Cálculo IV - Integrais Triplas - Lista de Exercícios Resolvida

Integras Triplas Professor Disciplina Cálculo IV Curso 6º semestre Aluno a Colocar seu nome aqui Data 25092023 ATIVIDADE AVALIATIVA II Questão 1 2 pontos Seja W o sólido no primeiro octante delimitado lateralmente pela esfera de equação x² y² z² 1 e pelos planos x 0 e y 0 e por cima pelo cone de equação z x² y² A descrição algébrica é dada por W xyz R³ 0 x 0 y 0 z x² y² e x² y² z² 1 a Usando o GeoGebra exiba o sólido e em seguida as linhas de comando que o gerou b Calcule o volume de W i usando coordenadas cilíndricas ii usando coordenadas esféricas Questão 2 1 ponto Usando uma transformação adequada calcule o volume do elipsóide de equação xx0²a² yy0²b² zz0²c² 1 Questão 3 2 pontos Seja S a região delimitada pelas equações z 4 y² y 2x z 0 x 0 a Expresse não precisa calcular a integral s xyz dV como uma integral iterada de três maneiras i Quando dV dzdydx ii Quando dV dydzdx iii Quando dV dxdzdy b Escolha uma das formas e calcule a integral em questão Questão 4 2 pontos Seja F o sólido delimitado pelo cilindro elíptico x²4 y²9 1 e pela esfera x² y² z² 16 no primeiro octante ou seja para x 0 y 0 e z 0 a Use o GeoGebra e exiba o sólido F b Calcule F xzdV Questão 5 1 ponto Considere o sólido V delimitado pelo cone x² y² z² e pela esfera x² y² z² 1 a Use o GeoGebra e exiba o sólido b Suponha que o sólido do item a seja um sorvete a casquinha é o cone e a esfera é a bola de sorvete Quanto de sorvete caberia nessa configuração Ou seja qual o volume do sólido V Questão 6 1 ponto Calcule D x² y²2 dA para o domínio sombreado D da Figura 1 1 Cálculo IV 23 de setembro de 2023 Questão 1 a Volume entre o cone z x² y² a esfera x² y² z² 1 e os planos x 0 e y 0 Figura 1 Volume entre o cone em roxo a esfera em vermelho e os planos x 0 y 0 no primeiro octante bi Coordenadas esféricas Esfera x² y² z² ρ² 1 0 ρ 1 Queremos apenas a parte do volume que está no primeiro octante logo 0 θ 2π4 0 θ π2 O ângulo φ é medido do cone até π2 Como o cone está em π4 π4 φ π2 7 Figura 1 Região de Integração Questão 7 1 ponto A função de onda do estado 1s de um elétron de hidrogênio é dada por ψ1sρ 1πa0³eρa0 onde a0 é o raio