Dinamica-TMEC-019-Mecanica-Solidos-Resumo-Curso

1 Dinâmica TMEC 019 Área Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico Ementa do curso 1 Introdução 2 Cinemática da Partícula 3 Cinética da Partícula 4 Cinemática Plana do Corpo Rígido 5 Cinética Plana do Corpo Rígido 6 Introdução à Dinâmica Tridimensional de Corpos Rígidos Bibliografia 1 Meriam JL e Kraige LG Mecânica Dinâmica LTC 2 Hibbeler R C Dinâmica Pearson Education 3 Beer Johnston Cornwell Self e Sanshi Mecânica Vetorial para Engenheiros Dinâmica 11a edição Sistema de Avaliação 𝐌𝐅 𝐏𝟏 𝐏𝟐 𝟐 SUGESTÃO ESTUDE E FAÇA OS EXERCÍCIOS SÓ ASSISTIR AS AULAS NÃO BASTA 2 Parte 1 Introdução A importância do estudo de DINÂMICA consiste na importância de descrever o movimento de sistemas mecânicos tanto do ponto de vista da cinemática quanto do ponto de vista cinético Além disso a modelagem matemática de sistemas mecânicos deve ser considerado Exemplo Modelagem matemática de um pêndulo simples Os problemas de DINÂMICA 1 Dado variáveis cinemáticas calcule variáveis cinemáticas Análise Cinemática através da solução de um conjunto de equações algébricas não lineares para análise de posições e de um conjunto de equações algébricas lineares para velocidade e aceleração 2 Dado variáveis cinéticas calcule variáveis cinemáticas Modelagem Matemática de sistemas mecânicos através da solução de equações diferenciais ordinárias ou parciais 3 Dado variáveis cinéticas calcule variáveis cinéticas Cálculo de reações e forças internas através da solução de um conjunto de equações algébricas lineares 3 Parte 2 Cinemática da Partícula Conceito Geometria apenas sem considerar a causa do movimento Notação em negrito F r𝛚 etc são vetores sem negrito s F r t etc são escalares 1 Movimento Curvilíneo Plano Posição r posição da partícula no ponto A um vetor 𝐫 𝐫 posição da partícula no ponto A um vetor 𝐫 deslocamento da partícula um vetor e 𝑠 distância percorrida da partícula um escalar 4 Velocidade Média 𝐯𝐦𝐞𝐝 𝐫 𝑡 Velocidade Instantânea 𝐯 lim 𝑡0 𝐫 𝑡 d𝐫 dt 𝐫 v 𝐯 lim t0 s t ds dt s Conceito A velocidade é tangente à trajetória Vide Figura 25 Aceleração 𝐚 lim 𝑡0 𝐯 𝑡 𝐯 Conceito A aceleração inclui os efeitos das variações do módulo e da direção de v Vide Figura 25 e 26 Isso ficará mais claro nas próximas seções dessas notas Hodógrafa curva que tangencia os vetores acelerações A hodógrafa entretanto tem muito pouca aplicação prática em mecânica Seria interessante o estudante verificar as aplicações da hodógrafa na internet 5 Conceito Agora será visto a REPRESENTAÇÃO do movimento plano posição velocidade e aceleração da partícula em coordenadas retangulares normaltangencial e polares 6 Coordenadas Retangulares xy 𝐫 x𝐢 y𝐣 onde i e j são vetores unitários 𝐯 d𝐫 dt x𝐢 x𝐢 y𝐣 y𝐣 onde 𝐢 𝐣 0 pois os vetores unitários i e j não variam nem em módulo nem em direção Portanto 𝐯 d𝐫 dt x𝐢 y𝐣 𝐚 d𝐯 dt x𝐢 y𝐣 7 Algumas aplicações importantes do movimento plano da partícula em coordenadas retangulares xy 1 movimento de lançamento de projéteis e 2 análise cinemática de mecanismos ex25meriamm clear all clc definir funcoes posicoes velocidades e aceleracoes 8 x t 50t8t2 y t 1004t2 vx t 5016t vy t 8t ax t 160t ay t 80t definir o numero de pontos N6 definir inicio e fim do grafico li0 ls5 tlinspacelils1000 criar vetores posicao e velocidade xtxt ytyt tscatterlinspacelilsN xscatterxtscatter yscatterytscatter vxquivervxtscatter vyquivervytscatter axquiveraxtscatter ayquiveraytscatter grafico da trajetoria da particula plotxtytb hold on scatterxscatteryscatter8k quiverxscatteryscattervxquivervyquiver1k quiverxscatteryscatteraxquiverayquiver1r configuracao do grafico titlecampo de velocidades e aceleracoes xlabelx ylabely grid on axis equal 9 60 40 20 0 20 40 60 80 100 40 20 0 20 40 60 80 100 campo de velocidades e aceleracoes x y 10 Coordenadas Normal e Tangencial nt Conceito As coordenadas normaltangencial são tomadas como se estivessem MOVENDOSE sobre a trajetória junto com a partícula são não estacionárias Conceiro O sentido de n é sempre tomado para o centro de curvatura da trajetória e a componente tangencial t é perpendicular a componente normal como mostra a Figura 29 Velocidade 11 𝐯 v 𝐞t v ds dt ρ dβ dt ρβ onde 𝜌 é o raio de curvatura da trajetória e d𝛽 é um ângulo infinitesimal que ocorre durante um intervalo de tempo dt e et é o vetor unitário na direção tangencial e en é o vetor unitário na direção