Cálculo IV - Integrais Duplas e Aplicações - Lista de Exercícios

Integrals Duplas Professor Disciplina Cálculo IV Curso Licenciatura em Matemática 6º semestre Aluno a Colocar seu nome aqui Data 03092023 ATIVIDADE AVALIATIVA I Questão 1 2 pontos Realize as seguintes integrações a 1 ponto ₀¹ ₁² x² y² dxdy b 1 ponto ₀² ₁³ x 2 sen y dxdy Solução a Aqui escrevo a solução ₀¹ ₁² x² y² dxdy ₀¹ x³3 y² x₂¹ dy ₀¹ 2³3 2 y² 1²3 y² dy ツ b Aqui começa o outro item Questão 2 12 pontos Considere a seguinte região do plano S xy ℝ² x y 1 a Esboce a região S b Calcule ₛ exy dxdy Questão 3 12 pontos Considere a integral I ₁³ ₀¹ y ex y dA a Usando o fato de que ex x¹ x² x¹ ex K calcule I quando dA dy dx b Invertendo a ordem de integração ou seja quando dA dx dy calcule novamente I Questão 4 12 pontos A Figura 1 representa a região delimitada da Elipse de equação 2x 4y 7² x 5y² 16 Determine Figure shows ellipse Figure 1 Região delimitada pela Elipse a Uma transformação mudança de variáveis adequada para situação b A região desenhada no novo sistema de coordenadas plano uv por exemplo c A área da Elipse por integração dupla Questão 5 12 pontos Existem muitas aplicações físicas que usam a integral dupla como por exemplo massa centro de massa momentos de massa e momentos de inércia Pesquise sobre elas e responda o que se pede a seguir a Defina e dê o sentido físico das quatro aplicações citadas acima b Escolha uma delas e monte uma questão resolvendoa em seguida deve conter integração dupla claro Questão 6 12 pontos Calcule D x² y² dA onde D é a região da Figura 2 Figure shows region inside and outside two circles Figure 2 Região de Integração Questão 7 1 ponto Suponha que f e suas derivadas parciais sejam contínuas na região fechada R do plano xy Mostre que se σ é a medida da área da parte da superfície de fxy que está sobre R então σ R gxyz dx dy onde gxyz z fxy Questão 8 1 ponto O plano z 4 divide a esfera x² y² z² 25 em duas superfícies Obtenha a área da menor superfície esférica delimitada por esse plano QUESTÃO 1 Integral em x y é constante 𝑥 2 sin𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 3 1 2 0 sin𝑦 𝑥 2𝑑𝑥𝑑𝑦 3 1 2 0 Podemos usar o fato de que 𝑘𝑑𝑘 1 2 𝑘𝑘 𝑥 2 sin𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 3 1 2 0 sin𝑦 𝑥 2𝑥 2 2 1 3 𝑑𝑦 2 0 𝑥 2 sin𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 3 1 2 0 sin𝑦 3 23 2 1 21 2 2 𝑑𝑦 2 0 𝑥 2 sin𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 3 1 2 0 sin𝑦 11 11 2 𝑑𝑦 2 0 𝑥 2 sin𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 3 1 2 0 sin𝑦 1 1 2 𝑑𝑦 2 0 𝑥 2 sin𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 3 1 2 0 sin𝑦 1𝑑𝑦 2 0 𝑥 2 