velocidades Conceito Movimento Plano Geral Translação Pura Rotação em Torno de Um Eixo Fixo Figura 55 a XY sistema inercial xy sistema movél que translada não gira translada apenas com origem no ponto B A Figura 55 a mostra que tomando dois pontos A e B de um corpo rígido pode se escrever a seguinte equação 𝐫A 𝐫B 𝐫A B 𝐫A deslocamento absoluto do ponto A 𝐫B deslocamento absoluto do ponto B e 𝐫A B 𝐫 x 𝐢 y 𝐣 deslocamento relativo do ponto A com relação ao ponto B 39 Dividindo a equação acima por t e fazendo o limite quando t tende a zero resulta lim 𝑡0 𝐫𝐴 𝑡 lim 𝑡0 𝐫𝐵 𝑡 lim 𝑡0 𝐫𝐴 𝐵 𝑡 ou 𝐯A 𝐯B 𝐯A B 𝐯A velocidade absoluta do ponto A 𝐯B velocidade absoluta do ponto B e 𝐯A B velocidade relativa do ponto A com relação ao ponto B Conceito O movimento relativo do ponto A com relação ao ponto B é a rotação do ponto A com relação a um eixo fixo em B Vide Figura 55 b Portanto 𝐯A B 𝛚 𝐫 𝛚 vetor rotação absoluta do corpo rígido que contém os dois pontos A e B e 𝐫 vetor posição relativa do ponto A com relação ao ponto B Portanto a equação de velocidades fica 40 𝐯A 𝐯B 𝐯A B 𝐯B 𝛚 𝐫 𝐯A velocidade absoluta do ponto A Tangente à trajetória absoluta do ponto A 𝐯B velocidade absoluta do ponto B Tangente à trajetória absoluta do ponto B 𝐯A B velocidade realativa do ponto A com relação ao ponto B Trata se da rotação do ponto A em torno de B Tangente à trajetória relativa do ponto A em relação a B 𝐫 posição do ponto A com relação ao ponto B 𝛚 rotação ou velocidade angular absoluta da peça que contém os ponto A e B Vide Figura 56 abaixo 41 Lista de Exercícios 12 Problema resolvido 57 Problema Resolvido 58 Problema 564 Problema 5119 e Problema 5120 SAMPLE PROBLEM 58 Crank CB oscillates about C through a limited arc causing crank OA to oscillate about O When the linkage passes the position shown with CB horizontal and OA vertical the angular velocity of CB is 2 rads counterclockwise For this instant determine the angular velocities of OA and AB Solution I Vector The relativevelocity equation vA vB vAB is rewritten as ωOA rA ωCB rB ωAB rAB where ωOA ωOAk ωCB 2k rads ωAB ωABk rA 100j mm rB 75i mm rAB 175i 50j mm Substitution gives ωOAk 100j 2k 751 ωABk 1751 50j 100ωOAj 150j 175ωABi 50ωABj Matching coefficients of the respective i and jterms gives 100ωOA 50ωAB 0 256 7ωAB 0 the solutions of which are ωAB 67 rads and ωOA 37 rads Solution II ScalarGeometric Solution by the scalar geometry of the vector triangle is particularly simple here since vA and vB are at right angles for this special position of the linkages First we compute vB which is v rω vB 00752 0150 ms and represent it in its correct direction as shown The vector vAB must be perpendicular to AB and the angle θ between vAB and vB is also the angle made by AB with the horizontal direction This angle is given by tanθ 100 50 250 75 27 The horizontal vector vA completes the triangle for which we have vAB vB cosθ 0150cosθ vA vB tanθ 015027 0307 ms The angular velocities become ω vr ωAB vAB AB 0150cosθ cosθ 0250 0075 67 rads CW ωOA vA OA 0307 10100 37 rads CW Helpful Hints 1 We are using here the first of Eqs 53 and Eq 56 2 The minus signs in the answers indicate that the vectors ωAB and ωOA are in the negative kdirection Hence the angular velocities are clockwise 3 Always make certain that the sequence of vectors in the vector polygon agrees with the equality of vectors specified by the vector equation 564 The circular disk of radius 02 m is released very near the horizontal surface with a velocity of its center vO 07 ms to the right and a clockwise angular velocity ω 2 rads Determine the velocities of points A and P of the disk Describe the motion upon contact with the ground Problem 564 5119 The large roller bearing rolls to the left on its outer race with a velocity of its center O of 09 ms At the same time the central shaft and inner race rotate counterclockwise with an angular speed of 240 revmin Determine the angular velocity ω of each of the rollers Problem 5119 5120 The shaft at O drives the arm OA at a clockwise speed of 90 revmin about the fixed bearing at O Use the method of the instantaneous center of zero velocity to determine the rotational speed of gear B gear teeth not shown if a ring gear D is fixed and b ring gear D rotates