normal Conceito A velocidade é sempre tangente à trajetórtia Vide Figura acima Conceito como as coordenadas nt se movem sobre a trajetória juntamente com o ponto A os vetores unitários variam em direção Vide Figura 210 abaixo 12 Aceleração 𝐚 d𝐯 dt d v 𝐞𝐭 dt v𝐞 t v𝐞t onde 𝐞 t d𝐞t dt 𝐞𝐭 dβ dt 𝐞𝐧 1 dβ dt 𝐞𝐧 β𝐞𝐧 v ρ 𝐞𝐧 portanto 𝐚 v2 ρ 𝐞n v𝐞t an v2 ρ e at v Conceito A aceleração possui duas componentes uma tangente à trajetória relacionada com a mudança em módulo da velocidade e outra normal apontando para o centro de curvatura da trajetória relacionada com a mudança da direção da velocidade Vide figura abaixo Exercício Uma partícula possui movimento circular de raio R para uma posição angular 𝜃 com velocidade angular 𝜃 𝜔 e aceleração angular 𝜃 𝛼 todas no sentido antihorário Determine os vetores de posição velocidade e aceleração da partícula representados em coordenadas normal tangencial 13 Exercício Uma partícula possui movimento circular de raio R para uma posição angular 𝜃 com velocidade angular 𝜃 𝜔 e aceleração angular 𝜃 𝛼 todas no sentido antihorário Determine os vetores de posição velocidade e aceleração da partícular em coordenadas retangulares xy Aplicações importantes da representação do movimento plano da partícula em coordenadas normaltangencial consistem no movimento de pêndulos e situações de movimentos envolvendo o raio de curvatura de trajetórias curvilíneo de partículas SAMPLE PROBLEM 28 A certain rocket maintains a horizontal attitude of its axis during the powered phase of its flight at high altitude The thrust imparts a horizontal component of acceleration of 20 ftsec2 and the downward acceleration component is the acceleration due to gravity at that altitude which is g 30 ftsec2 At the instant represented the velocity of the mass center G of the rocket along the 15 direction of its trajectory is 12000 mihr For this position determine a the radius of curvature of the flight trajectory b the rate at which the speed v is increasing c the angular rate β of the radial line from G to the center of curvature C and d the vector expression for the total acceleration a of the rocket Solution We observe that the radius of curvature appears in the expression for the normal component of acceleration so we use n and tcoordinates to describe the motion of G The n and tcomponents of the total acceleration are obtained by resolving the given horizontal and vertical accelerations into their n and tcomponents and then combining From the figure we get an 30 cos 15 20 sin 15 238 ftsec2 at 30 sin 15 20 cos 15 271 ftsec2 a We may now compute the radius of curvature from an v2ρ ρ v2an 1200044302238 1301106 ft Ans b The rate at which v is increasing is simply the tcomponent of acceleration v dot at v dot 271 ftsec2 Ans c The angular rate β of line GC depends on v and ρ and is given by v ρβ β dot vρ 1200044301301106 1353104 radsec Ans d With unit vectors en and et for the n and tdirections respectively the total acceleration becomes a 238en 271et ftsec2 Ans Helpful Hints 1 Alternatively we could find the resultant acceleration and then resolve it into n and tcomponents 2 To convert from mihr to ftsec multiply by 5280 ftmi 3600 sechr 44 ftsec 30 mihr which is easily remembered as 30 mihr is the same as 44 ftsec 15 Dicas O ponto P1 da fita coincide com o ponto P1 da roldana C e o ponto P2 da fita coincide com o ponto p2 da roldana D A fita e as roldanas estão em contato sem escorregamento Portanto VP1roldana C VP1da fita e VP2roldana D VP2da fita VP1da fita VP2da fita Vfita AP1tangencialroldana C AP1da fita e AP2tangencialroldana 2 AP2da fita AP1da fita AP2da fita Afita Além disso para qualquer ponto de qualquer roldana as componentes normais de aceleração são AP1roldana Cnormal WC2 RC e AP2roldana Dnormal WD2 RD A magnitude da aceleração de cada ponto de cada roladana é A APtangencial2 APnormal2 12 16 Obs P1 é um ponto sobre a polia superior com 60 mm de raio e P2 é um ponto sobre a correia dentada Ainda com relação ao Problema 2129 acima determine a taxa de variação temporal do módulo do vetor de velocidade do pino P 17 Coordenadas Polares rθ r medida radial θ medida angular Conceito As coordenadas polares são tomadas como se estivessem MOVENDO sobre a tajetória junto com a partícula não estacionárias Conceiro O sentido de r e θ são mostrados na Figura 213 a Figura 213 Direções radial e angular 𝐞𝑟 e 𝐞𝜃 são