sin𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 3 1 2 0 sin𝑦 𝑑𝑦 2 0 𝑥 2 sin𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 3 1 2 0 cos𝑦0 2 cos2 cos0 𝑥 2 sin𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 3 1 2 0 cos2 1 1 cos2 QUESTÃO 2 a Substituindo o valor de dA 𝐼 𝑦𝑒𝑥𝑦 1 0 3 1 𝑑𝑦𝑑𝑥 Integramos primeiro em y x é constante Integração por partes 𝑦𝑒𝑥𝑦 1 0 𝑑𝑦 𝑢𝑣 𝑣𝑑𝑢 𝑢 𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑣 𝑒𝑥𝑦𝑑𝑦 𝑣 1 𝑥 𝑒𝑥𝑦 𝑦𝑒𝑥𝑦 1 0 𝑑𝑦 𝑦 1 𝑥 𝑒𝑥𝑦 0 1 1 𝑥 𝑒𝑥𝑦 1 0 𝑑𝑦 𝑦𝑒𝑥𝑦 1 0 𝑑𝑦 1 𝑥 𝑒𝑥 0 1 𝑥 𝑒𝑥𝑦 1 0 𝑑𝑦 𝑦𝑒𝑥𝑦 1 0 𝑑𝑦 1 𝑥 𝑒𝑥 1 𝑥2 𝑒𝑥𝑦0 1 1 𝑥 𝑒𝑥 1 𝑥2 𝑒𝑥 1 𝑦𝑒𝑥𝑦 1 0 𝑑𝑦 𝑒𝑥 1 𝑥 1 𝑥2 1 𝑥2 𝑒𝑥𝑥1 𝑥2 1 𝑥2 Substituindo na integral I 𝐼 𝑒𝑥𝑥1 𝑥2 1 𝑥2 𝑑𝑥 3 1 𝑒𝑥𝑥1 𝑥2𝑑𝑥 3 1 1 𝑥2 𝑑𝑥 3 1 Usando a sugestão do enunciado 𝐼 𝑥1𝑒𝑥 𝐾1 3 1 𝑥 1 3 31𝑒3 𝐾 11𝑒1 𝐾 1 3 1 1 𝐼 𝑒3 3 𝐾 𝑒 𝐾 1 3 1 𝑒3 3 𝑒 2 3 b Podemos escrever 𝐼 𝑦𝑒𝑥𝑦 3 1 1 0 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑦 𝑒𝑥𝑦 3 1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 1 0 𝐼 𝑦 1 𝑦 𝑒𝑥𝑦 1 3 𝑑𝑦 1 0 𝑒3𝑦 𝑒𝑦𝑑𝑦 1 0 𝐼 𝑒3𝑦 1 0 𝑑𝑦 𝑒𝑦 1 0 𝑑𝑦 1 3 𝑒3𝑦 𝑒𝑦 0 1 1 3 𝑒3 𝑒 1 3 𝑒0 𝑒0 𝐼 1 3 𝑒3 𝑒 1 3 1 𝑒3 3 𝑒 2 3 QUESTÃO 4 a Vamos usar 4𝑢 2𝑥 4𝑦 7 4𝑣 𝑥 5𝑦 Substituindo 4𝑢2 4𝑣2 16 𝑢2 𝑣2 1 b Gráfico no plano uv o círculo é uma elipse cujos focos estão no mesmo ponto o centro c Área para escrever o jacobiano precisamos das derivadas 2𝑥 4𝑦 4𝑢 7 𝑥 5𝑦 4𝑣 Daqui podemos ver que 𝑥 1 6 20𝑢 16𝑣 35 𝑦 1 6 4𝑢 8𝑣 7 Jacobiano 𝐽 𝑥 𝑢𝑦 𝑣 𝑥 𝑣𝑦 𝑢 20 6 8 6 16 6 4 6 8 3 A integral é 16𝑢2 16𝑣2 8 3 𝑑𝑢𝑑𝑣 16 8 3 𝑢2 𝑣2𝑑𝑢𝑑𝑣 16 8 3 𝑟2𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 16 8 3 𝑑𝜃 𝑟3 1 0 2𝜋 0 𝑑𝑟 16 8 3 𝜃0 2𝜋 𝑟4 4 0 1 16𝑢2 16𝑣2 8 3 𝑑𝑢𝑑𝑣 16 8 3 2𝜋 1 4 0 64𝜋 3 O resultado é negativo porque a área da elipse está majoritariamente na parte negativa do plano xy a Massa 𝑀 𝜌𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝑅 Ao integrarmos a densidade superficial de um corpo em relação à segmentos infinitesimais de sua área superfície obtemos sua massa total Centro de Massa Componente x 𝑥 1 𝑀 𝑥𝜌𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝑅 𝑥𝜌𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝑅 𝜌𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝑅 Componente y 𝑦 1 𝑀 𝑦𝜌𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝑅 𝑦𝜌𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝑅 𝜌𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝑅 Essas são as coordenadas do centro de massa de um sistema 2D CM ponto onde considerase que toda a massa de um corpo ou sistema de corpos está concentrada Momento de Inércia é uma medida da inércia rotacional resistência à alteração do estado de movimento rotacional de um corpo 𝑟 distância até o eixo de rotação do sistema 𝐼 𝑟2 𝑀 𝑑𝑚 𝜌𝑥 𝑦𝑟2 𝑅 𝑑𝐴 