counterclockwise about O with an angular speed of 80 revmin Problem 5120 44 33 Método do Movimento Relativo para Eixos Transladados Análise de Aceleração Derivando a equação de velocidade 𝐯A 𝐯B 𝐯A B comm relação ao tempo e lembrando que o movimento relativo do ponto A com relação ao ponto B é rotação em torno do eixo que passa por B dá 𝐚A 𝐚B 𝐚AB 𝐚B 𝐚AB n 𝐚AB t 𝐚AB n 𝛚 𝛚 𝐫 𝐚AB t 𝛂 𝐫 𝐚AB n componente normal do vetor aceleração relativa 𝐚AB t componente tangencial do vetor aceleração relativa Então 𝐚A 𝐚B 𝛂 𝐫 𝛚 𝛚 𝐫 𝐚A aceleração absoluta do ponto A 𝐚B aceleração absoluta do ponto B e 𝐚AB aceleração relativa do ponto A com relação ao ponto B 45 𝛚 𝛂 𝛂 vetor aceleração angular absoluta do corpo rígido Vide Figura abaixo SAMPLE PROBLEM 513 The wheel of radius r rolls to the left without slipping and at the instant considered the center O has a velocity vO and an acceleration aO to the left Determine the acceleration of points A and C on the wheel for the instant considered Solution From our previous analysis of Sample Problem 54 we know that the angular velocity and angular acceleration of the wheel are ω vO r and α aO r The acceleration of A is written in terms of the given acceleration of O Thus aA aO aNO aO aVOn aNOt The relativeacceleration terms are viewed as though O were fixed and for this relative circular motion they have the magnitudes aNOn r0ω² r0 v0 r² aNOt r0α r₀ a₀ r and the directions shown Adding the vectors headtotail gives aA as shown In a numerical problem we may obtain the combination algebraically or graphically The algebraic expression for the magnitude of aA is found from the square root of the sum of the squares of its components If we use n and tdirections we have αA aAn² aAt² aO cosθ aNOn² aO sinθ aNOt² ra cosθ r0ω²² ra sinθ r0α² Ans The direction of aA can be computed if desired The acceleration of the instantaneous center C of zero velocity considered a point on the wheel is obtained from the expression aC aO aC0 where the components of the relativeacceleration term are aC0n rω² directed from C to O and aC0t rα directed to the right because of the counterclockwise angular acceleration of line CO about O The terms are added together in the lower diagram and it is seen that aC rω² Ans Helpful Hints 1 The counterclockwise angular acceleration α of OA determines the positive direction of aVOt The normal component aNOn is of course directed toward the reference center O 2 If the wheel were rolling to the right with the same velocity v0 but still had an acceleration a0 to the left note that the solution for aA would be unchanged 3 We note that the acceleration of the instantaneous center of zero velocity is independent of α and is directed toward the center of the SAMPLE PROBLEM 514 The linkage of Sample Problem 58 is repeated here Crank CB has a constant counterclockwise angular velocity of 2 rads in the position shown during a short interval of its motion Determine the angular acceleration of links AB and OA for this position Solve by using vector algebra Solution We first solve for the velocities which were obtained in Sample Problem 58 They are ωAB 67 rads and ωOA 37 rads where the counterclockwise direction kdirection is taken as positive The acceleration equation is aA aB aABn aABt where from Eqs 53 and 59a we may write aA αOA rA ωOA ωOA rA αOA k 100j 37 k 37 k 100j 100αOA i 100 949 j mms² aB αCB rB ωCB ωCB rB 0 2k 2k 75i 300i mms² aABn ωAB k ωAB rAB 67 k 67 k 175i 50j 67² 175i 50j mms² aABt αAB k rAB αAB k 175i 50j 50αAB i 175αAB j mms² We now substitute these results into the relativeacceleration equation and equate separately the coefficients of the iterms and the coefficients of the jterms to give 100αOA 429 50αAB 1837 367 175αAB The solutions are αAB 01050 rads² and αOA 434 rads² Ans Since the unit vector k points out from the paper in the positive zdirection we see that the angular accelerations of AB and OA are both clockwise negative It is recommended that the student sketch each of the acceleration vectors in its proper geometric relationship according to the relativeacceleration equation to help clarify the meaning of the solution Helpful Hints 1 Remember to preserve the order of the factors in the cross products 2 In expressing the term aAB be