vetores unitários Posição 𝐫 r 𝐞r 18 Velocidade 𝐯 d𝐫 dt dr dt 𝐞r r d𝐞r dt onde dr dt r escalar d𝐞r dt d1 dθ dt 𝐞𝛉 θ𝐞𝛉 vetor Vide Figura 213 Portanto a equação de velocidade acima pode ser reescrita como 𝐯 r𝐞𝐫 rθ𝐞𝛉 vr r e vθ rθ Vide Figura abaixo 19 Aceleração 𝐚 d𝐯 dt dr dt 𝐞r r d𝐞r dt dr dt θ 𝐞θ r dθ dt 𝐞θ rθ d𝐞θ dt onde d𝐞θ dt d1 dθ dt 𝐞𝐫 θ 𝐞𝐫 Vide Figura 213 b 𝐚 r rθ 2 𝐞r rθ 2θr 𝐞θ 𝑎𝑟 r rθ 2 e 𝑎𝜃 rθ 2θr Vide Figura 215 20 Aplicações importantes da representação do movimento plano da partícula em coordenadas polares consistem no movimento de lançamento de projeteis e principalmente na análise cinemática de mecanismos de cadeias aberta e fechada 21 Considere o mecanismo de retorno rápido abaixo A velocidade angular da manivela OA é de 250 rpm no sentido anti horário e constante Para θ 30o determine 1 a velocidade angular da barra ranhurada CB 2 a velocidade do pistão com relação a ranhura da barra CB 3 a aceleração angular da barra CB e 4 a aceleração do pistão com relação a ranhura da barra CB 2157 The robot arm is elevating and extending simultaneously At a given instant θ 30 θ dot 10 degs constant l 05 m l dot 02 ms and l double dot 03 ms2 Compute the magnitudes of the velocity v and acceleration a of the gripped part P In addition express v and a in terms of the unit vectors i and j Problem 2157 23 Parte 3 Cinemática Plana de Corpos Rígidos Conceito Geometria apenas sem considerar a causa do movimento Corpo Rígido é um sistema de partículas para o qual as distâncias entre elas permanecem inalteradas Tipos de Movimento Plano Translação rotação em torno de um eixo fixo e movimento plano geral Vide Figura 51 abaixo 24 31 Rotação em Torno de Um Eixo Fixo Revisão Relações algébricas não vetoriais para o movimento circular de um ponto A de um corpo rígido em torno de um eixo fixo Figura 53 v ωr ω rotação do corpo rígido ou velocidade angular do corpo rígido v velocidade do ponto A do corpo rígido an ω2r v2 r vω at αr α aceleração angular do corpo rígido an e at são as componentes normal e tangencial da aceleração do ponto A do corpo rígido 25 Relações vetoriais para o movimento circular de um ponto A de um corpo rígido em torno de um eixo fixo Figura 54 𝐯 d𝐫 dt 𝐫 𝛚 𝐫 𝐫 posição do ponto A do corpo rígido 𝛚 rotação ou velocidade angular do corpo rígido produto vetorial 𝐯 velocidade do ponto A do corpo rígido 𝐚 d𝐯 dt 𝐯 𝛚 𝐫 𝛚 𝐫 𝐚 𝛚 𝛚 𝐫 𝛚 𝐫 𝐚 𝛚 𝛚 𝐫 𝛂 𝐫 𝛂 aceleração angular do corpo rígido 𝐚 aceleração do ponto A do corpo rígido 𝐚𝐧 𝛚 𝛚 𝐫 𝐚𝐭 𝛂 𝐫 26 32 Método do Movimento Relativo para Eixos Transladados Análise de Velocidades Conceito Movimento Plano Geral Translação Pura Rotação em Torno de Um Eixo Fixo Figura 55 a XY sistema inercial xy sistema movél que translada não gira translada apenas com origem no ponto B A Figura 55 a mostra que tomando dois pontos A e B de um corpo rígido podese escrever a seguinte equação 𝐫A 𝐫B 𝐫A B 𝐫A deslocamento absoluto do ponto A 𝐫B deslocamento absoluto do ponto B e 𝐫A B deslocamento relativo do ponto A com relação ao ponto B 27 Dividindo os dois lados da equação acima por t e fazendo o limite quando t tende a zero resulta lim 𝑡0 𝐫𝐴 𝑡 lim 𝑡0 𝐫𝐵 𝑡 lim 𝑡0 𝐫𝐴 𝐵 𝑡 ou 𝐯A 𝐯B 𝐯A B 𝐯A velocidade absoluta do ponto A 𝐯B velocidade absoluta do ponto B e 𝐯A B velocidade relativa do ponto A com relação ao ponto B Conceito O movimento relativo do ponto A com relação ao ponto B é a rotação do ponto A com relação a um eixo fixo em B Vide Figura 55 b Portanto 𝐯A B 𝛚 𝐫 𝛚 vetor rotação absoluta do corpo rígido que contém os dois pontos A e B e 𝐫 𝐫𝐀 𝐁 vetor posição relativa do ponto A com relação ao ponto B É o vetor que sai do ponto B e chega no ponto A não confundir 𝐫𝐴 𝐵 com 𝐫𝐀 𝐁 28 Portanto a equação de velocidades fica 𝐯A 𝐯B 𝐯A B 𝐯B 𝛚 𝐫 𝐯A velocidade absoluta do ponto A Tangente à trajetória absoluta do ponto A 𝐯B velocidade absoluta do ponto B Tangente à trajetória absoluta do ponto B 𝐯A B velocidade relativa do ponto A com relação ao ponto B Trata se da rotação do ponto A em torno de B Tangente à trajetória relativa do ponto A em relação a B 𝐫 posição do ponto A com relação ao ponto B 𝛚 rotação ou velocidade angular absoluta da peça que contém os ponto A e B Vide Figura 56 abaixo 29 33 Método do Movimento Relativo para Eixos Transladados Análise de Aceleração Derivando a equação de velocidade 𝐯A 𝐯B 𝐯A Bcom relação ao tempo e lembrando que o movimento relativo do ponto A com relação ao