Momento de Massa Os momentos de uma função são medidas quantitativas relacionadas com a forma do gráfico de tal função Se a função representa a densidade de massa 𝜌𝑥 𝑦 então o momento zero é a massa total 𝑀 𝜌𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝑅 o primeiro momento normalizado pela massa total é o centro de massa 𝑥 1 𝑀 𝑥𝜌𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝑅 e o segundo momento é o momento de inércia 𝐼 𝜌𝑥 𝑦𝑟2 𝑅 𝑑𝐴 b QUESTÃO MONTADA Calcule o centro de massa da região delimitada pelas curvas 𝑦 𝑥5 e 𝑦 3𝑥 Considere a densidade superficial constante As curvas se interceptam em 𝑥 0 𝑥5 3𝑥 𝑥10 9𝑥 𝑥9 9 𝑥 9 1 9 Componente x do centro de massa 𝑥 𝑥𝜌𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝑅 𝜌𝑥 𝑦𝑑𝐴 𝑅 𝜌 𝑥𝑑𝐴 𝑅 𝜌 𝑑𝐴 𝑅 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑅 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑅 𝑥 𝑥 𝑑𝑦 3𝑥 𝑥5 𝑑𝑥 9 1 9 0 𝑑𝑦 3𝑥 𝑥5 𝑑𝑥 9 1 9 0 𝑥𝑦𝑥5 3𝑥 9 1 9 0 𝑑𝑥 𝑦𝑥5 3𝑥 9 1 9 0 𝑑𝑥 𝑥3𝑥 𝑥5𝑑𝑥 9 1 9 0 3𝑥 𝑥5𝑑𝑥 9 1 9 0 𝑥 3𝑥 3 2 𝑥6 𝑑𝑥 9 1 9 0 3𝑥 1 2 𝑥5 𝑑𝑥 9 1 9 0 3𝑥 5 2 5 2 𝑥7 7 0 9 1 9 3𝑥 3 2 3 2 𝑥6 6 0 9 1 9 6𝑥 5 2 5 𝑥7 7 0 9 1 9 2𝑥 3 2 𝑥6 6 0 9 1 9 𝑥 69 5 18 5 9 7 9 7 0 29 3 18 9 6 9 6 0 06565 Componente y 𝑦 𝑦𝑑𝑦 3𝑥 𝑥5 𝑑𝑥 9 1 9 0 𝑑𝑦 3𝑥 𝑥5 𝑑𝑥 9 1 9 0 𝑦2 2 𝑥5 3𝑥 9 1 9 0 𝑑𝑥 𝑦𝑥5 3𝑥 9 1 9 0 𝑑𝑥 3𝑥 𝑥5 2 2 𝑑𝑥 9 1 9 0 3𝑥 𝑥5𝑑𝑥 9 1 9 0 𝑦 1 2 9𝑥 6𝑥 11 2 𝑥10 𝑑𝑥 9 1 9 0 3𝑥 𝑥5𝑑𝑥 9 1 9 0 1 2 9 2 𝑥2 12 13 𝑥 13 2 𝑥11 11 0 9 1 9 2𝑥 3 2 𝑥6 6 0 9 1 9 095996 Graph shows two curves y 3 sqrtx and y x5 with point CM 06565 095996 labeled QUESTÃO 6 Basta calcularmos a área do círculo maior descontarmos a área do círculo branco Vamos considerar o círculo branco como se ele estivesse centralizado com raio iguail a 1 𝑥2 𝑦2 𝑟2 𝑟 𝑑𝐴 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝐴 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 2 0 2𝜋 0 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 1 0 2𝜋 0 𝐴 𝑑𝜃 𝑟𝑑𝑟 2 0 2𝜋 0 𝑑𝜃 𝑟𝑑𝑟 1 0 2𝜋 0 𝑑𝜃 𝑟𝑑𝑟 2 0 𝑟𝑑𝑟 1 0 2𝜋 0 𝐴 𝜃0 2𝜋 1 2 𝑟20 2 1 2 𝑟20 1 2𝜋 2 4 0 1 0 3𝜋 QUESTÃO 7 Divergente 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 1 Norma 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑥 2 𝑓 𝑦 2 1 Então 𝜎 𝑔𝑥 𝑦 𝑧𝑑𝐴 𝑅 𝜎 𝑅 𝑓 𝑥 2 𝑓 𝑦 2 1 𝑑𝐴 Que é exatamente a expressão para a área de superfície na região fechada R para 𝑓 contínua assim como suas derivadas de primeira ordem QUESTÃO 8 Podemos escrever coord Esféricas 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑟2 𝑧2 25 Limites 𝑟 25 𝑧2 25 42 3 𝑟 3 O raio é fixo porque queremos a integral que representa a área superficial 0 𝜙 2𝜋 0 𝜃 𝜋 2 Integral superficial 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑟2 sin𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙 𝜋 2 