certain that rAB is written as the vector from B to A and not the reverse 5146 The mechanism of Prob 575 is repeated here Each of the sliding bars A and B engages its respective rim of the two riveted wheels without slipping If in addition to the information shown bar A has an acceleration of 2 ms² to the right and there is no acceleration of bar B calculate the magnitude of the acceleration of P for the instant depicted 100 mm 160 mm vA 08 ms vB 06 ms Problem 5146 5147 The fourbar linkage of Prob 588 is repeated here If the angular velocity and angular acceleration of drive link OA are 10 rads and 5 rads² respectively both counterclockwise determine the angular accelerations of bars AB and BC for the instant represented 15 240 mm 80 mm 200 mm 60 ω0 α0 Problem 5147 5153 The elements of a power hacksaw are shown in the figure The saw blade is mounted in a frame which slides along the horizontal guide If the motor turns the flywheel at a constant counterclockwise speed of 60 revmin determine the acceleration of the blade for the position where θ 90 and find the corresponding angular acceleration of the link AB θ 100 mm B O 100 mm 450 mm A Problem 5153 5155 An oil pumping rig is shown in the figure The flexible pump rod D is fastened to the sector at E and is always vertical as it enters the fitting below D The link AB causes the beam BCE to oscillate as the weighted crank OA revolves If OA has a constant clockwise speed of 1 rev every 3 s determine the acceleration of the pump rod D when the beam and the crank OA are both in the horizontal position shown 3 m 33 m B E 09 m C D A 195 m 06 m Problem 5155 50 Considere que a rotação da manivela OB seja ω 1500 rpm no sentido horário e constante como mostrado na Figura abaixo Determine para θ 60o 1 a rotação da biela AB 2 a velocidade do pistão 3 a velocidade do ponto G dentro de massa da biela 4 a aceleração angular da biela 5 a aceleração do pistão e 6 a aceleração do centro de massa da G da biela 51 34 Método do Movimento Relativo para Eixos Girantes Análises de Velocidade e Aceleração A figura 511 mostra uma peça ranhurada que para essa fase do movimento gira com rotação 𝛚 O ponto A realiza movimento sobre a trajetória mstrada na peça ranhurada Para observar o movimento do ponto A sobre a peça ranhurada adotase um referencial girante xy que possui a mesma rotação 𝛚 da peça ranhurada É como se o referencial xy estivesse fixado sobre a peça ranhurada Por isso esse referencial recebe o nome de referencial girante Daí o termo eixos girantes 52 Eixos Girantes Posição 𝐫A 𝐫B 𝐫 𝐫B x𝐢 y𝐣 𝐫A posição absoluta do ponto A 𝐫B posição absoluta do ponto B 𝐫 x𝐢 y𝐣 posição relativa do ponto A com relação ao ponto B x e y são as coordenadas de r no sistema girante xy Velocidade 𝐫A 𝐫B d dt x𝐢 y𝐣 ou 𝐯A 𝐯B x𝐢 y𝐣 x𝐢 y𝐣 𝐢 d𝐢 dt 𝐢dθ dt 𝐣 1 dθ dt 𝐣 ω𝐣 53 𝐣 d𝐣 dt 𝐣dθ dt 𝐢 1 dθ dt 𝐢 ω𝐢 Com base nas duas últimas equações acima observe que 𝐢 𝛚 𝐢 𝐣 𝛚 𝐣 onde 𝛚 ω𝐤 é a rotação do sistema móvel Vide Figura 510 Agora x𝐢 y𝐣 x𝛚 𝐢 y𝛚 𝐢 𝛚 x𝐢 y𝐣 𝛚 𝐫 e x𝐢 y𝐣 𝐯rel 𝐯A 𝐯B 𝛚 𝐫 𝐯rel 𝐯A velocidade absoluta do ponto A Tangente à trajetória absoluta do ponto A 𝐯B velocidade absoluta do ponto B Velocidade absoluta da origem do sistema móvel girante Tangente à trajetória absoluta do ponto B 54 O ponto B é a origem do sistema de eixos móveis Ele é adotado arbitrariamente pelo analista 𝛚 rotação do sistema móvel 𝛚 𝐫 velocidade do ponto A devido ao fato do ponto A estar sobre uma plataforma girante com 𝛚 Portanto esse vetor de velocidade é devido a um movimento de rotação do ponto A em torno do eixo que passa por O 𝐯rel velocidade relativa observada pelo sistema móvel Tangente à trajetória relativa Para visualização dos vetores acimavide Figura 511 desconsiderando o ponto P 55 Aceleração Considere agora que além do referencial móvel e girante possuir a rotação 𝛚 igual da peça ranhurada ele possua aceleração angular 𝛂 𝛚 igual da peça ranhurada Derivando a equação de velocidade com relação ao tempo resulta 𝐚A 𝐚B 𝛚 𝐫 𝛚 𝐫 𝐯 rel onde 𝛚 𝛂 𝛂 𝛚 aceleração angular do sistema de eixos girantes que é igual a aceleração angular da peça ranhurada 56 𝐫 d dt x𝐢 y𝐣 x𝐢 y𝐣 x𝐢 y𝐣 𝛚 𝐫 𝐯rel 𝛚 𝐫 𝛚 𝛚 𝐫 𝐯rel 𝛚 𝛚 𝐫 𝛚 𝐯𝐫𝐞l 𝐯 rel d dt x𝐢 y𝐣 x𝐢 y𝐣 x𝐢 y𝐣 𝐯 rel x 𝛚 𝐢 y 𝛚 𝐣 x𝐢 y𝐣 𝛚 x𝐢 y𝐣 x𝐢 y𝐣 𝐯 rel 𝛚 vrel arel