ponto B é rotação em torno do eixo que passa por B dá 𝐚A 𝐚B 𝐚AB 𝐚B 𝐚AB n 𝐚AB t 𝐚AB n 𝛚 𝛚 𝐫 𝐚AB t 𝛂 𝐫 𝐚AB n componente normal do vetor aceleração relativa 𝐚AB t componente tangencial do vetor aceleração relativa Então 𝐚A 𝐚B 𝛂 𝐫 𝛚 𝛚 𝐫 𝐚A aceleração absoluta do ponto A 𝐚B aceleração absoluta do ponto B e 𝐚AB aceleração relativa do ponto A com relação ao ponto B 30 𝛚 𝛂 𝛂 vetor aceleração angular absoluta do corpo rígido Vide Figura abaixo 31 Determine a velocidade e a aceleração dos pontos A e C Assuma a condição de contato entre o cilindro e a superfície horizontal como de rolamento sem escorregamento Condições para o rolamento sem escorregamento 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑡𝑜 𝐶 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑡𝑜 𝐶 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑡𝑜 𝐶 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑡𝑜 𝐶 5146 The mechanism of Prob 575 is repeated here Each of the sliding bars A and B engages its respective rim of the two riveted wheels without slipping If in addition to the information shown bar A has an acceleration of 2 ms2 to the right and there is no acceleration of bar B calculate the magnitude of the acceleration of P for the instant depicted vA 08 ms vB 06 ms Problem 5146 5155 An oil pumping rig is shown in the figure The flexible pump rod D is fastened to the sector at E and is always vertical as it enters the fitting below D The link AB causes the beam BCE to oscillate as the weighted crank OA revolves If OA has a constant clockwise speed of 1 rev every 3 s determine the acceleration of the pump rod D when the beam and the crank OA are both in the horizontal position shown Problem 5155 33 Considere que a rotação da manivela OB seja ω 1500 rpm no sentido horário e constante como mostrado na Figura abaixo Determine para θ 60o 1 a rotação da biela AB 2 a velocidade do pistão 3 a velocidade do centro de massa G da biela 4 a aceleração angular da biela 5 a aceleração do pistão e 6 a aceleração do centro de massa G da biela ex59meriamm 564 The circular disk of radius 02 m is released very near the horizontal surface with a velocity of its center vo 07 ms to the right and a clockwise angular velocity ω 2 rads Determine the velocities of points A and P of the disk Describe the motion upon contact with the ground Problem 564 5119 The large roller bearing rolls to the left on its outer race with a velocity of its center O of 09 ms At the same time the central shaft and inner race rotate counterclockwise with an angular speed of 240 revmin Determine the angular velocity ω of each of the rollers Problem 5119 5120 The shaft at O drives the arm OA at a clockwise speed of 90 revmin about the fixed bearing at O Use the method of the instantaneous center of zero velocity to determine the rotational speed of gear B gear teeth not shown if a ring gear D is fixed and b ring gear D rotates counterclockwise about O with an angular speed of 80 revmin Problem 5120 35 34 Método do Movimento Relativo para Eixos Girantes Análises de Velocidade e Aceleração A figura 511 mostra uma peça ranhurada que para essa fase do movimento gira com velocidade angular absoluta 𝛚 O ponto A realiza movimento sobre a trajetória mostrada na peça ranhurada Path of A Para observar o movimento do ponto A sobre a ranhura Path of A adota se um referencial girante xy que possui a mesma rotação 𝛚 da peça ranhurada É como se o referencial xy estivesse fixado sobre a peça ranhurada Por isso esse referencial recebe o nome de referencial girante Daí o termo eixos girantes 36 Eixos Girantes Posição 𝐫A 𝐫B 𝐫 𝐫B x𝐢 y𝐣 𝐫A posição absoluta do ponto A 𝐫B posição absoluta do ponto B 𝐫 x𝐢 y𝐣 posição relativa do ponto A com relação ao ponto B x e y são as coordenadas de r no sistema girante xy Velocidade 𝐫A 𝐫B d dt x𝐢 y𝐣 ou 𝐯A 𝐯B x𝐢 y𝐣 x𝐢 y𝐣 𝐢 d𝐢 dt 𝐢dθ dt 𝐣 1 dθ dt 𝐣 ω𝐣 𝐣 d𝐣 dt 𝐣dθ dt 𝐢 1 dθ dt 𝐢 ω𝐢 37 Com base nas duas últimas equações acima e lembrando que 𝛚 ω𝐤 é a rotação do sistema móvel vide Figura 510 observe que 𝐢 𝐢 𝐣 𝐤 0 0 ω 1 0 0 𝛚 𝐢 ω𝐣 𝐣 𝐢 𝐣 𝐤 0 0 ω 0 1 0 𝛚 𝐣 ω𝐢 Agora x𝐢 y𝐣 x𝛚 𝐢 y𝛚 𝐣 𝛚 x𝐢 y𝐣 𝛚 𝐫 e x𝐢 y𝐣 𝐯rel 𝐯A 𝐯B 𝛚 𝐫 𝐯rel 𝐯A velocidade absoluta do ponto A Tangente à trajetória absoluta do ponto A 𝐯B velocidade absoluta do ponto B Velocidade absoluta da origem do sistema móvel girante Tangente à trajetória absoluta do ponto B 38 O ponto B é a origem do sistema de eixos móveis