0 2𝜋 0 9 sin𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙 𝜋 2 0 2𝜋 0 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 9 𝑑𝜙 sin𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 0 2𝜋 0 92𝜋 sin𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 0 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 18𝜋 cos𝜃0 𝜋 2 18𝜋 cos 𝜋 2 cos0 18𝜋0 1 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 18𝜋 QUESTÃO 1 Integral em x y é constante 0 2 1 3 𝑥2sin 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 0 2 sin 𝑦 1 3 𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦 Podemos usar o fato de que 𝑘𝑑𝑘1 2 𝑘𝑘 0 2 1 3 𝑥2sin 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 0 2 sin 𝑦 𝑥2𝑥 2 2 1 3 𝑑𝑦 0 2 1 3 𝑥2sin 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 0 2 sin 𝑦 32 32 1212 2 𝑑𝑦 0 2 1 3 𝑥2sin 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 0 2 sin 𝑦 1111 2 𝑑𝑦 0 2 1 3 𝑥2sin 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 0 2 sin 𝑦 11 2 𝑑𝑦 0 2 1 3 𝑥2sin 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 0 2 sin 𝑦 1𝑑𝑦 0 2 1 3 𝑥2sin 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 0 2 sin 𝑦 𝑑𝑦 0 2 1 3 𝑥2sin 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦cos 𝑦 0 2cos2cos 0 0 2 1 3 𝑥2sin 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦cos 211cos 2 QUESTÃO 2 a Substituindo o valor de dA 𝐼 1 3 0 1 𝑦 𝑒 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 Integramos primeiro em y x é constante Integração por partes 0 1 𝑦𝑒 𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑢𝑣 𝑣𝑑𝑢 𝑢𝑦 𝑑𝑢𝑑𝑦 𝑑𝑣𝑒 𝑥𝑦𝑑𝑦 𝑣 1 𝑥 𝑒 𝑥𝑦 0 1 𝑦𝑒 𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑦 1 𝑥 𝑒 𝑥𝑦0 1 0 1 1 𝑥 𝑒 𝑥𝑦𝑑𝑦 0 1 𝑦𝑒 𝑥𝑦 𝑑𝑦 1 𝑥 𝑒 𝑥0 1 𝑥 0 1 𝑒 𝑥𝑦 𝑑𝑦 0 1 𝑦𝑒 𝑥𝑦 𝑑𝑦 1 𝑥 𝑒 𝑥 1 𝑥 2 𝑒 𝑥𝑦0 1 1 𝑥 𝑒 𝑥 1 𝑥 2 𝑒 𝑥 1 0 1 𝑦𝑒 𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑒 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 2 1 𝑥 2𝑒 𝑥𝑥 1𝑥 2 1 𝑥 2 Substituindo na integral I 𝐼 1 3 𝑒 𝑥𝑥 1𝑥 2 1 𝑥 2𝑑𝑥 1 3 𝑒 𝑥𝑥 1 𝑥 2𝑑𝑥 1 3 1 𝑥 2 𝑑𝑥 Usando a sugestão do enunciado 𝐼 𝑥 1𝑒 𝑥𝐾 1 3 1 𝑥1 3 3 1𝑒 3𝐾 1 1𝑒 1𝐾 1 3 1 1 𝐼 𝑒 3 3 𝐾 𝑒 𝐾 1 31𝑒 3 3 𝑒 2 3 b Podemos escrever 𝐼 0 1 1 3 𝑦 𝑒 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 0 1 𝑦 1 3 𝑒 𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐼 0 1 𝑦 1 𝑦 𝑒 𝑥𝑦1 3 𝑑𝑦 0 1 𝑒 3𝑦 𝑒 𝑦𝑑𝑦 𝐼 0 1 𝑒 3 𝑦 𝑑𝑦 0 1 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 1 3 𝑒 3 𝑦 𝑒 𝑦0 1 1 3 𝑒 3𝑒 1 3 𝑒 0𝑒 0 𝐼1 3 𝑒 3𝑒 1 31𝑒 3 3 𝑒 2 3 QUESTÃO 4 a Vamos usar 4 𝑢2 𝑥4 𝑦7 4𝑣𝑥5 𝑦 Substituindo 4 𝑢 24 𝑣 216𝑢 2𝑣 21 b Gráfico no plano uv o círculo é uma elipse cujos focos estão no mesmo ponto o centro c Área para escrever o jacobiano precisamos das derivadas 2𝑥 4 𝑦4𝑢7 𝑥5 𝑦4 𝑣 Daqui podemos ver que 𝑥1 6 20𝑢16𝑣35 𝑦1 6 4 𝑢8𝑣7 Jacobiano 𝐽 𝑥 𝑢 𝑦 𝑣 𝑥 𝑣 𝑦 𝑢 20 6 8 616 6 4 6 8 3 A integral é 16𝑢 216 𝑣 2 8 3𝑑𝑢𝑑𝑣 16 8 3 𝑢 2𝑣 2𝑑𝑢𝑑𝑣 16 8 3 𝑟 2𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 16 8 3 0 2𝜋 𝑑𝜃 0 1 𝑟 3𝑑𝑟16 8 3𝜃 0 2𝜋 𝑟 4 4 0 1 16𝑢 216 𝑣 2 8 3𝑑𝑢𝑑𝑣16 8 32𝜋 1 4 0 64 𝜋 3 O resultado é negativo porque a área da elipse está majoritariamente na parte negativa do plano xy a Massa 𝑀 𝑅 𝜌 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 Ao integrarmos a densidade superficial de um corpo em relação à segmentos infinitesimais de sua área superfície obtemos sua massa total Centro de Massa Componente x 𝑥 1 𝑀 𝑅 𝑥 𝜌 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑅 𝑥 𝜌 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑅 𝜌 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 Componente y 𝑦 1 𝑀 𝑅 𝑦 𝜌 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑅 𝑦 𝜌𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑅 𝜌 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 Essas são as coordenadas do centro de massa de um sistema 2D CM ponto onde considerase que toda a massa de um corpo ou sistema de corpos está concentrada Momento de Inércia é uma medida da inércia rotacional resistência à alteração do estado de movimento rotacional de um corpo 𝑟 distância até o eixo de rotação do sistema 𝐼 𝑀 𝑟 2𝑑𝑚 𝑅 𝜌 𝑥 𝑦 𝑟 2𝑑𝐴 Momento de Massa Os momentos de uma função são medidas quantitativas relacionadas com a forma do gráfico de tal função Se a função representa a densidade de massa 𝜌 𝑥 𝑦 então o momento zero é a massa total 𝑀 𝑅 𝜌 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 o primeiro momento normalizado pela massa total é o centro de massa 𝑥 1 𝑀 𝑅 𝑥 𝜌 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 e o segundo momento é o momento de inércia 𝐼 𝑅 𝜌𝑥 𝑦 𝑟 2𝑑𝐴 b QUESTÃO MONTADA Calcule o centro de massa da região delimitada pelas curvas 𝑦𝑥 5 e 𝑦3𝑥 Considere a densidade superficial constante As curvas se interceptam em 𝑥0𝑥 53 𝑥𝑥 109 𝑥𝑥 99𝑥9 1 9 Componente x do centro de massa 𝑥 𝑅 𝑥 𝜌 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑅 𝜌 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝜌 𝑅 𝑥𝑑𝐴 𝜌 𝑅 𝑑𝐴 𝑅 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑅 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥 0 9 1 9 𝑥 𝑥 5 3𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 0 9 91 𝑥 5 3𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 0 9 1 9 𝑥 𝑦 𝑥 5 3𝑥 𝑑𝑥 0 9 1 9 𝑦 𝑥 5 3𝑥 𝑑𝑥 0 9 1 9 𝑥3 𝑥𝑥 5 𝑑𝑥 0 9 1 9 3 𝑥𝑥 5 𝑑𝑥 𝑥 0 9 91 3 𝑥 3 2 𝑥 6𝑑𝑥 0 9 91 3 𝑥 1 2 𝑥 5𝑑𝑥 3𝑥 5 2 5 2 𝑥 7 7 0 9 1 9 3𝑥 3 2 3 2 𝑥 6 6 0 9 1 9 6𝑥 5 2 5 𝑥 7 7 0 9 1 9 2𝑥 3 2 𝑥 6 6 0 9 1 9 𝑥 6 9 5 18 5 9 7 9 7 0 2 