Portanto substituindo 𝐚A 𝐚B 𝛚 𝐫 𝛚 𝛚 𝐫 𝛚 𝐯𝐫𝐞l 𝛚 vrel arel 𝐚A 𝐚B 𝛚 𝐫 𝛚 𝛚 𝐫 2𝛚 𝐯rel 𝐚rel 𝐚A aceleração absoluta do ponto A Possui componetes tangencial tangente á trajetória absoluta de A e normal perpendicular a componente tangencial apondando para o centro de curvatura da trajetória absoluta de A 𝐚B aceleração absoluta do ponto B Possui componetes tangencial tangente á trajetória absoluta de B e normal 57 perpendicular a componente tangencial apondando para o centro de curvatura da trajetória absoluta de B O ponto B é a origem do sistema de eixos móveis Ele é adotado arbitrariamente pelo analista 𝛂 𝛚 aceleração angular do sistema de eixos girantes que é igual a aceleração angular da peça ranhurada 𝛚 𝐫 componente tangencial do movimento de rotação do ponto A em relação ao eixo que passa por B 𝛚 𝛚 𝐫 componente normal do movimento de rotação do ponto A em relação ao eixo que passa por B 2𝛚 𝐯rel aceleração de Coriolis 𝐚rel aceleração relativa observada pelo sistema móvel Tem duas componentes uma tangencial à trajetória relativa e outra normal perpendicular a componente tangencial apontando para o centro de curvatura da trajerória relativa Ob para visualização dos vetores acimavide Figura 513 desconsiderando o ponto P SAMPLE PROBLEM 516 At the instant represented the disk with the radial slot is rotating about O with a counterclockwise angular velocity of 4 radsec which is decreasing at the rate of 10 radsec2 The motion of slider A is separately controlled and at this instant r 6 in r 5 insec and r 81 insec2 Determine the absolute velocity and acceleration of A for this position Solution We have motion relative to a rotating path so that a rotating coordinate system with origin at O is indicated We attach xy axes to the disk and use the unit vectors i and j Velocity With the origin at O the term vG of Eq 512 disappears and we have 1 vA ω r vrel 2 The angular velocity as a vector is ω 4k radsec where k is the unit vector normal to the xy plane in the zdirection Our relativevelocity equation becomes vA 4k 6i 5i 24j 5i insec Ans in the direction indicated and has the magnitude vA 242 52 245 insec Ans Acceleration Equation 514 written for zero acceleration of the origin of the rotating coordinate system is aA ω ω r ω r 2ω vrel arel The terms become 3 ω ω r 4k 4k 6i 4k 24j 96j insec2 ω r 10k 6i 60j insec2 2ω vrel 24k 5i 40j insec2 arel 81i insec2 The total acceleration is therefore aA 81 96i 40 60j 15i 20j insec2 Ans in the direction indicated and has the magnitude aA 152 202 25 insec2 Ans Vector notation is certainly not essential to the solution of this problem The student should be able to work out the steps with scalar notation just as easily The correct direction of the Coriolisacceleration term can always be found by the direction in which the head of the vrel vector would move if rotated about its tail in the sense of ω as shown Helpful Hints 1 This equation is the same as vA vP vAP where P is a point attached to the disk coincident with A at this instant 2 Note that the xyz axes chosen constitute a righthanded system 3 Be sure to recognize that ω ω r and ω r represent the normal and tangential components of acceleration of a point P on the disk coincident with A This description becomes that of Eq 514b SAMPLE PROBLEM 518 For the conditions of Sample Problem 517 determine the angular acceleration of AC and the acceleration of A relative to the rotating slot in arm OD Solution We attach the rotating coordinate system xy to arm OD and use Eq 514 With the origin at the fixed point O the term aO becomes zero so that aA ω r ω ω r 2ω vre1 are1 From the solution to Sample Problem 517 we make use of the values ω 2k rads ωCA 4k rads and vrel 450 2i mms and write aA ωCA rCA ωCA ωCA rCA ωCA k 2252 i j 4k 4k 2252 i j ω r 0 since ω constant ω ω r 2k 2k 225 2i 900 2i mms2 2ω vrel 22k 450 2i 1800 2j mms2 are1 xi Substitution into the relativeacceleration equation yields 12225ωCA 3600i 12225ωCA 3600j 900 2i 1800 2j xi Equating separately the i and j terms gives 225ωCA 36002 9002 x and 225ωCA 36002 18002 Solving for the two unknowns gives ωCA 32 rads2 and x are1 8910 mms2 Ans If desired the acceleration of A may also be written as aA 225232i j 36002i j 7640i 2550j mms2 We make use here of