Ele é adotado arbitrariamente pelo analista 𝛚 velocidade angular da peça ranhurada que é igual a rotação do sistema móvel xy 𝛚 𝐫 velocidade do ponto A devido ao fato do ponto A estar sobre uma plataforma girante com 𝛚 Portanto esse vetor de velocidade é devido a um movimento de rotação do ponto A em torno do eixo que passa por B 𝐯rel velocidade relativa observada pelo sistema móvel Tangente à trajetória relativa Para visualização dos vetores acimavide Figura 511 desconsiderando o ponto P e os vetore 𝐕A B 𝐕A P e 𝐕P B 39 Aceleração Considere agora que além do referencial móvel e girante possuir a rotação 𝛚 igual da peça ranhurada ele possua aceleração angular 𝛂 𝛚 igual a aceleração angular absoluta da peça ranhurada Derivando a equação de velocidade com relação ao tempo resulta 𝐚A 𝐚B 𝛚 𝐫 𝛚 𝐫 𝐯 rel onde 𝛚 𝛂 𝛂 𝛚 aceleração angular do sistema de eixos girantes que é igual a aceleração angular absoluta da peça ranhurada 𝐫 d dt x𝐢 y𝐣 x𝐢 y𝐣 x𝐢 y𝐣 𝛚 𝐫 𝐯rel 40 𝛚 𝐫 𝛚 𝛚 𝐫 𝐯rel 𝛚 𝛚 𝐫 𝛚 𝐯𝐫𝐞l 𝐯 rel d dt x𝐢 y𝐣 x𝐢 y𝐣 x𝐢 y𝐣 𝐯 rel x 𝛚 𝐢 y 𝛚 𝐣 x𝐢 y𝐣 𝛚 x𝐢 y𝐣 x𝐢 y𝐣 𝐯 rel 𝛚 vrel arel Portanto substituindo 𝐚A 𝐚B 𝛚 𝐫 𝛚 𝛚 𝐫 𝛚 𝐯𝐫𝐞l 𝛚 vrel arel 𝐚A 𝐚B 𝛚 𝐫 𝛚 𝛚 𝐫 2𝛚 𝐯rel 𝐚rel 𝐚A aceleração absoluta do ponto A Possui componetes tangencial tangente á trajetória absoluta de A e normal perpendicular a componente tangencial apondando para o centro de curvatura da trajetória absoluta de A 𝐚B aceleração absoluta do ponto B Possui componetes tangencial tangente á trajetória absoluta de B e normal perpendicular a componente tangencial apondando para o centro de curvatura da trajetória absoluta de B 41 O ponto B é a origem do sistema de eixos móveis Ele é adotado arbitrariamente pelo analista 𝛂 𝛚 aceleração angular do sistema de eixos girantes que é igual a aceleração angular absoluta da peça ranhurada 𝛚 𝐫 componente tangencial do movimento de rotação do ponto A em relação ao eixo que passa por B 𝛚 𝛚 𝐫 componente normal do movimento de rotação do ponto A em relação ao eixo que passa por B 2𝛚 𝐯rel aceleração de Coriolis 𝐚rel aceleração relativa observada pelo sistema móvel Tem duas componentes uma tangencial à trajetória relativa e outra normal perpendicular a componente tangencial apontando para o centro de curvatura da trajerória relativa Ob para visualização dos vetores acimavide Figura 513 desconsiderando o ponto P SAMPLE PROBLEM 516 At the instant represented the disk with the radial slot is rotating about O with a counterclockwise angular velocity of 4 radsec which is decreasing at the rate of 10 radsec2 The motion of slider A is separately controlled and at this instant r 6 in ṙ 5 insec and r 81 insec2 Determine the absolute velocity and acceleration of A for this position Solution We have motion relative to a rotating path so that a rotating coordinate system with origin at O is indicated We attach xy axes to the disk and use the unit vectors i and j Velocity With the origin at O the term vB of Eq 512 disappears and we have vA ω r vrel 1 The angular velocity as a vector is ω 4k radsec where k is the unit vector normal to the xy plane in the zdirection Our relativevelocity equation becomes vA 4k 6i 5i 24j 5i insec Ans in the direction indicated and has the magnitude vA 242 52 245 insec Ans Acceleration Equation 514 written for zero acceleration of the origin of the rotating coordinate system is aA ω ω r ω r 2ω vrel arel The terms become 3 ω ω r 4k 4k 6i 4k 24j 96i insec2 ω r 10k 6i 60j insec2 20 vrel 24k 5i 40j insec2 arel 81i insec2 The total acceleration is therefore aA 81 96i 40 60j 15i 20j insec2 Ans in the direction indicated and has the magnitude aA 152 202 25 insec2 Ans Vector notation is certainly not essential to the solution of this problem The student should be able to work out the steps with scalar notation just as easily The correct direction of the Coriolisacceleration term can always be found by the direction in which the head of the vrel vector would move if rotated about its tail in the sense of ω as shown Helpful Hints 1 This equation is the same as vA vP vAP where P is a point attached to the disk coincident with A at this instant 2 Note that the xyz axes chosen constitute a righthanded system 3 Be sure to recognize that ω ω r and ω r represent the normal and tangential components of acceleration of a point P on the disk coincident with A This description becomes that of Eq 514b SAMPLE PROBLEM 518 For the