Intervalos de Confiança: Estimação de Parâmetros e Proporções

INTERVALOS DE CONFIANÇA Keliny Martins de M Sousa Soares KELINY MARTINS DE MELO SOUSA SOARES UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Estimação de Parâmetros Intervalos de Conança Intervalo de Conança para µ quando σ2 é conhecida Intervalo de Conança para µ quando σ2 é desconhecida Intervalo de Conança para a Variância Intervalo de conança para o desvio padrão da população Intervalo de Conança para Proporção Populacional ou Probabilidade Introdução Um dos principais objetivos da estatística inferencial consiste em estimar os valores de parâmetros populacionais desconhecidos estimação de parâmetros utilizando dados amostrais Desta forma qualquer característica de uma população pode ser estimada a partir de uma amostra aleatória desde que esta amostra represente bem a população Os parâmetros populacionais mais comuns a serem estimados são a média o desvio padrão e a proporção KELINY MARTINS DE MELO SOUSA SOARES UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Estimação de Parâmetros Intervalos de Conança Intervalo de Conança para µ quando σ2 é conhecida Intervalo de Conança para µ quando σ2 é desconhecida Intervalo de Conança para a Variância Intervalo de conança para o desvio padrão da população Intervalo de Conança para Proporção Populacional ou Probabilidade A estimativa pode ser por ponto ou intervalar A estimativa pontual infere sobre a população considerando apenas o valor da estimativa A estimativa intervalar nos dá uma idéia sobre conança e as margens de erro nos fornecendo uma informação mais precisa em relação ao parâmetro Estudaremos a estimação intervalar KELINY MARTINS DE MELO SOUSA SOARES UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Estimação de Parâmetros Intervalos de Conança Intervalo de Conança para µ quando σ2 é conhecida Intervalo de Conança para µ quando σ2 é desconhecida Intervalo de Conança para a Variância Intervalo de conança para o desvio padrão da população Intervalo de Conança para Proporção Populacional ou Probabilidade Intervalos de Conança Introdução Tratase de uma técnica para se fazer inferência estatística Ou seja a partir de um intervalo de conança construído com os elementos amostrais podemos inferir sobre um parâmetro populacional Ao intervalo que com probabilidade conhecida deverá conter o valor real do parâmetro chamaremos de intervalo de conança para esse parâmetro À probabilidade que designaremos por 1 α de que um intervalo de conança contenha o valor do parâmetro chamaremos de nível ou grau de conança do respectivo intervalo sendo α a probabilidade de erro na estimação por intervalo KELINY MARTINS DE MELO SOUSA SOARES UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Estimacao de Parametros Intervalos de Confianca Intervalo de Confianca para quando o conhecida Intervalo de Confianca para 4 quando o desconhecida Intervalo de Confianca para a Variancia Intervalo de confianca para o desvio padrao da populacdo Intervalo de Confianca para Proporcao Populacional ou Probal Intervalo de Confianca para quando o é conhecida Para o caso de populacées infinitas temos que a variavel padronizada é Xb Lae Jn Fixandose um nivel de confianca 1 a temos Ou seja PZ2 Z Za1a Substituindo o valor de Z temos pz t Zz la 2 7 Vn 2 Desenvolvendo temos que XZaZe xX a21 P x Ze Sw XZa la que é 0 intervalo de confianca para js quando o é conhecida KELINY MARTINS DE MELO SOUSA SoaRES JUNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI Estimação de Parâmetros Intervalos de Conança Intervalo de Conança para µ quando σ2 é conhecida Intervalo de Conança para µ quando σ2 é desconhecida Intervalo de Conança para a Variância Intervalo de conança para o desvio padrão da população Intervalo de Conança para Proporção Populacional ou Probabilidade Aplicação A duração da vida média de uma peça de equipamento é tal que σ 5 horas Foram amostradas 100 dessas peças obtendose a média de 500 horas Desejase construir um intervalo de conança para a verdadeira duração média da peça com um nível de 95 KELINY MARTINS DE MELO SOUSA SOARES UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Estimação de Parâmetros Intervalos de Conança Intervalo de Conança para µ quando σ2 é conhecida Intervalo de Conança para µ quando σ2 é desconhecida Intervalo de Conança para a Variância Intervalo de conança para o desvio padrão da população Intervalo de Conança para Proporção Populacional ou Probabilidade Intervalo de Conança para µ quando σ2 é desconhecida Se desconhecemos σ2 devemos estimar seu valor com base na amostra disponível Devemos adotar como estimativa o desvio padrão da amostra como anteriormente Logo como não se conhece σ é preciso substituílo por S desvio padrão amostral que contrariamente a σ é uma variável aleatória Portanto o quociente entre duas variáveis aleatórias x e S é dado por x µ S n Assim t x µ S n que tem distribuição t de Student com n 1 graus de liberdade KELINY MARTINS DE MELO SOUSA SOARES UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Estimação de Parâmetros Intervalos de Conança Intervalo de Conança para µ quando σ2 é conhecida Intervalo de Conança para µ quando σ2 é desconhecida Intervalo de Conança para a Variância Intervalo de conança para o desvio padrão da população Intervalo de Conança para Proporção Populacional ou Probabilidade Fixandose um nível de conança 1 α temse Pt α 2 t t α 2 1 α Substituindose