the geometric representation of the relativeacceleration equation to further clarify the problem The geometric approach may be used as an alternative solution Again we introduce point P on OD coincident with A The equivalent scalar terms are aAx ωCA rCA rωCA rωCA normal to CA sense unknown aAy ωCA ωCA rCA rω2CA from A to C aρn ω ω r OPω2 from P to O aρt ω r rω 0 since ω constant 2ω vrel 2ωvrel directed as shown arel x along OD sense unknown Helpful Hints 1 If the slot had been curved with a radius of curvature ρc the term arel would have had a component v2rel ρ normal to the slot and directed toward the center of curvature in addition to its component along the slot 5160 The disk rotates about a fixed axis through O with angular velocity ω 5 radsec and angular acceleration α 3 radsec2 in the directions shown at a certain instant The small sphere A moves in the circular slot and at the same instant β 30 β 2 radsec and β 4 radsec2 Determine the absolute velocity and acceleration of A at this instant 5163 An experimental vehicle A travels with constant speed v relative to the earth along a northsouth track Determine the Coriolis acceleration aCor as a function of the latitude θ Assume an earthfixed rotating frame Bxyz and a spherical earth If the vehicle speed is v 500 kmh determine the magnitude of the Coriolis acceleration at a the equator and b the north pole 5176 For the instant represented link CB is rotating counterclockwise at a constant rate N 4 rads and its pin A causes a clockwise rotation of the slotted member ODE Determine the angular velocity ω and angular acceleration α of ODE for this instant Problem 5176 5182 The crank OA revolves clockwise with a constant angular velocity of 10 rads within a limited arc of its motion For the position θ 30 determine the angular velocity of the slotted link CB and the acceleration of A as measured relative to the slot in CB Problem 5182 5183 The Geneva wheel of Prob 556 is shown again here Determine the angular acceleration α2 of wheel C for the instant when θ 20 Wheel A has a constant clockwise angular velocity of 2 rads Problem 5183 5191 The pin A in the bell crank AOD is guided by the flanges of the collar B which slides with a constant velocity vB of 3 ftsec along the fixed shaft for an interval of motion For the position θ 30 determine the acceleration of the plunger CE whose upper end is positioned by the radial slot in the bell crank Problem 5191 Problem Answers When a problem asks for both a general and a specific result only the specific result might be listed below Chapter 1 11 180lb person m 559 slugs 816 kg W 801 N 12 v 14 720 N 3310 lb m 1028 slugs 13 m 001294 slugs 01888 kg W 1853 N 14 27 1392i 1939j 6j 1787k 215 15 a 12551019j N b 3141011 i N 16 F 573i 331j 103 N 17 h 0414R 18 Wab 8839 N Wr 8822 N 19 gk 299 ftsec² Wk 1860 lb 110 θ 1770 111 d 346022 or 432348 km 112 Rex 1656 113 On earth Rm 286000 On moon Rm 0001677 114 RA 219 RB 221 115 MLT1 MLT1 Chapter 2 21 v 75 ms 22 t 211 sec 789 sec 23 v 72 m v 42 ms α 15 ms² 24 α 150 mms² 25 Δs 27 mm D 45 mm α constant 26 Δs 24 m 27 a 361g 28 Δs 1248 m D 1419 m 29 v 3 30t 2t² ms s 5 3t 15t² 23 m 210 s 213 ft 211 v0 1390 ftsec 212 h 2040 m t 408 s 213 h 494 ft t 424 sec vB 564 ftsec down 214 tAC 239 sec 215 v 25 ftsec a 312 ftsec² aacc 08 sec 216 vav 075 ms v 125 ms 217 a v 219 ms b v 256 ms 218 t 655 s s 1819 km 219 Δa 05 ms² Δs 64 m 220 v 08 ms 221 s 326 m t 326 s 222 a 1168 ftsec² v 998 mihr 223 s 713 m 224 s 330 m 225 s 2250 m 226 a t 00370 sec b t 00555 sec 701 702 Problem Answers 227 vm 120 ms h 1934 km 228 s 9720 ft 229 t 0917 s 230 v 1587 insec 231 v 389 kmh 232 vmax 359 ftsec 233 a 667 msec² t 234 t 1667 s 235 a 872 ftsec² t 274 sec 236 v 1789 ftsec 237 s 5810 ft 238 D 3710 ft 239 c vo² 2gym ym² 240 Particle 1 s vo k1 eᵏᵗ v vog eᵏᵗ Particle 2 s vθt 16 k t² v vo 13 kt² Particle 3 s vo k sin k t v vo² ks² 241 v 2 KL D2 LD 242 K 107310³ ft¹ t t₁ t 254 sec 243 r 508 s 244 D 653 ft s 667 ft s₅ 367 ft 245 c 2o 460 2y₃ m 246 vmax 18 ms 247 D 1 2C₁ ln 1 C₂ C₁ vo² 248 10 s s 416 m 249 α 13040 ftsec b υ 12290 ftsec 250 a υ 6490 ftsec b υ 4990 ftsec 251 υ u₀ eᵏᵗ cdx 1 x 1 eᴷ ᵏᵗ 252 υ u₀eᵏᵗ x vo k1 eᵏᵗ υ υ₀ kx 253 a s 1206 m b s 1268 m 254 D 0693k t 1 kω₀ 255 x 0831 ft 256 h 