conditions of Sample Problem 517 determine the angular acceleration of AC and the acceleration of A relative to the rotating slot in arm OD Solution We attach the rotating coordinate system xy to arm OD and use Eq 514 With the origin at the fixed point O the term aB becomes zero so that aA ω r ω ω r 2ω vrel arel From the solution to Sample Problem 517 we make use of the values ω 2k rads ωCA 4k rads and vrel 450 2i mms and write aA ωCA rCA ωCA ωCA rCA ωCA k 2252 i j 4k 4k 2252 i j ω r 0 since ω constant ω ω r 2k 2k 2252i 9002i mms2 20 vrel 22k 4502i 18002i mms2 arel xi Substitution into the relativeacceleration equation yields 12 225ωCA 3600i 12 225ωCA 3600j 9002i 18002j xi Equating separately the i and j terms gives 225ωCA 36002 9002 ý and 225ωCA 36002 18002 Solving for the two unknowns gives ωCA 32 rads2 and x arel 8910 mms2 Ans If desired the acceleration of A may also be written as aA 225232i j 36002i j 7640i 2550j mms2 We make use here of the geometric representation of the relativeacceleration equation to further clarify the problem The geometric approach may be used as an alternative solution Again we introduce point P on OD coincident with A The equivalent scalar terms are aAt ωCA rCA rωCA rωCA normal to CA sense unknown aAn ωCA ωCA rCA rωCA2 from A to C aPn ω ω r OPω2 from P to O aPt ω r rω 0 since ω constant 2ω vrel 20ωvrel directed as shown arel x along OD sense unknown Helpful Hints 1 If the slot had been curved with a radius of curvature ρs the term arel would have had a component vrel n normal to the slot and directed toward the center of curvature in addition to its component along the slot 5160 The disk rotates about a fixed axis through O with angular velocity ω 5 radsec and angular acceleration α 3 radsec² in the directions shown at a certain instant The small sphere A moves in the circular slot and at the same instant β 30 β 2 radsec and β 4 radsec² Determine the absolute velocity and acceleration of A at this instant Problem 5160 5163 An experimental vehicle A travels with constant speed υ relative to the earth along a northsouth track Determine the Coriolis acceleration aCor as a function of the latitude θ Assume an earthfixed rotating frame Bxyz and a spherical earth If the vehicle speed is υ 500 kmh determine the magnitude of the Coriolis acceleration at a the equator and b the north pole Problem 5163 45 Considere o mecanismo de retorno rápido abaixo A velocidade angular da manivela OA é de 250 rpm no sentido anti horário e constante Para θ 30o determine 1 a velocidade angular da barra ranhurada CB 2 a velocidade do pistão com relação a ranhura da barra CB 3 a velocidade do ponto B da barra CB 4 a aceleração angular da barra CB CB 5 aceleração do pistão com relação a ranhura da barra CB e 6 a aceleração do ponto B da barra CB Problem Answers 227 υm 120 ms h 1934 km 228 s 972 ft 229 t 0917 s 230 υ 1587 insec 231 υ 389 kmh 232 υmax 359 ftsec 233 α 667 ms² t 234 t 1667 s 235 α 872 ftsec² t 274 sec 236 υ 1789 ftsec 237 s 5810 ft 238 D 3710 ft 239 c v₀² 2gυm υm² 240 Particle 1 s v₀k 1 eᵏᵗ υ υ₀eᵏᵗ Particle 2 s υt 16 k²t³ υ υ₀ 12 k²t² Particle 3 s v₀k sin ks t υ v₀² ks² 241 υ 2 KLD2 LD 242 K 107310³ ft⁴ t 254 sec 243 t 508 s 244 D 653 ft Δs 667 ft s₆ 367 ft 245 c v₀² 6gυm 2υm³ 246 υmax 18 ms 247 D 12Cd ln 1 Cₚ CL² v₀² 248 Δt 10 s s 416 m 249 a υ 13040 ftsec b υ 12290 ftsec 250 a υ 6490 ftsec b υ 4990 ftsec 251 υ v₀ k 1 cn11n 252 υ υ₀eᵏᵗ x v₀k 1 eᵏᵗ x υ₀ kx 253 a s 1206 m b s 1268 m 254 D 0693 k t 1 kv₀ 255 x 0831 ft 256 h 1208 ft υτ 785 ftsec 257 υ c k eᵏᵗ eᵏᵗ 1 keᵏᵗ eᵏᵗ eᶜᵏᵗ c b 258 t 105 sec αr 1173 ftsec² 259 υmax 206 ms θ 760 260 αt 5 ms² θ 531 261 υ 620i 336j ms θ 279 262 υ 894 mms² θτ 634 α 447 mms² θr 266 263 υ 242 ftsec α 253 ftsec² 264 υ 1345 insec α 268 insec² 265 t 247 sec h 1786 mi 266 y 2³ 144x² υ 30 ftsec 267 v₀ 367 ms d 1340 m 268 Rmax v₀² g 269 υ 343 ms 270 v₀ 1633 ftsec θ 668 271 v₀ 771 ftsec θ 311 272 257 ft above B 273 θ 506 250 ft right of B 274 θ 1491 275 θ 217 276 θ 557 277 υ 700 ftsec s 1185 ft 278 θ 487 or θ 536 279 R 2970 m 280 υ 1441 ms 281 θ₁ 261 θ₂ 806 282 R 464 m θ 233 283 s 455 m t 1335 s 284 206 υclock 224 ftsec 285 υmax 1135 ms υmin 0744 ms 286 310 θ 343 or 531 θ 547 287 δ 776 ft 288 α 0445 h 500 ft 289 h 1227 m 290 υ 1046 km t 1775 s 291 Ri 0667 v₀² ri⁴ 1155 v₀² 292 f₂ 1 f₁ f₂ 12 293 υₓ v₀ cos θeᵏᵗ x v₀ cos θ k 1 eᵏᵗ υy v₀ sin θ g k eᵏᵗ g k y 1 k v₀ sin θ g k1 eᵏᵗ g k t υₓ 0 υy g k t 294 h 583 ft tf 1259 sec d 746 ft 295 α 90 α α 45 60 675 296 x 1242 ft y 627 ft 297 υA 1175 ms υB 1346 ms 298 αt 839 ftsec² 2100 υ 713 kmh 2101 υ 530 ftsec ar 250 ftsec² 2102 α 0269 ms² 2103 p 266 m 2104 tA 897 s tB 892 s 239 m 2105 tA 897 s tB 889 s 250 m 2106 αn 367 ftsec² αt 20 ftsec² 2107 pB 1630 m 2108 υA 258 ms υB 396 ms 2109 υ 356 ms α 00260 ms² 2110 υ 27810³ kmh 2111 a α 7 ftsec² b α 1797 ftsec² c α 882 ftsec² 2112 α 16et 1610eτ ftsec² 2113 N 336 revmin 2114 P₁ υ 2 ms α₁ 50 ms² P₂ α 80 ms² α₂ 854 ms² 2115 υ 72 kmh 2116 a ρ 243 ft i 1847 ftsec² b ρ 1334 ft i 0 2117 a ρ 1422 ft αt 658 ftsec² b ρ 1497 ft αt 875 ftsec² 2118 ρ 417 in 2119 αρ₁ 338 ms² αρ₂ 15 ms² 2120 αρτ 1838 ftsec² 2121 ρ 1907 km i 1265 ms² 2122 a α 2g right ατ 0 b α 389 ms² iτ 597 c α 973 ms² iτ 1684 2123 τ 08s 731 ms² ατ 1281 τ 12s α 1962 ms² ατ 180 2124 tA 1052 s tB 1086 s 2125 α 939 ftsec² 2126 ρ 18 480 km 2127 ρ 437 mm ατ 874 mms² ατ 363 mms² 2128 L 461 m 2129 ρ 125 m 2130 xC 225 m yC 229 m 2131 ατ 1280 ms² ατ 880 ms² 2133 i 477 ftsec θ 410 degsec 2134 αt 931 ms ατ 0568 rads 2135 r 207 ms² θ 1653 rads² 2136 υ 545 mms α 632 mms² 2137 r 425 ms θ 01403 rads 2138 i 1152 ms² θ 00813 rads 2139 i 328 mms 2140 a 2K² R² r² 2141 υ 0377 ms at α 260 α 0272 ms² at α 1944 2142 r 15 ftsec θ 450 radsec 2143 υ 1169 ftsec θ 234 radsec² 2144 r 1200 ftsec α 670 ftsec² 2145 r 1512 ms θ 00495 rads 2146 r d r υ₀ cos α r v₀² sin² α d θ 0 θ 0 θ 1 d 2υ₀² d cos α sin α g 2147 υ 1617 ftsec θ 00808 radsec 2148 α 862 ftsec² θ 001832 radsec² 2149 α ω² 4c² 4bc cos θ b² 2150 c 1075Ka 2151 υ 529 ms β 489 α 976 ms² 2152 υ bθ² sinθ α bθ² sin α h cotθ θ 2153 υ 699 mihr 2154 i 1732 ms r 333 ms² θ 385 rads² 2155 r 0256 m r 472 ms θ 387 g 646 rads 2156 υA 1190 ms θτ 1252 αA 754 ms² θτ 225 2157 υ 0296 ms α 0345 ms² ν 0064i 0289j ms α 0328i 01086j ms² 2158 υτ 962 ms υθ 556 ms αr 1029 ms² θ 00390 rads² 2159 r 2b sin α² 4b r αt cos α² 4b θ α² 4b αt 2b 2160 r 21 900 m r 730 ms r 207 ms² θ 432 θ 000312 rads θ 90110⁵ rads² 2161 i 358 ms θ 1786 rads θ 315 ms θ 1510 rads 2162 r 224 m r 671 ms r 459 ms² θ 266 θ 006 rads θ 00518 rads² 2163 i 8910 lsec r 1790 lsec² θ 34810⁴ radsec θ 139810⁷ radsec² 2164 r 510 ft r 914 ftsec r 1135 ftsec² θ 319 θ 0334 radsec r 0660 radsec² 2165 θ 746 r 1571 ms² β 859 m 2166 α 4700 t r 1710 ft r 2220 ft υz 235 ftsec υy 855 ftsec υx 211 ftsec αx αy 0 αz 322 ftsec² 2167 α 275 ms² 2168 υθ υ sin θ υr υ cos θ cos φ αφ υ cos θ sin θ υmax v₀² 16r⁴ 4r² 2169 cmax v₀² 16r⁴ 4r² 2170 υp i² υ₀ r² l² 2171 αr 1982 ftsec² α₀ 291 ftsec² αz 0386 ftsec² 2172 R 920 kmh θ 01988 rads θ 00731 rads 2173 R 201 ms² θ 0 φ 00238 rads² Chapter 5 51 vA 032i 008j ms2 vB 032i 076j ms2 52 vA ωhi bj 53 vA bω2 hai ha2 baj vA 1332i 219j ms vA 642i 916j ms2 54 N 333 rev 55 dL dtmax θ0ωmax at θ 0 dL dtmax θ0ωmax2 at θ θ0 θmax 56 ω 0411 radsec ωmax 0344 radsec 57 b 5 ms a 50 ms2 58 b 1806 mm 59 N 300 rev 510 vA 1777i 270j ms a 1634i 457j ms2 511 θ θ0 1099 rad t 1667 s 512 Δθ 244 rad 513 θ 9 rad 514 θ 304 rads θ 346 rads2 515 α 395 rads2 516 t 01781 sec 517 a α 300 rads2 b ag 375 ms2 c ac 225 ms2 518 r 3 in 519 ω 2k radsec α 3k2 radsec2 ac sqrt211i 5j insec2 520 v 0374i 01905j ms a 0751 0605j ms2 521 v 0223i 0789j ms a 3021 1683j ms2 522 v 00464i 01403j ms a 01965i 0246j ms2 523 α 0596 rad 524 θ θ0 250 rev θ θ0 1875 rev 525 ω 246k radsec 526 ac 1496 ms2 527 N 513 revmin 528 Na 415 revmin 529 ωOA xd x2 d2 530 ω sqrt2ax 4b2 x2 531 t 667 sec 532 v 628 ms 533 ω rω sin θ a rω sin θ rω2 cos θ 534 ω sqrt3e 2L sqrt1 3Lx 4L2 535 ω 12 radsec vO 34 ftsec 536 ω v0 sqrt21 sin θ a v02 r toward O 537 ag 789 mms2 down 538 ωOA h v r2 x2 539 v r 2 α cot θ 540 vO 12 ms ω 1333 rads CCW 541 ω v r sqrtr2 r2 α2 542 r h ωθ0 sqrtr2 h2 543 az cvω2 sin θ sqrt1 v2 sin θ 544 ω v x0 xr2 1 545 v 12 vA tan θ 546 ω 2i sqrtbeta2 L2 2bL cos θ L tan θ 547 ω 43 radsec CCW α 1 radsec2 CCW 548 ω 1795 radsec CW 549 ω 1056 rads CW α 0500 rads2 CCW 550 ωCR 630 rads 552 α v2 2r 553 β 628 sqrtcos θ 0278 1939 cos θ radsec 554 ω 0825 radsec CW 555 vC vB 2 sqrt8 sec2 θ2 556 ωx2 1923 rads 48 557 ωAB rαv0 l cos θ sqrt1 r2 l2 sin2 θ αAB rαv02 l sin θ sqrt1 r2 l2 sin2 θ32 558 α 01408 radsec2 CCW 559 vB 1386i 12j ms 560 a N 917 revmin CCW b N 458 revmin CCW c N 458 revmin CW 561 vC 1672i 107 257j kmh vB 105 585j kmh vD 108 929j kmh vC 1672i 107 257j kmh 562 vCD 0579 mph 563 ω 665 radsec CW 564 vA 071 04j