9 3 18 9 6 9 6 0 06565 Componente y 𝑦 0 9 91 𝑥 5 3𝑥 𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 9 91 𝑥 5 3𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 0 9 91 𝑦 2 2 𝑥5 3𝑥 𝑑𝑥 0 9 1 9 𝑦 𝑥 5 3 𝑥𝑑𝑥 0 9 1 9 3𝑥𝑥 5 2 2 𝑑𝑥 0 9 1 9 3 𝑥𝑥 5𝑑𝑥 𝑦1 2 0 9 91 9 𝑥6𝑥 11 2 𝑥 10𝑑𝑥 0 9 1 9 3𝑥 𝑥 5 𝑑𝑥 1 2 9 2 𝑥 2 12 13 𝑥 13 2 𝑥 11 11 0 9 1 9 2 𝑥 3 2 𝑥 6 6 0 9 1 9 095996 QUESTÃO 6 Basta calcularmos a área do círculo maior descontarmos a área do círculo branco Vamos considerar o círculo branco como se ele estivesse centralizado com raio iguail a 1 𝑥 2𝑦 2𝑟 2𝑟 𝑑𝐴𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑟𝑑𝜃 𝐴 0 2𝜋 0 2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 0 2𝜋 0 1 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝐴 0 2𝜋 𝑑𝜃 0 2 𝑟𝑑𝑟 0 2 𝜋 𝑑 𝜃 0 1 𝑟𝑑𝑟 0 2𝜋 𝑑𝜃 0 2 𝑟𝑑𝑟 0 1 𝑟𝑑𝑟 𝐴𝜃 0 2 𝜋 1 2 𝑟 20 2 1 2 𝑟 20 12 𝜋 2 4010 3𝜋 QUESTÃO 7 Divergente 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 1 Norma 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑥 2 𝑓 𝑦 2 1 Então 𝜎 𝑅 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝐴 𝜎 𝑅 𝑓 𝑥 2 𝑓 𝑦 2 1𝑑𝐴 Que é exatamente a expressão para a área de superfície na região fechada R para 𝑓 contínua assim como suas derivadas de primeira ordem QUESTÃO 8 Podemos escrever coord Esféricas 𝑥 2 𝑦 2𝑧 2𝑟 2𝑧 225 Limites 𝑟25 𝑧 2254 23𝑟3 O raio é fixo porque queremos a integral que representa a área superficial 0𝜙2 𝜋 0𝜃 𝜋 2 Integral superficial 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 0 2𝜋 0 𝜋 2 𝑟 2sin 𝜃𝑑 𝜃𝑑𝜙9 0 2 𝜋 0 𝜋 2 sin 𝜃 𝑑 𝜃𝑑 𝜙 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡9 0 2𝜋 𝑑 𝜙 0 𝜋 2 sin 𝜃𝑑 𝜃9 2𝜋 0 𝜋 2 sin 𝜃𝑑 𝜃 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡18 𝜋 cos 𝜃 0 𝜋 218 𝜋 cos 𝜋 2 cos0 18 𝜋 01 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡18 𝜋 Fast friendships helping one another Read the passage and find out who are considered good friends according to the passage Write about your best friend leaving a blank space to add a picture of your friend Why do you like your friend Like good friends in the passage share with others what you have set aside time to play or learn together Remember you too can be a loving friend Write a paragraph telling how you can be a good friend Easy Friends A friend is someone who helps you when you are in trouble A friend is someone who shares with you A friend is someone who makes you smile when you are sad A friend is someone who listens when you want to speak A friend is someone who understands what you want to say A friend is someone you love and who loves you Write about your best friend Leave a space to add a photo or drawing Why do you like your friend How can you be a good friend