1208 ft υ 785 ftsec 257 υ c kekt 1 k ceᵏᵗ ekt c b 258 t 105 sec amax 1173 ftsec² 259 var 206 ms θ 760 260 amax 5 ms² θ 531 261 v 620i 336j ms θ 279 262 v 894 mms² θ₁ 634 a 447 mms² θ₂ 266 263 v 242 ftsec a 253 ftsec² 264 v 1345 insec a 268 insec² 265 t 247 sec h 1786 mi 266 v v³ 144r g t 30 ftsec 267 vo 367 ms d 1340 m 268 Rmax vo² g 269 υ 343 ms 270 vo 1633 ftsec θ 668 271 υ 771 ftsec θ 311 272 257 ft above B 273 θ 506 250 ft right of B 274 θ 1491 275 υ 217 276 θ 557 277 υ 700 ftsec s 1185 ft 278 θ 487 or θ 536 279 R 2970 m 280 u 1441 ms 281 θ₁ 261 θ₂ 806 282 R 464 m θ 233 283 s 455 m t 1335 s 284 206 u₀ 224 ftsec 285 νmax 1135 ms υmin 0744 ms 286 310 θ 343 or 531 θ 547 287 s 776 ft 288 a 0445g h 500 ft 289 h 1227 m 290 s 1046 km t 1775 s 291 R₁ 0667 vo² g t 1155 vo g 292 f₂ 1 f₁ f₂ 12 293 vx vo cos θ eᵏᵗ x vo cos θ k1 eᵏᵗ vy vo sin θ g k eᵏᵗ g k y 1 kvo sin θ g k1 eᵏᵗ g t k vx 0 vy g k 294 h 583 ft tf 1259 sec d 746 ft 295 θ 90 α θ 45 60 675 296 x 1242 ft y 627 ft 297 vA 1175 ms va 1346 ms 298 aa 839 ftsec² 2100 v 713 kmh 2101 v 530 ftsec aₙ 250 ftsec² 2102 a 0269 ms² 2103 p 266 m 2104 tA 897 s tB 992 s 239 m 2105 tA 897 s tB 889 s 250 m 2106 aₙ 367 ftsec² aₜ 20 ftsec² Problem Answers 703 2107 pB 1630 m 2108 vA 258 ms vB 396 ms 2109 υ 356 ms a 00260 ms² 2110 υ 27810³ kmh 2111 a a 7 ftsec² b a 1797 ftsec² c a 882 ftsec² 2112 a 16eₓ 1610eᵧ ftsec² 2113 N 336 revmin 2114 P₁ υ 2 ms a₁ 50 ms² P₂ a 80 ms² a₂ 854 ms² 2115 υ 72 kmh 2116 a p 243 ft ẍ 1847 ftsec² b p 1334 ft ẍ 0 2117 a p 1422 ft ẍ 658 ftsec² b p 1497 ft ẍ 875 ftsec² 2118 p 417 in 2119 ρ p₁ 338 ms² aₙ 15 ms² 2120 aₙ 1881 ftsec² 2121 p 1907 km ẍ 1265 ms² 2122 a α 2g right θ 0 b α 389 ms θ 597 c α 973 ms² θ 1684 2123 τ 08s α 731 ms² φ 1281 12 s α 1962 ms² φ 180 2124 tA 1052 s tB 1086 s 2125 aₙ 939 ftsec² 2126 p 18 480 km 2127 p 437 m αₙ 874 mms² aₜ 363 mms² 2128 L 461 m 2129 ρ 125 m 2130 xC 225 m yC 229 m 2131 ay 1280 ms² aₙ 880 ms² 2133 ẍ 477 ftsec θ 410 degsec 2134 ẍ 931 ms θ 0568 rads 2135 ẍ 207 ms² θ 1653 rads² 2136 υ 545 mms a 632 mms² 2137 ẍ 425 ms θ 01403 rads 2138 ẍ 1152 ms² θ 00813 rads 2139 i 328 mms 2140 α 2K²R² r² r² 2141 υ 0377 ms at α 260 α 0272 ms² at α 1944 2142 r 15 ftsec θ 450 radsec 2143 υ 1169 ftsec² θ 234 radsec² 2144 υ 1200 ftsec a 670 ftsec² 2145 r 1512 ms θ 00495 rads 2146 r d r v₀ cos α r v₀² sin² α d α 0 θ 0 θ v₀ sin α d θ 1 d 2v₀² d cos α sin α g 2147 υ 1617 ftsec θ 00808 radsec 2148 α 862 ftsec² θ 001832 radsec² 2149 α ω₂ 4c² 4bc cos θ b² 2b 2150 c 1075Kα 2151 υ 529 ms β 489 α 976 ms² 2152 υ bq sin θ α bq² h cot² θ 2153 υ 699 mihr 2154 i 1732 ms r 333 ms² θ 385 rads² 2155 r 0256 m ṙ 472 ms θ 387 θ 646 rads 2156 υA 1190 ms θ₁ 1252 aₙ 754 ms² θ₂ 225 2157 υ 0296 ms α 0345 ms² v 0064i 0289j ms a 0323i 01086j ms² 2158 υₜ 962 ms υ₀ 556 ms aₜ 1029 ms² θ 00390 rads² 2159 r 2b sin a²b r abase a²4b θ a² 4b onde 2b 2160 r 21 900 m ṙ 730 ms r 207 ms² θ 432 θ 000312 rads θ 90110⁶ rads² 2161 i 358 mms θ 1786 rads θ 315 ms θ 1510 rads² 2162 r 224 m ṙ 671 ms r 459 ms² θ 266 θ 006 rads θ 00518 rads² 2163 r 8910 lbssec ṙ 1790 lbsec² θ 34810⁴ radsec θ 139810⁷ radsec² 2164 r 510 ft r 914 ftsec r 1135 ftsec² θ 319 θ 0334 radsec θ 0660 radsec² 2165 θ 746 θ 1571 ms² p 859 m 2166 x 4700 ft y 1710 ft r 2220 ft υ₂ 235 ftsec υ₁ 855 ftsec υ₁ 211 ftsec aₓ αy 0 az 322 ftsec² 2167 α 275 ms² 2168 v₀ u sin θ v₀ᵣ u cos θ cos φ v₀ₐ u cos θ sin φ 2169 cmax ρ ox² 16r4τζ² 2170 vp i² b₀ l² ζ² l² 2171 aₓ 1982 ftsec² a₀ 291 ftsec² az 0386 ftsec² 2172 R 920 kmh θ 01988 rads δ 00731 rads 2173 R 201 ms² δ 0 δ 00238 rads² 704 Problem Answers 2174 υ G² K²2 sin² B α K sin β K²2 4c² 3 2175 x 2 2 cos π 2 y r sin π 2 z 12 r cos π 2 2176 υR bω sin β 4b² sin² β 2 h² ωᵣ α sin β 2 2177 υ 296 ms a 0672 ms² 2178 υA 1347 ms aₙ 841 ms² 2179 υP 285 ms aₚ 580 ms² 2180 αx 510 ms² aᵧ 764 ms² aₜ 03 ms² 2181 υR 0 υθ Rωᵣ1 h 2R² υθ hωᵣ1 h 2R² 2182 αr b θ tan² β sin² β 1 eʷ tan γ sin β where β tan¹ θ h 2183 ωAB 151 225j ms aₙAB 45j ms² 2184 αAB 1086 ftsec² 2185 vAB 1442 kmh β 337 west of south 2186 υWP 12231 1860j mihr 223 mihr 334 west of south υWP 12231 1396j mihr 1237 mihr 648 north of west 2187 α 718 υₐ 794 mihr 2188 vAB 3001 1999j ms 2189 υAB 3631 0628j ms² 2189 υC 1383 knots β 231 2190 α 238 2191 υB 643 ms 2192 θ 287 below normal 2193 α 1887 2194 