ms vp 03i ms 565 vA 589 mms 566 ωAB 096 rads CCW 567 ω 0375 rads CCW 568 vB 06 ms vp 0849 ms 569 VAB 2371 310j insec 570 v 849 ms right ω 261 rads CW 571 ωOA 333k rads 572 vAB 12i j ms vp 12i 08j ms 573 vB 438 ms ω 323 rads CCW 574 ωBC 277 radsec CCW 575 vp 0900 ms 576 ω ωo CW vB 258rω0 down 577 ωAB 0966ω0 CCW vB sqrt2rω0 60 578 ω 0295 radsec CCW 579 ωBC 3 radsec CW 580 vA 904 insec vc 699 insec 581 ω 1394 rads CCW vD 0408 ms down 582 vB 1155 rads CW vC 1155 ms 583 ω 859 rads CW 584 ωAB 1938 radsec CW 585 vD 9 ms 586 vC 624 ftsec 587 ωx2 1923 rads CCW 588 ωAB 1725 rads CCW ωBC 4 rads CCW 589 ωCA 0429k rads 590 vB 397 ms 591 05 m above G vA vB 233 ms 592 05 m below G vA 1949 ms vB 266 ms 593 ωBC 859 rads CCW 594 015 m below P vp 03 ms vA 0806 ms 595 va 277 mms 596 a vA 20j insec vB 40j insec b vA 15j insec vB 75j insec 597 vA 0408 ms down 598 a ωA γv 2c CW b ωOA γ 2 CCW c vA v vB 2v vC v all right vD vp 0 599 vA 904 insec vC 699 insec 5100 vA 0707 ms vP 1581 ms 5101 ωBD 12 rads CCW ωAD 1333 rads CCW 5102 vB 0884 ms ω 320 rads CCW 5103 ωBC 277 radsec CCW 5104 ωAB α CW vB 258rω down 5105 ωAB 0966ωCCW vB 1414rω 60 5106 vC 01386 ms ωB 0289 rads CW 5107 ω 15 rads CW vP 1897 ms 5108 vD 231 ms ω 1333 rads CW 5109 v 1071 mhr vx 698 ftsec 5110 ωCA 0429k rads 5111 vC vB 2 sqrtsec2 θ2 8 5112 ωAB 1414 radsec CCW ωBD 377 radsec CW 5113 ωAB 1938 radsec CW 5114 ω 450 ms ω 747 rads CCW 5115 ωAD 125 rads CCW ωBD 75 rads CCW 5116 vA 0278 ms 5117 vA 595 ms 5118 ω 110 radsec CW 5119 ω 1073 rads CW 5120 a ωB 360 revmin b ωB 600 revmin 5121 αA 958 ms2 αB 909 ms2 5122 a α 00833 radsec2 CCW b αC 0625 ftsec2 up c d 15 ft 5123 a aA 02 ms2 b aA 439 ms2 c aC 62 ms2 5124 a 5 ms2 5125 θ sin1 FR R vO sqrtR r0 sqrtR2 r2 5126 vO 061 ms aO 181 ms2 5127 α 0286 rads2 CCW aA 0653 ms2 down 5128 aAB 002791 ms2 5129 aA 266 ms2 5130 θ 367 mhr 5131 αAB ω2 5132 αAB 4k rads2 aA 161 ms2 5133 a B 246 ms2 left 5134 aC 0267i 3j ftsec2 aD 21i 0733j ftsec2 aL j ftsec2 5135 αAB 864ms2 CCW aG 682ms2 up 5136 α 2Lor CW 5137 aA 241 270j ftsec2 aD 2651 736j ftsec2 5138 ωOA 396 rads2 CCW 49 5139 α 800 rads2 CW aD 890 ms2 4105 5140 aB 239 ms2 a 362 rads2 CW 5141 aB 833i 10j ms2 aP 833i ms2 5142 aD 13891 333j ms2 5143 αAB 24s2 αBC 0 5143 αBC 208 radsec2 CCW 5144 αOB vA2 rl 5145 aOB 576 radsec2 CW 5146 αP 362 ms2 5147 αAB 1602 rads2 CW αBC 1331 rads2 CCW 5148 α 00986 rads2 CW 5149 aAB 0711j ftsec2 5150 ωOA 0 aP 480i 360j ms2 5151 αAB 366 rads2 CCW αB 1984 ms2 345 5152 αAB 1688 rads2 CCW 5153 aA 489 ms2 right αAB 0467 rads2 CCW 5154 αBD 469 rads2 CW 5155 αD 0568 ms2 down 5156 αAB 0285 ms2 right 5157 αA 011i 025j ms2 β 682 5158 αCK 04j ms2 aA 0351 03j ms2 γ 1394 5159 vA 333i 45j ftsec aA 345i 1267j ftsec2 5160 vA 4381 156j ftsec aA 4871 382j ftsec2 5161 aA 1006 ftsec2 5162 vA 341 ms aA 2i 0667j ms2 5163 a acor 0 b aCar 00203 ms2 5164 v 20dj no 5165 acor 2aωi 5166 a aAB 176i 070j ftsec2 b aB 1042i 570j ftsec2 5167 αAB 1042i 570e ftsec2 5168 αB 469k ms2 5169 αDC 0634 rads CCW vmax 0483 ms 120 5170 s 01350 in 5171 vrad 271i 0259j ms arad 0864i 00642j ms2 5172 vrad 0136i 0537j ms arad 0854i 000918j ms2 5173 αrad ωrad4ω2 5174 ω 4 rads CW a 640 rads2 CCW 5177 vrad 223i 657j ftsec arad 16061 270j ftsec2 5178 ωmax 393 ms and αrad 1522 ms2 1911 ωPC 1429 rads CCW αPC 1700 rads2 CW 5179 ωmax 771 ms and αrad 1566 ms2 1911 ωBC 1046 rads CW αBC 1190 rads2 CW 5180 a vmax 5250i 5190j kmh b vmax 7380i kmh 5181 α 1565 ftsec2 5182 α 5 rads CW a 8660i ms2 5183 α 1653 rads2 CCW 5184 vrad 26220i kmh arad 802j ms2 5185 ε 1 Kt tan1ω0 sqrtK R 5186 αp 427 ftsec 5187 α 075 rads2 CCW 5188 α 1 1 ω2 tan θ05 α 1 1 ω2 tan θ tan θ 5189 θ 60 5190 ωAB 1203 rads CCW 5191 αC 831 ftsec2 up 5192 vA 12491 1891k ftsec vB 176i 1089j ftsec 5193 αAB 0354 radsec CW vO 788 insec 5194 αB 525 insec2 left 5195 ωBC 2 rads CW 5196 a αA 808 ftsec2 b αA 1744 ftsec2 5197 ωOA 0966ωd s2 d2 0518sd 5198 vB 288 mms 5199 vB cos θ D r cos θ v sin 2 θ 5200 αDE 245 rads2 CCW 5201 ωDB 324 rads CW 5202 αB 412 rads2 5203 Δvmax 5031 871j kmh 5204 α 625 rads2 CW 5205 ωBmax 2 ms at θ 1095 vmax 2 ms at θ 251 5206 α 461 5207 ωABLmax 654 rads at θ 202 5208 ωBCLmax 747 rads at θ 215 ωABLmax 886 rads2 at θ 234 5209 ωBCLmax 1122 rads2 at θ 1821 5210 ωx2 1015 rads at θ 203 ωBCLmax 1183 rads at θ 216 5211 βdot β 2 cos θ β 2 cos θ cosθ β 2 cos θ 1 5 4 cos θ 5212 vA rω sin θ 1 cos θ sqrtrr2 sin2 θ vAmax 696 ftsec at θ 723 5213 θ 723 50