de Bohr cujo valor é 53 10¹¹ A probabilidade de que um elétron encontrese em uma certa região H de R³ é igual a H pxyzdV onde em coordenadas esféricas pρ ψ1sρ² Use integração em coordenadas esféricas para provar que a probabilidade de encontrar um elétron a uma distância maior que o raio de Bohr é igual a 5e² 0677 Volume em coordenadas esféricas dV ρ2 sinϕdρ dϕdθ Integrando V 0π2 0π4 01 ρ2 sinϕdρ dϕ dθ 1 V 0π2 dθ π4π2 sinϕdϕ 01 ρ2 dρ θ0π2 cosϕπ4π2 ρ3301 2 V π2 0 cos π2 cos π4 133 033 3 V π2 0 22 13 0 π2 22 13 π2 12 13 4 V π62 5 bii Coordenadas cilíndricas Cone z x2 y2 r2 r Esfera x2 y2 z2 r2 z2 1 r 1 z2 Usando esse resultado na equação do cone z r 1 z2 z2 1 z2 2z2 1 z 12 Assim 0 z 12 z r 1 z2 0 θ π2 Integrando V 0π2 012 z1z2 r dr dz dθ 0π2 dθ 012 z1z2 r dr dz 6 V π2 012 r22 z1z2 dz π2 012 1 z22 z22 dz 7 V π4 012 1 2z2 dz π4 z 2z33 012 8 V π4 12 23 123 π4 12 23 122 9 V π4 12 13 12 π4 232 10 V π2 132 π62 11 Questão 2 Vamos usar a seguinte mudança de variáveis x x0 au x au x0 y y0 bv y bv y0 z z0 cw z cw z0 Com a mudança de variáveis temos a equação da esfera x x02a2 y y02b2 z z02c2 1 a2u2a2 b2v2b2 c2w2c2 1 12 E u2 v2 w2 1 13 Derivando as equações x y z em relação à u v e w xu a xv 0 xw 0 yu 0 yv b yw 0 zu 0 zv 0 zw c Montando o Jacobiano J xu xv xw yu yv yw zu zv zw a 0 0 0 b 0 0 0 c abc 14 A integral volumétrica é V JdE abcdE abc dE 15 A integral da equação 14 se refere ao volume da esfera E de raio 1 Assim V abc dE abc 4π13 3 16 V 4πabc 3 17 Questão 3 Região delimitada pelas equações z 4 y2 y 2x z 0 x 0 Em x 0 y 0 então y também se inicia em zero Logo z 4 y2 4 0 4 Como 0 z 4 e z 4 y2 4 2x2 4 4x2 0 x 1 i dV dzdydx 0 z 4 y2 0 y 2x 0 x 1 Integral xyz dz dy dx 18 ii dV dydzdx y2 4 z y 4 z 4 y2 4 2x2 4 4x2 0 y 4 z 0 z 4 4x2 0 x 1 Integral xyz dy dz dx 19 iii dV dxdzdy y 2x x y2 4 z2 1 z4 z 4 y2 0 x 1 z4 0 z 4 y2 0 y 2 Integral xy z dx dz dy 20 b Vamos escolher a integral do item i xyz dz dy dx xy z dz dy dx 21 xyz dz dy dx xy z22 dy dx 22 xyz dz dy dx xy 4 y22 2 0 dy dx 23 xyz dz dy dx xy 16 8y2 y42 dy dx 24 xyz dz dy dx 12 x 16y 8y3 y5 dy dx 25 xyz dz dy dx 12 x 16y22 8y44 y66 dx 26 xyz dz dy dx 12 x 8y2 2y4 y66 dx 27 xyz dz dy dx 12 x 82x2 22x4 2x66 