υBW 273i 85j mihr 893 mihr 1782 east of north 2195 υB 523i 1667j ftsec 2196 υB 206 kmh aₙB 0457 ms² 2197 α 1389 ms² 2198 β 556 2199 r r ² θ 2θ r 2200 υr 924 kmh υr 354 kmh 2201 αAW 0787 ms² β 935 2202 αMW 0733i 292j ftsec² 2203 α 333 vA₁B 731i 731j ftsec 2204 r 0637 ms² θ 166010⁴ rads² 2205 a vA₁B 501 50j ms aA₁B 1251 ms² b υ 0884 ms² p₁ 5660 m 2206 vA₁B 715i 474j ftsec 2207 υA 04 ms down 2208 υA₁ 18 ms up αA 3 ms² down 2209 aA 2 ftsec² up 2210 τaA αB 0 2211 h 400 mm 2212 t 200 s 2213 υ 15 ms up 2214 υA υB 0 one 2215 υA υB 2υc 0 two 2216 υB 3yυA 2 y² b² 2217 υA 2x 2 x² b² υB 2218 υHA 1 ftsec αHA 2 ftsec² υC 4 ftsec 2219 υA 276 ms 2220 υ 838 mms L² b² L² y² 32 2221 αₓ 2x 2x 2yB 2222 υB s 2x x 2x 2yₐ 2223 υA cos β 2 sin β 2 2224 υB 629 ms up 2225 aB 1193 mms² up 2226 υ 2x² h² x² h² 2227 υ 727 ms 2228 υB 15 ftsec υB 618 ftsec 2229 311 20 ft 2230 t₁ 227 sec t₂ 848 sec 2231 t 208 s h 418 km 2232 r r₀ 1 rₒ 2π² 2233 θ 1386 radsec θ 215 radsec² 2234 343 ft 2235 p 953 km 2236 υp 272 ms 2237 t 535 sec 2238 aₙ 53 ftsec² aₓ 53 ftsec² aₜ 0 αₚ 103 ftsec² ρₚ 63 5 ft 2239 β 1209 2240 1255 1193 0 ft 2241 αAB 458 ms² p 206 west of north 2242 p 1499 m α 5 ms² 2243 j 15 ms r 444 ms² θ 0325 rads θ 00352 rads² aₙ 693 ms² αₚ 4 ms² p 1299 m 2244 a α bK K² 4c² cos² β b α bK K² 4c² cos² β 2245 υB 468 mms up 2246 aB 786 mms² up 2247 t 1473 s x 01178 m 2248 x 00023 ft² v 998 ftsec v 1135 ftsec 2249 a a 303 ms² b a 0 c a 303 ms² 2250 ωmax 1104 at t 0802 sec θmax 379 rads at t 0324 sec θ 90 at t 0526 sec 2251 vNB 70 ms at t 471 s and sB 1264 m vNBmin 10 ms at t 236 s and sB 557 m aABmax 612 ms² at t 0 and sB 0 aABmin 252 ms² at t 10 s and sB 150 m 2252 α 422 R 1013 m 2253 αmin 903 ms² at θ 443 and t 0237 s αmax 1076 ms² at θ 0 and t 0 2254 v 10 insec at t 0330 sec x 245 in Chapter 3 31 t 1784 s x 624 m 32 a t 559 s x 1958 m b Crate does not stop 33 a no motion b a 345 ftsec² down incline 34 R 846 N L 1104 N R L 0 35 F 2890 N 36 n sin θ gα 37 sa 807 m sd 751 m 38 a 358 ftsec² up 39 a 496 ms² up incline 310 a gsin θ₁ sin θ₂ 311 a a 644 ftsec² b a 1610 ftsec² 312 a α 0257 ms² b a 0513 ms² 313 12 s 314 T 1042 N 315 T₁ 39200 lb T₁₀₀ 392 lb 316 a 566 ms² 317 F 00206 lb 318 FA 4080 lb up 319 TA 750 N TB 554 N 320 μ 0429 321 a a 0 b a 1390 ms² right 322 Not possible 323 μₖ 0555 324 a aA 1095 ms² aB 0981 ms² b aA aB 0667 ms² 325 β tan¹ α g sin θg cos θ 326 n 660 327 k 5 lbin 328 T 1713 N 329 aA 1450 ms² down incline αA 0725 ms² up T 1054 N 330 x 201 m 331 v 2Pρ μk gL 332 aA 1364 ms² right 333 aB 237 ms² down T 821 N 334 ax 32214 30x v 1447 ftsec 335 a a 0 b a 0714 ms² left 336 Case a v 743 ms 337 a 1406 ms² 338 tan¹1μ 0 θ π2 339 a h 555 m b h 1274 m 340 a v 0327 ms b t 00768 s y 001529 m 341 v 2100 ms 342 θ 588 472 343 0 P 27 lb No motion 27 P 54 lb a αB 01789P 322 P 54 lb aA 483 ftsec² aB 0322P 966 344 vB 1119 kms 345 T 1380 N a 0766 ms² 346 a T 852 N b T 1614 N 347 NA 1089 N NB 830 N 348 a N 1374 lb b a 1610 ftsec² 349 R 1173 N ax 721 ms² 350 a R 025 lb b R 0271 lb 351 θ 453 352 P 4 lb side A 353 N 00241 lb 354 μₖ 0540 355 N 863 revmin 356 ω 1064 rads 357 a vB 542 ms b NA 241 N 358 θ 337 degs 359 ax 0818g F 2460 lb 360 ax 220 ftsec² 361 vA 1407 ftsec sB 1638 ftsec 362 k cos² θ 363 s v0kg 364 F 920 lb 365 NA 3380 N NB 1617 N 366 D 450 kN L 274 kN 367 T 176 N Fθ 352 N 368 F 1659 N 67 4108 a a g x L b T mgx1 xL c v gL 4109 R ρgx 4L 3x 2L x 4110 C 4340 N up D 3840 N down 4111 v gx R ρg L 32 x 4112 a hHg v hv gH R 2ρg H 2h²H Chapter 5 51 vA 032i 008j ms² 52 vB 032i 076j ms² 53 vA ωhi bj 53 vA bω² hαi hω² bαj 54 vA 133i 219j ms 55 aA 642i 916j ms² 54 N 333 rev 55 θmax θ0θ0 at θ 0 θmax θ0θmax² at θ θ0 θmax 56 ω 0411 radsec α 0344 radsec 57 v 5 ms a 50 ms² 58 r 1086 mm 59 N 300 rev 510 vA 1777i 270j ms aA 1634i 457j ms² 511 θ θ0 1099 rad t 1667 s 512 Δθ 244 rad 513 θ 9 rad 514 θ 304 rads θ 346 rads² 515 θ 395 rads² 516 t 01784 sec 517 a α 300 rads² b aB 375 ms² c aC 225 ms² 518 r 3 in 519 ω 2k radsec α 32 k rads² aC 211i 5j insec² 520 v 0374i 01905j ms 521 a 0751 0605j ms² v 0223i 0789j ms a 3021 1683j ms² 522 v 00464i 01403j ms a 01965i 0246j ms² 523 θ 0596 rad 524 θ θ₄ 250 rev θ θ₀ 1875 rev 525 ω 246k radsec 526 αC 1496 ms² 527 N 513 revmin 528 NB 415 revmin 529 ωOA v d a² d² 530 ω 2ax a² x² 531 t 667 sec 532 v 