o valor de t e resolvendose as inequações para µ obtémse o intervalo para a média quando a variância σ2 é desconhecida Pt α 2 xµ S n t α 2 1 α KELINY MARTINS DE MELO SOUSA SOARES UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Estimacao de Parametros Intervalos de Confianca Intervalo de Confianca para j1 quando o conhecida Intervalo de Confianca para quando o desconhecida Intervalo de Confianca para a Variancia Intervalo de confianca para o desvio padrao da populacdo Intervalo de Confianca para Proporcao Populacional ou Probal Desenvolvendo temos que S S PxteapxXte1a 2 Jn Th 2 Jn onde a variavel t possui n 1 graus de liberdade Que é 0 intervalo de confianca para j quando co é desconhecida Estimação de Parâmetros Intervalos de Conança Intervalo de Conança para µ quando σ2 é conhecida Intervalo de Conança para µ quando σ2 é desconhecida Intervalo de Conança para a Variância Intervalo de conança para o desvio padrão da população Intervalo de Conança para Proporção Populacional ou Probabilidade Aplicação A amostra 9 8 12 7 9 6 11 6 10 9 foi extraída de uma população normal Construir um intervalo de conança para a média ao nível de 95 KELINY MARTINS DE MELO SOUSA SOARES UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Estimacao de Parametros Intervalos de Confianca Intervalo de Confianca para j1 quando o conhecida Intervalo de Confianca para 4 quando o desconhecida Intervalo de Confianca para a Variancia Intervalo de confianca para o desvio padrao da populacdo Intervalo de Confianca para Proporcao Populacional ou Probal Intervalo de Confianca para a Variancia Consideremos agora o problema da construcdo do intervalo de confiana ao nivel 1 a para a variancia 0 da populacio 1S Pr are O estimador de o2é S Demonstrase que oS tem distribuicdo quiquadrado com n 1 graus de liberdade Ou seja n1S Xn1 2 a Entdo o intervalo sera 2 2 p 1S g 1S la Xeup Xint com distribuicdo quiquadrado de parametro y n1 graus de liberdade que é o intervalo de confianca para a variancia o Estimação de Parâmetros Intervalos de Conança Intervalo de Conança para µ quando σ2 é conhecida Intervalo de Conança para µ quando σ2 é desconhecida Intervalo de Conança para a Variância Intervalo de conança para o desvio padrão da população Intervalo de Conança para Proporção Populacional ou Probabilidade Aplicação Admitindose n 10 S2 4 1 α 90 encontrar o intervalo de conança para a variância KELINY MARTINS DE MELO SOUSA SOARES UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Estimacao de Parametros Intervalos de Confianca Intervalo de Confianca para j1 quando o conhecida Intervalo de Confianca para 4 quando o desconhecida Intervalo de Confianca para a Variancia Intervalo de confianca para o desvio padrao da populacao Intervalo de Confianca para Proporcao Populacional ou Probal Intervalo de confianca para o desvio padrdo da populacdo n1 n1 sup inf Com distribuicéo quiquadrado de parametro vy n 1 graus de liberdade Estimacao de Parametros Intervalos de Confianca Intervalo de Confianca para j1 quando o conhecida Intervalo de Confianca para 4 quando o desconhecida Intervalo de Confianca para a Variancia Intervalo de confianca para o desvio padrao da populacdo Intervalo de Confianca para Proporcao Populacional ou Probal Intervalo de Confianca para Proporcdo Populacional ou Probabilidade Consideremos que geralmente a proporcdo de sucessos em uma populacdo é desconhecida Entado o que fazemos Calculamos uma estimativa da proporcdo de sucessos na populacdo a partir de uma amostra retirada desta Para construirmos o intervalo de confianca para p desconhecido determinamos f na amostra e consideramos Pq of 4 FF Assim para 0 caso de populacées infinitas a varidvel padronizada de f é dada por fp zZ Pq n Estimacao de Parametros Intervalos de Confianca Intervalo de Confianca para j1 quando o conhecida Intervalo de Confianca para 4 quando o desconhecida Intervalo de Confianca para a Variancia Intervalo de confianca para o desvio padrao da populacdo Intervalo de Confianca para Proporcao Populacional ou Probal Fixandose um nivel de confianca 1 a temos PZea ZZa1la 2 2 Substituindo o valor de Z temos fp pZ 56 Zz la Assim Pq PfZaPpf4Z0P1a 2 n 2 n que é o intervalo de confianca para a proporcao Estimacao de Parametros Intervalos de Confianca Intervalo de Confianca para j1 quando o conhecida Intervalo de Confianca para 4 quando o desconhecida Intervalo de Confianca para a Variancia Intervalo de confianca para o desvio padrao da populacdo Intervalo de Confianca para Proporcao Populacional ou Probal Para amostras grandes n 30 podese substituir pe q1p do radicando por f e 1 f Assim 0 IC para a proporcdo sera faF f1f Pr 2 f f be pftZa f f la 2 n 2 n Para o caso de populacées finitas o IC sera f1f Nn flf Nn pt Z09 42 pfZ 9 la KELINY MARTINS DE MELO SOUSA SoaRES JUNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI Estimação de Parâmetros Intervalos de Conança Intervalo de Conança para µ quando σ2 é conhecida Intervalo de Conança para µ quando σ2 é desconhecida Intervalo de Conança para a Variância Intervalo de conança para o desvio padrão da população Intervalo de Conança para Proporção Populacional ou Probabilidade Aplicação Ao serem examinadas 500 peças de uma grande produção foram encontradas 260 defeituosas No nível de 90 construa um IC para a verdadeira proporção de peças defeituosas KELINY MARTINS DE MELO SOUSA SOARES UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