0 dx 28 xyz dz dy dx 12 x 32x2 32x4 32x63 dx 29 xyz dz dy dx 322 x3 x5 x73 dx 30 xyz dz dy dx 16 x44 x66 x824 31 xyz dz dy dx 16 144 166 1824 0 32 ₀¹ ₀²ˣ ₀⁴ʸ² xyz dz dy dx 16 14 16 124 16 624 424 124 33 ₀¹ ₀²ˣ ₀⁴ʸ² xyz dz dy dx 16 324 2 34 Questão 4 a Volume entre o cilindro elíptico x²4 y²9 1 e a esfera x² y² z² 16 no primeiro octante x y z 0 Figura 2 Volume entre o cilindro em vermelho a esfera em amarelo no primeiro octante b Coordenadas cilíndricas x² y² z² 16 ρ² z² 16 z 16 ρ² 0 z 16 ρ² Primeiro octante 0 θ π2 Usando x ρ cosθ y ρ sinθ na equação do cilindro x²4 y²9 ρ² cos²θ4 ρ² sin²θ9 ρ² cos²θ4 sin²θ9 1 35 ρ² 9 cos²θ36 4 sin²θ36 1 36 ρ² 36 9 cos²θ 4 sin²θ ρθ 6 9 cos²θ 4 sin²θ 37 A integral em cilíndricas se torna x z dV ρ cosθ z ρ dz dρ dθ 38 x z dV ₀π2 ₀ρθ ₀16 ρ² ρ² cosθ z dz dρ dθ 39 x z dV ₀π2 ₀ρθ ρ² cosθ ₀16 ρ² z dz dρ dθ 40 x z dV ₀π2 ₀ρθ ρ² cosθ z²2₀16 ρ² dρ dθ 41 x z dV ₀π2 ₀ρθ ρ² cosθ 16 ρ²² 02 dρ dθ 42 x z dV 12 ₀π2 ₀ρθ ρ² cosθ 16 ρ² dρ dθ 43 x z dV 12 ₀π2 cosθ ₀ρθ 16 ρ³ 3 ρ⁵ 5 dρ dθ 44 x z dV 12 ₀π2 cosθ 16 ρ³ 3 ρ⁵ 5₀ρθ dθ 45 xzdV 12 163 ₀π2 cosθ ρ³θ dθ 15 ₀π2 cosθ ρ⁵θ dθ 46 Primeira integral entre colchetes ₀π2 cosθ 69cos²θ 4sin²θ³ dθ 6³ ₀π2 cosθ 9cos²θ 4sin²θ32 dθ 47 Usando a identidade trigonométrica cos²θ 1 sin²θ ₀π2 cosθ 69cos²θ 4sin²θ³ dθ 6³ ₀π2 cosθ 9 5sin²θ32 dθ 48 Mudança de variável u sinθ du cosθdθ temos ₀π2 cosθ 69cos²θ 4sin²θ³ dθ 6³ u₁u₂ 1 9 5u²32 du 49 Segunda substituição u² 9sin²w5 du 3cosw5 dw ₀π2 cosθ 69cos²θ 4sin²θ³ dθ 6³ w₁w₂ 1 9 59sin²w532 3cosw5 dw 50 ₀π2 cosθ 69cos²θ 4sin²θ³ dθ 6³ 35 w₁w₂ 1 9 9sin²w32 cosw dw 51 Segunda integral entre colchetes ₀π2 cosθ 69cos²θ 4sin²θ⁵ dθ 6⁵ ₀π2 cosθ 9cos²θ 4sin²θ52 dθ 61 1cos⁴w dw 1 tan²wsec²w dw 69 1cos⁴w dw 1 k² dk k k³3 tanw tan³w3 70 ₀π2 cosθ 6 9cos²θ 4sin²θ5 dθ 965 tanw tan³w3₁w₂ 71 ₀π2 cosθ 6 9cos²θ 4sin²θ5 dθ 965 sinwcosw 13sin³wcos³w₁w₂ 72 Usando sinw u53 cosw 1 u53² ₀π2 cosθ 6 9cos²θ 4sin²θ5 dθ 965 u53 1 u53² 13u53 1 u53² ₁u₂ 73 ₀π2 cosθ 6 9cos²θ 4sin²θ5 dθ 965 u53 1 u53² 13u53 1 u53² ₀1 74 ₀π2 cosθ 6 9cos²θ 4sin²θ5 dθ 965 53 1 53² 1353 1 53² ₀3 0 75 ₀π2 cosθ 6 9cos²θ 4sin²θ5 dθ 965 52 13558 68 76 Substituindo 60 e 76 em 46 xzdV 12 16312 1568 1265 77 Questão 5 a O