628 ms 533 v rα sin θ a rα sin θ ru² cos θ 3x 2L1 3x 4L² 535 ω 12 radsec vo 34 ftsec 536 v v₀ 1 sin θ a v₀²r toward O 537 aB 789 mms² down 538 ωOA hv h² s² 539 ω 12π cot β 2 540 v₀ 12 ms α 1333 rads CCW 541 ω xx² r² 542 ω rhω x² r² 543 ax cω² sin θ 544 ω x xr² 1 545 ω 12 ωA tan θ 546 v 2S L tan θ B² L² 2bL cos θ 547 ω 43 radsec CCW α 1 radsec² CCW 548 ω 1795 radsec CW 549 ω 1056 rads CW α 0500 rads² CCW 550 ωCB 630 rads 552 ω t₀₆ 2πr² 553 β 628 cos θ 0278 1939 cos θ radsec 554 ω 0825 radsec CW 555 ωC uB 2 8 sec² θ 2 556 ω2 1923 rads 68 557 aAB rω₀ l cos θ 1 r² l² sin² θ aAB rω₀² l sin θ 1 r² l² sin² θ³² 558 α 01408 radsec² CCW 559 vB 1386i 12j ms 560 a N 917 revmin CCW b N 458 revmin CCW c N 458 revmin CW 561 vA 1672i 107 257j kmh vB 105 585j kmh vD 108 929j kmh vC 1672i 107257j kmh 562 vQD 0579 ms 563 ω 665 radsec CW 564 vA 071 04j ms vP 031 ms 565 α 589 mms² 566 αAB 096 rads CCW 567 α 0375 rads CCW 568 vD 06 ms vP 0849 ms 569 vAP 2371 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vB 1414rω 60 5106 vC 01386 ms ωp 0289 rads CW 5107 ω 15 rads CW vP 1897 ms 5108 ωD 231 ms ω 1333 rads CW 5109 v 1071 mihr vr 698 ftsec 5110 ωCA 0429k rads 5111 ωC vB 2 sec² θ2 8 5112 ωAB 1414 radsec CCW ωBD 377 radsec CW 5113 ωAB 1938 radsec CCW 5114 ωD 450 ms ω 747 rads CCW 5115 ωAD 125 rads CCW ωBD 75 rads CCW 5116 ωA 0278 ms 5117 ω 595 ms 5118 ω 110 radsec CW 5119 ω 1073 rads CW 5120 a ω 360 revmin b ω 600 revmin 5121 aA 958 ms² aB 909 ms² 5122 a α 00833 radsec² CCW b αC 0625 ftsec² up c d 15 ft 5123 a αA 02 ms² b αA 439 ms² c αA 62 ms² 5124 α 5 ms² 5125 θ sin¹ rR v₀ Rr α₀ R² r² 5126 v₀ 06i ms a0 18i ms² 5127 α 0286 rads² CCW aA 0653 ms² down 5128 aAB 00279i ms² 5129 aA 266 ms² 5130 v 367 mihr 5131 aAB ω² 5132 αAB 4k rads² aA 161 ms² 5133 ωBA 246 ms² left 5134 αC 02671 3j ftsec² aD 2i 0733j ftsec² aL j ftsec² 5135 αAB 364ωC² CCW aB 682ω0² up 5136 α 2ld²r³ CW 5137 aA 241 270j ftsec² aD 265i 736j ftsec² 5138 ωOA 396 rads CCW Problem Answers 713 5139 α 800 rads² CW aD₂ 890 ms² 410 5140 aD₂ 239 ms² aT 362 rads² CW 5141 a 8331 10j ms² ap 8331 ms² a 13891 333j ms² 5142 αAB 24 αEC 0 5143 aBC 208 radsec² CCW u²r l 5144 αODB 5145 aOD 576 radsec² CW 5146 αP 362 ms² 5147 aDB 1602 rads² CW aBC 1331 rads² CCW 5148 α 00986 rads² CW 5149 aAB 0711j ftsec² 5150 aOA 0 aDP 480i 360j ms² 5151 aAB 366 rads² CCW aB 1984 ms² 345 5152 αAB 1688 rads² CCW 5153 aA 489 ms² right aAB 0467 rads² CCW 5154 αCD 469 rads² CW 5155 aD 0568 ms² down 5156 aE 0285 ms² right 5157 vA 011i 025j ms β 682 5158 acar 04j ms² aA 035i 03j ms² γ 1394 5159 vA 333i 45j ftsec aA 345i 1267j ftsec² 5160 vA 4381 158j ftsec aA 4871 382j ftsec² 5161 aA 1006 ftsec² 5162 vB 34i ms aA 2i 0667j ms² 5163 a αcar 0 b acar 00203 ms² 5164 vA 0dj no 5165 αcar 2adj 5166 0AB 176i 070j ftsec² b αA 1042i 570j ftsec² 5167 αAB 1042j 570e ftsec² 5168 m 469k ms² 5169 aPC 0634 rads CCW vmax 0483 ms 120 5170 s 01350 in 5171 vrad 271i 0259j ms arad 0864i 00642j ms² 5172 vrad 1136i 0537j ms arad 0854i 000918j ms² 5173 αrad u ₀² 4u² 5176 ω 4 rads CW a 640 rads² CCW 5177 vrad 223i 657j ftsec arad 1606i 270j ftsec² 5178 ωu1 393 ms and αrad 1522 ms² 1911 αPC 1429 rads CCW ωPC 1700 rads² CW 5179 ωu1 771 ms and arad 1566 ms² 1911 ωPC 1046 rads CW aPC 1190 rads² CW 5180 a vrad 5250i 5190j kmh b vrad 7380i kmh 5181 α 1565 ftsec² 5182 α 5 rads² CW arad 8660i mms² 5183 α 1653 rads² CCW 5184 vrad 262 201 kmh arad 802j ms² 5185 t 1Kk tan1 ω₀ KK 5186 up 427 ftsec 5187 α 075 rads² CCW 5188 αθ ddt ωq 1 1 ωq tanθ tanθ 5189 θ 60 5190 ωAB 1203 rads CCW 5191 αC 831 ftsec² up 5192 vA 12491 1891k ftsec vB 176i 1089j ftsec 5193 ωAB 0354 radsec CW ω0 788 insec 5194 αB 525 insec² left 5195 ωBC 2 rads CW 5196 a αA 808 ftsec² b αA 1744 ftsec² 0966d 32 d² 0518sd 5197 ωOA 5198 vB 288 mms 5199 ω cosθ D r cosθ u sin ²θ AC 5200 αDE 245 rads² CCW 5201 ωDB 324 rads CW 5202 αDB 412 rads² CW 5203 Δvx 5031 871j kmh 5204 α 625 rads² CW 5205 ωmax 2 ms at θ 1095 ωumax 2 ms at θ 251 5206 α 461 5207 ωABmax 654 rads at θ 202 5208 ωABmax 747 rads at θ 215 5208 ωABmax 886 rads at θ 234 5209 ωBCmax 1122 rads² at θ 1821 5209 ωBCmax 1015 rads at θ 203 ωBCmax 1183 rads at θ 216 2 cos θ β 5210 ω2 2 cosβ cos θ β 5211 βd 2 cos θ 1 5 4 cos θ 5212 vA u sin θ 1 cosθ ur ² sin² θ ωumax 696 ftsec at θ 723 5213 θ 723