sólidos são os mesmos da Questão 1 agora não mais imitados ao primeiro octante e sim ao plano z 0 Figura 3 Volume entre o esfera em vermelho e o cone em roxo no plano z 0 b A integral é igual a da Questão 1 A única diferença é o limite do ângulo θ 0 θ 2π V ₀2π dθ π4π2 sinφdφ ₀1 ρ² dρ θ₀2π cosφπ4π2 ρ³301 78 V 2π 0 cosπ2 cosπ4 1³3 0³3 79 V 2π 0 22 13 0 2π 22 13 80 V 2π3 81 Também poderíamos apenas ter multiplicado o volume encontrado na Questão 1 por 4 Questão 6 Os limites de integração já estão dados na Figura 4 secθ r 2cosθ 0 θ π4 Figura 4 Região de integração Coordenadas polares x rcosθ y rsinθ dA rdrdθ x² y² r²cos²θ sin²θ r²1 r² 1x² y²² dA ₀π4 secθ2cosθ 1r²² rdrdθ 82 1x² y²² dA ₀π4 secθ2cosθ r³ dr dθ 83 1x² y²² dA ₀π4 12r²secθ2cosθ dθ 84 1x² y²² dA 12 ₀π4 12cosθ² 1secθ² dθ 85 1x² y²² dA 12 ₀π4 14 sec²θ cos²θ dθ 86 1x² y²² dA 18 ₀π4 sec²θ dθ 12 ₀π4 cos²θ dθ 87 1x² y²² dA 18 tanθ₀π4 12 12 θ 12 sin2θ₀π4 88 1x² y²² dA 18 1 0 12 12 π4 12 1 0 89 1x² y²² dA 18 π16 18 π16 90 Questão 7 Módulo ao quadrado da função ψ₁sρ² eρa₀ πa₀³² e2ρa₀ πa₀³ 91 Integrando em coordenadas esféricas H pxyzdV ₀2π ₀π a₀ pρρ²sinφdρdφdθ 92 H pxyzdV ₀2π ₀π a₀ e2ρa₀ πa₀³ ρ² sinφdρdφdθ 93 H pxyzdV 1πa₀³ ₀2π ₀π a₀ e2ρa₀ ρ² sinφdρdφdθ 94 H pxyzdV 1πa₀³ ₀2π dθ ₀π sinφdφ a₀ e2ρa₀ ρ² dρ 95 H pxyzdV 1πa₀³ θ02π cosφ0π a₀ e2ρa₀ ρ² dρ 96 H pxyzdV 1πa₀³ 2π 1 1 a₀ e2ρa₀ ρ² dρ 97 H pxyzdV 1πa₀³ 4π a₀ e2ρa₀ ρ² dρ 4a₀³ a₀ e2ρa₀ ρ² dρ 98 Integração por partes u ρ² du 2ρ dρ dv e2ρa₀ dρ v a₀2 e2ρa₀ a₀ ρ² e2ρa₀ dρ a₀2 e2ρa₀ ρ²a₀ a₀2 a₀ 2ρ e2ρa₀ dρ 99 a₀ ρ² e2ρa₀ dρ a₀2 e2ρa₀ ρ²a₀ a₀ a₀ ρ e2ρa₀ dρ 100 a₀ ρ² e2ρa₀ dρ 0 a₀2 e2a₀a₀ a₀² a₀ a₀ ρ e2ρa₀ dρ 101 a₀ ρ² e2ρa₀ dρ a₀³2 e² a₀ a₀ ρ e2ρa₀ dρ 102 Integração por partes u ρ du dρ dv e2ρa₀ dρ v a₀2 e2ρa₀ a₀ ρ e2ρa₀ dρ a₀³2 e² a₀ a₀2 e2ρa₀ ρa₀ a₀2 a₀ e2ρa₀ dρ 103 a₀ ρ² e2ρa₀ dρ a₀³2 e² a₀ 0 a₀²2 e2a₀a₀ a₀²2 a₀ e2ρa₀ dρ 104 a₀ ρ² e2ρa₀ dρ a₀³2 e² a₀³2 e² a₀²2 a₀ e2ρa₀ dρ 105 a₀ ρ² e2ρa₀ dρ a₀³2 e² a₀³2 e² a₀³4 e2ρa₀a₀ 106 a₀ ρ² e2ρa₀ dρ a₀³2 e² a₀³2 e² a₀³4 0 e2a₀a₀ 107 a₀ ρ² e2ρa₀ dρ a₀³2 e² a₀³2 e² a₀³4 e² 5a₀³ e² 4 108 Substituindo na equação 98 H pxyzdV 1πa₀³ 4π a₀ e2ρa₀ ρ² dρ 4a₀³ 5a₀³ e² 4 109 H pxyzdV 5e² 5e² 110 que é o resultado previsto no enunciado